县第三中学八年级数学竞赛训练题(04)

2010 年甘肃省平凉市华亭县第三中学 八年级数学竞赛训练题（04） 2011 菁优网 一、选择题（共 7 小题，每小题 4 分，满分 28 分） 1、若解方程组 得到的 x、y 值都不大于 1，则 k 的取值范围是（ ） +2=12= A、 3kl B、 3kl C、3k1 D、3k1 考点：解一元一次不等式组；解二元一次方程组。 专题：计算题。 分析：先把 k 当做已知，解关于 x、y 的二元一次方程组，求出 x、y 的值，再根据 x、y 值 都不大于 1 得到关于 k 的一元一次不等式组，解此不等式组，求出 k 的取值范围即可 解答：解：解方程组得 ， =1+2 =14 x、 y 值都不大于 1， 可得不等式组 ， 1+2 1 141 解得3k1 故选 D 点评：本题考查的是二元一次方程组及一元一次不等式组的解法，能根据题意得出关于 k 的一元一次不等式组是解答此题的关键 2、计算：（5x 3y2z3） 2（5xy 2） （6x 4y） 0=（ ） A、2x 4y2z5 B、2x 5y2z6 C、5x 5y2z6 D、30x 9y3z6 考点：整式的混合运算。 专题：计算题。 分析：根据运算顺序先算乘方，再算乘除，同级运算按从左到右进行 解答：解：原式=25x 6y4z6（5xy 2）1=5x 5y2z6 故选 C 点评：本题主要考查整式的混合运算，难度不大，熟记运算顺序是解题的关键 3、已知关于 x 的一次方程（3a+8b）x+7=0 无解，则 ab 是（ ） A、正数 B、非正数 C、负数 D、非负数 菁优网 Http:/ 2010 箐优网 考点：解一元一次方程；代数式求值。 专题：计算题。 分析：关于 x 的一次方程（ 3a+8b）x+7=0 无解，当且仅当 3a+8b=0，得 a= ，即 83 ab= b2 83 解答：解：关于 x 的一次方程（3a+8b ）x+7=0 无解 当且仅当 3a+8b=0， a= ，ab= b2， 83 83 b20， b20， 83 故选 B 点评：本题考查了解一元一次方程，非负数的性质 4、 27 的立方根与 的平方根之和是（ ）81 A、0 B、 6 C、0 或 6 D、6 考点：立方根；平方根。 分析：根据立方根的定义求得27 的立方根是3 ，根据平方根的性质， 的平方根是3，81 由此即可得到它们的和 解答：解： 27 的立方根是3 ，而 =9，9 的平方根是 3，81 所以它们的和为 0 或 6 故选 C 点评：此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪 一个数的立方由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根注意一个 数的立方根与原数的性质符号相同 5、已知 ABC 的三边满足 a2+b2+c2abbcac=0，则这个三角形的形状是（ ） A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形 考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方。 专题：计算题。 分析：先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质计算 解答：解：a 2+b2+c2abbcca = （ 2a2+2b2+2c22ab2bc2ca） 12 = （a 22ab+b2）+ （b 22bc+c2）+ （c 22ca+a2） 12 = （a b） 2+（b c） 2+（ca） 2 12 又 a2+b2+c2abbcac=0， （ab） 2+（b c） 2+（ca） 2=0， 12 根据非负数的性质得， （a b） 2=0， （b c） 2=0， （ca） 2=0， 可知 a=b=c，这个三角形是等边三角形 故选 B 点评：此题考查了完全平方公式的应用，根据式子特点，将原式转化为完全平方公式是解 题的关键 6、已知 x+y=7，xy=10 ，则 3x2+3y2=（ ） A、207 B、147 C、117 D、87 考点：完全平方公式。 专题：计算题。 分析：根据 x+y=7，xy=10，由完全平方公式可得：（x+y） 2=x2+y2+2xy，从而可求出答案 解答：解：根据 x+y=7，xy=10， （ x+y） 2=x2+y2+2xy， x2+y2=（x+y） 22xy=4920=29 故 3x2+3y2=293=87 故选 D 点评：本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键要熟记完全平方公式 7、已知 2ay+5b3x 与 b24ya2x 是同类项，那么 x、y 的值是（ ） A、 B、 =1=2 =2=1 C、 D、 =0=3 5 =3=0 考点：同类项；解二元一次方程组。 分析：本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项根 菁优网 Http:/ 2010 箐优网 据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于 x 和 y 的二元一次方程组，再解 方程组求出它们的值 解答：解：由同类项的定义，得 ， +5=23=24 解得 =2=1 故选 B 点评：本题考查同类项的定义、方程思想同类项定义中的两个“相同” ： （1 ）所含字母相同； （2 ）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点解题时注意运用二元一次 方程组求字母的值 二、填空题（共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分） 8、一个两位数的两个数位上的数字之和为 7，若将这两个数字都加上 2，则得到的数是原 数的 2 倍少 3，则这个两位数是 25 考点：二元一次方程组的应用。 专题：数字问题。 分析：由于十位数字和个位数字都是未知的，所以不能直接设所求的两位数，可以设个位 数为 x，十位数为 y，根据两数之和为 7 及两数加 2 后可得到两个关于 xy 的方程，求方程 组的解即可 解答：解：设个位数为 x，十位数为 y，根据题意得： ， +=7+2+10（ +2） =2（ +10） 3 解得： ， =5=2 则这个两位数为 25 故答案为：25 点评：本题考查了二元一次方程组的应用解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出 方程组本题涉及一个常识问题：两位数=10十位数字+个位数字，并且在求两位数或三位 数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是设它各个数位上的数字为未知数 9、如图，OM 是AOB 的平分线，射线 OC 在 BOM 内部，ON 是 BOC 的平分线，已知 AOC=80，那么 MON 的大小等于 40 考点：角的计算；角平分线的定义。 专题：计算题。 分析：设CON= BON=，MOC=y，则 MOB=MOC+BOC=2x+y=AOM，AOC=AOM+ MOC=2x+y+y=2（x+y）=80而 MON=MOC+NOC=x+y，即可求解 解答：解：ON 平分BOC CON=BON 设CON=BON=x，MOC=y 则MOB= MOC+BOC=2x+y 又 OM 平分AOB AOM=BOM=2x+y AOC=AOM+MOC=2x+y+y=2（x+y） AOC=80 2（x+y）=80x+y=40 MON=MOC+NOC=x+y=40 故答案为 40 点评：此题主要利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，难度中等 10、因式分解：4 （x+y） 2（x 2y2） 2= （x+y） 2（2+x y） （2x+y） 考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-提公因式法。 专题：因式分解。 分析：先提公因式，再用平方差公式因式分解 解答：解：原式=4（x+y） 2（x+y） 2（xy ） 2 =（x+y ） 24（x y） 2 =（x+y ） 2（2+xy）2 x+y） 故答案是：（x+y） 2（2+x y） （2 x+y） 点评：本题考查的是因式分解，先提出公因式，然后用平方差根式因式分解 11、不等式组 的解集是 1x1 1214 12+16 +13 235 1 考点：解一元一次不等式组。 专题：计算题。 分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，求出其公共部分即可 解答：解： ， 1214 12+16 +13 235 1 菁优网 Http:/ 2010 箐优网 由得 x1， 由得 x1， 故原不等式组的解集为1x 1 故答案为：1x 1 点评：本题考查的是解一元一次不等式组，解不等式组要遵循以下原则：同大取较大，同 小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了 12、如图，在 ABC 中，AB=AC，BAD=30，AE=AD，则EDC 的度数是 15 考点：等腰三角形的性质。 专题：计算题。 分析：可以设EDC=x，B= C=y，根据ADE= AED=x+y，ADC= B+BAD 即可列出方程， 从而求解 解答：解：设EDC=x，B= C=y， AED=EDC+C=x+y， 又因为 AD=AE，所以 ADE=AED=x+y， 则ADC=ADE+ EDC=2x+y， 又因为ADC= B+BAD， 所以 2x+y=y+30， 解得 x=15， 所以EDC 的度数是 15 故答案是：15 点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角正确确定相等关系列出方程是解 题的关键 13、计算：200920082008200820092009= 0 考点：因式分解的应用。 分析：整个式子由 2009 和 2008 这两个数变化而来，那么把整个式子整理为用这两个数表 示的形式化简即可 解答：解：原式=2009（200810001）2008（200910001） ， =20082009100012008200910001， =0 故答案为 0 点评：考查用简便方法进行有理数的运算，用到的知识点为：两个相同的四位数组成的 8 位数等于这个四位数的 10001 倍 14、当 x= 时， 有最小值，其最小值为 0 45 5+4 考点：算术平方根。 专题：计算题。 分析：由于 0，即可到关于 x 的方程 5x+4=0，然后求解即可5+4 解答：解： 最小值为 0，5+4 5x+4=0， 当 x= 时， 有最小值 45 5+4 点评：此题主要考查了利用算术平方根的定义求代数式的最小值，本题的关键是利用了算 术平方根是一个非负数的性质解决问题 15、对任意有理数 a、b，用四则运算的减法与除法定义一种新运算“*”： = 0 =2， 则 （ 23） （ 45） 考点：有理数的混合运算。 专题：新定义。 分析：根据定义的新运算，首先可设 a=2，b=3 得到（2*3） ，同理得到（4*5） ，然后再计算 即可得到所求的结果 解答：解：a*b= ， 2 （ 2*3）*（4*5 ）= （ ） *（ ）= （ ）*（ ）= =0 232 452 12 12 12（ 12）2 故答案为 0 点评：此题是定义新运算题型直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果解 题关键是对号入座不要找错对应关系 16、 （ 2006重庆）按一定的规律排列的一列数依次为： ， ， ， ， ， ， 1213 110115126135 按此规律排列下去，这列数中的第 7 个数是 150 考点：规律型：数字的变化类。 菁优网 Http:/ 2010 箐优网 专题：规律型。 分析：观察给出的一列数，发现这一列数分别为 ， 112+1， 1221， 132+1 ，所以第 7 个数应为 1421， 152+1， 1621 1 72+1=150 解答：解：第 7 个数应为 172+1=150 点评：考查分析、归纳探究规律解决问题的能力此题为探究性问题，方法灵活，应观察 分析各数据，探究其变化规律，以解决问题 17、 （ 2005福州）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ， ， ， 中得到巴尔 95161225213632 末公式，从而打开了光谱奥妙的大门请你按这种规律写出第七个数据是 8177 考点：规律型：数字的变化类。 专题：规律型。 分析：分子的规律依次是，3 2，4 2，5 2，6 2，7 2，8 2，9 2，分母的规律是： 15， 26，37 ，48 ，59， 610，711，所以第七个数据是 8177 解答：解：由数据 ， ， ， 可得规律： 95161225213632 分子是，3 2，4 2，5 2，6 2，7 2，8 2，9 2 分母是： 15， 26，37 ，48 ，59， 610，711， 第七个数据是 8177 点评：主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运 算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律 18、一批学生划船，若乘大船除 1 船坐 6 人外，其余每船均坐 17 人；若乘小船，则除 1 船 坐 2 人外，其余每船均坐 10 人，如果学生人数超过 100 人，不到 200 人，那么学生人数 是 142 考点：一元一次方程的应用。 专题：方程思想。 分析：此题先根据题意，设大船有 X 条，小船有 Y 条列出方程，根据学生数确定 xy 的取值 范围，由于条数必须为整数，依次对照即可 解答：解：设大船有 X 条，小船有 Y 条， 则学生数=17X+6=10Y+2， 另外 10017X+62005.5X11.4X=5、6、7 、8、9、10、11 ， 10010Y+22009.8Y19.8Y=10 、11、12、13、14、15 、16、17、18 、19， 若 X=5 则 Y=8.9 不符合， X=6 Y=10.6 不符合， X=7 Y=12.3 不符合， X=8 Y=14 符合， X=9 Y=15.7 不符合， X=10 Y=17.4 不符合， X=11 Y=19.1 不符合， 所以有 8 只大船人数则为 817+6=142 人 故答案为：142 点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出 方程组，再求解 19、已知点 A（3，5）和 B（1 ，3） ，点 P 是 y 轴上一动点，当 PA+PB 的值最小时，点 P 的 坐标是 （0， 1） 考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质。 专题：存在型。 分析：根据题意画出图形，作出点 B 关于 y 轴的对称点 B，连接 AB交 y 轴于点 P，则点 P 即为所求点，用待定系数法求出 AB的直线解析式，求出此解析式与 y 轴的交点即可 解答：解：作出点 B 关于 y 轴的对称点 B，连接 AB交 y 轴于点 P，由对称的性质可知， PB=PB， 故 PB+AP=AB，由两点之间线段最短可知，AB 即为 PA+PB 的最小值， 设过 AB两点的直线解析式为 y=kx+b（k0） ， 则 ， 5=3+3=+ 解得 k=2，b=1， 故此函数的解析式为 y=2x1，当 x=0 时，y=1， 故点 P 的坐标是（ 0，1） 故答案为：（0， 1） 菁优网 Http:/ 2010 箐优网 点评：本题考查的是最短路线问题及用待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数的 性质是解答此类问题的关键 20、 x 是实数，若 1+x+x2+x3+x4+x5=0，则 x6= 1 考点：因式分解的应用。 分析：根据 x61=（x 1） （1+x+x 2+x3+x4+x5）进行计算 解答：解：x 61=（x 1） （1+x+x 2+x3+x4+x5）=0 ， x6=1 故答案为 1 点评：本题考查了因式分解的运用，掌握公式：x n1=（x1 ） （1+x+x 2+x3+xn1） 21、如果点 P（3a 9，1a）是第三象限的整数点（横，纵坐标均为整数） ，那么点 P 的坐标 是 （3，1） 考点：点的坐标。 专题：新定义。 分析：根据点在第三象限的坐标特点列出不等式组，即可求出 a 的值，进而求出点 P 的坐 标 解答：解：点 P（3a 9，1a）是第三象限的整数点， 3a90 ，1a0， 解这个不等式组 ，得 1a3 ， 39 01 0 点的横，纵坐标均为整数， a=2，把 a=2 代入 3a9=3，1a= 1， 点 P 的坐标是（3， 1） 故答案填：（3 ，1） 点评：本题主要考查了点在第三象限内坐标的符号特征以及解不等式组的问题 22、如果记 y= ，并且表示当 x=1 时 y 的值，即 21+2=（ ） ； 表示当 x= 时 y 的值，即 （ 1） = 121+12=12（ 12） 12 ，那么 （ 12） = （ 12） 2 1+（ 12） 2= 15 = （ 1） +（ 2） +（ 12） +（ 3） +（ 13） +（ 2009） +（ 12009） 200812 考点：规律型：图形的变化类；代数式求值。 分析：主要是找到互为倒数的两个函数值的和为 1，到 2009 时，一共有 2008 个 1 解答：解：根据分析，先计算 f（2）+f（ ）= ，那么 f（x）+f （ ）= 12 15+45=1 1 1+21+2=1 所以 f（ 1）+f（2）+f （ ）+f （2009 ）+f（ ）= +（2009 1）=2008 12 1200912 12 点评：主要培养学生的归纳总结和观察能力 三、解答题（共 2 小题，满分 0 分） 23、如图，在 ABC 中，AD 交边 BC 于点 D，BAD=15，ADC=4BAD ，DC=2BD （1 ）求 B 的度数； （2 ）求证：CAD=B 菁优网 Http:/ 2010 箐优网 考点：含 30 度角的直角三角形；三角形的外角性质。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）根据已知可求得 ADC 的度数，再根据三角形外角的性质即可求得B 的度 数 （2 ）过 C 作 CEAD 于 E，连接 EB，根据直角三角形中 30 度所对的边是斜边的一半及已知