【步步高】2013-2014学年高中数学 第四章课件+基础过关训练（打包16
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步步高
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高中数学
第四
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16
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第四章课件+基础过关训练（打包16,步步高,学年,高中数学,第四,课件,基础,过关,训练,打包,16
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画一画 知识网络、结构更完善 题型一 求圆的方程 求圆的方程需要三个独立条件待定系数法是求圆的方程的基本方法，当题设中圆心的条件明确时，常设标准方程；当题设中圆与圆心、半径关系不密切，或更突出方程的二次形式时，常设圆的一般方程 研一研 题型解法、解题更高效 例 1 根据条件求下列圆的方程： ( 1) 求经过 A ( 6,5) ， B ( 0,1 ) 两点，并且圆心在直线 3 x 10 y 9 0 上的圆的方程 ； ( 2) 求半径为 10 ，圆心在直线 y 2 x 上，被直线 x y 0 截得的弦长为 4 2 的圆的方程 研一研 题型解法、解题更高效 解 ( 1) 由题意知线段 垂直平分线方程为 3 x 2 y 15 0 ， 由 3 x 2 y 15 0 ，3 x 10 y 9 0 ， 解得 x 7 ，y 3. 圆心 C (7 ， 3) ，半径 r | 65 . 所求圆的方程为 ( x 7) 2 ( y 3) 2 65. ( 2) 设圆的方程为 ( x a ) 2 ( y b ) 2 10 ， 圆心 C ( a ， b ) 在直线 y 2 x 上， b 2 a . 研一研 题型解法、解题更高效 由圆被直线 x y 0 截得的弦长为 4 2 . 将 y x 代入 ( x a ) 2 ( y b ) 2 10 ， 得 2 x 2 2( a b ) x a 2 b 2 10 0. 设直线 y x 交圆 C 于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 | x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 2 x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 4 2 ， ( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 2 16. x 1 x 2 a b ， x 1 x 2 b 2 102 ， ( a b ) 2 2( a 2 b 2 1 0) 16 ，即 a b 2. 又 b 2 a ， a 2 ，b 4 ， 或 a 2 ，b 4. 所求圆的方程为 ( x 2) 2 ( y 4) 2 10 或 ( x 2) 2 ( y 4) 2 10. 跟踪训练 1 已知点 P ( 2 ， 3) 和以点 Q 为圆心的圆 ( x 4)2 ( y 2)2 9 ， Q 为 中点 ( 1) 画出以 直径， Q 为圆心的圆，再求出它的方程； ( 2) 作出以 Q 为圆心的圆和以 Q 为圆心的圆的两个交点 A ，B . 直线 以 Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？ ( 3) 求直线 方程 研一研 题型解法、解题更高效 解 ( 1) 已知圆的方程为 ( x 4) 2 ( y 2) 2 3 2 ， Q ( 4,2) 点为 Q 1 ， 12 ， 半径为 r |2 612 ， 故以 Q 为圆心的圆的方程为 ( x 1) 2 y 12 2 61 4 . ( 2) 连接 研一研 题型解法、解题更高效 圆 Q 的直径， Q 的切线，同理 是 Q 的切线 ( 3) 将 Q 与 Q 方程相减，得 6 x 5 y 25 0. 此即为直线 方程 题型二 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断 方法有 两种：代数法 ( 通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断 ) 、几何法 ( 由圆心到直线的距离 r 的大小关系来判断 ) ( 1) 当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为 d r ，最小距离为 d r ，其中 d 为圆心到直线的距离 ( 2) 当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形； ( 3) 当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线，求过点 ( 圆的切线方程时，要判断点 ( 在圆上还是在圆外，若点 ( 在圆外，则切线有两条，要注意斜率不存在的情况也可能符合题意若点 ( 在圆 ( x a )2 ( y b )2 切线方程为 ( a )( x a ) ( b )( y b ) 研一研 题型解法、解题更高效 例 2 已知点 M ( 3,1) ，直线 y 4 0 及圆 ( x 1)2 ( y 2)2 4. ( 1) 求过 M 点的圆的切线方程； ( 2) 若直线 y 4 0 与圆相切，求 a 的值； ( 3) 若直线 y 4 0 与圆相交于 A ， B 两点，且弦 长为2 3 ，求 a 的值 研一研 题型解法、解题更高效 思维启迪： 设出切线方程 利用圆心到直线的距离等于半径求得参数 利用关系a 值 解 ( 1) 圆心 C ( 1,2) ，半径为 r 2 ， 研一研 题型解法、解题更高效 当直线的斜率不存在时，方程为 x 3. 由圆心 C ( 1,2) 到直线 x 3 的距离 d 3 1 2 r 知， 此时，直线与圆相切 当直线的斜率存在时，设方程为 y 1 k ( x 3) ， 即 y 1 3 k 0. 由题意知 |k 2 1 3 k |k 2 1 2 ，解得 k 34 . 方程为 y 1 34 ( x 3) ，即 3 x 4 y 5 0. 故过 M 点的圆的切线方程为 x 3 或 3 x 4 y 5 0. ( 2) 由题意有 |a 2 4|a 2 1 2 ，解得 a 0 或 a 43 . ( 3) 圆心到直线 y 4 0 的距离为 |a 2|a 2 1 ， |a 2|a 2 12 2 322 4 ，解得 a 34 . 跟踪训练 2 已知点 P ( 0,5) 及圆 C ： 4 x 12 y 24 0. ( 1) 若直线 l 过点 P ，且被圆 C 截得的线段长为 4 3 ，求 l 的方程； ( 2) 求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程 研一研 题型解法、解题更高效 解 ( 1) 如图所示， | 4 3 ，设 D 是线段 中点，则 | 2 3 ， | 4. 在 ，可得 | 2. 设所求直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程为： y 5 即 y 5 0. 由点 C 到直线 距离公式：| 2 k 6 5|k 2 1 2 ，得 k 34， 此时直线 l 的方程为 3 x 4 y 20 0. 又 直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x 0. 所求直线 l 的方程为 x 0 ，或 3 x 4 y 20 0. ( 2) 设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D ( x ， y ) ， 研一研 题型解法、解题更高效 则 所以 k k 1 ， 即y 6x 2 y 5x 1 ， 化简得所求轨迹方程为 x 2 y 2 2 x 11 y 30 0. 题型三 与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题，往往是已知圆的方程 f ( x ， y ) 0 ，求yx，y x ， 决的方法是：设 ( x ， y ) 是圆上任意一点，分别把给定的式子y x ， 样就把有关最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题，再根据圆的几何性质确定最值 研一研 题型解法、解题更高效 例 3 已知实数 x ， y 满足方程 4 x 1 0. ( 1) 求 y x 的最大值和最小值； ( 2) 求 研一研 题型解法、解题更高效 解 ( 1) 方程 x 2 y 2 4 x 1 0 可化为 ( x 2) 2 y 2 3 ，表示以( 2,0) 为圆心，以 3 为半径的圆 设 y x b ，则 y x 可看作是直线 y x b 在 y 轴上的截距， 当直线 y x b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值， 此时 |2 0 b |2 3 ，解得 b 2 6 . 所以 y x 的最大值为 2 6 ，最小值为 2 6 . ( 2) 平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆 的两个交点处取得最大值和最小值 研一研 题型解法、解题更高效 又因为圆心到原点的距离为 2 0 2 0 0 2 2 ， 所以 x 2 y 2 的最大值是 (2 3 ) 2 7 4 3 ， x 2 y 2 的最小值是 (2 3 ) 2 7 4 3 . 跟踪训练 3 如果实数 x ， y 满足方程 ( x 3)2 ( y 3)2 6 ，求： ( 1) ( 2) x y 的最大值与最小值 研一研 题型解法、解题更高效 解 ( 1) 设方程 ( x 3) 2 ( y 3) 2 6 所表示的圆 C 上的任意一点 P ( x ，y )P 的斜率，设k ，则直线 方程为y 由图 可知，当直线 圆相切时，斜率取最值 因为点 C 到直线 y 距离 d |3 k 3|k 2 1，所以当|3 k 3|k 2 1 6 ，即k 3 2 2 时，直线 圆相切 所以 2 2 与 3 2 2 . ( 2) 设 x y b ，则 y x b ，由图 知，当直线与圆 C 相切时，截距 b 取最值而圆心 C 到直线 y x b 的距离为 d |6 b |2. 研一研 题型解法、解题更高效 因为当|6 b |2 6 ，即 b 6 2 3 时，直线 y x b 与圆 C 相切，所以 x y 的最大值与最小值分别为 6 2 3 与 6 2 3 . 题型四 数形结合思想的应用 数形结合思想是解答数学问题的常用思想方法，在做选择、填空题时，有时常能收到奇效数形结合思想在解决圆的问题时有时非常简便，把条件中的数量关系问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题用数量关系表示出来，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法 研一研 题型解法、解题更高效 例 4 曲线 y 1 4 y k ( x 2) 4 有两个交点，则实数 k 的取值范围是 ( ) A.0 ，512B.512， C.13，34D.512，34研一研 题型解法、解题更高效 解析 首先明确曲线 y 1 4 由数形结合可得 512 k 34 . D 跟踪训练 4 直线 y x b 与曲线 x 1 b 的取值范围是 ( ) A | b | 2 B 1 b 1 或 b 2 C 1 b 1 D 非 A 、 B 、 C 的结论 研一研 题型解法、解题更高效 解析 作出曲线 x 1 y 2 和直线 y x b ， 利用图形直观考察它们的关系，寻找解决问题的办法 将曲线 x 1 1( x 0) 则满足|0 0 b |2 1 ， |b | 2 ， b 2 . 观察图象，可得当 b 2 或 1 b 1 时， 直线与曲线 x 1 y 2 有且仅有一个公共点 B 初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果 圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质： ( 1) 圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与
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