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步步高 学年 高中数学 第四 课件 基础 过关 训练 打包 16

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【步步高】2013-2014学年高中数学 第四章课件+基础过关训练（打包16,步步高,学年,高中数学,第四,课件,基础,过关,训练,打包,16

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4 . 圆的标准方程 学习要求 1 掌握圆的定义及标准方程； 2 能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程 学法指导 通过运用圆的定义及两点间的距离公式，推导出圆的标准方程，提高自己应用解析法研究几何问题的能力；通过对圆的标准方程的应用，培养自己观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力 . 填一填 知识要点、记下疑难点 1 圆的定义 ： 在平面内 ， 到 的距离等于 的点的集合 叫做圆 确定一个圆的基本要素是 和 2 设圆的圆心是 A ( a ， b ) ， 半径长为 r ， 则圆的标准方程是 ， 当圆的圆心在坐标原点 ， 圆的半径为 r 时 ， 则圆的标准方程是 . 3 设点 P 到圆心的距离为 d ， 圆的半径为 r ， 点 P 在圆外 ;点 P 在圆上 ； 点 P 在圆内 . 定点 定长 圆心 半径 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 x 2 y 2 r 2 dr d r dr 问题情境 在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这些就是本节我们要探讨的问题 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 圆的标准方程 问题 1 圆是怎样定义的 ？ 答 平面内到定点距离等于定长的点的集合 ( 轨迹 ) 是圆 定点就是圆心 ， 定长就是半径 问题 2 圆作为平面几何中的基本图 形 ， 确定它的要素又是什么呢 ？ 各要素与圆有怎样的关系 ？ 答 圆心和半径；圆心：确定圆的位置，半径：确定圆的大小 问题 3 设圆的圆心坐标为 A ( a ， b ) ，半径为 r ( 其中 a 、 b 、 r 都是常数， r 0) 设 M ( x ， y ) 为这个圆上任意一点，那么点 答 | r . 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 4 如果把圆看成是点的集合 ， M ( x ， y ) 为这个圆上任意一点 ，那么圆心为 A 的圆如何表示 ？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 P M | r 问题 5 用坐标表示点 M 适合的条件并化简将得到什么等式 ？ 答 | r ，由两点间的距离公式，得 x a 2 y b 2 r ，化简可得： ( x a )2 ( y b )2 问题 6 如何说明 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 就是圆心坐标为 A ( a ， b ) ，半径为 r 的圆的方程？ 答 若点 M ( x ， y ) 在圆上，由上述讨论可知，点 M 的坐标适合方程 ( x a )2 ( y b )2 之，若点 M ( x ， y ) 的坐标适合方程( x a )2 ( y b )2 就说明点 M 与圆心 A 的距离为 r ，即点M 在圆心为 A 的圆上 小结 方程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 就是圆心为 A ( a ， b ) ，半径为 们把它叫做圆的标准方 程 问题 7 点 M ( x 0 ， y 0 ) 与圆 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 的关系如何判断 ？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 ( 1) ( x 0 a ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2 ，点在圆外； ( 2 )( a )2 ( b )2 r 2 ， 点在圆上 ； ( 3 )( x 0 a ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2 ， 点在圆内 探究点二 圆的标准方程的应用 问题 从圆的标准方程所含的参数上 ， 你能分析出求圆的标准方程需要几个条件吗 ？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 在圆的标准方程中，含有三个参数分别是 a ， b ， r ，因此求圆的标准方程需要三个已知条件 例 1 写出圆心为 A (2 ， 3) ，半径长等于 5 的圆的方程，并判断点 M 1 (5 ， 7) ， M 2 ( 5 ， 1) 是否在这个圆上 研一研 问题探究、课堂更高效 解 圆心是 A (2 ， 3) ，半径长等于 5 的圆的标准方程是 ( x 2)2 ( y 3)2 25. 把点 M 1 (5 ， 7) 的坐标代入方程 ( x 2)2 ( y 3)2 25 ，左右两边相等，点 M 1 的坐标适合圆的方程，所以点 M 1 在这个圆上；把点 M 2 ( 5 ， 1) 的坐标代入方程 ( x 2)2 ( y 3)2 25 ，左右两边不相等，点 M 2 的坐标不适合圆的方程，所以点 M 2 不在这个圆上 小结 判断点与圆的位置关系，通常用两种方法，一种是利用点与圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系来判定，当 d r 时，点在圆外；当 d r 时，点在圆上；当 d r 时，点在圆内另一种方法是把点 P ( x 0 ， y 0 ) 代入圆的方程若 ( x x 0 )2 ( y y 0 )2 点 P 在圆外；若 ( x x 0 )2 ( y y 0 )2 点 P 在圆上；若 ( x x 0 )2 ( y y 0 )2 点 P 在圆内，这种方法实质上就是第一种方法的另外一种表达形式 跟踪训练 1 已知点 A ( 1,2) 在圆 C ： ( x a ) 2 ( y a ) 2 2 a 2 的内部，求 a 的取值范围 研一研 问题探究、课堂更高效 解 点 A ( 1 , 2 ) 在圆的内部， ( 1 a ) 2 ( 2 a ) 2 2 a 2 ，即 5 2 a 0 ， a 52， a 的取值范围是 (52 ， ) 例 2 的三个顶点的坐标分别是 A ( 5,1) ， B (7 ， 3) ， C (2 ， 8) 求它的外接圆的方程 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设所求圆的方程是 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 . 因为 A ( 5 , 1 ) ， B ( 7 ， 3 ) ， C ( 2 ， 8 ) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程 . 于是 5 a 2 1 b 2 r 2 7 a 2 3 b 2 r 2 2 a 2 8 b 2 r 2，解方程组，得 a 2b 3r 2 25所以， 外接圆的方程是 ( x 2 ) 2 ( y 3 ) 2 25. 小结 本例是用待定系数法求圆的标准方程，即先设出圆的标准方程，把已知条件代入方程，得到关于 a ， b ， r 的三个方程组成的方程组，解方程组求出 a ， b ， r ，再将 a ， b ， r 的值代入标准方程 跟踪训练 2 已知三点 A ( 3 , 2 ) ， B ( 5 ， 3 ) ， C ( 1 , 3 ) ， 以 P ( 2 ， 1 ) 为圆心作一个圆 ， 使 A 、 B 、 C 三点中一点在圆外 ， 一点在圆上 ， 一点在圆内 ， 求这个圆的方程 研一研 问题探究、课堂更高效 解 要使 A 、 B 、 C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是 |、 |、 |中的中间值 由于 | 10 ， | 13 ， | 25 . 即 | | |， 所以圆的半径 r | 13 . 故所求的圆的方程为 ( x 2 ) 2 ( y 1 ) 2 13. 例 3 已知圆心为 C 的圆经过点 A ( 1 , 1 ) 和 B ( 2 ， 2 ) ， 且圆心 C 在直线 l ： x y 1 0 上 ， 求圆心为 C 的圆的标准方程 研一研 问题探究、课堂更高效 解 因为 A ( 1,1) ， B (2 ， 2) ，所以线段 中点 D 的坐标为 (32，12) ，直线 斜率 k 2 12 1 3 ，因此线段 垂直平分线 l 的方程是 y 1213( x 32) ，即 x 3 y 3 0. 圆心 C 的坐标是方程组x 3 y 3 0x y 1 0的解解此方程组，得x 3y 2. 所以圆心 C 的坐标是 ( 3 ， 2) 圆心为 C 的圆的半径长 r | 1 3 2 1 2 2 5. 所以，圆心为 C 的圆的标准方程是 ( x 3 ) 2 ( y 2 ) 2 25. 小结 本例充分利用了圆的几何性质得到圆心所在的位置是两条直线的交点，然后利用代数的方法通过解方程组求出了圆心坐标，最后利用两点间的距离公式求出了半径 这种思考的方法称为几何法，有些与圆有关的问题充 分利用几何性质求解往往比较简便 本例也可用待定系数法求圆的标准方程 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 3 用待定系数法求例 3 中的圆的标准方程 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设所求 圆的方 程为 ( x a )2 ( y b )2 由题意得 1 a 2 1 b 2 2 a 2 2 b 2 r2，a b 1 a 3b 225. 所以所求圆的标准方程是 ( x 3 ) 2 ( y 2 ) 2 25. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 圆心是 O ( 3 , 4 ) ， 半径长为 5 的圆的方程为 ( ) A ( x 3 )2 ( y 4 )2 5 B ( x 3 )2 ( y 4 )2 25 C ( x 3 )2 ( y 4 )2 5 D ( x 3 )2 ( y 4 )2 25 解析 将 O ( 3 , 4 ) ， r 5 代入圆的标准方程可得 D 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 已知以点 A ( 2 ， 3 ) 为圆心 ， 半径长等于 5 的圆 O ， 则点M ( 5 ， 7 ) 与圆 O 的位置关系是 ( ) A 点在圆内 B 点在圆上 C 点在圆外 D 无 法判断 B 解析 点 M ( 5 ， 7 ) 到圆心 A ( 2 ， 3 ) 的距离为 5 ，恰好等于半径长，故点在圆上 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 圆心在 y 轴上 ， 半径为 1 ， 且过点 ( 1 , 2 ) 的圆的方程为 ( ) A ( y 2 )2 1 B ( y 2 )2 1 C ( x 1 )2 ( y 3 )2 1 D ( y 3 )2 1 解析 设圆心坐标为 (0 ， b ) ，则由题意知 A 0 1 2 b 2 2 1 ，解得 b 2 ， 故圆的方程为 x 2 ( y 2 ) 2 1. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 求 圆的标准方程常用方法： ( 1 ) 利用待定系数法确定 a ， b ，r . ( 2 ) 利用几何条件确定圆心坐标与半径 2 点与圆的位置关系的判定： ( 1 ) 利用点到圆心距离 d 与圆半径 r 比较 ( 2 ) 利用圆的标准方程直接判断，即 ( a )2 ( b )2与 3 与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解 . 4 . 1 . 2 圆的一般方 程 学习要求 1 掌握圆的一般方程 及其特点； 2 会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小； 3 能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程 学法指导 通过对方程 F 0 表示圆的条件的探究，提高探索发现及分析问题的能力；体验数形结合、化归与转化等数学思想方法；通过求圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力 . 填一填 知识要点、记下疑难点 1 圆的一般方程的定义 ( 1) 当 时，方程 F 0 叫 做圆的一般方程，其圆心为 ，半径为 . ( 2) 当 4 F 0 时，方程 F 0 表 示点 . ( 3) 当 时，方程 F 0不表示任何图形 D 2 E 2 4 F 0 12 D 2 E 2 4 F D 2 E 2 4 F 0) ，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点 M 在圆外 F 0 点 M 在圆上 F 0 点 M 在圆内 F 0 问题情境 把圆的标准方程 ( x a )2 ( y b )2 x22 2 0 ，取 D 2 a ， E 2 b ， F F 0 ，显然这个方程也是圆的方程反过来给出一个形如 F 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？本节就来探讨这个 问题 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 圆的一般方程 问题 1 方程 x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 表示 什么图形？ x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 表示什么图形？ 答 对方程 2 x 4 y 1 0 配方，得方程 ( x 1)2 ( y 2)2 4 ，它表示圆心为 (1 ， 2) ，半径为 2 的圆；对方程 x22 x 4 y 6 0 配方，得 ( x 1)2 ( y 2)2 1 ，由于不存在点 ( x ， y ) 满足这个方程，所以它不表示任何图形 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 把 x 2 y 2 F 0 配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是表示圆？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 得到的方程为 ( x ( y 4 当 4 F 0 时，该方程表示以 ( 为圆心， 124 F 为半径的圆；当 4 F 0 时，方程只有实数解 x y 只表示一个点 ( ；当 4 F 0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 小结 当 D 2 E 2 4 F 0 时， x 2 y 2 F 0 表示一个圆，我们把 x 2 y 2 F 0 叫做圆的一般方程 问题 3 观察圆的一般方程，你能归纳出圆的一般方程的特点吗？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 x 2 和 y 2 的系数相同都等于 1 ； 没有 样的二次项 研一研 问题探究、课堂更高效 例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径 ( 1) 4 4 4 x 12 y 9 0 ； ( 2) 4 4 4 x 12 y 11 0. 解 ( 1) 将原方程变为 x 2 y 2 x 3 y 94 0 ， D 1 ， E 3 ， F 94 . D 2 E 2 4 F 1 0 ， 此方程表示圆，圆心坐标为 ( 12 ， 32 ) ，半径 r 12 . ( 2) 将原方程化为 x 2 y 2 x 3 y 114 0 ， D 1 ， E 3 ， F 114 . D 2 E 2 4 F 1 0 ， 此方程不表示圆 小结 圆的标准方程： ( x a )2 ( y b )2 确了圆心 C ( a ，b ) ，半径 r . 把标准方程展开就可得圆的一般方程： F 0 ，仅当 4 F 0 时，方程才表示圆 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 判断下列方 程是否表示圆，若是，化成标准方程 ( 1) x 2 y 2 2 x 1 0 ； ( 2) x 2 y 2 20 x 121 0 ； ( 3) x 2 y 2 2 0. 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) 原方程可化为 ( x 1) 2 y 2 0 ，它表示点 ( 1,0) ，不表示圆； ( 2) 原方程可化为 ( x 10) 2 y 2 21 0 ，故方程不表示任何图形，故不能表示圆； ( 3) 原方程可化为 ( x a ) 2 y 2 a 2 . 当 a 0 时，方程表示点 ( a, 0) 即点 ( 0,0 ) ，不表示圆； 当 a 0 时，方程表示以 ( a, 0) 为圆心，半径为 |a |的圆，标准方程为 ( x a ) 2 y 2 a 2 . 探究点二 圆的一般方程的应用 问题 1 求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 圆的一般方程中有三个待定的系数 D 、 E 、 F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了 问题 2 求圆的方程常用 “ 待定系数法 ” 用 “ 待定系数法 ” 求圆的方程的大致步骤是怎样的？ 答 ( 1) 根据题意，选择标准方程或一般方程； ( 2) 根据条件列出关于 a ， b ， r 或 D ， E ， F 的方程组； ( 3) 解出 a ， b ， r 或 D ， E ， F ，代入标准方程或一般方程 例 2 求过三点 A ( 0,0) ， B ( 1,1) ， C ( 4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设所求的圆的方程为： F 0. A ( 0,0) ， B ( 1,1) ， C ( 4, 2) 在圆上，所以它们的坐标是方程的解把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于 D 、 E 、 即 F 0D E F 2 04 D 2 E F 20 0. 解此方程组，可得： D 8 ， E 6 ， F 0 ， 所求圆的方程为： x 2 y 2 8 x 6 y 0. r 12 D 2 E 2 4 F 5 ； 4 ， 3 ， 得圆心坐标为 (4 ， 3) 小结 求圆的方程需知三个条件，过不共线三点求圆的方程，用一般式简单；知圆心和半径用标准式简单本题是用 “ 待定系数法 ” 求圆的方程，用 “ 待定系数法 ” 求圆的方程的大致步骤是：( 1) 设出所求圆的方程； ( 2) 根据条件列出关于 a ， b ， r 或 D 、 E 、 研一研 问题探究、课堂更高效 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 已知方程 x 2 y 2 2( t 3) x 2 ( 1 t 2 ) y t 4 6 t 2 9 0 表示一个圆，求 t 的取值范围及圆半径 r 的取值范围 解 原方程表示一个圆的条件是 D 2 E 2 4 F 4( t 3) 2 4( 1 t 2 ) 2 4( t 4 6 t 2 9) 0 ， 即 7 t 2 6 t 1 0 ， 17 t 1. r 2 D 2 E 2 4 ( t 3)2 (1 t 2 ) 2 ( t 4 6 t 2 9) 7 t 2 6 t 1 7( t 37 )2 167 . 0 r 2 167 ， 0 r 4 77 . 研一研 问题探究、课堂更高效 例 3 已知线段 端点 B 的坐标是 ( 4,3) ，端点 A 在圆 ( x 1) 2 y 2 4 上运动，求线段 中点 M 的轨迹方程 解 设点 M 的坐标是 ( x ， y ) ，点 A 的坐标是 ( x 0 ，y 0 ) ，由于点 B 的坐标是 ( 4,3) 且 M 是线段 所以 x x 0 42 ， y y 0 32 ， 于是有 2 x 4 ， y 0 2 y 3. 因为点 A 在圆 ( x 1) 2 y 2 4 上运动， 所以点 A 的坐标满足方程 ( x 1) 2 y 2 4 ， 即 ( x 0 1) 2 y 20 4 ， 把 代入 ，得 (2 x 4 1) 2 (2 y 3) 2 4 ， 研一研 问题探究、课堂更高效 整理，得 ( x 32) 2 ( y 32) 2 1. 所以，点 M 的轨迹是以 (32，32) 为圆心， 半径长为 1 的圆 小结 本题求轨迹方程的方法称为代入法若点 A 的运动与点 B 的运动相关，且点 B 的运动有规律或在某一曲线上运动，则找出两点坐标的关系，用 A 点坐标表示出 B 点坐标，代入点 B 所满足的方程，整理即得点 A 的轨迹方程 画板演示 跟踪训练 3 等腰三角形的顶点是 A ( 4,2) ，底边的一个端点是B ( 3,5) ，求另一个端点 C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设另一端点 C 的坐标为 ( x ， y ) ， 依题意，得 | |，由两点间距离公式， 得 x 4 2 y 2 2 4 3 2 2 5 2 . 平方整理，得 ( x 4) 2 ( y 2) 2 10. 这是以点 A ( 4,2 ) 为圆心，以 10 为半径的圆， 但 A 、 B 、 C 为三角形的顶点， A 、 B 、 C 三点不共线 当 B 与 C 重合时， C ( 3,5 ) ，当 直径时， C (5 ， 1) ， 端点 C 的轨迹方程是 ( x 4) 2 ( y 2) 2 10 ( 3 x y 14 0) 故端点 C 的轨迹是以 A ( 4,2 ) 为圆心， 10 为半径的圆，但要除去 ( 3,5 )和 (5 ， 1) 两点 . 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 将圆 2 x 4 y 1 0 平分的直线是 ( ) A x y 1 0 B x y 3 0 C x y 1 0 D x y 3 0 解析 根据圆心在直线上求解 B 因为圆心是 ( 1,2) ，所以将圆心坐标代入各选项验证知选 C. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 圆 2 2 6 x 4 y 3 0 的圆心坐标和半径分别为 ( ) A.32， 1 和194B (3,2) 和192C.32， 1 和192D.32， 1 和192C 解析 由一般方程圆心 半径 r 12 E 2 4 F 两公式易得答案 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 圆 2 x 4 y 3 0 的圆心到直线 x y 1 的距离为 ( ) A 2 1 D. 2 解析 因为圆心坐标为 (1 ， 2) ，所以圆心到直线 x y 1 的距离为 d |1 2 1|2 2 . D 练一练 当堂检测、目标达成落实处 4 已知圆 2 x 4 y a 0 关于直线 y 2 x b 成轴对称，则 a b 的取值范围是 _ 解析 由题意知，直线 y 2 x b 过圆心，而圆心坐标为 ( 1,2 ) ，代入直线方程，得 b 4 ， 圆的方程化为标准方程为 ( x 1) 2 ( y 2) 2 5 a ，所以 a 5 ，由此，得 a b 1. ( ， 1) 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 圆的一般方程 F 0 来源于圆的标准方程 ( x a )2 ( y b )2 在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件 2 圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况来确定是设圆的标准方程还是设圆的一般方程，以便简化解题过程 3 涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般 步骤 . 4 . 直线与圆的位置关系 学习要求 1 掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离； 2 会用代数法 和几何法来判定直线与圆的三种位置关系； 3 会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 学法指导 通过观察图形，探究出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系是判断直线与圆位置关系的依据，从而理解并掌握判断直线与圆位置关系的方法，感悟数形结合的思想通过判断直线与圆的方程组成的方程组的解的情况，理解代数法也可以判断直线与圆的位置关系 填一填 知识要点、记下疑难点 直线 C 0 与圆 ( x a )2 ( y b )2 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 几何法：设圆心到直线的距离 d | C | r d r d r 判 定 方 法 代数法：由 C 0 x a 2 y b 2 0 0 0 2 1 0 r ，直线与圆相离；若 d r ，直线与圆相切；若 d r ，直线与圆相交 问题 5 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 答 ( 1) 如果直线 的方程分别为： C 0 ， ( x a )2 ( y b )2 可以用圆心 C ( a ， b ) 到直线的距离 d | C |与圆 C 的半径 r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系； ( 2) 把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的对应方程组成的方程组 C 0 F 0的解的个数问题，这样当方程组无解时，直线与圆相离；方程组有一解时，直线与圆相切；方程组有两解时，直线与圆相交 研一研 问题探究、课堂更高效 例 1 已知直线 l ： 3 x y 6 0 和圆心为 C 的圆 2 y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它 们交点的坐标 解 方法一 由直线与圆的方程， 得 3 x y 6 0x 2 y 2 2 y 4 0 . 消去 y ，得 x 2 3 x 2 0 ，因为 ( 3) 2 4 1 2 1 0 ， 所以，直线与圆相交，有两个公共点 方法二 圆的方程配方，得 x 2 ( y 1) 2 5 ，圆心 C 的坐标为( 0,1 ) ，半径长为 5 ，圆心 C 到直线的距离 d |3 0 1 1 6|3 2 1 2 510 5 . 所以，直线与圆相交，有两个公共点 研一研 问题探究、课堂更高效 由方程 3 x 2 0 ， 解得 x 1 1 ， x 2 2. 可求得两个交点坐标为 ( 1,3) ， ( 2,0) 小结 判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：一是利用直线与圆的交点个数；二是利用圆心到直线的距离 d 与圆半径长的大小关系 跟踪训练 1 已知圆的方程 2 ，直线 y x b ，当 b 为何值时： ( 1) 圆与直线有两个公共点； ( 2) 圆与直线只有一个公共点； ( 3) 圆与直线没有公共点 研一研 问题探究、课堂更高效 解 方法一 圆心 O ( 0,0) 到直线 y x b 的距离为 d |b |2，圆的半径 r 2 . ( 1) 当 d r ，即 2 b 2 时，直线与圆相交，有两个公共点； ( 2) 当 d r ，即 b 2 时，直线与圆相切，有一个公共点； ( 3) 当 d r ，即 b 2 或 b 2 时，直线与圆相离，无公共点 消去 y 2 得 2 x 2 2 b 2 2 0 ， 16 4 b 2 . 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 1) 当 0 ，即 2 b 2 时，直线与圆有两个公共点； ( 2) 当 0 ，即 b 2 时，直线与圆有一个公共点； ( 3) 当 0 即 b 2 或 b 2 时，直线与圆无公共点 探究点二 与直线截圆所得弦长有关的问题 研一研 问题探究、课堂更高效 例 2 已知过点 M ( 3 ， 3) 的直线 l 被圆 4 y 21 0 所截得的弦长为 4 5 ，求直线 l 的方程 解 将圆的方程写成标准形式，得 x 2 ( y 2) 2 25 ，所以，圆心的坐标是 (0 ， 2) ，半径 r 5. 因为直线被圆截得的弦长为 4 5 ， 所以，弦心距为 5 2 4 52 2 5 ， 设过点 M 的直线方程为 y 3 k ( x 3) ， 即 y 3 k 3 0. 由弦心距为 5 ，得 |0 2 3 k 3|k 2 1 5 ， 解得 k 12 ，或 k 2 ， 所以，所求直线有两条，它们的方程分别为 x 2 y 9 0 ，或2 x y 3 0. 小结 涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算 研一研 问题探究、课堂更高效 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 直线 x 3 y 2 0 与圆 x 2 y 2 4 相交于 A ， 弦 长度等于 ( ) A 2 5 B 2 3 C. 3 D 1 解析 利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解 圆心到直线 x 3 y 2 0 的距离 d |0 3 0 2|1 2 3 2 1 ，半径 r 2 ， 弦长 | 2 r 2 d 2 2 2 2 1 2 2 3 . B 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 直线 y x 1 与圆 1 的位置关系是 ( ) A 相切 B 相交但直线不过圆心 C 直线过圆心 D 相离 解析 圆心到直线的距离 d 11 122 1 ， B 又 直线 y x 1 不过圆心 ( 0,0) ， 选 B. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 已知 P ( x ， y )| x y 2 ， Q ( x ， y )| 2 ，那么 P Q 为 ( ) A B ( 1,1) C (1,1) D ( 1 ， 1) C 解析 解方程组 y 2 2x y 2 ，得 x y 1. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 直线 y x 被圆 x 2 ( y 2) 2 4 截得的弦长为 _ _ _ _ _ 解析 方法一 求出圆心到直线的距离，利用 “ 弦心距、半弦长、半径 ” 构成直角三角形求解 x 2 ( y 2) 2 4 ， 圆心坐标为 ( 0,2 ) 又点 ( 0,2 ) 到直线 y x 0 的距离为22 2 ，且圆的半径为 2 ， 由 “ 弦心距、半弦长、半径 ” 构成直角三角形可知，弦长为2 4 2 2 2 . 方法二 将 y x 代入 x 2 ( y 2) 2 4 求出两交点坐标，根据弦长公式求解 将 y x 代入 x 2 ( y 2) 2 4 ，解得 y 0 或 y 2 ， 故直线 y x 与圆 x 2 ( y 2) 2 4 的两交点坐标为 A ( 0,0) ， B ( 2,2) 故 | 2 2 . 2 2 练一练 当堂检测、目标达成落实处 4 过点 M ( 3,2) 作 O ： 4 x 2 y 4 0 的切线，则切线方程是 _ _ _ _ _ 解析 易知所求切线不可能垂直于 x 轴，故切线斜率必定存在 设切线方程为 y 2 k ( x 3) ，即 y 2 3 k 0 ， y 2 或 5 x 12 y 9 0 由| 2 k 1 2 3 k |k 2 1 2 1 ，得 k 512 或 k 0 ，代入即可求得 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷 2 一般地，在解决圆和直线相交的问题时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形还可以联立方程组，消去 x 或 y ，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l 1 4 1 | 3 研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条 . 4 . 2 . 2 圆与圆的位置关系 学习要求 1 理解圆与圆的位置关系的种类； 2 掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系； 3 体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性 学法指导 通过观察图形，探究出两圆的圆心之间的距离与两半径和与差的大小关系作为判断两圆位置关系的方法，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养数形结合的思想 填一填 知识要点、记下疑难点 1 几何法判定圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为 圆的圆心距为 d ，则两圆的位置关系的判断方法如下： ( 1) 当 d 2； ( 2) 当 d 2； ( 3) 当 | 时，两圆 ；当 0 时，两圆 ；当 0 时，两圆相交，当 0 时，两圆相外切或内切，当 0 时，两圆外离或内含 例 1 已知圆 C 1 ： x 2 y 2 2 x 8 y 8 0 ，圆 C 2 ： x 2 y 2 4 x 4 y 2 0 ，试判断圆 C 1 与圆 C 2 的位置关系 研一研 问题探究、课堂更高效 解 方法一 圆 C 1 与圆 C 2 的方程联立，得到方程组 y 2 2 x 8 y 8 0 ， x 2 y 2 4 x 4 y 2 0 ，得 x 2 y 1 0 ，即 y 1 y 1 ，并整理，得 2 x 3 0. 由 ( 2)2 4 1 ( 3) 16 0 ，所以， 2 x 3 0 有两个不相 等的实数根 x 1 ， x 2 ，把 x 1 ， x 2 分别代入方程 x 2 y 1 0 ， 得到 y 2 . 因此圆 C 1 与圆 C 2 有两个不同的公共点 A ( x 1 ， y 1 ) ，B ( x 2 ， y 2 ) ，即圆 C 1 与圆 C 2 相交 研一研 问题探究、课堂更高效 方法二 把圆 ( x 1)2 ( y 4)2 1的圆心是点 ( 1 ， 4) ，半径长 5. 把圆 ( x 2)2 ( y 2)2 10. 圆 2,2) ，半径长10 . 圆 2连心线的长为 1 2 2 4 2 23 5 ，圆 2的两半径长之和是 5 10 ，两半径长之差 5 10 . 而 5 10 3 5 5 10 ，即 3 5 以圆 2相交 小结 和判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的个数，但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训 练 1 圆 A ： 4 x 2 y 1 0 与圆 B ： 2 x 6 y 1 0 的位置关系是 ( ) A 相交 B 外离 C 外切 D 内含 研一研 问题探究、课堂更高效 解析 圆 A 的标准方程为 ( x 2)2 ( y 1)2 4 ，圆 B 的标准方程为 ( x 1)2 ( y 3)2 9 ，两圆心之间的距离为 2 1 2 1 3 2 5 2 3 ，即两圆心距 r 1 r 2 ，故两圆外切 C 探究点二 与两圆相切有关的问题 例 2 求与圆 2 x 0 外切且与直线 x 3 y 0 切于点(3 ， 3 ) 的圆的方程 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设所求圆的方程为 ( x a )2 ( y b )2 r 0) ，将 2 x 0 化为标准形式为 ( x 1)2 1 ，由题意可得 a 1 2 r 1 ，|a 3 b |2 r ，b 3a 3 13 a 4 ，b 0 ，r a 0 ，b 4 3r x 4) 2 y 2 4 或 x 2 ( y 4 3 ) 2 36. 小结 求圆的方程需要三个条件，由三个条件可得关于圆心 a ， r 的三个方程，解方程组求出 a ， b ， r 即可得圆的方程 研一研 问题探究、课堂更高效 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 已知圆 C 1 ： x 2 y 2 2 x 6 y 1 0 ，圆 C 2 ： x 2 y 2 4 x 2 y 11 0 ，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 解 设两圆交点为 A ( x 1 ， y 1 ) 、 B ( x 2 ， y 2 ) ，则 A 、 B 两点坐标是方程组 y 2 2 x 6 y 1 0 x 2 y 2 4 x 2 y 11 0 的解， 得 3 x 4 y 6 0 ， A 、 B 两点坐标都满足此方程， 3 x 4 y 6 0 即为两圆公共弦所在的直线方程易知圆 C 1 的圆心坐标为 ( 1,3 ) ，半径 r 3. d | 1 3 4 3 6|3 2 4 295 . | 2 r 2 d 2 2 3 2 95 2 245 . 即两圆的公共弦长为245 . 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点三 求过直线与圆或圆与圆交点的圆 的方程 问题 1 若两圆 C 1 ： x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 和 C 2 ： x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0 相交， M ( x 0 ， y 0 ) 为一个交点，则点 M ( x 0 ，y 0 ) 在直线 ( D 1 D 2 ) x ( E 1 E 2 ) y F 1 F 2 0 上吗？为什么？ 答 M ( x 0 ， y 0 ) 在直线 ( D 1 D 2 ) x ( E 1 E 2 ) y F 1 F 2 0 上因为 M ( x 0 ， y 0 ) 为两圆的交点，所以 M ( x 0 ， y 0 ) 既适合圆 C 1 的方程也适合圆 C 2 的方程， 所以有 D 1 x 0 E 1 y 0 F 1 0 ， x 20 y 20 D 2 x 0 E 2 y 0 F 2 0. 由 ，得 ( D 1 D 2 ) x 0 ( E 1 E 2 ) y 0 F 1 F 2 0 ，这个方程说明了 M ( x 0 ， y 0 ) 在直线 ( D 1 D 2 ) x ( E 1 E 2 ) y F 1 F 2 0 上 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 若两圆 C 1 ： x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 和 C 2 ： x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0 相交，它们的交点弦所在的直线方程是什么？为什么？ 答 它们的交点弦所在的直线方程为： ( D 1 D 2 ) x ( E 1 E 2 ) y F 1 F 2 0. 设两圆的两个交点为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 由问题 1知点 A ( x 1