【步步高】2011届高考数学一轮复习 第十二编 概率与统计课件 理 （打包10套）新人教A版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第十二编 概率与统计课件 理 （打包10套）新人教A版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第十二,概率,几率,统计,课件,打包,10,新人
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要点梳理 (1)一般地，我们把在条件 _的事件 , 叫做相对于条件 称 _. (2)一般地 ,我们把在条件 _的事件 , 叫做相对于条件 简称 _. 第十二编 概率与统计 随机事件的概率 一定会发生 必然事件 一定不会发生 不可能事件 基础知识 自主学习 (3)_统称为相对于条件 定事件，简称 _. (4)_的事件 ,叫做 相对于条件 称 _. (5)_和 _统称为事件 ,一般用大写字 母 A， B， C 表示 . 率、概率 (1)在相同的条件 察某一事件 A 是否出现，称 _为事件 事件 为事 件 必然事件与不可能事件 确定事件 在条件 随机事件 确定事件 随机事件 出现的次数 nA n )( (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增 加，事件 _ _，那么把这个常数记作 P（ A），称为事 件 (1)对于事件 ，如果事件 事件 B _发生 ,这时称事件 (或称 _ _），记作 _（或 ） . (2)若 _且 _,那么称事件 相等 , 记作 _. 某个常数上 逐渐稳定在区间 0,1中的=B 一定 事件 (3)若某事件发生当且仅当事件 _事件 则称此事件为事件 的并事件 (或 _)， 记作 _（或 _） . (4)若某事件发生当且仅当事件 _事件 则称此事件为事件 的交事件 (或 _)， 记作 _（或 _） . (5)若 A _事件（ A B= ),那么称事件 A 与事件 含义是：事件 在任何一次 试验中不会同时发生 . (6)若 A _事件 ,A _事件 ,那么称 事件 互为对立事件，其含义是：事件 件 或 和事件 A B A+B 且 积事件 A B 不可能 不可能 必然 (1)概率的取值范围： _. (2)必然事件的概率 P（ E） =_. (3)不可能事件的概率 P（ F） =_. (4)概率的加法公式 如果事件 互斥 ,则 P(A B)=_. (5)对立事件的概率 若事件 互为对立事件 ,则 A P(A B)=_， P(A)=_. 0 P(A)1 1 0 P(A)+P(B) 1 1) 基础自测 机事件的个数为 （ ） 物体在只受重力的作用下会自由下落； 方程 x+8=0有两个实根； 某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次 数超过 10次； 下周六会下雨 . 析 必定发生是必然事件；方程的判别式 =228=) )P(B) )=P(B) )、 P(B)大小不确定 解析 横坐标与纵坐标为 0的可能性是一样的 . C 两人下棋，甲获胜的概率是 40%，甲不输的 概率为 90%,则甲、乙二人下成和棋的概率为（ ） 解析 甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋， 90%=40%+P, P=50%. D 察掷出的点数，设事件 奇数点 ,事件 点 ,已知 P(A)= P(B)= 则出现奇数点或 2点的概率之和为 _. 解析 出现奇数点或 2点的事件为 A B. ,21 ,)()( 题型一 事件的概念及判断 【 例 1】 盒中仅有 4只白球 5只黑球，从中任意取出一 只球 . （ 1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是 多少？ （ 2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是 多少？ （ 3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的 概率是多少？ 根据定义 ,作出判断，注意必然事件、不 可能事件与随机事件的关系 . 思维启迪 题型分类 深度剖析 解 (1)“ 取出的球是黄球”在题设条件下根本不可 能发生，因此它是不可能事件，其概率为 0. (2)“ 取出的球是白球”是随机事件 ,它的概率是 (3)“ 取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要 发生，因此它是必然事件，它的概率是 1. 由本例可以看到，不可能事件和必然事 件虽然是两类不同的事件，但它们可以视为随机事件 的两个极端情况 ,用这种对立统一的观点去看待它们 , 有利于认识它们的实质及内在联系 . 探究提高 指出下列事件是必然事件、不可能事件 还是随机事件： (1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军 ; (2)同一门炮向同一目标发射多发炮弹，其中 50%的 炮弹击中目标； (3)某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的 最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰 巧是朋友的电话号码； (4)技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机” 将会出现 . 解 根据必然事件、不可能事件及随机事件的定义 , 可知 (1)、 (2)、 (3)是随机事件 ,(4)是不可能事件 . 题型二 随机事件的频率与概率 【 例 2】 某射击运动员在同一条件下进行练习 ,结果如 下表所示： (1)计算表中击中 10环的各个频率； (2)这位射击运动员射击一次，击中 10环的概率为 多少？ 射击次数 n 10 20 50 100 200 500 击中 10环次数 m 8 19 44 93 178 453 击中 10环频率 （ 1）将 m, 计算 . (2)观察各频率能否在一常数附近摆动，用多次试验 的频率估测概率 . 解 （ 1）击中 10环的频率依次为 （ 2）这位射击运动员射击一次，击中 10环的概率约 是 利用概率的统计定义求事件的概率是求 一个事件概率的基本方法，通过大量的重复试验，事 件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，就用事件发 生的频率趋近的常数作为事件的概率 . 知能迁移 2 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投 篮的结果如下： （ 1）计算表中进球的频率； （ 2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？ 投篮次数 n 8 10 12 9 10 16 进球次数 m 6 8 9 7 7 12 进球频率 (1)由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球 的频率依次为 (2)由 (1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率 总是在 的附近摆动，可知该运动员投篮一次，进球 的概率约为 07,97,43129,54108,4386 互斥事件、对立事件的概率 【 例 3】 （ 12分）一盒中装有大小和质地均相同的 12 只小球，其中 5个红球， 4个黑球， 2个白球， 1个绿 球 球，求 （ 1）取出的小球是红球或黑球的概率； （ 2）取出的小球是红球或黑球或白球的概率 . 设事件 分析事件的性质 根据互斥事件概率求法求解 思维启迪 解 记事件 A=任取 1球为红球 ； B=任取 1球为黑球 ； C=任取 1球为白球 ； D=任取 1球为绿球 ， 6分 (1)取出 1球为红球或黑球的概率为 8分 (2)取出 1球为红球或黑球或白球的概率为 (A)+P(B)+P(C) 12分 12分 )(,12 2)(,12 4)(,12 5)( )(1 12111211)(1( （ 1）解决此类问题 ,首先应结合互斥事 件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事 件，再选择概率公式进行计算 . （ 2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一 是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互 斥的事件的概率的和 ,运用互斥事件的求和公式计算 . 二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用 公式 P(A)=1 ),即运用逆向思维（正难则反） , 特别是 “ 至多 ” ， “ 至少 ” 型题目，用间接求法就显 得较简便 . 黄种人群中各种血型的人所占比例如下 : 已知同种血型的人可以输血 ,血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明 是 小明因病需要输血，问： (1)任找一个人 ,其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人 ,其血不能输给小明的概率是多少？ 解 (1)对任一人，其血型为 A,B,型血的事件 分别记为 A, B, C, D ，它们是互斥的 ,由已 知 ,有 : P(A)= P(B)= P(C)= P(D)= 血型 A B 该血型的人占的比例 (%) 28 29 8 35 因为 B、 型血的人 ,故“可以输给 血的人”为事件 B D ，根据互斥事件的加法公 式，有 P(B D)= P(B)+ P(D)=(2)方法一 由于 A， 型血的人 ,故 “不能输血给 事件 A C ， 且 P(A C)= P(A)+ P(C)= 方法二 B D 的对立事件为 A C P(A C)=1 D)= 可能事件、随机事件是在一定条件下 发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化 . 情况 ,因此 ,任何事件发生的概率都满足 :0 P(A) 1. 现规律 性，且频率 总是接近于常数 P(A),称 P(A)为事件 方法与技巧 感悟提高 常有两种方法 :一 是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利 用概率加法公式求其值 ;二是求此事件 的概率，然后利用 P(A)=1 )可得解 . 对立事件是 互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一 定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分 条件 . 失误与防范 A 个事件彼此互斥 ,是指由各个 事件所含的结果组成的集合彼此互不相交 ,事件 对立事件 所含的结果组成的集合 ,是全集中由事件 别留心“至多 ”,“ 至少 ” ，“不少于 ” 等语句的含义 . A 一、选择题 、蓝、白 4张纸牌随机地分给甲、乙、 丙、丁四个人 ,每人分得 1张 ,事件“甲分得红牌” 与事件“乙分得红牌”是 ( ) 解析 由互斥事件和对立事件的概念可判断 . C 定时检测 0%,抽出 10件产品检查 , 则下列说法正确的是 ( ) 件 件 件 件 解析 因为产品的合格率为 90%，抽出 10件产品 ,则 合格产品可能是 10 90%=9件，这是随机的 . D 学、英语、物理和化学共 5本书，从 中任取 1本，取出的是理科书的概率为 （ ） A. B. C. D. 解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分 别为事件 A、 B、 C、 D、 E,则 A、 B、 C、 D、 取到理科书的概率为事件 B、 D、 P（ B D E） =P（ B） +P（ D） +P（ E） C 008年第 29届奥运会吉祥物 ,每组福娃 都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和 “妮妮”这五个福娃组成 两位好友分别从 同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先 甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友 所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一 个被选中的概率为 （ ） A. B. C. D. 101515354解析 本题分甲选中吉祥物和乙选中吉祥物两种情 况， 先甲选后乙选的方法有 5 4=20种， 甲选中乙没有选中的方法有 2 3=6种 ,概率为 乙选中甲没有选中的方法有 2 3=6种 ,概率为 恰有一个被选中的概率为 答案 C ,103206 ,103206 000个大小 相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在 一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是 （ ） A. B. C. D. 解析 每条棱上有 8块，共 8 12=96块 . 概率为 6 D 若先后出现的点数分别为 b, c，则方程 x2+bx+c=0有实根的概率为 （ ） A. B. C. D. 解析 一枚骰子掷两次，其基本事件总数为 36，方 程有实根的充要条件为 c. 由此可见，使方程有实根的基本事件个数为 1+2+4+ 6+6=19，于是方程有实根的概率为 b 1 2 3 4 5 6 使 0 1 2 4 6 6 A 二、填空题 射中 10环、 9环、 8环的概率 分别为 此射手在一次射击中不超 过 8环的概率为 _. 解析 依题意知 ,此射手在一次射击中不超过 8环的 概率为 1-（ = .（ 2009 安徽文 ,13） 从长度分别为 2、 3、 4、 5的 四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可 以构成三角形的概率是 _. 解析 从长度为 2、 3、 4、 5的四条线段中任意取出 三条共有 4种不同的取法，其中可以构成三角形的有 (2， 3， 4)、 (2， 4， 5)、 (3， 4， 5)三种，故所求概 率为 两颗卫星同时监测台风 ,在同一时刻，甲、 乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为 则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 _. 解析 由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗 卫星预报准确的概率为 1-(、解答题 毛球队、乒乓 球队的某些队员不止参加了一支球 队 ,具体情况如图所示，现从中随 机抽取一名队员，求： （ 1）该队员只属于一支球队的概率； （ 2）该队员最多属于两支球队的概率 . 解 (1)设“该队员只属于一支球队”为事件 A, 则事件 (2)设“该队员最多属于两支球队”为事件 B， 则事件 装有编号 0， 1， 2， 3四 个小球的抽奖箱中，每次取出后放回 ,连续取两次 , 取出的两个小球号码相加之和等于 5中一等奖 ,等于 4中二等奖，等于 3中三等奖 . （ 1）求中三等奖的概率； （ 2）求中奖的概率 . 解 设“中三等奖”的事件为 A,“ 中奖”的事件为 B,从四个小球中有放回的取两个共有 (0,0),(0,1), (0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0), (2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)共 16种不同的方法 . (1)两个小球号码相加之和等于 3的取法有 4种： (0,3),(1,2),(2,1),(3,0). (2)两个小球号码相加之和等于 3的取法有 4种 . 两个小球号码相加之和等于 4的取法有 3种： (1,3),(2,2),(3,1), 两个小球号码相加之和等于 5的取法有 2种： (2,3),(3,2), 2个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿 球，从中任取一球，得到红球的概率为 得到黑 球或黄球的概率是 得到黄球或绿球的概率是 试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ ,41,125 ,21解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件 A、 B、 C、 、 B、 C、 根据已知得到 得到黑球、黄球、绿球的概率各是 .)(,)(,)(,)()(,)()(,)()()(1,41返回 要点梳理 (1)任何两个基本事件是 _的 . (2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成 _ 的和 . 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型， 简称古典概型 . 古典概型 互斥 基本事件基础知识 自主学习 （ 1）试验中所有可能出现的基本事件 _. （ 2）每个基本事件出现的可能性 _. 而且所有结 果出现的可能性都相等 ,那么每一个基本事件的概率 都是 ;如果某个事件 么事 件 (A)= . P(A)= . 相等 基础自测 次，只有一次出现正面的概率是 （ ） A. B. C. D. 解析 一枚硬币连掷 3次，基本事件有 (正 ,正 ,正 ), (正 ,正 ,反 ),( 反 ,反 ,反 )共 8个，而只有一次出现 正面的事件包括 (正 ,反 ,反 ),(反 ,正 ,反 ),(反 ,反 , 正 )3个，故其概率为 对某班 50名同学（其中男同学 30名 ,女同学 20名）采取分层 抽样的方法，抽取一个样本容量为 10的样本进行研 究，某女同学甲被抽到的概率为 （ ） A. B. C. D. 解析 因为在分层抽样中，任何个体被抽取的概率 均相等，所以某女同学甲被抽到的概率 分别装着写有 0， 1， 2， 3， 4， 5六个 数字的 6张卡片，现从每个袋中各任取一张卡片，则 两数之和等于 5的概率为 （ ） A. B. C. D. 解析 该问题属于古典概型 6，两数 之和等于 5的事件含有基本事件数为 率为 编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2 次，则取得两个球的编号之和不小于 15的概率为 （ ） A. B. C. D. 解析 基本事件为 (1， 1),(1， 2),(1 ， 8),(2， 1),(2， 2), ， (8， 8),共 64种 于 15的情况有三种 ,分别为 (7， 8),(8， 7),(8， 8), 所求概率为 个白球和已经编有不 同号码的 3个黑球，从中摸出 2个球，则摸出 1黑球、 1白球事件的概率是 _. 解析 摸出 2个球，基本事件的总数是 6. 其中 1个黑球， 1个白球所含事件的个数是 3， 故所求事件的概率是 P 题型一 事件及其基本事件 【 例 1】 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标 有数字 1， 2， 3， 4，下面做投掷这两颗正四面体玩 具的试验：用（ x， y）表示结果 ,其中 颗正 四面体玩具出现的点数， 颗正四面体玩具 出现的点数 （ 1）试验的基本事件； （ 2）事件“出现点数之和大于 3” ； （ 3）事件“出现点数相等” . 题型分类 深度剖析 思维启迪 由于出现的结果有限 ,每次每颗只能有四 种结果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是 古典概型 可将结果一一列出 . 解 (1)这个试验的基本事件为： (1， 1),(1， 2),(1， 3),(1， 4), (2， 1),(2， 2),(2， 3),(2， 4), (3， 1),(3， 2),(3， 3),(3， 4), (4， 1),(4， 2),(4， 3),(4， 4). (2)事件“出现点数之和大于 3” 包含以下 13个基本 事件： (1， 3),(1， 4),(2， 2),(2， 3),(2， 4),(3， 1), (3， 2),(3， 3),(3， 4),(4， 1),(4， 2),(4， 3), (4， 4). (3)事件“出现点数相等”包含以下 4个基本事件： (1， 1),(2， 2),(3， 3)， (4， 4). 探究提高 解决古典概型问题首先要搞清所求问题 是否是古典概型问题，其判断依据是 :（ 1）试验中所 有可能出现的基本事件只有有限个 ;（ 2）每个基本事 件出现的可能性相等 及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典 概型的概率公式求解 . 知能迁移 1 将一枚均匀硬币抛掷三次 . (1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件； (2)事件 A“ 恰有两次出现正面”包含几个基本事件 ; (3)事件 B“ 三次都出现正面”包含几个基本事件 . 解 (1)试验“将一枚均匀硬币抛掷三次”所出现的 所有基本事件如下： (正 ,正 ,反 ),(正 ,反 ,正 ),(正 ,反 ,反 ),(正 ,正 ,正 ), (反 ,反 ,反 ),(反 ,反 ,正 ),(反 ,正 ,反 ),(反 ,正 ,正 ). 共 8种等可能结果 . (2)事件 (正 ,正 ,反 ),(正 ,反 ,正 ),(反 ,正 ,正 ). (3)事件 (正 ,正 ,正 ). 题型二 古典概型及概率公式 【 例 2】 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭 配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较 某种洗涤剂时，需要选用两种不同的添加剂 香度分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6的六种添加剂可供选 用 常首先要随机选取两种不 同的添加剂进行搭配试验 表示所选用的两种不 同的添加剂的芳香度之和 加剂的芳香度之和等于 6的概率 . 思维启迪 该模型为古典概型 ,基本事件个数是有限 的 ,并且每个基本事件的发生是等可能的 . 解 方法一 (排列模式 )设试验中先取出 x,再取出 y (x,y=1,2,3,4,5,6),试验结果记为 (x,y),则基本事件 列举有 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(6,1),(6,2),(6,3), (6,4),(6,5),共 30种结果 , 事件 结果有 (1,5),(2,4),(4,2),(5,1), 故 (组合模式 )设任取两种添加剂记为 (x,y) (x,y=1,2,6), 基本事件有 (1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4), (5,6)共 15种 . 事件 取法有 (1,5),(2,4),故 解决古典概型的关键是 :列出所有的基本 事件 ,并且确定构成事件的基本事件 事件时 ,(x,y)可以看作有序 ,如 (1,2)与 (2,1)不同 ;也 可以看作无序 ,如 (1,2)与 (2,1)相同 . 探究提高 某口袋内装有大小相同的 5只球，其中 3 只白球 ,2只黑球 ,从中一次摸出 2只球 . (1)共有多少个基本事件？ (2)摸出的 2只球都是白球的概率是多少？ 解 (1)分别记白球为 1,2,3号 ,黑球为 4,5号 ,从中摸 出 2只球，有如下基本事件（摸到 1， 2号球用 (1,2) 表示 )： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5). 因此 ,共有 10个基本事件 . (2)如下图所示 ,上述 10个基本事件的可能性相同 ,且 只有 3个基本事件是摸到 2只白球 (记为事件 A), 即 (1,2),(1,3),(2,3),故 故共有 10个基本事件 ,摸出 2只球都是白球的 概率为 综合型的古典概型问题 【 例 3】 (12分 )袋中有 6个球 ,其中 4个白球 ,2个红球 , 从袋中任意取出 2个球 ,求下列事件的概率： (1)A：取出的 2个球都是白球； (2)B：取出的 2个球中 1个是白球 ,另 1个是红球 . 用列举法求出基本事件总数 n 求出事件 A、 m 根据古典概型公式求概率 思维启迪 解 设 4个白球的编号为 1,2,3,4,2个红球的编号为 5,个小球中任取 2个的方法为 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6), (5,6)共 15种 . 4分 (1)从袋中的 6个球中任取 2个 ,所取的 2个球全是白球 的方法总数 ,即是从 4个白球中任取 2个的方法总数 , 共有 6种 , 即为 (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). 6分 取出的 2个球全是白球的概率为 8分 )从袋中的 6个球中任取 2个 ,其中 1个为红球 ,而另 1 个为白球 ,其取法包括 (1,5),(1,6),(2,5),(2,6), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共 8种 . 10分 取出的 2个球中 1个是白球 ,另 1个是红球的概率为 12分 在古典概型条件下 ,当基本事件总数为 n 时 ,每一个基本事件发生的概率均为 要求事件 概率 ,关键是求出基本事件总数 中所含基本 事件数 m,再由古典概型概率公式 求出事件 A 的概率 . .)( 158,1)(知能迁移 3 (2009 福建文 ,18)袋中有大小、形状 相同的红球、黑球各一个 ,现依次有放回地随机摸取 3次 ,每次摸取一个球 . (1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可 能的结果； (2)若摸到红球时得 2分 ,摸到黑球时得 1分 ,求 3次摸 球所得总分为 5的概率 . 解 (1)一共有 8种不同的结果 ,列举如下： (红 ,红 ,红 )、 (红 ,红 ,黑 )、 (红 ,黑 ,红 )、 (红 ,黑 , 黑 )、 (黑 ,红 ,红 )、 (黑 ,红 ,黑 )、 (黑 ,黑 ,红 )、 (黑 , 黑 ,黑 ). (2)记“ 3次摸球所得总分为 5” 为事件 A. 事件 (红 ,红 ,黑 )、 (红 ,黑 ,红 )、 (黑 ,红 ,红 ),事件 . 由 (1)可知 ,基本事件总数为 8, 所以事件 然后再求出事件 利用公式 求出事件 这是一个形象、直观的好方法， 但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏 . 方法与技巧 )(思想方法 感悟提高 的概率的计算方法 ,关键要分清基本事件总数 包含的基本事件数 个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第 二，本试验的基本事件数有多少个 ;第三，事件 A 是 什么 ,它包含的基本事件有多少 的问题 ,解题才不会出错 . 定 要注意在计算基本事件数和事件发生数时 ,他们是否 是等可能的 . (A B)=P(A)+P(B)- P(A B)(1)公式的作用是求 A 当 A B= 时 ,A、 此时 P(A B)=0, P(A B)=P(A)+P(B)； (2)要计算 P(A B),需要求 P(A)、 P(B),更重要的是把握事件 A B,并求其概率； (3)该公式可以看作一个方程 , 知三可求一 . 失误与防范 一、选择题 出现一枚正面 ,二枚反 面的概率等于 ( ) A. B. C. D. 解析 共 23=8种情况 ,符合要求的有 (正 ,反 ,反 ), (反 ,正 ,反 ),(反 ,反 ,正 )3种 . m、 坐标 ,则点 x+y=5下方的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 试验是连续掷两次骰子 ,故共包含 6 6=36个 基本事件 在 x+y=5下方 ,共包含 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6个基本事 件 ,故 m、 n,则向量 (m,n)与 向量 ()的夹角 90 的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 即 (m,n)( )=-m+本事件总共有 6 6=36个 , 符合要求的有 (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2), (4,3),(5,1),(5,4),(6,1),(6,5), 共 1+2+3+4+5=15个 . .(2009 福建理， 8)已知某运动员每次投篮命中的 概率低于 40%三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0到 9之间取整数值的随机数 ,指定 1,2,3,4表示命中 ,5, 6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组 , 代表三次投篮的结果 0组 随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计 ,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( ) 析 由题意知在 20组随机数中表示三次投篮恰有 两次命中的有： 191、 271、 932、 812、 393,共 5组随 机数 ,故所求概率为 41205 B 名男同学 ,3名女同学中任选 3名参加体能测试 , 则选到的 3名同学中既有男同学又有女同学的概率 为 ( ) A. B. C. D. 解析 7名同学任选 3名 ,共 种选法 ,既有男生又有 女生的选法有： 由古典概型概率公式得 3013242314 C 6.(2009 安徽文 ,10)考察正方体 6个面的中心 ,从中 任意选 3个点连成三角形 ,再把剩下的 3个点也连成三 角形 ,则所得的两个三角形全等的概率等于 ( ) B. C. 解析 由正方体的对称性知其六个面的中心构成同 底的两个四棱锥 ,且四棱锥的各个侧面是全等的三角 形 ,底面四个顶点构成一个正方形 ,从这 6个点中任选 3个点构成的三角形可分为以下两类：第一类是选中 2131相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个面中的 任意一个面的中心 ,构成的是等腰直角三角形 ,此时剩 下的三个点也连成一个与其全等的三角形 所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点（即所 选 3个点所在的平面彼此相邻）此时构成的是正三角 形 ,同时剩下的三个点也构成与其全等的三角形 , 故所求概率为 1. 答案 A 二、填空题 =a|a100, a=3k,k N*,集合 B=b|b 100,b=2k,k N*,在 A 则所选取的元素恰好在 A _. 解析 A=3,6,9,99, B=2,4,6,100, A B=6,12,18,96. A 6个 . A 3+507个 , 概率为 它的四个面上分别标有 1,2,3,4四个数字 次 ,其底面落于 桌面 ,记三次在正四面体底面的数字和为 S,则“ 好为 4” 的概率为 _. 解析 本题是一道古典概型问题 (a,b,c)来记连续抛掷 3次所得的 3个数字 ,总事件中 含 4 4 4=64个基本事件 ,取 S=a+b+c,事件“ 为 4” 中包含了 (1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)三个基本 事件 ,则 P()= )( 位考生都要在 5道备选试题 中随机抽出 3道题回答 ,答对其中 2道题即为及格 ,若 一位考生只会答 5道题中的 3道题，则这位考生能够 及格的概率为 _. 解析 要及格必须答对 2道或 3道题 , 答题 次 ,观察向上的点数 ,求： (1)两数之和为 5的概率； (2)两数中至少有一个奇数的概率； (3)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点 数为纵坐标 x,y)在圆 x2+5内部的概率 . 解 将一颗骰子先后抛掷 2次，此问题中含有 36个 等可能基本事件 . (1)记“两数之和为 5” 为事件 A,则事件 个 基本事件 ,所以 答 两数之和为 5的概率为 (2)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B,则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件 , 所以 答 两数中至少有一个奇数的概率为 (3)基本事件总数为 36,点 (x,y)在圆 x2+5的内部记 为事件 C,则 个事件 , 答 点 (x,y)在圆 x2+5内部的概率为 持人拟出了如下一些节目：跳双 人舞、独唱、朗诵等，指定 3个男生和 2个女生来参 与 ,把 5个人分别编号为 1,2,3,4,5,其中 1,2,3号是男 生 ,4,5号是女生 ,将每个人的号分别写在 5张相同的 卡片上 ,并放入一个箱子中充分混合 ,每次从中随机 地取出一张卡片 ,取出谁的编号谁就参与表演节目 . (1)为了选出 2人来表演双人舞 ,连续抽取 2张卡片 ,求 取出的 2人不全是男生的概率； (2)为了选出 2人分别表演独唱和朗诵 ,抽取并观察第 一张卡片后 ,又放回箱子中 ,充分混合后再从中抽取 第二张卡片 ,求 :独唱和朗诵由同一个人表演的概率 . 解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取 2张卡片的 所有可能结果 (如下图所示 ). 由上图可以看出 ,试验的所有可能结果数为 20,因为每 次都随机抽取 ,所以这 20种结果出现的可能性是相同 的 ,试验属于古典概型 . 用 续抽取 2人一男一女” ,“连续抽取 2人都是女生” ,则 2互斥 ,并且 续抽取 2张卡片 ,取出的 2人不全 是男生” ,由列出的所有可能结果可以看出 ,有 12种 ,种 ,由互斥事件的概率加法公式 , 可得 即连续抽取 2张卡片 ,取出的 2人不全是男生的概率为 ,)()(2121 (2)有放回地连续抽取 2张卡片 ,需注意同一张卡片可 再次被取出 ,并且它被取出的可能性和其他卡片相等 , 我们用一个有序实数对表示抽取的结果 ,例如“第一 次取出 2号 ,第二次取出 4号”就用 (2,4)来表示 ,所有 的可能结果可以用下表列出 . 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 第二次抽取 第一次抽取 试验的所有可能结果数为 25,并且这 25种结果出现的 可能性是相同的 ,试验属于古典概型 . 用 唱和朗诵由同一个人表演” ,由上 表可以看出 ,种，因此独唱和朗诵由同 一个人表演的概率 51255)( 名数理化成绩优秀者 ,其中 2, 绩优秀 ,2,2化学成绩优秀 . 从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1名 ,组成 一个小组代表学校参加竞赛 . (1)求 (2)求 1不全被选中的概率 . 解 (1)从 8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者 各 1名 ,其一切可能的结果组成的基本事件空间 =(1,(1,(2,(2, (3,(3,(1,(1, (2,(2,(3,(3, (1,(1,(2,(2, (3,(3,. 由 18个基本事件组成 . 由于每一个基本事件被抽取的机会均等 , 因此这些基本事件的发生是等可能的 . 用 一事件 ,则 M=(1,(2,(3,(1, (2,(3,(1,(2, (3,. 事件 个基本事件组成 , 因而 (2)用 1不全被选中”这一事件 , 则其对立事件 表示“ 1全被选中”这一事件 ,由 于 =(1,(1,事件 由 2个基本事 件组成 ,所以 由对立事件的概率公式得 1)( 要点梳理 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 _ _(_或 _)成比例 ,则称这样的概率模型为几何 概率模型 ,简称为 _. 事件 P(A)= . 几何概型 )()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件 度 面积 体积 几何概型 基础知识 自主学习 (1)无限性：在一次试验中 ,可能出现的结果有无限 多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性 . 事件 (A)只与子区域 A 的几何度量 (长度、面积或体积 )成正比 ,而与 置和形状无关 . 关键是求得事件所占区 域和整个区域 的几何度量 ,然后代入公式即可求 解 . 基础自测 1,3上任取一数 ,则这个数大于 率为 ( ) 析 因为在 1,3上任取一数是随机的 ,故这个 数大于 3 边长为 2的正方形中有 一封闭曲线围成的阴影区域 ,在正 方形中随机撒一粒豆子 ,它落在阴 影区域内的概率为 则阴影区域 的面积为 ( ) A. B. C. 解析 由几何概型知 , 2 2 阴正方形阴 故 分钟发车一次，某乘客到乘车点 的时刻是随机的 ,则他候车时间不超过 3分钟的概率 是 ( ) A. B. C. D. 解析 此题可以看成向区间 0,5内均匀投点 ,而 且点落入 0,3内的概率设为 A=某乘客候车时间 不超过 3分钟 . 则 P(A)= 域长度试验的全部结果构成的的区域长度构成事件 在圆 上其它位置任取一点 A, 连接 它是一条弦 ,它的长度大于等于半径 长度的概率为 ( ) A. B. C. D. 21324123解析 如图所示 ,当 长度等于半 径时 ,A 位于 点 ,此时 120 , 则优弧 满足条件的概率为 答案 B ,34 在直角坐标系内 ,射线 0 角的终边上 ,任作一条 射线 射线 概率为 _. 解析 如题图 ,因为射线 布的 ,则 题型一 与长度有关的几何概型 【 例 1】 有一段长为 10米的木棍 ,现要截成两段 ,每段 不小于 3米的概率有多大？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件 ,基 本事件有无限多个 故是几何概型 . 思维启迪 题型分类 深度剖析 解 记“剪得两段都不小于 3米”为事件 A,从木棍的 两端各度量出 3米 ,这样中间就有 10(米 )间的 4米长的木棍处剪都能满足条件 , 所以 从该题可以看出 ,我们将每个事件理解为 从某个特定的几何区域内随机地取一点 ,该区域中每 一点被取到的机会都一样 理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点 , 这样的概率模型就可以用几何概型来求解 . 10410 3310)( 知能迁移 1 平面上有一组平行线 ,且相邻平行线间 的距离为 3 一枚半径为 1 这个平面上 ,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率 是 ( ) A. B. C. D. 解析 如图所示 ,这是长度型几何概型问题 ,当硬币 中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰 ,故所求概率为 B 题型二 与面积 (或体积 )有关的几何概型 【 例 2】 街道旁边有一游戏：在铺满边长为 9 方形塑料板的宽广地面上 ,掷一枚半径为 1 圆板 掷一次交 5角钱 ,若小圆板压在正 方形的边上 ,可重掷一次；若掷在正方形内 ,须再交 5 角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上 ,可获 1元钱 (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？ 应用几何概型的概率计算公式 P(A)= 即可解决此类问题 . 思维启迪 的测度的测度 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为 7 和 9 所以概率为 (2)考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的 圆 内 ,因正方形有四个顶点 ,所以概率为 几何概型的概率计算公式中的 “ 测度 ” , 既包含本例中的面积 ,也可以包含线段的长度、体积 等 ,而且这个 “ 测度 ” 只与 “ 大小 ” 有关 ,而与形状和 位置无关 . 探究提高 19 2 41知能迁移 2 在边长为 2的正 , 则使点 的概率 是 _. 解析 以 A、 B、 以 1为半 径作圆 ,与 当 321(322 与角度有关的几何概型 【 例 3】 在 A=30 ,过直角顶点 线 ,求使 |概率 . 如图所示 ,因为过一 点作射线是均匀的 ,因而应把在 的 ,基本事件是射线 使 |概率只与 的大小有关 ,这符合 几何概型的条件 . 思维启迪 解 设事件 射线 |. 在 使 |=| 因为 是等 腰三角形 ,所以 几何概型的关键是选择 “ 测度 ” ,如本例 以角度为 “ 测度 ” 位置是等可能的 测度 ” ,就是错误的 , 因为 探究提高 , 752 3018 ,90,157590 知能迁移 3 在圆心角为 90 的扇形 以圆心 O 为起点作射线 使得 30 的概率 . 解 如图所示 ,把圆弧 则 0 ,记 扇 形 C,使 0 ”, 要使 于 30 ,则 可化为几何概型的概率问题 【 例 4】 甲、乙两人约定在 6时到 7时之间在某处会面 , 并约定先到者应等候另一人一刻钟 ,过时即可离去 . 求两人能会面的概率 . 在平面直角坐标系内用 约会地点的时间 ,用 0分到 60分表示 6时到 7时的时间段 ,则横轴 0到 60与纵 轴 0到 60的正方形中任一点的坐标 (x,y)就表示甲、 乙两人分别在 6时到 7时时间段内到达的时间 面的时间由 |15 所对应的图中阴影部分表示 . 思维启迪 解 以 两人到达约定地点的时间 ,则两人 能够会面的充要条件是 |15. 在如图所示平面直角坐标系下 , (x,y)的所有可能结果是边长为 60的正方形区域 ,而事 件 A“ 两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分 表示 . 由几何概型的概率公式得： 所以 ,两人能会面的概率是 222 (1)甲、乙两人都是在 67时内的任意时 刻到达会面地点 ,故每一对结果对应两个时间 ,分别用 x,则每一个结果 (x,y)就对应于图中 正方形内的任一点 . (2)找出事件 并把它在图中的区域找出 来 ,分别计算面积即可 . (3)本题的难点是把两个时间分别用 x,示 ,构成平面内的点 (x,y),从而把时间是一段长度问 题转化为平面图形的二维面积问题 ,进而转化成面积 型几何概型的问题 . 知能迁移 4 已知函数 f(x)=b2,a,b R. (1)若 0,1,2,3中任取一个元素 ,0,1,2中任取一个元素 ,求方程 f(x)=0有两个不相 等实根的概率； (2)若 0,2中任取一个数 ,0,3中 任取一个数 ,求方程 f(x)=0没有实根的概率 . 解 (1) 0,1,2,3中任一个元素 ,0,1,2中任一个元素 , a,0,0),(0,1),(0,2),(1,0), (1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1), (3,2),其中第一个数表示 第二个数表示 取值 ,即基本事件总数为 12. 设“方程 f(x)=0有两个不相等的实根”为事件 A, 当 a0, b0 时 ,方程 f(x)=0有两个不相等实根的充要 条件为 ab. 当 aa,1,0),(2,0),(2,1), (3,0),(3,1),(3,2),即 , 方程 f(x)=0有两个不相等实根的概率 ) 0,2中任取一个数 , 0,3中任取一个数 ,则试 验的全部结果构成区域 =(a,b)| 0 a2,0 b3, 这是一个矩形 区域 ,其面积 设“方程 f(x)=0没有实根”为事件 B,则事件 的区域为 M=(a,b)|0 a2,0 b3, ab,即图中 阴影部分的梯形 ,其面积 由几何概型的概率计算公式可得方程 f(x)=0没有实根 的概率 它与古典概型的区别 是试验的可能结果不是有限个 在一个区域内均匀分布 ,所以随机事件的概率大小与 随机事件所在区域的形状位置无关 ,只与该区域的大 小有关 . 会问题”
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