【步步高】（广东专用）2016高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第1-9讲 文（含解析）（打包9套）
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【步步高】（广东专用）2016高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第1-9讲 文（含解析）（打包9套）,步步高,广东,专用,高考,数学,一轮,复习,温习,第二,函数,基本,初等,解析,打包
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1 第二章 函数与基本初等函数 I 第 1 讲 函数及其表示 一、选择题 1下列函数中，与函数 y 13 ( ) A y 1x B y ln C y D y 解析 函数 y 13 x|x0 ， x R与函数 y 定义域相同，故选 D. 答案 D 2若一系列函数的解析式相同， 值域相同，但定义域不同，则称这些函数为 “ 同族函数 ” ，则函数解析式为 y 1，值域为 1,3的同族函数有 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 解析 由 1 1，得 x 0.由 1 3，得 x 2，所以函数的定义域可以是 0， 2，0， 2， 0， 2， 2，故值域为 1,3的同族函数共有 3个 答案 C 3若函数 y f(x)的定义域为 M x| 2 x2 ，值 域为 N y|0 y2 ，则函数 y f(x)的图象可能是 ( ) 解析 根据函数的定义，观察得出选项 B. 答案 B 4已知函数 f(x) |lg x|， 010. 若 a， b， f(a) f(b) f(c)，则 ( ) A (1,10) B (5,6) C (10,12) D (20,24) 2 解析 a， b， 妨 设 小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 x 的函数的图象为（ ） 解析 注意本题中选择项的横坐标为小王从出发到返回原地所用的时间，纵坐标是经过的路程 ，故选 D. 答案 D 二、填空题 7已知函数 f(x)， g(x)分别由下表给出， x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则 fg(1)的值为 _，满足 fg(x)gf(x)的 _ 解析 g(1) 3， fg(1) f(3) 1，由表格可以发现 g(2) 2， f(2) 3， f(g(2) 3， g(f(2) 1. 答案 1 2 8已知函数 f(x) 1， x0 ，1， x)的 x 的取值范围是_ 解析 由题意有 1 ，2x0 解得 11时，函数 g(x)是 1,3上的减函数，此时 g(x)g(3) 2 3a， g(x)g(1)1 a，所以 h(a) 2a 1； 当 0 a1 时，若 x 1,2，则 g(x) 1 g(2) g(x) g(1)； 若 x (2,3， 则 g(x) (1 a)x 1，有 g(2)1.(2)画出 y h(x)的图象，如图所示，数形结合可得 h(x)h 12 12. 12求下列函数的定义域： (1)f(x) 3 ； (2)y 25 lg x； (3)y lg(x 1) lg x 1x 1 19 x. 解 (1) 4 x 0x 30 ， x 4且 x3 ， 故该函数的定义域为 ( ， 3) (3,4) 6 (2) 25 ，x 0， 即 5 x5 ，2 2 x 2 2， k Z， 故所求定义域为 5， 32 2， 2 32 ， 5 . (3) x 1 0，x 1x 1 0，9 x 0，即 x 1，x 1，x 9或 x 1，解得 1 x 9. 故该函数的定义域为 (1,9) 13. 设 x 0时， f(x)=2;x 0时， f(x)=1，又规定： g(x)= 3 f x 1 f x 22 (x 0)，试写出 y=g(x)的解析式，并画出其图象 . 解 当 0 x 1时， 0,0, g(x)= 312=1. 当 1 x 2时， 0， 0, g(x)= 6 1 522 ; 当 x 2时， 0， 0, g(x)= 622=2. 故 g(x)=1 ( 0 x 1 )5 (1 x 2 ) ,22 ( x 2 ) 其图象如图所示 . 14二次函数 f(x)满足 f(x 1) f(x) 2x，且 f(0) 1. (1)求 f(x)的解析式； (2)在区间 1,1上，函数 y f(x)的图象恒在直线 y 2x 确定实数 7 解 (1)由 f(0) 1，可设 f(x) 1(a0) ，故 f(x 1) f(x) a(x 1)2 b(x 1) 1 (1) 2a b，由题意，得 2a 2，a b 0， 解得 a 1，b 1， 故 f(x) x 1. (2)由题意，得 x 12x m，即 3x 1m，对 x 1,1恒成立令 g(x) 3x 1，则问题可转化为 g(x)m，又因为 g(x)在 1,1上递减， 所以 g(x)g(1) 1，故 m 1. 1 第 2 讲 函数的单调性与最值 一、选择题 1下列函数中，既是偶函数又在 (0， ) 内单调递减的函数是 ( ) A y B y |x| 1 C y lg|x| D y 2|x| 解析 对于 C 中函数，当 x0 时， y lg x，故为 (0， ) 上的减函数，且 y x|为偶函数 答案 C 2已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f(|x|) f(1)的实数 x 的取值范围是 ( ) A ( 1,1) B (0,1) C ( 1,0) (0,1) D ( ， 1) (1， ) 解析 f(x)在 R 上为减函数且 f(|x|) f(1)， |x| 1，解得 x 1 或 x 1. 答案 D 3若函数 y y 0， ) 上都是减函数，则 y (0， ) 上是 ( ) A增函数 B减函数 C先增后减 D先减后增 解析 y y 0， ) 上都是减函数， ， x 0， 1， ， x 1， x) 12 |x|， x 1或 x1 ，12， 10 (a 是常数且 a0)对于下列命题： 函数 f(x)的最小值是 1； 函数 f(x)在 R 上是单调函数； 若 f(x)0 在 12， 上恒成立，则 a 的取值范围是 a1； 对任意的 12， 上恒成立，则 2a12 10， a1，故 正确；由图象可知在 ( ， 0)上对任意的 a1) 的单调区间 解 当 a1 时，函数 y 0， ) 上是减函数，在区间 ( ， 0上是增函数； 当 0 ，则 f( f( a， 由 x2 ，得 16， 要使 f(x)在区间 2， ) 上是增函数， 只需 f( f( 恒成立，则 a16. 13已知函数 f(x) a2 x b3 x，其中常数 a， b 满足 . (1)若 ，判断函数 f(x)的单调性； (2)若 x)时的 x 的取值范围 解 (1)当 a0， b0 时，因为 a2 x， b3 调递增，所以函数 f(x)单调递增；当 (i)当 ， 32 x 解得 x ( a0， ， f(x)1. (1)求证： f(x)是 R 上的增函数； (2)若 f(4) 5，解不等式 f(3m 2)0， f(1. f( f( f( f( f( f( 1 f( f( 10. f(f(即 f(x)是 R 上的增函数 (2) f(4) f(2 2) f(2) f(2) 1 5， f(2) 3， 原不等式可化为 f(3m 2)f(2)， f(x)是 R 上的增函数， 3m 22， 解得 1m43，故解集为 1， 43 . 1 第 3 讲 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1设 f(x)为定义在 R 上的奇函数当 x0 时， f(x) 2x 2x b(b 为常数 )，则 f( 1)等于 ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 解析 由 f( 0) f(0)，即 f(0) 0.则 b 1， f(x) 2x 2x 1， f( 1) f(1) 3. 答案 D 2已知定义在 R 上的奇函数， f(x)满足 f(x 2) f(x)，则 f(6)的值为 ( ) A 1 B 0 C 1 D 2 解析 (构造法 )构造函数 f(x) 2x，则有 f(x 2) 2 x 2x f(x)，所以 f(x) 2x 是一个满足条件的函数，所以 f(6) 0，故选 B. 答案 B 3定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) f(x 2)，当 x 3,5时， f(x) 2 |x 4|，则下列不等式一定成立的是 ( ) A f 3 f 3 B f()f() 解析 当 x 1,1时， x 4 3,5，由 f(x) f(x 2) f(x 4) 2 |x 4 4| 2 |x|， 显然当 x 1,0时， f(x)为增函数；当 x 0,1时， f(x)为减函数， 12，3 32 12，又 f 12 f 12 f 32 ，所以 f 3 f 3 . 答案 A 4已知函数 f(x) 1 2 x， x0 ，2x 1， ， f( x) 2 x 1 f(x)；当 是单调函数，则满足 f(2x) f x 1x 4 的所有 x 之和为_ 解析 f(x)是偶函数， f(2x) f x 1x 4 ， f(|2x|) f x 1x 4 ， 又 f(x)在 (0， ) 上为单调函数， |2x| x 1x 4 ， 即 2x x 1x 4或 2x x 1x 4， 整理得 27x 1 0 或 29x 1 0， 设方程 27x 1 0 的两根为 程 29x 1 0 的两根为 则 ( ( 72 92 8. 答案 8 三、解答题 11已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对任意 x， y， f(x)都满足 f( yf(x) xf(y) (1)求 f(1)， f( 1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性 解 (1)因为对定义域内任意 x， y， f(x)满足 f( yf(x) xf(y)，所以令 x y 1，得 f(1) 0，令 x y 1，得 f( 1) 0. (2)令 y 1，有 f( x) f(x) 1)，代入 f( 1) 0 得 f( x) f(x)，所以 f(x)是 ( ， ) 上的奇函数 12已知函数 f(x)对任意 x， y R，都有 f(x y) f(x) f(y)，且 x 0 时， f(x) 0， f(1) 2. 4 (1)求证 f(x)是奇函数； (2)求 f(x)在 3,3上的最大值和最小值 (1)证明 令 x y 0，知 f(0) 0；再令 y x， 则 f(0) f(x) f( x) 0，所以 f(x)为奇函数 (2)解 任取 0，所以 f( f( f( f( f( f( 0，所以 f(x)为减函数而 f(3) f(2 1) f(2) f(1) 3f(1) 6，f( 3) f(3) 6. 所以 f(x)f( 3) 6， f(x)f(3) 6. f(x)是 ( ， ) 上的奇函数，且 f(x)的图象关于 x 1 对称，当 x 0,1时， f(x) 2x 1， (1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x 1,2时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0) f(1) f(2) f(2013)的值 解析 (1)证明 函数 f(x)为奇函数，则 f( x) f(x)，函数 f(x)的图象关于 x 1对称，则 f(2 x) f( x) f(x)，所以 f(4 x) f(2 x) 2 f(2 x) f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数 (2) 当 x 1,2时， 2 x 0,1， 又 f(x)的图象关于 x 1 对称，则 f(x) f(2 x) 22 x 1， x 1,2 (3) f(0) 0， f(1) 1， f(2) 0， f(3) f( 1) f(1) 1 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数 f(0) f(1) f(2) f(2013) f(2 012) f(2 013) f(0) f(1) 1. 14已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x 2) f(x) (1)求证： f(x)是周期函数； (2)若 f(x)为奇函数，且当 0 x1 时， f(x) 12x，求使 f(x) 12在 0,2 014上的所有 x 的个数 (1)证明 f(x 2) f(x)， f(x 4) f(x 2) f(x) f(x)， f(x)是以 4 为周期的周期函数 5 (2)解 当 0 x1 时， f(x) 12x， 设 1 x0 ，则 0 x1 ， f( x) 12( x) 12x. f(x)是奇函数， f( x) f(x)， f(x) 12x，即 f(x) 12x. 故 f(x) 12x( 1 x1) 又设 1x3，则 1x 21， f(x 2) 12(x 2) 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数 f(x 2) f(x 2) f(x)， f(x) 12(x 2)， f(x) 12(x 2)(1x3) f(x) 12x， 1 x1 ， 12 x ， 1x3.由 f(x) 12，解得 x 1. f(x)是以 4 为周期的周期函数， f(x) 12的所有 x 4n 1(n Z) 令 04 n 12 014 ，则 14 n 2 0154 . 又 n Z， 1 n503( n Z)， 在 0,2 014上共有 503 个 x 使 f(x) 12. 1 第 4 讲 指数与指数函数 一、选择题 1函数 y a|x|(a1)的图像是 ( ) 解析 y a|x| x ，a x x 当 x0 时，与指数函数 y ax(a1)的图像相同；当 x ，则 f(9) f(0) ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 f(9) 2， f(0) 20 1， f(9) f(0) 3. 答案 D 3不论 数 y (a 1)2x 这个定点的坐标是 ( ) A. 1， 12 B. 1， 12 C. 1， 12 D. 1， 12 解析 y (a 1)2x a 2x 12 2x，令 2x 12 0，得 x 1，则函数 y (a 1)2x 1， 12 . 答案 C 4定义运算： a*b a， a b，b， ab， 如 1*2=1,则函数 f(x) =2x *2( ) A R B (0， ) 2 C (0,1 D 1， ) 解析 f(x) 2x*2 x 2x， x0 ，2 x， x0， f(x)在 ( ， 0上是增函数，在 (0， ) 上是减函数， 01， b0，且 a b 2 2，则 a ) A. 6 B 2或 2 C 2 D 2 解析 (a b)2 8a 2b 6， (a b)2 a 2b 2 4. 又 aba b(a1， b0)， a b 2. 答案 D 6若函数 f(x) (k 1)a x(a0 且 a1) 在 R 上既是奇函数，又是减函数，则 g(x)x k)的图象是下图中的 ( ) 解析 函数 f(x) (k 1)a f(0) 0，即 (k 1)0，解得 k 2，所以 f(x) a x，又 f(x) a 00，且 a1) 有两个零点，则实数 _ 解析 令 x a 0即 x a， 若 01， y y x 答案 (1， ) 10已知 f(x) g(x) 12 x m，若对 1,3， 0,2， f( g(则实数 _ 解析 1,3时， f( 0,9， 0,2时， g( 12 2 m， 12 0 m ，即 g( 14 m， 1 m ，要使 1,3， 0,2， f( g(只需 f(x)g(x) 0 14 m，故 m 14. 答案 14， 三、解答题 11已知函数 f(x) 2x 12x 1. (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)求证 f(x)在 (1)解 因为函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x) 2x 12x 1 122x 1，所以 f( x) f(x)1 22 x 1 1 22x 1 2 22x 122 x 1 2 22x 122 1 2x2x 1 2 2 0，即 f( x) f(x)，所以 f(x)是奇函数 4 (2)证明 设 R，且 10， f(， a1) 的图象经过点 A(1,6)， B(3,24) (1)求 f(x)； (2)若不等式 (1a)x (1b)x m0 在 x ( ， 1时恒成立，求实数 解析 (1)把 A(1,6)， B(3,24)代入 f(x) b 6 4 b 结合 a0且 a1 ，解得 a 2，b 3. f(x) 32 x. (2)要使 (12)x (13)x ， 1上恒成立， 只需保证函数 y (12)x (13) ， 1上的最小值不小于 函 数 y (12)x (13) ， 1上为减函数， 当 x 1时， y (12)x (13)6. 只需 m 56即可 ， 56 13已知函数 f(x) 13 4x 3. (1)若 a 1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)有最大值 3，求 解析 (1)当 a 1时， f(x) 13 4x 3， 令 t 4x 3， 由于 t(x)在 ( ， 2)上单调递增，在 2， ) 上单调递减， 而 y 13 上单调递减， 所以 f(x)在 ( ， 2)上单调递减，在 2， ) 上单调递增， 即函数 f(x)的递增区间是 2， ) ，递减区间是 ( ， 2) 5 (2)令 h(x) 4x 3， f(x) 13 h(x)， 由于 f(x)有最大值 3， 所以 h(x)应有最小值 1， 因此必有 a0，12a 164a 1，解得 a 1. 即当 f(x)有最大值 3时， . 14已知定义在 R 上的函数 f(x) 2x 12|x|. (1)若 f(x) 32，求 (2)若 2t) mf(t) 0对于 t 1,2恒成立，求实数 解 (1)当 x 1. (2)当 t 1,2时， 2t 22t 122t m 2t 12t 0 ， 即 m(22t 1) (24t 1)， 22t 10， m (22t 1)， t 1,2， (22t 1) 17， 5， 故 5， ) 1 第 5 讲 对数与对数函数 一、选择题 1已知实数 a b 12 0， c a， b， c 的大小关系为 ( ) A b 12 0 1， c 4 0，得 10 且 a1) 满足对任意的 实数 a 的取值范围为 ( ) A (0,1)(1,3) B (1,3) C (0,1)(1,2 3) D (1,2 3) 解析 “ 对任意的 实质上就是 “ 函数单调递减 ”的 “ 伪装 ” ，同时还隐含了 “ f(x)有意义 ” 事实上由于 g(x) 3 在 x 而 a1，g 0. 由此得 a 的取值范围为 (1,2 3)故选 D. 答案 D 6已知函数 f(x) |lg x|，若 C. 答案 C 二、填空题 7对任意非零实数 a， b，若 ab 的运算原理如图所示，则 ( 13 2 _. 解析 框图的实质是分段函数， 3， 13 2 9，由框图可以看出输出 9 3 3. 答案 3. 8设 g(x) x0 ，ln x， x 0， 则 gg12 _. 解析 g 12 2 0， g g 12 g 2. 3 答案 12 9已知集合 A x|2， B (， a)，若 AB，则实数 a 的取值范围是 (c， )，其中 c _. 解析 2， 0 x AB， a 4， c 4. 答案 4 10对于任意实数 x，符号 x表示 x 的整数部分，即 x是不超过 x 的最大整数在实数轴R(箭头向右 )上 x是在点 x 左侧的第一个整数点，当 x 是整数时 x就是 x叫做 “ 取整函数 ” ，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用那么 _. 解析 当 1 n2 时， 0，当 3 得 所以 a 的取值范围是 ( ， 1) (2， ) 12若函数 y 4x 定义域为 M.当 x M 时，求 f(x) 2x 2 3 4x 的值 解 y 4x 3 4x 0， 4 解得 x 1 或 x 3， M x|x 1，或 x 3， f(x) 2x 2 3 4x 4 2x 3 (2x)2. 令 2x t， x 1 或 x 3， t 8 或 0 t 2. f(t) 4t 3 3 t 23 2 43(t 8 或 0 t 2) 由二次函数性质可知： 当 0 t 2 时， f(t) 0， 43 ， 当 t 8 时， f(t) (， 160)， 当 2x t 23，即 x 3时， f(x)43. 综上可知：当 x 3时， f(x)取到最大值为 43，无最小值 13已知函数 f(x) b(a 0， b 0， a 1) (1)求 f(x)的定义域； (2)讨论 f(x)的奇偶性； (3)讨论 f(x)的单调性； 解 (1)令 x b 0， 解得 f(x)的定义域为 (， b) (b， ) (2)因 f( x) x b x b x b 1 b f(x)， 故 f(x)是奇函数 (3)令 u(x) x b，则函数 u(x) 1 2， b)和 (b， )上是减函数，所以当 0 a 1 时， f(x)在 (， b)和 (b， )上是增函数；当 a 1 时， f(x)在 (， b)和 (b， )上是减函数 14已知函数 f(x) 1x 1， (a0，且 a1) (1)求函数的定义域，并证明： f(x) 1x 1在定义域上是奇函数； (2)对于 x 2,4， f(x) 1x 12 x 恒成立，求 m 的取值范围 解 (1)由 x 1x 10，解得 5 函数的定义域为 ( ， 1) (1， ) 当 x ( ， 1) (1， ) 时， f( x) x 1 x 1 1x 1 x 1x 1 11x 1 f(x)， f(x) 1x 1在定义域上是奇函数 (2)由 x 2,4时， f(x) 1x 12 x 恒成立， 当 a1 时， x 1x 1 2 x 0 对 x 2,4恒成立 00. y g(x)在区间 2,4上是增函数， g(x)g(2) 15. 02 x 恒成立， x 1x 1(x 1)(x 1)(7 x)在 x 2,4恒成立 设 g(x) (x 1)(x 1)(7 x)， x 2,4， 由 可知 y g(x)在区间 2,4上是增函数， g(x)g(4) 45， m45. m 的取值范围是 (0,15) (45， ). 1 第 6 讲 幂函数与二次函数 一、选择题 1已知幂函数 y f(x)的图像经过点 4， 12 ，则 f(2) ( ) B 4 C. 22 D. 2 解析 设 f(x) 因为图像过点 4， 12 ，代入解析式得： 12， f(2) 2 12 22 . 答案 C 2若函数 f(x)是幂函数，且满足 3，则 f(12)的值为 ( ) A 3 B 13 C 3 析 设 f(x) 则由 3，得 42 3. 2 3， f(12) (12) 12 13. 答案 D 3已知函数 f(x) 1， g(x) 4x 3，若有 f(a) g(b)，则 b 的取值范围为 ( ) A 2 2， 2 2 B (2 2， 2 2) C 1,3 D (1,3) 解析 f(a) g(b)1 4b 3 4b 2 成立，故 4b 20，解得 2 20，x 1， x0 ， 若 f(a) f(1) 0，则实数 a 的值等于 ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 解析 f(a) f(1) 0f(a) 2 0 a0，2a 2 0 或 a0 ，a 1 2 0， 解得 a 3. 答案 A 2 5 f(x) c(a0) 的图象关于直线 x 此可推测，对任意的非零实数 a， b， c， m， n， p，关于 x 的方程 mf(x)2 nf(x) p 0 的解集都不可能是 ( ) A 1,2 B 1,4 C 1,2,3,4 D 1,4,16,64 解析 设关于 f(x)的方程 mf(x)2 nf(x) p 0 有两根，即 f(x) f(x) 而 f(x) c 的图象关于 x 而 f(x) f(x) 选项 D 中 4 162 1 642 . 答案 D 6二次函数 f(x) c， a 为正整数， c1 ， a b c1 ，方程 c 0 有两个小于 1 的不等正根，则 a 的最小值是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 解析 由题意得 f(0) c1 ， f(1) a b c1. 当 a 越大， y f(x)的开口越小，当 y f(x)的开口越大，而 y f(x)的开口最大时， y f(x)过 (0,1)， (1,1)，则 c 1， a b c b 0， a b， 12，又 4， a(a 4)0， a4，由于 a 的最小值为 5. 答案 C 二、 填空题 7对于函数 y y 下列说法： 两个函数都是幂函数； 两个函数在第一象限内都单调递增； 它们的图像关于直线 y x 对称； 两个函数都是偶函数； 两个函数都经过点 (0,0)、 (1,1)； 两个函数的图像都是抛物线型 其中正确的有 _ 解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较 答案 8若二次函数 f(x) 4x c 的值域为 0， ) ，则 a， c 满足的条件是 _ 解析 由已知 得 a0，4164a 0 a0，4 0. 答案 a0， 4 9方程 1 0的两根为 、 ，且 0,1 2，则实数 _ 3 解析 m， 1， m 1 . (1,2)且函数 m 1 在 (1,2)上是增函数， 1 1 m 2 12，即 m 2， 52 . 答案 2， 52 10已知 f(x) m(x 2m)(x m 3)， g(x) 2x x R， f(x)1 时， g(x)0，当 x 1 时， g(x) 0， m 0 不符合要求；当 m0 时，根据函数 f(x)和函数 g(x)的单调性，一定存在区间 a， ) 使 f(x)0 且g(x)0 ，故 m0 时不符合第 条的要求；当 实数 a 的取值范围 解 不等式 2x 20 等价于 a2x 2 设 g(x) 2x 2 x (1,4)，则 g( x) 2x 24 2x x 当 10，当 212， 5 因此实数 a 的取值范围是 12， . 14已知函数 f(x) x k 2(k Z)满足 f(2)0，使函数 g(x) 1 qf(x) (2q1)x 在区间 1,2上的值域为 4， 178 ？若存在，求出 q；若不存在，请说明理由 解 (1) f(2)0，解得 10 满足题设，由 (1)知 g(x) (2q 1)x 1， x 1,2 g(2) 1， 两个最值点只能在端点 ( 1， g( 1)和顶点 2q 12q ， 414q 处取得而414q g( 1)414q (2 3q)q 24q 0 ， g(x)14q 178 ， g(x)g( 1) 2 3q 4. 解得 q 2， 存在 q 2 满足题意 1 第 7 讲 函数图象 一、选择题 1函数 y |x|与 y 1在同一坐标系上的图像为 ( ) 解析 因为 |x| 1，所以函数 y |x|的图像在函数 y 1图像的下方，排除C、 D，当 x 时， 1| x|，排除 B，故选 A. 答案 A 2函数 y 11 y 2 x( 2 x4) 的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A 2 B 4 C 6 D 8 解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题两个函数都是中心对称图形 如上图，两个函数图象都关于点 (1,0)成中心对称，两个图象在 2,4上共 8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为 2，故所有交点的横坐标之和为 8. 答案 D 3已知函数 f(x) 1e x x 20，则 f(t)0，故选 B. 答案 B 4如图，正方形 顶点 A 0， 22 ， B 22 ， 0 ，顶点 C、 D 位于第一象限，直线 l： x t(0 t 2)将正方形 位于直线 f(t)，则函数 S f(t)的图象大致是 ( ) 解析 当直线 时，面积增加得越来越快；当直线 平移到点C 时，面积增加得越来越慢故选 C. 答案 C 5给出四个函数，分别满足 f(x y) f(x) f(y)， g(x y) g(x) g(y)， h(x y) h(x) h(y)， m(x y) m(x) m(y) 又给出四个函数的图象 ， 那么正确的匹配方案可以是 ( ) A 甲， 乙， 丙， 丁 B 乙， 丙， 甲， 丁 C 丙， 甲， 乙， 丁 D 丁， 甲， 乙， 丙 解析 图象甲是一个指数函数的图象，它应满足 ；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足 ；图象丁是 y 足 . 答案 D 3 6如右图，已知正四棱锥 S ，点 点 两部分记 x(00， 图，要使在 (1,2)上， f1(x) (x 1)2的图象在 f2(x) 只需 ) )， 即 (2 1)2 ， 1 a2. 1,2 7 14已知函数 f(x) x|m x|(x R)，且 f(4) 0. (1)求实数 (2)作出函数 f(x)的图 象并判断其零点个数； (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式 f(x)0的解集； (5)求集合 M m|使方程 f(x) 解 (1) f(4) 0， 4|m 4| 0，即 m 4. (2) f(x) x|m x| x|4 x| x x ， x4 ， x x ， x|04 (5)由图象可知若 y f(x)与 y m 的图象有三个不同的交点，则 0m4， 集合 Mm|0m4 1 第 8 讲 函数与方程 一、选择题 1 “ a0，f(2) 3 2 解得 a3 或 得其中一个零点 _，第二次应计算 _ 解析 f(x) 3x 1是 f(0)0，则 f(x)在 x (0,存在零点，且第二次验证时需验证 f(符号 3 答案 (0,f(8函数 f(x) x 1， x 0，x0， 则函数 y ff(x) 1 的所有零点所构成的集合为_ 解析 本题即求方程 ff(x) 1 的所有根的集合，先解方程 f(t) 1，即 t0 ，t 1 1 或 t0， 1， 得 t 2 或 tf(x) 2 和 f(x)12. 即 x0 ，x 1 2 或 x0， 2 和 x0 ，x 1 12 或 x0，12. 得 x 3 或 x 14和 x 12或 x 2. 答案 3， 12， 14， 2 9已知函数 f(x) 2x a 有零点，则 a 的取值范围是 _ 解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程 2x a 0 有解问题，即方程 a 2x函数 g(x) 2x g( x) 2 g( x) 0，得 x ，所以 g(x)在 ( ， )上是增函数，在 (， ) 上是减函数，所以 g(x)的最大值为： g() 2 a 的取值范围就是函数 g(x)的值域 ，所以， a ( ， 2 2 答案 ( ， 2 2 10若直角坐标平面内两点 P， Q 满足条件： P、 Q 都在函数 f(x)的图象上； P、 Q 关于原点对称，则称点对 (P、 Q)是函数 f(x)的一个 “ 友好点对 ”( 点对 (P、 Q)与点对 (Q， P)看作同一个 “ 友好点对 ”) 已知函数 f(x) 24x 1， 函数 f(x)的 “ 友好点对 ” ，则 y 2 y 2( x)2 4( x) 1 24x 1， 224x 1 0，在同一坐标系中作函数 2 2x 1 的图象， 以 f(x)有 2 个 “ 友好点对 ” ，故填 2. 答案 2 三、解答题 4 11设函数 f(x) 1 1x (x0) (1)作出函数 f(x)的图象； (2)当 00) (1)若 g(x) m 有零点，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x) f(x) 0 有两个相异实根 解 (1)法一： g(x) x 2e， 等号成立 的条件是 x e， 故 g(x)的值域是 2e， ) ， 因而只需 m2e ，则 g(x) m 就有零点 法二：作出 g(x) x x0)的大致图象如图： 可知若使 g(x) m 有零点， 则只需 m2e. 法三：由 g(x) m 得 0. 此方程有大于零的根， 6 故 4等价于 e 或 m 2e ， 故 m2e. (2)若 g(x) f(x) 0 有两个相异的实根，即 g(x)与 f(x) 的图象有两个不同的交点，作出 g(x) x x0)的大致图象 f(x) 2m 1 (x e)2 m 1 其图象的对称轴为 x e，开口向下，最大值为 m 1 故当 m 1 e， 即 m 2e 1 时， g(x)与 f(x)有两个交点， 即 g(x) f(x) 0 有两个相异实根 m 的取值范围 是 ( 2e 1， ) 1 第 9 讲 函数的应用 一、选择题 1在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 专家预测经过 y 倍，则函数 y f(x)的图象大致为 ( ) 解析 由题意可得 y (1 x. 答案 D 2 甲、乙两人沿同一方向去 B 地，途中都使用两种不同的速度 1 2 1 2, ( )v v v v 甲一半路程使用速度 1v ，另一半路程使用速度 2v ，乙一半时间使用速度 1v ，另一半时间使用速度 2v ，甲、乙两人从 A 地到 B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中 4 个不同的图示分析 （其中横轴 t 表示时间，纵轴 S 表示路程），其中正确的图示分析为（ ） A (1) B (3) C (1)或 (4) D. (1)或 (2) （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 解析 根据题目描述分析图像可知 D 正确 答案 D 3某公司在甲、乙两地销售 一种品牌车，利润 (单位：万元 )分别为 2x，其中 x 为销售量 (单位：辆 )若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得最大利润为 ( ) A 元 B 元 S t t t 2 C 元 D 元 解析 依题意可设甲销售 乙销售 (15 x)辆，总利润 S 总利润 S 2(15 x) 30 x 30(x0) ， 当 x 10 时， 元 ) 答案 B 4某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润 y(单位： 10 万元 )与营运年数 x(x N*)为二次函数关系 (如图所示 )，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 解析 由题图可得营运总利润 y (x 6)2 11，则营运的年平均利润 x 25x 12， x N*， 2 x 25x 12 2， 当且仅当 x 25x ，即 x 5 时取 “ ” x 5 时营运的年平均利润最大 答案 C 5一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个 “E” 形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为 x， y 剪去部分的面积为 20，若2 x10 ，记 y f(x)，则 y f(x)的图象是 ( ) 解析 由题意得 220，即 y 10x ，当 x 2 时， y 5，当 x 10 时， y 1 时，排除 C，D，又 2 x10 ，排除 B. 答案 A 6某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片 (如图中阴影部分 )备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 3 x、 y 应为 ( ) A x 15， y 12 B x 12， y 15 C x 14， y 10 D x 10， y 14 解析 由三角形相似得 24 8 得 x 54(24 y)， S 54(y 12)2 180， 当 y 12 时， S 有最大值，此时 x 15. 答案 A 二、填空题 7为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文 加密 密文 发送 密文 解密 明文 已知加密为 y 2(x 为明文， y 为密文 )，如果明文 “3” 通过加密后得到密文为 “6” ，再发送，接受方通过解密得到明 文 “3” ，若接受方接到密文为 “14” ，则原发的明文是_ 解析 依题意 y 2 中，当 x 3 时， y 6，故 6 2，解得 a y2x 2，因此，当 y 14 时，由 14 2x 2，解得 x 4. 答案 4 8某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件，根据市场预测，销售价
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