【步步高】2013-2014学年高中数学 第2章2.2.3等差数列的前n项和(一) 课件+配套训练（打包2套）苏教版必修5
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第2章2.2.3等差数列的前n项和(一) 课件+配套训练（打包2套）苏教版必修5,步步高,学年,高中数学,等差数列,以及,课件,配套,训练,打包,苏教版,必修
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） 2 . 2 . 3 等差数列的前 n 项和 ( 一 ) 【 学习要 求 】 1 理解等差数列前 n 项和公式的推导过程 2 熟练掌握等差数列的五个量 d ， n ， 够由其中三个求另外两个 3 掌握等差数列前 n 项和公式及性质的应用 【 学法指导 】 1 运用等差数列的前 n 项和公式的关 键在于准确把握它们的结构特征，这样才能根据具体情境 ( 已知条件和待求目标 ) 选用恰当的公式解决问题 2 要善于从推导等差数列的前 n 项和公式中，归纳总结出一般的求和方法 倒序相加法 . ） 填一填 知识要点、记下疑难点 1 把 的前 n 项和，记做 ； 1 ( n 2) 2 若 是等差数列，则 ；若首项为 差为 d ，则 示为 . n a 1 a n 2 S n 1 12 n ( n 1) d （一） 填一填 知识要点、记下疑难点 3 写出下列常见等差数列的前 n 项和 ( 1) 1 2 3 n ( 2) 1 3 5 (2 n 1) . ( 3) 2 4 6 2 n . 12 n (n 1) n 2 n 2 n ） 填一填 知识要点、记下疑难点 4 等差数列 a n 中 ( 1) 已知 d 2 ， n 15 ， a n 10 ，则 S n _ _ ； ( 2) 已知 a 1 20 ， a n 54 ， S n 999 ，则 d _ _ ； ( 3) 已知 a 1 56， d 16， S n 5 ，则 n _ _. 360 1713 15 ） 问题情境 “ 数学王子 ” 高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名 高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把 1 到 100 的所有整数加起来，老师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去老师起初并不在意这一举动，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊而更 使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数的和是 101 ，第二个数加倒数第二个 研一研 问题探究、课堂更高效 ） 数的和也是 101 ， 共有 50 对这样的数，用 101 乘以 50 得到 5 050 ，这种算法是教师未曾教过的方法，高斯自己就想出来了，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？ 这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，这一节我们就来学习等差数列的求和方法 研一研 问题探究、课堂更高效 ） 探究点一 等差数列前 n 项和公式的推导 问题 求和： 1 2 3 100 ？ 对于这个问题，著名数学家高斯十 岁时就能很快求出它的结果当时他的思路和解答方法是： S 1 2 3 99 100 ，把加数倒序写一遍： S 100 99 98 2 1. 所以有 2 S (1 100) (2 99) (99 2) (100 1) 100 101 ， S 50 1 01 5 050. 请你利用 “ 高斯的算法 ” 求 1 2 3 n ？ 研一研 问题探究、课堂更高效 ） 解 设 S n 1 2 3 ( n 1) n ， 研一研 问题探究、课堂更高效 又 n ( n 1) ( n 2) 2 1 ， 2 S n (1 n ) 2 ( n 1 ) ( n 1) 2 ( n 1) ， 2 S n n ( n 1) ， S n n n 1 2 . ） 探究 设等差数列 的首项为 a 1 ，公差为 d ，你能利用 “ 倒序相加法 ” 求等差数列 a n 的前 n 项和 S n 吗？ 研一研 问题探究、课堂更高效 解 S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n a 1 ( a 1 d ) ( a 1 2 d ) a 1 ( n 2) d a 1 ( n 1) d ， S n a n a n 1 a n 2 a 2 a 1 a n ( a n d ) ( a n 2 d ) a n ( n 2) d a n ( n 1) d ， 2 S n ( a 1 a n ) n ， 由此可得等差数列 a n 的前 n 项和公式： S n n a 1 a n 2 . 根据等差数列的通项公式 a n a 1 ( n 1) d ， 代入上式可得 S n n n 1 2 d . ） 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 等差数列前 n 项和的性质 探究 1 设 是等差数列，公差为 d ， n 项和，易知 a1 1 2 a2 m， a2 m 1 a2 m 2 a3 差为 n 项和符号 成等差数列，则 ， 也成等差数列 2m 3 m S 2 m ） 研一研 问题探究、课堂更高效 探究 2 若数列 a n 是公差为 d 的等差数列，求证：数列 S 也是等差数列 证明 a n 是等差数列，公差为 d ， S n n n 1 2 d d2 ( n ， S d2 n a 1 S n 1n 1 S 常数 ) ， 数列 S 为等差数列，公差为 ） 探究 3 设 S n 、 T n 分别为两个等差数列 a n 和 b n 的前 n 项和，证明：a nb n S 2 n 1T 2 n 1. 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 S 2 n 1 12 (2 n 1) ( a 1 a 2 n 1 ) 2 n 12 2 a n (2 n 1) 同理 T 2 n 1 (2 n 1) b n ； S 2 n 1T 2 n 1 2 n 1 a n 2 n 1 b na nb n . 即a nb n S 2 n 1T 2 n 1. ） 【 典型例 题 】 例 1 在等差数列 a n 中，已知 d 2 ， a n 11 ， S n 35 ，求a 1 和 n . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 由 a n a 1 n 1 d ，S n n n 1 2 d ，得 a 1 2 n 1 11 ， n n 1 2 2 35 ，解方程组得 n 5a 1 3或 n 7 ，a 1 在解决等差数列问题时，如已知 a 1 ， a n ， n ， d ， S n 中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为 “ 知三求二 ” 型 ） 跟踪训练 1 已知等差数列 a n 中， ( 1) a 1 32， d 12， S n 15 ，求 n 及 a n ； ( 2) a 1 1 ， a n 512 ， S n 1 022 ，求 d . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) S n n 32 n n 1 2 ( 12 ) 15 ， 整理得 n 2 7 n 60 0 ，解之得 n 12 或 n 5( 舍去 ) ， a 12 32 ( 12 1) ( 12 ) 4. ( 2) 由 S n n a 1 a n 2 n 1 512 2 1 02 2 ， 解之得 n 4. 又由 a n a 1 ( n 1) d ，即 512 1 (4 1) d ， 解 之得 d 171. ） 例 2 ( 1) 等差数列 a n 的前 m 项和为 30 ，前 2 m 项和为 100 ，求数列 a n 的前 3 m 项的和 S 3 m ； ( 2) 两个等差数列 a n ， b n 的前 n 项和分别为 S n 和 T n ，已知S nT n7 n 2n 3，求a 5b 5的值 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) 方法一 在等差数列中， S m ， S 2 m S m ， S 3 m S 2 m 成等差数列 30,7 0 ， S 3 m 100 成等差数列 2 70 30 ( S 3 m 10 0) ， S 3 m 210. 方法二 在等差数列中， S S 2 m2 m ， S 3 m3 m 成等差数列， 2 S 2 m2 m S S 3 m3 m . 即 S 3 m 3( S 2 m S m ) 3 ( 10 0 30) 210. ( 2) a 59 a 1 a 9 9 b 9 S 96512 . ） 小结 等差数列前 n 项和 S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果 研一研 问题探究、课堂更高效 ） 跟踪训练 2 设 为等差数列， S n 为数列 a n 的前 n 项和，已知 S 7 7 ， S 15 75 ， T n 为数列S 前 n 项和，求 T n . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设等差数列 a n 的公差为 d ， 则 S n 12 n ( n 1) d ， 7 ， S 15 75 ， 7 a 1 21 d 715 a 1 105 d 75，即 a 1 3 d 1a 1 7 d 5， 解得 a 1 2d 1， S a 1 12 ( n 1) d 2 12 ( n 1) ， ） S n 1n 1S 12 ， 研一研 问题探究、课堂更高效 数列S 等差数列，其首项为 2 ，公差为12 ， n ( 2) n n 1 2 12 14 94 n . ） 例 3 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动，甲第 1 分钟走 2 m ，以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m ，乙每分钟走 5 m . ( 1) 甲、乙开始运动后几分钟相遇？ ( 2) 如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m ，乙继续每分钟走 5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) 设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意， 有 2 n n n 1 2 5 n 70 ， 整理得 n 2 13 n 140 0. 解之得 n 7 ， n 20( 舍去 ) ） 第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 2) 设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意， 有 2 n n n 1 2 5 n 3 70 ， 整理得 n 2 13 n 420 0. 解之得 n 15 ， n 28( 舍去 ) 第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟 小结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前 n 项和 ） 跟踪训练 3 现有 200 根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为_ 研一研 问题探究、课堂更高效 解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为 1 ，逐层增加 1 个 钢管总数为： 1 2 3 n n n 1 2 . 当 n 19 时， S 19 190. 当 n 20 时， S 20 210 200. n 19 时，剩余钢管根数最少，为 10 根 . 10 ） 1 记等差数列前 n 项和为 S n ，若 S 2 4 ， S 4 20 ，则该数列的公差 d _. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 由 S 2 2 a 1 d 4S 4 4 a 1 6 d 20，解得 d 3. 3 ） 2 已知等差数列 a n 中， a 2 a 8 8 ，则该数列的前 9 项和S 9 _. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 S 9 92 ( a 1 a 9 ) 92 ( a 2 a 8 ) 36. 36 ） 3 等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，若 S 12 84 ， S 20 460 ，则 S 6 _. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 a n 是等差数列， S n n n 1 2 d . 由 S 12 84 ， S 20 460 ，代入，得12 a 1 12 112 d 84 ，20 a 1 20 192 d 15 ， d 4. S 6 6 a 1 6 52 d 6 ( 15) 6 52 4 30. 30 ） 4 已知等差数列 a n 的前 3 项依次为 a, 4,3 a ，前 k 项和 S k 2 550 ，求 a 及 k . 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解 设等差数列 a n 的公差为 d ，则由题意得 a 3 a 2 4
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