【步步高】（广东专用）2015届高考数学二轮复习 专题训练七 概率与统计（打包3套）理
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【步步高】（广东专用）2015届高考数学二轮复习 专题训练七 概率与统计（打包3套）理,步步高,广东,专用,高考,数学,二轮,复习,温习,专题,训练,概率,几率,统计,打包
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- 1 - 第 1 讲 排列、组合与二项式定理 考情解读 列、组合的考查以基本概念、基本方法 (如 “ 在 ”“ 不在 ” 问题、相邻问题、相间问题 )为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二 项式定理展开式的性质求有关系数问题主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力 列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果 每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘 2排列与组合 (1)排列：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数公式是 n(n 1)(n 2)( n m 1)或写成 n！n m ！ . (2)组合：从 n 个不同 元素中取出 m(m n)个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数公式是 n n n n mm！ 或写成 n！m！ n m ！ . (3)组合数的性质 C C 1 1n . 3二项式定理 (1)二项式定理： (a b)n 1b 2 r 0,1,2， ，n) (2)二项展开式的通项 1 r 0,1,2， ， n，其中 (3)二项式系 数的性质 对称性：与首末两端 “ 等距离 ” 两项的二项式系数相等， 即 1n ， ， . - 2 - 最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数 2 n 为奇数时，中间的两项的二项式系数 12， 12相等，且同时取得最大值 各二项式系数的和 a 2n； b 1n 122 n 2n 1. 热点一 两个计数原理 例 1 (1)将 1,2,3， ， 9 这 9 个数字填在如图的 9 个 空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大当 3,4 固定在图中的位置时，填写空格的方法为 ( ) A 6 种 B 12 种 C 18 种 D 24 种 (2)如果一个三位正整数 “ 满足 52m0 在区间 22 ， 2上恒成立，所以 m( 52 x2)区间 22 ， 2上，易知当 x 2时， 52大值为 5，所以m5. 即实数 m 的取值范围是 5， ) (推荐时间： 60 分钟 ) 一、选择题 1 (2014 安徽 )从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60 的共有( ) A 24 对 B 30 对 C 48 对 D 60 对 答案 C 解析 如图，在正方 体 面对角线 60 角的面对角线有 8 条，同理与 60 角的面对角线也有 8 条因此一个面上的 2 条面对角线与其相邻的 4 个面上的8 条对角线共组成 16 对又正方体共有 6 个面，所以共有 166 96(对 )又因为每对被计算了 2 次，因此成 60 角的面对角线有 1296 48(对 ) 2在 (x 2x)5的二项展开式中， ) A 40 B 40 C 80 D 80 答案 A 解析 (x 2x)5的展开式的通项为 1 r( 2x)r ( 2)5 2， 令 5 3 2，得 r 2，故展开式中 2)240，故选 A. 3从 8 名女生和 4 名男生中，抽取 3 名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽 样，则不同的抽取方法数为 ( ) - 9 - A 224 B 112 C 56 D 28 答案 B 解析 根据分层抽样，从 8 个人中抽取男生 1 人，女生 2 人；所以取 2 个女生 1 个男生的方法： 112. 4若 (1 2x)5 ) A 122 B 123 C 243 D 244 答案 B 解析 在已知等式中分别取 x 0、 x 1 与 x 1，得 1， 35， 1，因此有 2( 35 1 244， 122， 123， 故选 B. 5 (2014 四川 )在 x(1 x)6的展开式中，含 ) A 30 B 20 C 15 D 10 答案 C 解析 因为 (1 x)6的展开式的第 r 1 项为 1 x(1 x)6的展开式中含 2615以系 数为 15. 6计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、 4 幅油画、 5 幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有 ( ) A B D 案 D 解析 先把 3 种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有 考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有 7二项式 ( x 13 x) 项为常数项，则常数项为 ( ) A 10 B 10 C 20 D 20 答案 B 解析 由题意可知二项式 ( x 13 x)n 的展开式的常数项为 x)n 3( 13 x)3 ( 1)3 10 - 3 156 ， 令 3n 15 0，可得 n 5. 故所求常数项为 ( 1)3 10，故选 B. 8有 A、 B、 C、 D、 E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次 A、 B 两位学生去问成绩，老师对 A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对 B 说：你是第三名请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为 ( ) A 6 B 18 C 20 D 24 答案 B 解析 由题意知，名次排列的种数为 18. 9在二项式 (1x)n 的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为( ) A 32 B 32 C 0 D 1 答案 C 解析 依题意得所有二项式系数的和为 2n 32，解得 n 5. 因此，令 x 1，则该二项展开式中的各项系数的和等于 (12 11)5 0，故选 C. 10用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在 “ 田 ” 字形的 4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为 ( ) A 60 B 80 C 120 D 260 答案 D 解析 如图所示，将 4 个小方格依次编号为 1,2,3, 种颜色，则只能是第 1,4 个小方 格涂一种，第 2,3 个小方格涂一种，方法种数是 20；如果使用 3 种颜色，若第 1,2,3 个小方格不同色，第 4 个小方格只能和第 1 个小方格相同，方法种数是 60，若第 1,2,3 个小方格只用 2 种颜色，则第 4 个方格只能用第 3种颜色，方法种数是 2 60；如果使用 4 种颜色，方法种数是 总的涂法种数是 20 60 60 120 260，故选 D. 二、填空题 11 “ 雾霾治理 ”“ 光盘行动 ”“ 网络反腐 ”“ 法治中国 ”“ 先看病后付费 ” 成为 2013 年社会关注的五个焦点小王想利用 2014“ 五一 ” 假期的时间调查一下社会对这些热点的关注度若小王准备按照顺序分别调查其中的 4 个热点，则 “ 雾霾治理 ” 作为其中的一个调查热 - 11 - 点，但不作为第一个调查热点的调查顺序总数为 _ 答案 72 解析 先从 “ 光盘行动 ”“ 网络反腐 ”“ 法治中国 ”“ 先看病后付费 ” 这 4 个热点选出 3 个，有 调查时， “ 雾霾治理 ” 安排的调查顺序有 余三个热点调查顺序有 不同调查顺序的总数为 72. 12 (x 1)(414)3的展开式中的常数项为 _ 答案 160 解析 (x 1)(414)3 (x 1)(2x 1x)6，其中 (2x 1x)6 展开式的第 r 1 项为 1 x)6 r( 1x)r ( 1)rC 6 r 2r， 令 r 3，可得 ( 1)3 3 160， 所以二项式 (x 1)(414)3的展开式中常数项为 ( 1)( 160) 160. 13 (2014 北京 )把 5 件不同产品 摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有 _种 答案 36 解析 将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 产品A， B， C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 是符合题意的排法共有 36(种 ) 14 (2014 课标全国 )( x a)10的展开式中， 5，则 a _.(用数字填写答案 ) 答案 12 解析 设通项为 1 10 r 7， r 3， 31015， 18， a 12. 15某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车 间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为 _ 答案 36 解析 若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有 22C 13 18 种；若甲、乙分到的车间再分一人，则分法有 3C 13A 22 18 种所以满足题意的分法共有 18 18 36 种 16已知 (x (a0)的展开式中常数项为 240，则 (x a)(x 2a)2的展开式中 _ - 12 - 答案 6 解析 (x 的二项展开式的通项为 1 r( ax)r 6 2，令 6 3 0，得 r 4，则其常数项为 15240，则 16，由 a0，故 a x a)(x 2a)2的展开式中， 3 3)2 6. - 1 - 第 2 讲 概率、随机变量及其分布 考情解读 典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的分布列、期望 (均值 )、方差，常与相互独立事件的概率、 n 次独立重复试验交汇考查 考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的分布列等，都属于中、低档题 1随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围： 0 P(A)1 ；必然事件的概率为 1；不可能事件的概率为 0. (2)古典概型的概率 P(A) 本事件总数 . (3)几何概型的概率 P(A) 构成事件 积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 . 2条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率： P(B|A) P . 3相互独立事件同时发生的概率 P( P(A)P(B) 4独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k) p)n k， k 0,1,2， ， n. 5超几何分布 在含有 件产品中，任取 中恰有 P(X k) k 0,1,2， ，m，其中 m ， n，且 n N， M N， n， M， N N* 服从超几何分布超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是 M， N， n. 6离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量 X 可能取的值为 ， ， X 取每一个值 (X - 2 - 称下表： X x1 x2 p1 p2 离散型随机变量 X 的分布列 (2)离散型随机变量 X 的分布列具有两个性质： ， 1(i1,2,3， ， n) (3)E(X) 的均值或数学期望 (简称期望 ) D(X) (E(X)2 (E(X)2 (E(X)2 (E(X)2 做随机变量 X 的方差 (4)性质 E(b) ) b， D(b) )； X B(n， p)，则 E(X) D(X) p)； X 服从两点分布，则 E(X) p， D(X) p(1 p) 7正态分布 若 X N( ， 2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P( E( 1)E( 2) C p1E( 1)E( 2) D 以 p1押题精练 1有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中随机取出 4 个，则取出球的编号互不相同的概率为 ( ) 案 D 解析 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中随机取出 4 个，有 210 种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件 A 为 “ 取出球的编号互不相同， ” 则事件 A 包含了 12C 12C 12C 12 80 个基本事件， 所以 P(A) 80210 821. 2箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球从箱中一次摸出两个球，记下号码并 - 9 - 放回，如果两球号码之积是 4 的倍数，则获奖现有 4 人参与摸奖 (每人一次 )，则恰好有 3人获奖的概率是 ( ) B. 96625 D. 4625 答案 B 解析 由题意得任取两球有 出两球号码之积是 4 的倍数的情况为 (1,4)， (2,4)，(3,4)， (2,6)， (4,6)， (4,5)共 6 种情况，故每人摸球一次中奖的概率为 625，故 4 人中有3 人中奖的概率为 5)3 35 . 3甲 乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为 一场比赛可获得门票收入 40 万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加 10 万元 (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为 300 万元的概率； (2)设总决赛中获得的门票总收入为 X，求 X 的均值 E(X) 解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为 40，公差为 10 的等差数列 设此数列为 则易知 40， 10n 30， n n2 300. 解得 n 12(舍去 )或 n 5， 总决赛共比赛了 5 场 则前 4 场比赛的比分必为 13 ，且第 5 场比赛为领先的球队获胜，其概率为 2)4 14. (2)随机变量 X 可取的值为 220,300,390,490. 又 P(X 220) 2( 12)4 18， P(X 300) 2)4 14， P(X 390) 2)5 516， P(X 490) 2)6 516. 所以， X 的分布列为 X 220 300 390 490 P 18 14 516 516 - 10 - 所以 X 的均值为 E(X) 220 18 300 14 390 516 490 516 元 ) (推荐时间： 50 分钟 ) 一、选择题 1 (2014 课标全国 )4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) 案 D 解析 4 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有 24 16(种 )，其中仅在周六 (周日 )参加的各有 1 种， 所求概率为 1 1 116 78. 2已知菱形 边长为 4， 150 ，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于 1 的概率为 ( ) B 1 4 D 1 8 答案 D 解析 P 4450 124450 18. 3已知 (x， y)| y0 ，y 4 ，直线 y 2m 和曲线 y 4 们围成的平面区域为 M，向区域 上随机投一点 A，点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M)，若P(M) 22 ， 1，则 实数 m 的取值范围为 ( ) A 12， 1 B 0， 33 C 33 ， 1 D 0,1 答案 D 解析 如图，由题意得 m0 ，根据几何概型的意义， 知 P(M) - 11 - 又 P(M) 22 ， 1， 所以 S 弓形 2,2 故 0 m1. 4已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口 向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率是 ( ) 案 D 解析 设事件 A 为 “ 第 1 次抽到的是螺口灯泡 ” ，事件 B 为 “ 第 2 次抽到的是卡口灯泡 ” ， 则 P(A) 310， P( 310 79 730. 则所求概率为 P(B|A) P 730310 79. 5将三个骰子各掷一次，设事件 A 为 “ 三个骰子掷出的点数都不同 ” ，事件 B 为 “ 至少有一个骰子掷出 3 点 ” ，则条件概率 P(A|B)， P(B|A)分别是 ( ) 12 6091 6091 12 答案 A 解析 根据条件概率的含义， P(A|B)的含义为在 B 发生的情况下， A 发生的概率，即在 “ 至少有一个骰子掷出 3 点 ” 的情况下， “ 三个骰子掷出的点数都不同 ” 的概率因为 “ 至少有一个骰子掷出 3 点 ” 的情况共有 666 555 91(种 )， “ 三个骰子掷出的点数都不相同且只有一个 3 点 ” 的情况共有 4 60(种 )， 所以 P(A|B) 6091. P(B|A)的含义为在 A 发生的情况下， B 发生 的概率，即在 “ 三个骰子掷出的点数都不同 ” 的情况下， “ 至少有一个骰子掷出 3 点 ” 的概率，所以 P(B|A) 4654 12，故选 A. 6设随机变量 服从正态分布 N(2,9)，若 P( c) P( c) P( c 2)即 c - 12 - 与 c 2 关于 2 对称，则有 c c 22 2c 3. 二、填空题 7 (2014 江西 )10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是 _ 答案 12 解析 从 10 件产品中取 4 件，共有 到 1 件次品的取法为 古典概型概率计算公式得 P 335210 12. 8将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 _ 答案 1132 解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现 4 次， 5 次或 6 次，故所求的概率 P 12 6 12 6 12 6 1132. 9 (2014 浙江 )随机变量 的取值为 0,1,( 0) 15， E( ) 1，则 D( ) _. 答案 25 解析 设 P( 1) a， P( 2) b， 则 15 a b 1，a 2b 1，解得 a 35，b 15，所以 D( ) 15 350 151 25. 10连续掷一枚均匀的正方体骰子 (6 个面分别标有 1,2,3,4,5,6)，现定义数列 1，点数不是 3的倍数，1，点数是 3的倍数， n 项和，则 3 的概率是 _ 答案 10243 解析 该试验 可看作一个独立重复试验，结果为 1 发生的概率为 23，结果为 1 发生的概率为 13，3 即 5 次试验中 1 发生一次， 1 发生四次，故其概率为 23)1(13)4 10243. 三、解答题 - 13 - 11一个袋子中装有 7 个小球，其中红球 4 个，编号分别为 1,2,3,4，黄球 3 个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取 4 个小球 (假设取到任一小球的可能性相等 ) (1)求取出的小球中有相同 编号的概率； (2)记取出的小球的最大编号为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 解 (1)设取出的小球中有相同编号的事件为 A，编号相同可分成一个相同和两个相同 P(A)12 11935. (2)随机变量 X 的可能取值为 3,4,6. P(X 3) 1135， P(X 4) 25， P(X 6) 7. 所以随机变量 X 的分布列为 X 3 4 6 P 135 25 47 所以随机变量 X 的数学期望 E(X) 3 135 4 25 6 47 17935. 12.(2014 山东 )乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 A， B，乙被划分为两个不相交的区域 C， 定：回球一次，落点在 C 上记 3 分，在 D 上记 1 分，其他情况记 0 分对落点在 A 上的来球，队员小明回球的落点在 C 上的概率为 12，在D 上的概率为 13；对落点在 B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为 15，在 D 上的概率为 来球且落在 A， B 上各一次，小明的两次回球互不影响求： (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望 解 (1)记 小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分 ”( i 0,1,3)， 则 P( 12， P( 13， P( 1 12 13 16. 记 小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 j 分 ”( j 0,1,3)， 则 P( 15， P( 35， P( 1 15 35 15. 记 D 为事件 “ 小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上 ” - 14 - 由题意得 D 由事件的独立性和互斥性，得 P(D) P( P( P( P( P( P( P( P( P( 12 15 13 15 16 35 16 15 310， 所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为 310. (2)由题意，随机变量 可能的取值为 0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P( 0) P( 16 15 130， P( 1) P( P( P( 13 15 16 35 16， P( 2) P( 13 35 15， P( 3) P( P( P( 12 15 16 15 215， P( 4) P( P( P( 12 35 13 15 1130， P( 6) P( 12 15 110. 可得随机变量 的分布列为 所以 0 1 2 3 4 6 P 130 16 15 215 1130 110 所以数学期望 E( ) 0 130 1 16 2 15 3 215 4 1130 6 110 9130. 13在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则：每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖；否则不获奖已知教师甲投进每个球的概率都是 23. (1)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望 - 15 - (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率 解 (1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知， X B(6， 23) P(X k) 23)k( 13)6 k(k 0,1,2,3,4,5,6) X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 1729 12729 60729 160729 240729 192729 64729 E(X) 1729(01 112 260 3160 4240 5192 664) 2 916729 4. 或因为 X B(6， 23)，所以 E(X) 6 23 4. 即 X 的数学期望为 4. (2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A，则 P(A) 13)2( 23)4 13( 23)5 (23)6 3281. 答 教师甲在一场比赛中获奖的概率为 3281. - 1 - 第 3 讲 统计与统计案例 考情解读 本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等 考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解 答题，都属于中、低档题 1随机抽样 (1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取适用范围：总体中的个体较少 (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取适用范围：总体中的个体数较多 (3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取适用范围：总体由差异明显的几部分组成 2常用的统计图表 (1)频率分布直方图 小长方形的面积组距 频率组距 频率； 各小长方形的面积之和等于 1； 小长方形的高 频率组距 ，所有小长方形的高的和为 1组距 . (2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好 3用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中 间位置的一个数据 (或最中间两个数据的平均数 ) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与 x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)方差： 1n(x )2 (x )2 (x )2 标准差： - 2 - s 1n x 2 x 2 x 2. 4变量的相关性与最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数 (2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据 ( ( ， (通过求 Q i 1n(a 最小时，得到线性回归方程 y bx a的方法叫做最小二乘法 5独立性检验 对于取值分别是 分类变量 X 和 Y， 其样本频数列联表是 y1 计 x1 a b a b x2 c d c d 总计 a c b d n 则 2) n b c d a c b d (其中 n a b c d 为样本容量 ) 热点一 抽样方法 例 1 (1)(2013 陕西 )某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1,2， ， 840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间 481,720的人数为 ( ) A 11 B 12 C 13 D 14 (2)(2014 石家庄高三调研 )某学校共有师生 3 200 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160 的样本，已知从学生中抽取 的人数为 150，那么该学校的教师人数是_ 思维启迪 (1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同； (2)分层抽样最重要的是各层的比例 答案 (1)B (2)200 解析 (1)由 84042 20，即每 20 人抽取 1 人，所以抽取编号落入区间 481,720的人数为720 48020 24020 12. (2)本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为 x，所以 1603 200 160 150x ，所以 x 200. 思维升华 (1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的； (2)系统抽样又称 - 3 - “ 等距 ” 抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例 (1)某校高一、高二、高三分别有学生人数为 495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取 49 人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按 1,2,3， ， 1 470 编号，若第 1组有简单随机抽样方法抽取的号码为 23，则高二应抽取的学生人数为 ( ) A 15 B 16 C 17 D 18 (2)(2014 广东 )已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 和图 所示为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ( ) A 200,20 B 100,20 C 200,10 D 100,10 答案 (1)C (2)A 解析 (1)由系统抽样方法，知按编号依次每 30 个编号作为一组，共分 49 组，高二学生的编号为 496 到 988，在第 17 组到第 33 组内，第 17 组抽取的编号为 1630 23 503，为高二学生，第 33 组抽取的编号为 3230 23 983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为 3316 17，故选 C. (2)该地区中、小学生总人数为 3 500 2 000 4 500 10 000， 则样本容量为 10 0002% 200，其中抽取的高中生近视 人数为 2 0002%50% 20，故选A. 热点二 用样本估计总体 例 2 (1)(2014 山东 )为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据 (单位： 分组区间为 12,13)， 13,14)， 14,15)， 15,16)， 16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为 ( ) - 4 - A 6 B 8 C 12 D 18 (2)米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 据 (单位：毫克 /每立方米 )列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是 ( ) A甲 B乙 C甲乙相等 D无法确定 甲 乙 2 2 3 6 9 3 6 2 1 9 3 3 1 6 4 7 4 6 思维启迪 (1)根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数，然后利用第三组的频率和无疗效人数计算； (2)直接根据公式计算方差 答案 (1)C (2)A 解析 (1)志愿者的总人数为 20 50， 所以第三组人数为 50 18， 有疗效的人数为 18 6 12. (2) (12 ， (12 ， 112()2 ()2 ()212. 112()2 ()2 ()229. 所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地 思维升华 (1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎 叶图关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等 (2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小 - 5 - (1)某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节 9 时至 14 时的销售额进行统 计，其频率分布直方图如图所示，已知 9 时至 10 时的销售额为 元，则 11 时至 12 时的销售额为_万元 (2)(2014 陕西 )设样本数据 ， 和 4，若 a(a 为非零常数， i 1,2， ， 10)，则 ， ) A 1 a,4 B 1 a,4 a C 1,4 D 1,4 a 答案 (1)10 (2)A 解析 (1)由频率分布直方图可知： 所以 x 10. (2) 1， a， 所以 ， a，方差不变仍为 4. 故选 A. 热点三 统计案例 例 3 (1)以下是某年 2 月某地区搜集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据 . 房屋面积 x/15 110 80 135 105 销售价格 y/万元 2 根据上表可得线性回归方程 y bx a中的 b ，则面积为 150 房屋的销售价格约为 _万元 (2)(2014 江西 )某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查 52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( ) 表 1 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 - 6 - 总计 16 36 52 表 2 视力 性别 好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52 表 3 智商 性别 偏高 正常 总计 男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 36 52 表 4 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 14 6 20 女 2 30 32 总计 16 36 52 B视力 C智商 D阅读量 思维启迪 (1)回归直线过样本点中心 ( x ， y )； (2)根据列联表，计算 答案 (1) (2)D 解析 (1)由表格可知 x 15(115 110 80 135 105) 109， y 15(22) 所以 a y bx 109 . 所以所求线性回归方程为 y x . 故当 x 150 时，销售价格的估计值为 y 150 (万元 ) (2)A 中， a 6， b 14， c 10， d 22， a b 20， c d 32， a c 16， b d 36， n 52， 220321636 131 440. - 7 - B 中， a 4， b 16， c 12， d 20， a b 20， c d 32， a c 16， b d 36， n 52， 220321636 637360. C 中， a 8， b 12， c 8， d 24， a b 20， c d 32， a c 16， b d 36， n 52， 220321636 1310. D 中， a 14， b 6， c 2， d 30， a b 20， c d 32， a c 16， b d 36， n 52， 220321636 3 757160 . 131 440k) k 答案 (1)B (2)- 8 - 解析 (1)依题意得 ， x 16(0 1 4 5 6 8) 4， y 16( 又直线 y a必过样本点中心 ( x ， y )，即点 (4， 于是有 a，由此解得 a (2)由题意得 2614713 而 概率约为 以在犯错误的概率不超过 前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系 1随机抽样的方法有三种，其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况，当总体中的个体数量明显较多时 要使用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样系统抽样最重要的特征是 “ 等距 ” ，分层抽样，最重要的是各层的 “ 比例 ” 2用样本估计总体 (1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为 1. (2)众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量 (3)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布 总体期望的估计，计算样本平均值 x 1n1 总体方差 (标准差 )的估计：方差1n1 (x )2，标准差 方差 ，方差 (标准差 )较小者较稳定 3线性回归方程 y bx a过样本点中心 ( x ， y )，这为求线性回归方程带来很多方便 4独立性检验 (1)作出 22 列联表 (2)计算随机变量 2)的值 (3)查临界值，检验作答 真题感悟 1 (2014 江苏 )为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长 (单位： 所得数据均在区间 80,130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树 - 9 - 木中，有 _株树木的底部周长小于 100 答案 24 解析 底部周长在 80,90)的频率为 0 底部周长在 90,100)的频率为 0 样本容量为 60，所以树木的底部周长小于 100 株数为 (60 24. 2 (2014 重庆 )已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 x 3， y 由该观测数据算得的线性回归方程可能是 ( ) 2x 2x 案 A 解析 因为变量 x 和 y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项 C 和 D. 因为样本点的中心在回归直线上，把点 (3,坐标分别代入选项 A 和 B 中的线性回归方程进行检验，可以排除 B，故选 A. 押题精练 1某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取 50 辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在 7
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