二次函数知识点及其应用的总结

二次函数知识点总结 知识结构框图 一、二次函数的概念 形如 （a，b，c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数，其中 x，xy2 是自变量， 、 、 分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。 这 里 需 要 强 调： 和 一 元 二 次 方 程 类 似， 二 次 项 系 数 0a， 而bc 可 以 为 零 X 可 以 取 全 体 实 数 二、二次函数的一般表达式 1、 一般式： cbxay2（ a， b， c为常数， 0a） ； 2、 顶点式： kh)(（ ， h， k为常数， ）其中242bchka， ； 3、 两根式： 21212()(0,=)yxaxabxc其 中 是 y与 轴 交 点 的 横 坐 标 注 意： 任 何 二 次 函 数 的 解 析 式 都 3 可 以 化 成 一 般 式 或 顶 点 式， 但 并 非 所 有 的 二 次 函 数 都 可 以 写 成 交 点 式， 只 有 抛 物 线 与 x 轴 有 交 点， 即 240bac 时， 抛 物 线 的 解 析 式 才 可 以 用 交 点 式 表 示 二 次 函 数 解 析 式 的 这 三 种 形 式 可 以 互 化. 三、二次函数 2yaxbc的图像性质(轴对称图形) 1. 当 0a时，抛物线开口向上， 对称轴为 2xa， 顶点坐标为 24bac， 当 b时， y随 x的增大而减小；当 2x时， y随 x的增大而增大； 当 2xa时， 有最小值 24acb 2. 当 0时，抛物线开口向下， 对称轴为 bx，顶点坐标为 24ca， 当 2a时， y随 的增大而增大；当 2bx时， y随 x的增大而减小； 当 bx时， 有最大值 24acb 四、二次函数的图像与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 二次函数 2yxbc中， 作为二次项系数，显然 0a 5 当 0a时，抛物线开口向上， a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大； 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越 大 总结起来， a决定了抛物线开口的大小和方向， a的正负决定开口方向， a的大小决定开 口的大小 2. 一次项系数 b 在二次项系数 确定的前提下， b决定了抛物线的对称轴 在 0a的前提下， 当 b时， 2，即抛物线的对称轴在 y轴左侧； 当 时， a，即抛物线的对称轴就是 轴； 当 0b时， 02，即抛物线对称轴在 y轴的右侧 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 时， a，即抛物线的对称轴在 轴右侧； 当 0b时， 02，即抛物线的对称轴就是 y轴； 当 时， a，即抛物线对称轴在 轴的左侧 总结起来，在 确定的前提下， b决定了抛物线对称轴的位置 3. 常数项 c 当 0时，抛物线与 y轴的交点在 x轴上方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为正； 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 0； 当 0c时，抛物线与 y轴的交点在 x轴下方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为 负 总结起来， c决定了抛物线与 y轴交点的位置 总之，只要 ab，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 五、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）： 一元二次方程 20axbc是二次函数 2yabc当函数值 0y时的特殊情况. 图像与 轴的交点个数： 当 24时，图像与 x轴交于两点 120AxB， ， ， 12()x，其中的12x， 是一元二次方程 20abca的两根 ， 和的一半恰好是对称轴的横坐标. 当 0时，图像与 x轴只有一个交点； 当 时，图像与 轴没有交点.1 当 a时，图像落在 轴的上方，无论 x为任何实数，都有 0y；2 当 0时，图像落在 x轴的下方，无论 为任何实数，都有 2. 抛物线 2yaxbc的图像与 y轴一定相交，交点坐标为 (0， )c； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图像与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者 依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值； 根据图象的位置判断二次函数 2yaxbc中 a， b， c的符号，或由二次函数中 a，b ， c的符号判断图象的位置，要数形结合； （4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。 六、二次函数的几个特殊的基本形式 1. 二次函数基本形式： 2yax的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0，y轴 0x时， y随 x的增大而增大； 0x时， 随 的增大而减小； 时， y有最小值0 向下 ，轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 x的增大而增大； x时， 有最大值 7 3. 2yaxc的性质： y=2x 2-4 y=2x2+2 y=2x2 结论：上加下减。 总结： 4. 2yaxh的性质： y=3(x+4) 2 y=3(x-2)2y=3x2 y=-2(x+3) 2 y=-2(x-3)2y=-2x2 结论：左加右减。 总结： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0 向上 0c，y轴 0x时， y随 x的增大而增大； 0x时， 随 的增大而减小； 时， y有最小值c 向下 ，轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 x的增大而增大； 0x时， 有最大值 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 4. 2yaxhk的性质： 总结： y=2(x-4) 2-3 y=2(x-4)2y=2x2 七、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 2yaxhk，确定其顶点坐标 hk，； 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ “左加右减，上加下减” 0a向上 0h，X=h xh时， y随 x的增大而增大； xh时，随 的增大而减小； 时， y有最小值0 向下 ，X=h 时， 随 的增大而减小； 时，y 随 x的增大而增大； x