【步步高】(广东专用)2016高考数学一轮复习 第六章 第1-5讲 文
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【步步高】(广东专用)2016高考数学一轮复习 第六章 第1-5讲 文,步步高,广东,专用,高考,数学,一轮,复习,温习,第六
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1 第六章 数 列 第 1 讲 数列的概念与简单表示法 一、选择题 1数列 1, 58, 715, 924, 的一个通项公式是 ( ) A ( 1)n 12n 1n(n N ) B ( 1)n 12n 13n(n N ) C ( 1)n 12n 12n(n N ) D ( 1)n 12n 12n(n N ) 解析 观 察数列 项,可写成: 313 , 524 , 735 , 946 ,故选 D. 答案 D 2把 1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形 (如图所示 ) 则第七个三角形数是 ( ) A 27 B 28 C 29 D 30 解析 观察三角形数的增长规律,可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号,所以根据这个规律计算即可根据三角形数的增长规律 可知第七个三角形数是 1 2 3 4 5 6 7 28. 答案 B 3已知数列 前 n 项和为 21(n N*),则 ( ) A 16 B 16 C 31 D 32 解析 当 n 1 时, 21, 1, 又 1 21 1(n2) , 1 2(1) 1 2. 12 n 1, 24 16. 答案 B 2 4将石子摆成如图的梯形形状 ,称数列 5,9,14,20, 为梯形数,根据图形的构成,此数列的第 2 014 项与 5 的差即 14 5 ( ) A 2 0202 012 B 2 0202 013 C 1 0102 012 D 1 0102 013 解析 结合图形可知,该数列的第 n 项 2 3 4 (n 2)所以 14 5 4 5 2 016 2 0131 010. 故选 D. 答案 D 5在数列 , 229n 3,则此数列最大项的值是 ( ) A 103 D 108 解析 根据题意并结合二次函数的性质可得: 229n 3 2 292n 32 n 294 2 3 8418 , n 7 时, 大项 08. 答案 D 6定义运算 “*” ,对任意 a, b R,满足 a*b b*a; a*0 a; (3)(a*b)*c c*(a*c) (c*b)设数列 通项为 n*1n*0,则数列 ( ) A等差数列 B等比数列 C递增数列 D递减数列 解析 由题意知 n*1n *0 0n 1n (n*0) 01n ) 1 n 1n,显然数列 既不是等差数列也不是等比数列;又函数 y x 11, ) 上为增函数, 所以数列 递增数列 答案 C 二、填空题 7在函数 f(x) x 1,2,3, ,得到一个数列,则这个数列的前 5 项是 _ 答案 1, 2, 3, 2, 5 8已知数列 足 1,且 n(1 n N*),则 _; _. 解析 由 n(1 可得 1n 1n , 3 则 1 12 23 1 n 1n 2 n 2n 3 211 n, 2, ann. 答案 2 n 9已知 f(x)为偶函数, f(2 x) f(2 x),当 2 x0 时, f(x) 2x,若 n N*, f(n),则 13 _. 解析 f(x)为偶函数, f(x) f( x), f(x 2) f(2 x) f(x 2) 故 f(x)周期为 4, 13 f(2 013) f(1) f( 1) 2 1 12. 答案 12 10已知数列 前 n 项和 9n,第 k 项满足 5 8,则 k 的值为 _ 解析 9n, n2 时, 1 2n 10, 8 适合上式, 2n 10(n N*), 5 2k 10 8,得 k 9. k 8. 答案 8 三、解答题 11数列 通项公式是 7n 6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解 (1)当 n 4 时, 42 47 6 6. (2)令 150,即 7n 6 150,解得 n 16,即 150 是这个数列的第 16 项 (3)令 7n 60,解得 n6 或 综上,所求的 a 的取值范围是 9, ) 5 14在等差数列 , 84, 73. (1)求数列 通项公式; (2)对任意 m N*,将数列 落入区间 (9m,92m)内的项的个数记为 数 列 前 m 项和 解 (1)因为 一个等差数列, 所以 384,即 28. 设数列 公差为 d,则 5d 73 28 45,故 d 9. 由 3d 得 28 39 ,即 1. 所以 (n 1)d 1 9(n 1) 9n 8(n N*) (2)对 m N*,若 9m 92m, 则 9m 8 9n 92m 8,因此 9m 1 1 n9 2m 1, 故得 92m 1 9m 1. 于是 (9 93 92m 1) (1 9 9m 1) 8181 1 99 92m 1 109m 180 . 1 第 2 讲 等差数列及其前 n 项和 一、选择题 1 等差数列,公差 d 2, n 项和若 ( ) A 18 B 20 C 22 D 24 解析 由 0, (1 11)d 0 ( 10)( 2) 20. 答案 B 2设等差数列 前 n 项和为 11, 6,则当 n 等于( ) A 6 B 7 C 8 D 9 解析 由 11 6,得 5,从而 d 2,所以 11n n(n 1) 12n (n 6)2 36,因此当 n 6. 答案 A 3已知 等差数列, 105, 99,则 ) A 1 B 1 C 3 D 7 解析 两式相减,可得 3d 6, d 105, 35,所以 7d 35 17 ( 2) 1. 答案 B 4在等差数列 , , 立的 n 的最大值为 ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 解析 依题意得 15,即 ; 8(8( 成立的 n 的最大值是 8,选 C. 答案 C 5设 前 n 项和,若 1,公差 d 2, 2 24,则 k ( ) A 8 B 7 C 6 D 5 解析 由 1,公差 d 2 得通项 2n 1,又 2 1 2,所以 2k 1 2k 3 24,得 k 5. 答案 D 6已知两个等差数列 前 n 项和分别为 n,且 7n 45n 3 ,则使得 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 2 解析 由 7n 45n 3 得: 11 14n 382n 2 7n 19n 1 ,要使 需 7n 19n 1 712n 1为整数,所以 n 1,2,3,5,11,共有 5 个 答案 D 二、填空题 7已知数列 等差数列 , n 项和, 4, 21, 9,则 k _. 解析 2d 4, d 2, 10d 21 20 1, k k k2 2 9.又 k N*,故 k 3. 答案 3 8设等差数列 前 n 项和为 1,则公差为 _ 解析 依题意得 4432 d 46d, 3322 d 33d,于是有 4633 1,由此解得 d 6,即公差为 6. 答案 6 9在等差数列 , 3,11513,则数列 前 _ 解析 (直接法 )设公差为 d,则 11( 3 4d) 5( 3 7d) 13, 所以 d 59,所以数列 递增数列 令 ,所以 3 (n 1) 590 ,所以 n 325 , 又 n N*, 前 6 项均为负值, 所以 293. 答案 293 10设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为 44,偶数项之和为 33,则这个数列的中间项是 _,项数是 _ 解析 设等差数列 项数为 2n 1, S 奇 1 n 12 (n 1)1, S 偶 n 1, 3 n 1n 4433,解得 n 3, 项数 2n 1 7, S 奇 S 偶 1,即 44 33 11 为所求中间项 答案 11 7 三、解答题 11设 d 为实数,首项为 差为 d 的等差数列 前 n 项和为 足 15 0. (1)若 5,求 (2)求 d 的取值范围 解 (1)由题意知 15 3, 8, 所以 510d 5,5d 8. 解得 7,所以 3, 7. (2)因为 15 0,所以 (510d)(615d) 15 0,即 29101 0, 故 (49d)2 8,所以 . 故 d 的取值范围为 d 2 2或 d2 2. 12在等差数列 ,公差 d 0,前 n 项和为 45, 18. (1)求数列 通项公式; (2)令 c(n N*),是否存在一个非零常数 c,使数列 为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由 解 (1)由题设,知 等差数列,且公差 d 0, 则由 45,18, 得 d 2d 45,4d 18. 解得 1,d 4. 4n 3(n N*) (2)由 cn 4n2n c 2n n 12n c , c0 , 可令 c 12,得到 2n. 1 2(n 1) 2n 2(n N*), 数列 公差为 2 的等差数列 即存在一个非零常数 c 12,使数列 为等差数列 4 13在数列 , 8, 2,且满足 2 21. (1)求数列 通项公式; (2)设 |的前 n 项和,求 解 (1)由 21 2 等差数列, 且公差 d 1 2 83 2. (n 1)d 2n 10. (2)令 ,得 n5. 即当 n5 时, , n6 时, . 当 n5 时, | | | 9n; 当 n 6 时, | | | ( ( 2( ( 9n) 2( 52 45) 9n 40, 9n, n5 ,9n 40, n6. 14已知数列 前 n 项和为 n 都成立 (1)求 (2)设 0,数列 n 项和为 n 为何值时, 求出 解 (1)取 n 1,得 2 取 n 2, 得 22 由 , 得 a2( (i)若 0, 由 知 0, ( , 由 知 1. 由 、 解得 , 2 1, 2 2; 或 1 2, 2 2. 综上可得 0, 0; 或 2 1, 2 2; 或 1 2, 2 2. (2)当 0 时,由 (1)知 2 1, 2 2. 当 n2 时,有 (2 2)(2 2)1 1, 所以 (1 2)(2 2)1,即 21(n2) , 所以 2)n 1 ( 2 1)( 2)n 1. 5 令 则 1 2)n 1 1 12(n 1) 121, 所以数列 单调递减的等差数列 (公差为 12), 从而 0, 当 n8 时, 1212 0, 故 n 7 时, 1 2 7 212. 1 第 3 讲 等比数列及其前 n 项和 一、选择题 1. 2 1 与 2 1 两数的等比中项是 ( ) A 1 B 1 C 1 析 设等比中项为 x, 则 ( 2 1)( 2 1) 1,即 x 1. 答案 C 2设 任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X, Y, Z,则下列等式中恒成立的是 ( ) A X Z 2Y B Y(Y X) Z(Z X) C D Y(Y X) X(Z X) 解析 (特例法 )取等比数列 1,2,4,令 n 1 得 X 1, Y 3, Z 7 代入验算,选 D. 答案 D 3已知等比数列 递增数列若 ,且 2(2) 51,则数列 公比 q( ) A 2 C 2 或 12 D 3 解析 2(2) 51, 225 化简得, 25q 2 0,由题意知, q1. q 2. 答案 A 4在正项等比数列 , n 项和若 1, 8,则 ( ) A 8 B 15( 2 1) C 15( 2 1) D 15(1 2) 解析 8, 8, q 2, 1 q 15( 2 1) 答案 B 5已知等比数列 前 n 项和 t5 n 2 15,则实数 t 的值为 ( ) A 4 B 5 2 解析 15t 15, 45t, 4t, 由 等比数列知 45t 2 15t 15 4 t,显然 t0 ,所以 t 5. 答案 B 6在由正数组成的等比数列 ,若 3 ,则 值为 ( ) B. 32 C 1 D 32 解析 因为 3 以 3 3. 7 73 ,所以 32 . 答案 B 二、填空题 7设 1 中 q 的等比数列, 等差数列, 则 q 的最小值是 _ 解析 设 t,则 1 t q t 1 t 2 于 t1 ,所以 qt, t 1,3 t 2故 q 的最小值是 3 3. 答案 3 3 8在等比数列 ,若公比 q 4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 _. 解析 由题意知 41621,解得 1, 所以数列 通项公式 4n 1. 答案 4n 1 9设 f(x)是定义在 R 上恒不 为零的函数,且对任意的实数 x, y R,都有 f(x) f(y) f(x y),若 12, f(n)(n N*),则数列 前 n 项和 _ 解析 由已知可得 f(1) 12, f(2) f(1)2 12 2, f(3) f(2) f(1)f(1)3 12 3, , f(n) f(1)n 12 n, 3 12 12 2 12 3 12 n 1211212 1 12 n, n N*, 12 其中真命题的序号是 _(写出所有真命题的序号 ) 解析 对于 ,注意到 12 112 12 1 12 此数列 12 等比数列, 正确对于 , 13,因此 正确对于 ,注意到 n n2 d n(n 1)d n n2 d n n2 d,因此 正确对于 , n n2 d, d0 时, 此 不正确综上所述,其中正确命题的序号是 . 答案 三、解答题 11已知等比数列 , 13,公比 q 13. (1)前 n 项和,证明: 1 (2)设 数列 通项公式 解 (1)证明 因为 13 13 n 1 13n, 31 13131 13所以 (2) (1 2 n) n n2 通项 4 公式为 n n2 . 12已知数列 前 n 项和为 数列 , 1(n2) ,且 n. (1)设 1,求证: 等比数列; (2)求数列 通项公式 (1)证明 n, 1 1 n 1, 得 1 1 1, 21 1, 2(1 1) 1, 1 11 12. 首项 1,又 1. 12, 12,公比 q 12. 以 12为首项,公比为 12的等比数列 (2)解 由 (1)可知 12 12 n 1 12 n, 1 1 12 n. 当 n2 时, 1 1 12 n 1 12 n 1 12 n 1 12 n 12 n. 又 12代入上式也符合, 12 n. 13已知两个等比数列 满足 a(a 0), 1, 2, 3. (1)若 a 1,求数列 通项公式; (2)若数列 一,求 a 的值 解 (1)设数列 公比为 q,则 1 a 2, 2 2 q, 3 3 2 q)2 2(3 即 4q 2 0,解得 2 2, 2 2. 所以数列 通项公式为 (2 2)n 1或 (2 2)n 1. (2)设数列 公比为 q,则由 (2 (1 a)(3 得 43a 1 0(*), 由 a 0 得 44a 0,故方程 (*)有两个不同的实根 由数列 一,知方程 (*)必有一根为 0, 5 代入 (*)得 a 13. 14数列 前 n 项和记为 t,点 (1)在直线 y 3x 1 上, n N*. (1)当实数 t 为何值时,数列 等比数列 (2)在 (1)的结论下,设 1, 前 n 项和,求 解 (1) 点 (1)在直线 y 3x 1 上, 1 31, 31 1(n1,且 n N*) 1 3(1) 3 1 4an(n1, n N*), 31 31 3t 1, 当 t 1 时, 4列 等比数列 (2)在 (1)的结论下, 1 41 4n, 1 n, 4n 1 n, (40 1) (41 2) (4n 1 n) (1 4 42 4n 1) (1 2 3 n) 4n 13 n 1 第 4 讲 数列求和 一、选择题 5,1 42 则 项和5S=( ) 解析 15 242 4 51 , 5 5 5 1 522aa a S . 答案 B 2若数列 通项公式是 ( 1)n(3n 2),则 ( ) A 15 B 12 C 12 D 15 解析 设 3n 2,则数列 以 1为首项, 3 为公差的等差数列,所以 ( ( ( ( ( 53 15. 答案 A 3在数列 , 1n n ,若 前 0132 014,则项数 ) A 2 011 B 2 012 C 2 013 D 2 014 解析 1n n 1n 1n 1, 1 1n 1 1 2 0132 014,解得 n 2 013. 答案 C 4数列 足 1 ( 1)2n 1,则 前 60项和为 ( ) A 3 690 B 3 660 C 1 845 D 1 830 解析 当 n 21 4k 1, 当 n 2k 1时, 1 4k 3, 1 1 2, 1 3 2, 1 3, ( ( ( 3 7 11 (430 1) 2 3061 1 830. 答案 D 5. 已知数列 通项公式为 2n 1,令 1n( 则数列 前 10 项和 ( ) A 70 B 75 C 80 D 85 2 解析 由已知 2n 1,得 3, 2n2 n(n 2), 则 n 2, 2 75,故选 B. 答案 B 6数列 足 1 12(n N*),且 1, 前 ( ) B 6 C 10 D 11 解析 依题意得 1 1 2 12,则 2 数列 的奇数项、偶数项分别相等,则 1, ( ( ( 10( 10 12 1 6,故选 B. 答案 B 二、填空题 7在等比数列 ,若 12, 4,则公比 q _; | | |_. 解析 设等比数列 公比为 q,则 入数据解得 8,所以 q 2;等比数列 |的公比为 |q| 2,则 | 122 n 1,所以 | | | | 12(1 2 22 2n 1) 12(2n 1) 2n 1 12. 答案 2 2n 1 12 8等比数列 前 n 2n 1,则 _. 解析 当 n 1时, 1, 当 n2 时, 1 2n 1 (2n 1 1) 2n 1, 又 1适合上式 2n 1, 4n 1. 数列 以 1 为首项,以 4为公比的等比数列 44 13(4n 1) 答案 13(4n 1) 9已知等比数列 , 3, 81,若数列 足 数列 11的前 n _. 3 解析 设等比数列 公比为 q,则 27,解得 q 1 33 n 1 3n,故 n, 所以 11 1n n 1n 1n 1. 则 1 12 12 13 1n 1n 1 1 1n 1 1. 答案 1 10设 f(x) 42,利用倒序相加法,可求得 f111 f211 f1011 的值为 _ 解析 当 1时, f( f( 42 42 24 44 41. 设 S f 111 f 211 f 1011 ,倒序相加有 2S f 111 f 1011 f 211 f 911 f 1011 f 111 10,即 S 5. 答案 5 三、解答题 11等差数列 各项均为正数, 3,前 n, 等比数列, 1,且 64, 960. (1)求 (2)求 11 1解 (1)设 公差为 d, 公比为 q,则 3 (n 1)d, 1. 依题意有 d q 64, 3d 960, 解得 d 2,q 8 或 d 65,q 403.(舍去 ) 故 3 2(n 1) 2n 1, 8n 1. (2)3 5 (2n 1) n(n 2), 所以 11 1113 124 135 1n n 4 12 1 13 12 14 13 15 1n 1n 2 12 1 12 1n 1 1n 2 34 2n 3n n . 12已知数列 前 n,且 1, 1 12Sn(n 1,2,3, ) (1)求数列 通项公式; (2)设 1)时,求数列 11的前 n. 解 (1)由已知得 1 12Sn,121 n ,得到 1 32an(n2) 数列 以 32为公比的等比数列 又 121212, 32 n 2 12 32 n 2(n2) 又 1不适合上式, 1, n 1,1232n 2, n2. (2)1) 32 32 n 1 n. 11 1n n 1n 11 n. 111 11 11 12 12 13 13 14 1n 11 n 1 11 n 1. 13设数列 足 332 3n 1n N*. (1)求数列 通项; 5 (2)设 数列 前 n. 思维启迪: (1)由已知写出前 n 1项之和,两式相减 (2)n3 n与3n之积,可用错位相减法 解 (1) 332 3n 1 当 n2 时, 332 3n 21 n 13 , 得 3n 113, 13n. 在 中,令 n 1,得 13,适合 13n, 13n. (2) n3 n. 3 23 2 33 3 n3 n, 332 23 3 33 4 n3 n 1. 得 2n3 n 1 (3 32 33 3n), 即 2n3 n 1 3 1 33 , n 1 3n 14 34. 探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列 3n 1前 而利用n 1而求得 外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法,但值得注意的是,这种方法运算过程复杂,运算量大,应加强对解题过程的训练,重视运算能力的培养 14将数列 的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 已知表中的第一列数 构成一个等差数列,记为 且 4, 构成数列 其前 n. (1)求数列 通项公式; (2)若上表中,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,公比为同一个正数,且 1. 求 记 M n|(n 1) , n N*,若集合 ,求实数 的取值范围 6 解 (1)设等差数列 公差为 d, 则 d 4,4d 10, 解得 2,d 2, 所以 2n. (2) 设每一行组成的等比数列的公比为 q. 由于前 3 5 (2n 1) 321342, 8, 所以 8 1,所以解得 q 12. 由已知可得 1,因此 2n 12 n 1 2. 所以 12 1 220 321 2, 1220221 n 12n 2 1, 因此 1212 1 120 121 12n 2 1 4 12n 2 1 4 n 22n 1 , 解得 8 n 22n 2 . 由 知 2,不等式 (n 1) ,可化为 n n2n 2 . 设 f(n) n n2n 2 , 计算得 f(1) 4, f(2) f(3) 6, f(4) 5, f(5) 154. 因为 f(n 1) f(n) n 1 , 所以当 n3 时, f(n 1)f(n) 因为集合 ,所以 的取值范围是 (4,5. 1 第 5 讲 数列的综合应用 一、选择题 1已知 等比数列下面结论中正确的是 ( ) A B 若 D若 a3 a4析 设公比为 q,对于选项 A,当 25 的最小 ( ) A 9 B 10 C 11 D 12 解析 因为 1, 1 1(n N*),所以 1 22n 1, 2n 1,则满足 025 的最小 n 值是 11. 答案 C 3某化工厂打算投入一条新的生 产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n) 12n(n 1)(2n 1)吨,但如果年产量超过
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