【步步高】2015届高考数学总复习 第八章强化训练+章末检测 理（打包10套）北师大版
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北师大
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【步步高】2015届高考数学总复习 第八章强化训练+章末检测 理（打包10套）北师大版,步步高,高考,数学,复习,温习,第八,强化,训练,检测,打包,10,北师大
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1 间几何体的三视图、直观图、表面积与体积 1 空间几何体的结构特征 多面体 (1)棱柱的侧棱都 平行且相等 ，上、下底面是 全等 的多边形 . (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 . (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是 相似多边形 . 旋转体 (1)圆柱可以由 矩形 绕一边所在直线旋转得到 . (2)圆锥可以由直角三角形绕一条 直角边 所在直线旋转 得到 . (3)圆台可以由直角梯形绕 垂直于底边的腰 所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到 . (4)球可以由半圆或圆绕 直径 所在直线旋转得到 . 2 空间几何体的直观图 (1)在已知图形中建立直角坐标系 们分别对应 x 轴和 y 轴，两轴交于点 O ，使 x O y 45，它们确定的平面表示水平平面； (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x 轴 和 y 轴 的线段； (3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的 12. 3 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用 正投影 得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 完全相同 的，三视图包括 主视图 、 左视图 、 俯视图 4 柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱 ) S 表面积 S 侧 2S 底 V 体 (棱锥和圆锥 ) S 表面积 S 侧 S 底 V 13体 (棱台和圆台 ) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V 13(S 上 S 下 下 )h 2 球 S 4 43判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 ( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 ( ) (3)用斜二测画法画水平放置的 A 90，则在直观图中， A 45. ( ) (4)正方体、球、圆锥各自的 三视图中，三视图均相同 ( ) (5)圆柱的侧面展开图是矩形 ( ) (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算 ( ) 2 (2013四川 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( ) 答案 D 解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选 D. 3 (2013课标全国 )如图，有一个水平放置的透明无 盖的正方体容器， 容器高 8 一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好 接触水面时测得水深为 6 果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) 723 483 案 A 解析 作出该球轴截面的图像如图所示，依题意 2， 4， 设 x，故 2 x，因为 得 x 3，故 该球的 半径 5， 3 所以 V 435003 . 4一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形，原三角形的面积为 _ 答案 62 解析 由斜二测画法，知直观图是边长为 1 的正三角形，其原图是一个底为 1，高为 6的三角形，所以原三角形的面积为 62 . 5若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2的半圆面，则该圆锥的体积为 _ 答案 33 解析 侧面展开图扇形的半径为 2，圆锥底面半径为 1， h 22 1 3， V 13 1 3 33 . 题型一 空间几何体的结构特征 例 1 (1)下列说法正确的是 ( ) A有两个平面互相平行，其余各面都是平行四 边形的多面体是棱柱 B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)给出下列命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 思维启迪 从多面体、旋转体的定义入手，可以借助实例或几何模型理解几何体的结构特征 答案 (1)B (2)A 解析 (1)A 错，如图 1； B 正确，如图 2，其中底面 矩形，可证明 样四个侧面都是直角三角形； C 错，如图 3； D 错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点 4 (2) 不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线； 不一定，因为 “ 其余各面都是三角形 ” 并不等价于 “ 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 ” ，如图 1 所 示； 不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图 2 所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体； 错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等 思维升华 (1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱 (2)既然棱台是由棱锥定义的，所以在解决棱台问题时，要注意 “ 还台为锥 ” 的解题策略 (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到，还要看旋转轴是哪条直线 如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图， A， B， C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中， 值为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 还原正方体，如图所示，连接 得 正三 角形，则 60. 题型二 空间几何体的三视图和直观图 例 2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 12，则该几何 体的俯视图可以是 ( ) (2)正三角形 边长为 a，建立如图所示的直角坐标系 5 它的直观图的面积是 _ 思维启迪 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是 1，由体积是 12 可求出底面积由底面积的大小可判断其俯视图是哪一个 (2)按照直观图画法规则确定平面图形和其直观图面积的关系 答案 (1)C (2) 616 析 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为 1，由其体积是 12可知该几何体的底面积是 12，由图知 A 的面积是 1， B 的面积是 4， C 的面积是 12， D 的面积是 4，故选 C. (2)画出坐标系 x O y ，作出 直观图 O A B (如 图 ) D 为 O A 的中点 易知 D B 12 S O A B 12 22 S 24 34 616思维升华 (1)三视图中，主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽即 “ 长对正，宽相等，高平齐 ” (2)解决有关 “ 斜二测画法 ” 问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原 点，注意两个图形中关键线段长度的关系 (1)(2013湖南 )已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于 ( ) A 1 B. 2 C. 2 12 D. 2 12 6 (2)如图，矩形 O A B C 是水平放置的一个平面图形的直观图， 其中 O A 6 O C 2 原图形是 ( ) A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形 答案 (1)C (2)C 解析 (1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为 1，最大为 2，面积范围应为 1， 2，不可能等于 2 12 . (2)如图，在原图形 ， 应有 2O D 2 2 2 4 2 C D 2 4 22 22 6 故四边形 菱形 题型三 空间几何体的表面积与体积 例 3 (1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A 48 B 32 8 17 C 48 8 17 D 80 (2)已知某几何体的三视图如图所示，其中 主视图、左视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为 ( ) 7 A. 23 12 16 C. 26 16 12 思维启迪： 先由三视图确定几何体的构成及度量，然后求表面积或体积 答案 (1)C (2)C 解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面 是边长为 4 的正方形；上底面是长为 4、宽为 2 的矩形；两个梯形侧面 垂直于底面，上底长为 2，下底长为 4，高为 4；另两个侧面是矩形， 宽为 4，长为 42 12 17. 所以 S 表 42 2 4 12 (2 4) 4 2 4 17 2 48 8 17. (2)由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体， 如图，其中 两 垂直，且 1， 故 平面 S 1212， 所以三棱锥 P 体积 13 S 13 12 1 16， 又 半球底面的内接三角形， 所以球的直径 2R 2， 解得 R 22 ， 所以半球的体积 12 43 ( 22 )3 26 ， 故所求几何体的体积 V 16 26 . 思维升华 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积 (2012课标全国 )已知三棱锥 S 的球面上， 是边长 为 1 的正三角形， 球 O 的直径，且 2，则此棱锥的体积为 ( ) A. 26 B. 36 C. 23 D. 22 答案 A 解析 由于三棱锥 S 三棱锥 O 面都是 O 是 中点，因此三棱锥 S 高是三棱锥 O 的 2 倍， 所以三棱锥 S 体积也是三棱锥 O 积的 2 倍 在三棱锥 O ，其棱长都是 1，如图所示， S 34 34 ， 高 12 33 2 63 ， 22 13 34 63 26 . 转化思想在立体几何计算中的应用 典例： (12 分 )如图，在直棱柱 A B C 中， 底面是边长为 3 的等 边三角形， 4， M 为 的中点， P 是 一点，且由 P 沿 棱柱侧面经过棱 到 M 的最短路线长为 29，设这条最短路线与 的交点为 N，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2) 长； (3)三棱锥 C 体积 思维启迪 (1)侧面展开图从哪里剪开展平； (2) (3)三棱锥以谁做底好 规范解答 解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形，故对角线长为 42 9297. 2 分 (2)将该三棱柱的侧面沿棱 展开，如下图，设 x，则 (x)2. 9 29， 2， 3， x 2，即 2. 又 25 45. 8 分 (3)S 12 12 2 45 45. 在三棱锥 M ， M 到面 距离， 即 h 32 3 3 32 . 13hS 13 3 32 45 2 35 . 12 分 温馨提醒 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是 “ 展开 ” ，即将空间几何体的“ 面 ” 展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题 (2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上 如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题 (3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图缺乏空间图形向平面图形的转化意识 方法与技巧 1 棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决 2旋转体要抓住 “ 旋转 ” 特点，弄清底面、侧面及展开图形状 3三视图画法： (1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线； (2)理解 “ 长对正、宽平齐、高相等 ” 4直观图画法：平行性、长度两个要素 5求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则 10 的几何体求解 6与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点 和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 失误与防范 1 台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行 2注意空间几何体的不同放置对三视图的影响 3几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系 A 组 专项基础训练 (时间： 40分钟 ) 一、选择题 1 五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有 ( ) A 20 B 15 C 12 D 10 答案 D 解析 如图，在五棱柱 顶点 A 出发的对角 线有两条： 理从 B， C， D， E 点出发的对角线均有两条， 共 2 5 10(条 ) 2 (2012福建 )一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几 何体不可以是 ( ) A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 答案 D 解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得 球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项 A 和 C. 对于如图所示三棱锥 O 当 两垂直且 ， 其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项 B. 不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同， 11 故答案选 D. 3 (2013重庆 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) C 200 D 240 答案 C 解析 由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为 2，下底长为 8，高为 4，故面积为 S 2 8 42 0，所以体积 V 20 10 200. 4如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 ( ) 答案 D 解析 由俯视图可知是 B 和 D 中的一个，由主视图和左视图可知 B 错 5某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为 ( ) 12 B 3 3 3 答案 C 解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为 1，高为 3， 表面积 S 12 2 3 12 12 12 1 2 3 32 . 二、填空题 6 如图所示， E、 F 分别为正方体 四边形 该正方体的面 影是 _ (填序号 ) 答案 解析 四边形在面 的投影为 ： B 在面 的投影为 C， F、 E 在面不在四边形的内部，故 错误 7已知三棱锥 A 所有棱长都为 2，则该三棱锥的外接球的表面积为 _ 答案 3 解析 如图，构造正方体 所有 棱长都为 2，所以正方体 棱长为 外接球的半径为 32 . 易知三棱锥 A 外接球就是正方体 外接球， 所以三棱锥 A 外接球的半径为 32 球 4 32 2 3. 8 (2013江苏 )如图，在三棱柱 ， D， E， F 分别是 三棱锥 F 体积为 棱柱 体积为 _. 13 答案 1 24 解析 设三棱锥 F 高为 h， 则 3h 12Eh1222AE124. 三、解答题 9一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积 解 这个几何体是一个圆台被轴截面割出来 的一半 根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，母线长为 2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为 S 12 12 12 22 12 (1 2) 2 12 (2 4) 3 112 3 3. 10已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为 30 20 其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高 解 如图所示，三棱台 O、 D、 C 和 由题意知 20， 30， 则 5 3， 10 33 ， 由 S 侧 S 上 S 下 ，得 12 (20 30) 34 (202 302)， 解得 133 3， 14 在直角梯形 4 3， 所以棱台的高为 4 3 B 组 专项能力提升 (时间： 30分钟 ) 1在四棱锥 E ，底面 梯形， 3M 为 中点，设E 体积为 V，那么三棱锥 M 体积为 ( ) D. 310V 答案 D 解析 设点 B 到平面 距离为 D 到平面 距离为 连接 因为 M 是 中点， 所以 12V. 所以 12V 而 所以 因为 B， D 到平面
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