【步步高】2013-2014学年高中数学 第四章课件+基础过关训练（打包16
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步步高
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16
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第四章课件+基础过关训练（打包16,步步高,学年,高中数学,第四,课件,基础,过关,训练,打包,16
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4 . 2 . 3 直线与圆的方程的应用 学习要求 1 理解直线与圆的位置关系的几何性质； 2 会建立平面直角坐标系利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题； 3 会用 “ 数形结合 ” 的数学思想解决问题 学法指导 通过直线与圆的方程在实际生活中的应用，培养分析问题与解决问题的能力，提高应用 “ 数形结合 ” 的数学思想解决问题的能力 . 填一填 知识要点、记下疑难点 用坐标方法解决平面几何问题的 “ 三步曲 ” ： 问题情境 直 线与圆的方程的应用非常广泛，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决本节我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用 研一研 题型解法、解题更高效 题型一 直线与圆的方程在实际生活中的应用 例 1 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图这个圆的圆拱跨度 20 m ，拱高 4 m ，建造时每间隔 4 m 需要用一根支柱支撑，求支柱 A 2 P 2 的高度 ( 精确到 m ) 解 建立如图所示的直角坐标系，使圆心在 y 轴上设圆心的坐标是 (0 ， b ) ，圆的半径是 r ，那么圆的方程是 ( y b )2 下面确定 b 和 r 的值因为 P 、 B 都在圆上，所以它们的坐标( 0,4 ) ， ( 10, 0) 都满足方程 x 2 ( y b ) 2 r 2 . 于是， 得到方程组 02 4 b 2 r 2 ，10 2 0 b 2 r 2 研一研 题型解法、解题更高效 解得 b r 2 14. 5 2 . 所以，圆的方程是 ( y 1 把点 P 2 的横坐标 x 2 代入圆的方程， 得 ( 2) 2 ( y 2 ， 即 y 2 2 ( P 2 的纵坐标 y 0 ，平方根取正值 ) 所以 y 2 2 m) 答 支柱 A 2 P 2 的高度约为 m. 研一研 题型解法、解题更高效 小结 解决直线与圆的实际应用题的步骤为： ( 1) 审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； ( 2) 建系：建立适当 的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素； ( 3) 求解：利用直线与圆的有关知识求出未知； ( 4) 还原：将运算结果还原到实际问题中去 研一研 题型解法、解题更高效 跟踪训练 1 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 60 ，受影响的范围是半径长为 20 k m 的圆形区域已知港口位于台风中心正北 30 k m 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 解 建立如图所示的直角坐标系，取 10 单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为： ( 6,0) ， ( 0,3) ， 所以轮船航线所在直线方程为 1 ， 即 x 2 y 6 0 ， 台风圆域边界所在圆的方程为 x 2 y 2 4. 研一研 题型解法、解题更高效 由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离 d | 6|12 22 652. 所以直线 x 2 y 6 0 与圆 x 2 y 2 4 相离， 因此这艘轮船不改变航线，那么它也不会受到台风的影响 研一研 题型解法、解题更高效 题型二 用代数法证明几何 问题 例 2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半 证明 如图，以四边形 D 互相垂直的对角线 在直线分别为 x 轴， y 轴，建立直角坐标系设 A ( a, 0) ， B (0 ， b ) ， C ( c, 0) ，D (0 ， d ) 过四边形 D 外接圆的圆心 O 分别作 垂线，垂足分别为 M 、 N 、 E ，则 M 、 N 、 E 分别是线段 中点 由线段的中点坐标公式， 得 x O x M a y O y N b x E y E 所以 |O E | 2 2 12 c 2 . 又 |b 2 c 2 ，所以 |O E |12 |. 研一研 题型解法、解题更高效 小结 用坐标方法解决平面几何问题的步骤为：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元 素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果 “ 翻译 ” 成几何结论 研一研 题型解法、解题更高效 跟踪训练 2 斜边 定长 m ，以斜边的中点 O 为圆心作半径为定长 n 的圆， 在直线交此圆于 P 、 Q 两点，求证： | 2 | 2 | 2为定值 证明 如右图，以 O 为原点，分别以直线过 O 点且垂直于 直线为 x 轴， y 轴建立直角坐标系于是有 B ( 0) ， C () ， P ( 0) ， Q (0) 设 A ( x ， y ) ，由已知，得点 A 在圆 x 2 y 2 | 2 | 2 | 2 ( x 2 y 2 ( x 2 y 2 n 2 2 x 2 2 y 2 32 32 定值 ) 研一研 题型解法、解题更高效 题型三 直线与圆中的最值问题 例 3 某圆拱桥的水面跨度 20 m ，拱高 4 m 现有一船，宽10 m ，水面以上高 3 m ，这 条船能否从桥下通过？ 解 建立如图所示的坐标系依题意，有 A ( 10,0 ) ， B ( 10,0 ) ， P ( 0,4 ) ， D ( 5,0) ， E ( 5,0) 设所求圆的方程是 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 ， 于是有 a 10 2 b 2 r 2 ， a 10 2 b 2 r 2 ，a 2 b 4 2 r 2 a 0 ， b 10. 5 ， r 14. 5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x 2 ( y 10 2 14 (0 y 4) 把点 D 的横坐标 x 5 代入上式，得 y 由于船在水面以上高 3 m ,3 所以该船可以从桥下穿过 研一研 题型解法、解题更高效 小结 针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题 研一研 题型解法、解题更高效 跟踪训练 3 设半径为 3 k m 的圆形村落， A 、 B 两人同时从村落中心出发， A 向东， B 向北， A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与 B 相遇，设 A 、 B 两人的速度一定，其比为 3 1 ，问 A 、 B 两人在何处相 遇？ 解 由题意以村中心为原点，正东方向为 x 轴的正方向，正北方向为 y 轴的正方向，建立直角坐标系， 设 A 、 B 两人的速度分别为 3 v h ， v h ， 设 A 出发 a h ，在 P 处改变方向，又经过 b h 到达相遇点 Q ， 则 P (3 a v , 0) ， Q (0 ， ( a b ) v ) ， 则 | 3 b v ， | 3 a v ， | ( a b ) v . 在 O ， | 2 | 2 | 2 得 5 a 4 b . 研一研 题型解法、解题更高效 k 0 v a b 3 a v 0， k 34. 设直线 方程为 y 34x b 由 圆 9 相切， 得 |4 b |4 2 3 2 3 ，解得 b 15 4 ， 故 A 、 B 两人相遇在正北方离村落中心154 研一研 题型解法、解题更高效 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 一辆卡车宽 ，要经过一个半径为 的半圆形隧道 ( 双车道，不得违章 ) ，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过 ( ) A B C D 解析 可画示意图，如图所示，通过勾股定理解得： 米 ) C 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 方程 y 1 ( ) C 解析 由 y 1 x 2 ，得 x 2 y 2 1( y 0) ，它表示一个以原点为圆心，半径为 1 的圆在 x 轴之上的部分 ( 半圆 ) 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 如图所示， A ， B 是直线 2. 两个半径相等的动圆分别与 ， B 点， C 是两个圆的公共点，则圆 弧 线段 成的图形面积 S 的取值范围是 _ _ _ _ _ 解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积 S 取得最大值， 此时 O 1 为矩形， 且 S m 2 1 12 2 12 2 2 2 . 0 ， 2 2 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中 “ 形 ” 的问题转化为代数中 “ 数 ” 的问题，应
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