【步步高】2011届高考数学一轮复习 第三编 三角函数 理 课件（打包十七套）苏教版
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备课资讯 7 构造函数与方程解决三角 函数问题 函数与方程思想是中学数学的基本思想，几乎渗 透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应 用现就三角函数中的有关问题说明其应用 一、构造方程证明三角等式 【 例 1 】 已知 (0 ， ) ，证明 1 si n 1 si n 2 co 证明 方程 1 x 1 x 2 co 边平方整理 得 1 2 co 1 co s . 再平方得 1 c si 注意到 x 0 ，得 x si n . 将 x si n 代入方程得 1 si n 1 si n 2c 点评 在所证等式中反复出现某一代数式，因此可考 虑将其换成 x ，从而构造出关于 x 的方程再比如：求 证 2 (1 s ) (1 c ) (1 s co s )2， 将 1 si n 换成 x ，从而构造出方程 2 x (1 co s ) ( x co s )2，解得 x s . 将 x s 代入方程即 可得所证等式 二、构造函数证明条件等式 观察题设条件，运用函数的单调性证明等式 【 例 2 】 已知 k 2， k ( k Z ) ，且 ( 3t c )3 t 4 ta n co t 0 ，证明： 4ta n c 0. 证明 由 (3 )3 4 0 得 (3 )3 (3 ) ( ( ) 设函数 f( x ) x ，易知 f( x ) 在 R 上为单调增函数 式 可视为 f(3 ) f( ) ， 则有 3 ta n c t ， 所以 4 ta n c 0. 点评 函数在它的某一单调区间上其自变量与函数值是一一对应的，函数值相等时其对应地自变量也是相等的在解题中要时刻关注代数式的变形及其结构，及时发现其蕴含的函数关系并加以充分利用 三、构造函数求值 【 例 3 】 已知 ， (0 ， ) ， co s c 32 c ) ，求 c 2及 的值 解 条件等式可化为 2 2 2322 2 1 ，即 4 2 4 2 2 1 0 ， 所以 2 214 2. 因为20 ， 所以 c 20 . 当 x 0 时，函数 y x 14 x2 x 14 x 1 ， 当且仅当 x 12时， y 1 ，即 co 2 1. 此时 c 212，又 0 2 ， 所以 23，得 2 3. 四、构造函数求最值 【 例 4 】 求 y 2 co s 2 x 94s 解 y 1 94考察函数 u x 94 x，易知 其在0 ，32上为单调递减函数由题意可知 01 ，所以当 1 时， y 1 1 94174. y 无最大 值 点评 利用函数求最值是求三角函数最值的常用方 法，特别是在比较复杂的问题中利用函数求最值显得尤为重要且过程简捷，只
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