【步步高】（广东专用）2016高考数学一轮复习 第六章 第1-5讲 文
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【步步高】（广东专用）2016高考数学一轮复习 第六章 第1-5讲 文,步步高,广东,专用,高考,数学,一轮,复习,温习,第六
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1 第六章 数 列 第 1 讲 数列的概念与简单表示法 一、选择题 1数列 1， 58， 715， 924， 的一个通项公式是 ( ) A ( 1)n 12n 1n(n N ) B ( 1)n 12n 13n(n N ) C ( 1)n 12n 12n(n N ) D ( 1)n 12n 12n(n N ) 解析 观 察数列 项，可写成： 313 ， 524 ， 735 ， 946 ，故选 D. 答案 D 2把 1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形 (如图所示 ) 则第七个三角形数是 ( ) A 27 B 28 C 29 D 30 解析 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可根据三角形数的增长规律 可知第七个三角形数是 1 2 3 4 5 6 7 28. 答案 B 3已知数列 前 n 项和为 21(n N*)，则 ( ) A 16 B 16 C 31 D 32 解析 当 n 1 时， 21， 1， 又 1 21 1(n2) ， 1 2(1) 1 2. 12 n 1， 24 16. 答案 B 2 4将石子摆成如图的梯形形状 ，称数列 5,9,14,20， 为梯形数，根据图形的构成，此数列的第 2 014 项与 5 的差即 14 5 ( ) A 2 0202 012 B 2 0202 013 C 1 0102 012 D 1 0102 013 解析 结合图形可知，该数列的第 n 项 2 3 4 (n 2)所以 14 5 4 5 2 016 2 0131 010. 故选 D. 答案 D 5在数列 ， 229n 3，则此数列最大项的值是 ( ) A 103 D 108 解析 根据题意并结合二次函数的性质可得： 229n 3 2 292n 32 n 294 2 3 8418 ， n 7 时， 大项 08. 答案 D 6定义运算 “*” ，对任意 a， b R，满足 a*b b*a； a*0 a； (3)(a*b)*c c*(a*c) (c*b)设数列 通项为 n*1n*0，则数列 ( ) A等差数列 B等比数列 C递增数列 D递减数列 解析 由题意知 n*1n *0 0n 1n (n*0) 01n ) 1 n 1n，显然数列 既不是等差数列也不是等比数列；又函数 y x 11， ) 上为增函数， 所以数列 递增数列 答案 C 二、填空题 7在函数 f(x) x 1,2,3， ，得到一个数列，则这个数列的前 5 项是 _ 答案 1， 2， 3， 2， 5 8已知数列 足 1，且 n(1 n N*)，则 _； _. 解析 由 n(1 可得 1n 1n ， 3 则 1 12 23 1 n 1n 2 n 2n 3 211 n， 2， ann. 答案 2 n 9已知 f(x)为偶函数， f(2 x) f(2 x)，当 2 x0 时， f(x) 2x，若 n N*， f(n)，则 13 _. 解析 f(x)为偶函数， f(x) f( x)， f(x 2) f(2 x) f(x 2) 故 f(x)周期为 4， 13 f(2 013) f(1) f( 1) 2 1 12. 答案 12 10已知数列 前 n 项和 9n，第 k 项满足 5 8，则 k 的值为 _ 解析 9n， n2 时， 1 2n 10， 8 适合上式， 2n 10(n N*)， 5 2k 10 8，得 k 9. k 8. 答案 8 三、解答题 11数列 通项公式是 7n 6. (1)这个数列的第 4 项是多少？ (2)150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当 n 4 时， 42 47 6 6. (2)令 150，即 7n 6 150，解得 n 16，即 150 是这个数列的第 16 项 (3)令 7n 60，解得 n6 或 综上，所求的 a 的取值范围是 9， ) 5 14在等差数列 ， 84， 73. (1)求数列 通项公式； (2)对任意 m N*，将数列 落入区间 (9m,92m)内的项的个数记为 数 列 前 m 项和 解 (1)因为 一个等差数列， 所以 384，即 28. 设数列 公差为 d，则 5d 73 28 45，故 d 9. 由 3d 得 28 39 ，即 1. 所以 (n 1)d 1 9(n 1) 9n 8(n N*) (2)对 m N*，若 9m 92m， 则 9m 8 9n 92m 8，因此 9m 1 1 n9 2m 1， 故得 92m 1 9m 1. 于是 (9 93 92m 1) (1 9 9m 1) 8181 1 99 92m 1 109m 180 . 1 第 2 讲 等差数列及其前 n 项和 一、选择题 1 等差数列，公差 d 2， n 项和若 ( ) A 18 B 20 C 22 D 24 解析 由 0， (1 11)d 0 ( 10)( 2) 20. 答案 B 2设等差数列 前 n 项和为 11， 6，则当 n 等于( ) A 6 B 7 C 8 D 9 解析 由 11 6，得 5，从而 d 2，所以 11n n(n 1) 12n (n 6)2 36，因此当 n 6. 答案 A 3已知 等差数列， 105， 99，则 ) A 1 B 1 C 3 D 7 解析 两式相减，可得 3d 6， d 105， 35，所以 7d 35 17 ( 2) 1. 答案 B 4在等差数列 ， ， 立的 n 的最大值为 ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 解析 依题意得 15，即 ； 8(8( 成立的 n 的最大值是 8，选 C. 答案 C 5设 前 n 项和，若 1，公差 d 2， 2 24，则 k ( ) A 8 B 7 C 6 D 5 解析 由 1，公差 d 2 得通项 2n 1，又 2 1 2，所以 2k 1 2k 3 24，得 k 5. 答案 D 6已知两个等差数列 前 n 项和分别为 n，且 7n 45n 3 ，则使得 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 2 解析 由 7n 45n 3 得： 11 14n 382n 2 7n 19n 1 ，要使 需 7n 19n 1 712n 1为整数，所以 n 1,2,3,5,11，共有 5 个 答案 D 二、填空题 7已知数列 等差数列 ， n 项和， 4， 21， 9，则 k _. 解析 2d 4， d 2， 10d 21 20 1， k k k2 2 9.又 k N*，故 k 3. 答案 3 8设等差数列 前 n 项和为 1，则公差为 _ 解析 依题意得 4432 d 46d， 3322 d 33d，于是有 4633 1，由此解得 d 6，即公差为 6. 答案 6 9在等差数列 ， 3,11513，则数列 前 _ 解析 (直接法 )设公差为 d，则 11( 3 4d) 5( 3 7d) 13， 所以 d 59，所以数列 递增数列 令 ，所以 3 (n 1) 590 ，所以 n 325 ， 又 n N*， 前 6 项均为负值， 所以 293. 答案 293 10设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，则这个数列的中间项是 _，项数是 _ 解析 设等差数列 项数为 2n 1， S 奇 1 n 12 (n 1)1， S 偶 n 1， 3 n 1n 4433，解得 n 3， 项数 2n 1 7， S 奇 S 偶 1，即 44 33 11 为所求中间项 答案 11 7 三、解答题 11设 d 为实数，首项为 差为 d 的等差数列 前 n 项和为 足 15 0. (1)若 5，求 (2)求 d 的取值范围 解 (1)由题意知 15 3， 8， 所以 510d 5，5d 8. 解得 7，所以 3， 7. (2)因为 15 0，所以 (510d)(615d) 15 0，即 29101 0， 故 (49d)2 8，所以 . 故 d 的取值范围为 d 2 2或 d2 2. 12在等差数列 ，公差 d 0，前 n 项和为 45， 18. (1)求数列 通项公式； (2)令 c(n N*)，是否存在一个非零常数 c，使数列 为等差数列？若存在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由 解 (1)由题设，知 等差数列，且公差 d 0， 则由 45，18， 得 d 2d 45，4d 18. 解得 1，d 4. 4n 3(n N*) (2)由 cn 4n2n c 2n n 12n c ， c0 ， 可令 c 12，得到 2n. 1 2(n 1) 2n 2(n N*)， 数列 公差为 2 的等差数列 即存在一个非零常数 c 12，使数列 为等差数列 4 13在数列 ， 8， 2，且满足 2 21. (1)求数列 通项公式； (2)设 |的前 n 项和，求 解 (1)由 21 2 等差数列， 且公差 d 1 2 83 2. (n 1)d 2n 10. (2)令 ，得 n5. 即当 n5 时， ， n6 时， . 当 n5 时， | | | 9n； 当 n 6 时， | | | ( ( 2( ( 9n) 2( 52 45) 9n 40， 9n， n5 ，9n 40， n6. 14已知数列 前 n 项和为 n 都成立 (1)求 (2)设 0，数列 n 项和为 n 为何值时， 求出 解 (1)取 n 1，得 2 取 n 2， 得 22 由 ， 得 a2( (i)若 0， 由 知 0， ( ， 由 知 1. 由 、 解得 ， 2 1， 2 2； 或 1 2， 2 2. 综上可得 0， 0； 或 2 1， 2 2； 或 1 2， 2 2. (2)当 0 时，由 (1)知 2 1， 2 2. 当 n2 时，有 (2 2)(2 2)1 1， 所以 (1 2)(2 2)1，即 21(n2) ， 所以 2)n 1 ( 2 1)( 2)n 1. 5 令 则 1 2)n 1 1 12(n 1) 121， 所以数列 单调递减的等差数列 (公差为 12)， 从而 0， 当 n8 时， 1212 0， 故 n 7 时， 1 2 7 212. 1 第 3 讲 等比数列及其前 n 项和 一、选择题 1. 2 1 与 2 1 两数的等比中项是 ( ) A 1 B 1 C 1 析 设等比中项为 x， 则 ( 2 1)( 2 1) 1，即 x 1. 答案 C 2设 任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X， Y， Z，则下列等式中恒成立的是 ( ) A X Z 2Y B Y(Y X) Z(Z X) C D Y(Y X) X(Z X) 解析 (特例法 )取等比数列 1,2,4，令 n 1 得 X 1， Y 3， Z 7 代入验算，选 D. 答案 D 3已知等比数列 递增数列若 ，且 2(2) 51，则数列 公比 q( ) A 2 C 2 或 12 D 3 解析 2(2) 51， 225 化简得， 25q 2 0，由题意知， q1. q 2. 答案 A 4在正项等比数列 ， n 项和若 1， 8，则 ( ) A 8 B 15( 2 1) C 15( 2 1) D 15(1 2) 解析 8， 8， q 2， 1 q 15( 2 1) 答案 B 5已知等比数列 前 n 项和 t5 n 2 15，则实数 t 的值为 ( ) A 4 B 5 2 解析 15t 15， 45t， 4t， 由 等比数列知 45t 2 15t 15 4 t，显然 t0 ，所以 t 5. 答案 B 6在由正数组成的等比数列 ，若 3 ，则 值为 ( ) B. 32 C 1 D 32 解析 因为 3 以 3 3. 7 73 ，所以 32 . 答案 B 二、填空题 7设 1 中 q 的等比数列， 等差数列， 则 q 的最小值是 _ 解析 设 t，则 1 t q t 1 t 2 于 t1 ，所以 qt， t 1，3 t 2故 q 的最小值是 3 3. 答案 3 3 8在等比数列 ，若公比 q 4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 _. 解析 由题意知 41621，解得 1， 所以数列 通项公式 4n 1. 答案 4n 1 9设 f(x)是定义在 R 上恒不 为零的函数，且对任意的实数 x， y R，都有 f(x) f(y) f(x y)，若 12， f(n)(n N*)，则数列 前 n 项和 _ 解析 由已知可得 f(1) 12， f(2) f(1)2 12 2， f(3) f(2) f(1)f(1)3 12 3， ， f(n) f(1)n 12 n， 3 12 12 2 12 3 12 n 1211212 1 12 n， n N*， 12 其中真命题的序号是 _(写出所有真命题的序号 ) 解析 对于 ，注意到 12 112 12 1 12 此数列 12 等比数列， 正确对于 ， 13，因此 正确对于 ，注意到 n n2 d n(n 1)d n n2 d n n2 d，因此 正确对于 ， n n2 d， d0 时， 此 不正确综上所述，其中正确命题的序号是 . 答案 三、解答题 11已知等比数列 ， 13，公比 q 13. (1)前 n 项和，证明： 1 (2)设 数列 通项公式 解 (1)证明 因为 13 13 n 1 13n， 31 13131 13所以 (2) (1 2 n) n n2 通项 4 公式为 n n2 . 12已知数列 前 n 项和为 数列 ， 1(n2) ，且 n. (1)设 1，求证： 等比数列； (2)求数列 通项公式 (1)证明 n， 1 1 n 1， 得 1 1 1， 21 1， 2(1 1) 1， 1 11 12. 首项 1，又 1. 12， 12，公比 q 12. 以 12为首项，公比为 12的等比数列 (2)解 由 (1)可知 12 12 n 1 12 n， 1 1 12 n. 当 n2 时， 1 1 12 n 1 12 n 1 12 n 1 12 n 12 n. 又 12代入上式也符合， 12 n. 13已知两个等比数列 满足 a(a 0)， 1， 2， 3. (1)若 a 1，求数列 通项公式； (2)若数列 一，求 a 的值 解 (1)设数列 公比为 q，则 1 a 2， 2 2 q， 3 3 2 q)2 2(3 即 4q 2 0，解得 2 2， 2 2. 所以数列 通项公式为 (2 2)n 1或 (2 2)n 1. (2)设数列 公比为 q，则由 (2 (1 a)(3 得 43a 1 0(*)， 由 a 0 得 44a 0，故方程 (*)有两个不同的实根 由数列 一，知方程 (*)必有一根为 0， 5 代入 (*)得 a 13. 14数列 前 n 项和记为 t，点 (1)在直线 y 3x 1 上， n N*. (1)当实数 t 为何值时，数列 等比数列 (2)在 (1)的结论下，设 1， 前 n 项和，求 解 (1) 点 (1)在直线 y 3x 1 上， 1 31， 31 1(n1，且 n N*) 1 3(1) 3 1 4an(n1， n N*)， 31 31 3t 1， 当 t 1 时， 4列 等比数列 (2)在 (1)的结论下， 1 41 4n， 1 n， 4n 1 n， (40 1) (41 2) (4n 1 n) (1 4 42 4n 1) (1 2 3 n) 4n 13 n 1 第 4 讲 数列求和 一、选择题 5,1 42 则 项和5S=( ) 解析 15 242 4 51 , 5 5 5 1 522aa a S . 答案 B 2若数列 通项公式是 ( 1)n(3n 2)，则 ( ) A 15 B 12 C 12 D 15 解析 设 3n 2，则数列 以 1为首项， 3 为公差的等差数列，所以 ( ( ( ( ( 53 15. 答案 A 3在数列 ， 1n n ，若 前 0132 014，则项数 ) A 2 011 B 2 012 C 2 013 D 2 014 解析 1n n 1n 1n 1， 1 1n 1 1 2 0132 014，解得 n 2 013. 答案 C 4数列 足 1 ( 1)2n 1，则 前 60项和为 ( ) A 3 690 B 3 660 C 1 845 D 1 830 解析 当 n 21 4k 1， 当 n 2k 1时， 1 4k 3， 1 1 2， 1 3 2， 1 3， ( ( ( 3 7 11 (430 1) 2 3061 1 830. 答案 D 5. 已知数列 通项公式为 2n 1，令 1n( 则数列 前 10 项和 ( ) A 70 B 75 C 80 D 85 2 解析 由已知 2n 1，得 3， 2n2 n(n 2)， 则 n 2， 2 75，故选 B. 答案 B 6数列 足 1 12(n N*)，且 1， 前 ( ) B 6 C 10 D 11 解析 依题意得 1 1 2 12，则 2 数列 的奇数项、偶数项分别相等，则 1， ( ( ( 10( 10 12 1 6，故选 B. 答案 B 二、填空题 7在等比数列 ，若 12， 4，则公比 q _； | | |_. 解析 设等比数列 公比为 q，则 入数据解得 8，所以 q 2；等比数列 |的公比为 |q| 2，则 | 122 n 1，所以 | | | | 12(1 2 22 2n 1) 12(2n 1) 2n 1 12. 答案 2 2n 1 12 8等比数列 前 n 2n 1，则 _. 解析 当 n 1时， 1， 当 n2 时， 1 2n 1 (2n 1 1) 2n 1， 又 1适合上式 2n 1， 4n 1. 数列 以 1 为首项，以 4为公比的等比数列 44 13(4n 1) 答案 13(4n 1) 9已知等比数列 ， 3， 81，若数列 足 数列 11的前 n _. 3 解析 设等比数列 公比为 q，则 27，解得 q 1 33 n 1 3n，故 n， 所以 11 1n n 1n 1n 1. 则 1 12 12 13 1n 1n 1 1 1n 1 1. 答案 1 10设 f(x) 42，利用倒序相加法，可求得 f111 f211 f1011 的值为 _ 解析 当 1时， f( f( 42 42 24 44 41. 设 S f 111 f 211 f 1011 ，倒序相加有 2S f 111 f 1011 f 211 f 911 f 1011 f 111 10，即 S 5. 答案 5 三、解答题 11等差数列 各项均为正数， 3，前 n， 等比数列， 1，且 64， 960. (1)求 (2)求 11 1解 (1)设 公差为 d， 公比为 q，则 3 (n 1)d， 1. 依题意有 d q 64， 3d 960， 解得 d 2，q 8 或 d 65，q 403.(舍去 ) 故 3 2(n 1) 2n 1， 8n 1. (2)3 5 (2n 1) n(n 2)， 所以 11 1113 124 135 1n n 4 12 1 13 12 14 13 15 1n 1n 2 12 1 12 1n 1 1n 2 34 2n 3n n . 12已知数列 前 n，且 1， 1 12Sn(n 1,2,3， ) (1)求数列 通项公式； (2)设 1)时，求数列 11的前 n. 解 (1)由已知得 1 12Sn，121 n ，得到 1 32an(n2) 数列 以 32为公比的等比数列 又 121212， 32 n 2 12 32 n 2(n2) 又 1不适合上式， 1， n 1，1232n 2， n2. (2)1) 32 32 n 1 n. 11 1n n 1n 11 n. 111 11 11 12 12 13 13 14 1n 11 n 1 11 n 1. 13设数列 足 332 3n 1n N*. (1)求数列 通项； 5 (2)设 数列 前 n. 思维启迪： (1)由已知写出前 n 1项之和，两式相减 (2)n3 n与3n之积，可用错位相减法 解 (1) 332 3n 1 当 n2 时， 332 3n 21 n 13 ， 得 3n 113， 13n. 在 中，令 n 1，得 13，适合 13n， 13n. (2) n3 n. 3 23 2 33 3 n3 n， 332 23 3 33 4 n3 n 1. 得 2n3 n 1 (3 32 33 3n)， 即 2n3 n 1 3 1 33 ， n 1 3n 14 34. 探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列 3n 1前 而利用n 1而求得 外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养 14将数列 的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 已知表中的第一列数 构成一个等差数列，记为 且 4， 构成数列 其前 n. (1)求数列 通项公式； (2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且 1. 求 记 M n|(n 1) ， n N*，若集合 ，求实数 的取值范围 6 解 (1)设等差数列 公差为 d， 则 d 4，4d 10， 解得 2，d 2， 所以 2n. (2) 设每一行组成的等比数列的公比为 q. 由于前 3 5 (2n 1) 321342， 8， 所以 8 1，所以解得 q 12. 由已知可得 1，因此 2n 12 n 1 2. 所以 12 1 220 321 2， 1220221 n 12n 2 1， 因此 1212 1 120 121 12n 2 1 4 12n 2 1 4 n 22n 1 ， 解得 8 n 22n 2 . 由 知 2，不等式 (n 1) ，可化为 n n2n 2 . 设 f(n) n n2n 2 ， 计算得 f(1) 4， f(2) f(3) 6， f(4) 5， f(5) 154. 因为 f(n 1) f(n) n 1 ， 所以当 n3 时， f(n 1)f(n) 因为集合 ，所以 的取值范围是 (4,5. 1 第 5 讲 数列的综合应用 一、选择题 1已知 等比数列下面结论中正确的是 ( ) A B 若 D若 a3 a4析 设公比为 q，对于选项 A，当 25 的最小 ( ) A 9 B 10 C 11 D 12 解析 因为 1， 1 1(n N*)，所以 1 22n 1， 2n 1，则满足 025 的最小 n 值是 11. 答案 C 3某化工厂打算投入一条新的生 产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n) 12n(n 1)(2n 1)吨，但如果年产量超过
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