【步步高】2015届高考数学总复习 第八章强化训练+章末检测 理（打包10套）北师大版
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步步高
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10
北师大
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【步步高】2015届高考数学总复习 第八章强化训练+章末检测 理（打包10套）北师大版,步步高,高考,数学,复习,温习,第八,强化,训练,检测,打包,10,北师大
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1 体几何中的向量方法 (二 ) 求空间角和距离 1 空间向量与空间角的关系 (1)已知异面直线 方向向量分别为 0 2时，直线 当 20)，则 D(0， m,0)， E 12， 0 . 可得 12， n ， (m， 1,0) 因为 0 0，所以 (2)解 由已知条件可得 m 33 ， n 1， 故 C 33 ， 0， 0 ， D 0， 33 ， 0 ， E 12， 36 ， 0 ， P(0,0,1) 设 n (x， y， z)为平面 法向量， 则 n 0，n 0，即 12x36 y 0，z n (1， 3， 0)又 (1,0， 1)， 所以 |， n | 24 . 所以直线 平面 成角的正弦值为 24 . 思维升华 利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角 (或其补角 )； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角 (2013湖南 )如图，在直棱柱 90，1， 3. 5 (1)证明： (2)求直线 方法一 (1)证明 如图，因为 平面 面 以 又 以 平面 而 面 以 (2)解 因为 以直线 D 与平面 记为 ) 如图，连接 为棱柱 90， 所以 平面 而 又 3，所以四边形 于是 平面 是 由 (1)知， 以 平面 故 90 ， 在直角梯形 ， 因为 以 从而 即 C 3. 连接 知 直角三角形，且 21，即21. 在 ， 321 217 ， 即 0 ) 217 217 . 6 即直线 17 . 方法二 (1)证明 易知， 图，以 A 为坐标原点， x 轴， y 轴， z 轴建 立空间直角坐标系 设 t，则相关各点的坐标为 A(0,0,0)， B(t,0,0)， B1(t,0,3)， C(t,1,0)， C1(t,1,3)， D(0,3,0)， ,3,3) 从而 ( t,3， 3)， (t,1,0)， ( t,3,0) 因为 以 3 0 0， 解得 t 3或 t 3(舍去 ) 于是 ( 3， 3， 3)， ( 3， 1,0)， 因为 3 3 0 0， 所以 ，即 (2)解 由 (1)知， (0,3,3)， ( 3， 1,0)， (0,1,0) 设 n (x， y， z)是平面 则 n 0，n 0，即 3x y 0，3y 3z 0， 令 x 1，则 n (1， 3， 3) 设直线 ，则 |n， |nn| 37 217 . 即直线 17 . 题型三 求两个平面的夹角 例 3 (2013课标全国 )如图，直三 棱柱 D， E 分别是 22 (1)证明： 平面 (2)求平面 平面 角的正弦值 思维启迪 根据题意知 90，故 以 间直角坐标系，利用向量求两个平面的夹角 7 (1)证明 连接 1C 于点 F，则 F 为 又 D 是 中点，连接 因为 面 面 所以 平面 (2)解 由 22 ， 以 C 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 的方向为 y 轴正 方向， 的方向为 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 设 2，则 D(1,1,0)， E(0,2,1)， ,0,2)， (1,1,0)， (0,2,1)， (2,0,2) 设 n (平面 法向量， 则 n 0，n 0，即 0，220. 可取 n (1， 1， 1) 同理，设 1法向量， 则 m 0，m m (2,1， 2) 从而 n， m nm|n|m| 33 ，故 n， m 63 . 所以平面 平面 角的正弦值为 63 . 思维升华 求平面间的夹角最常用的方法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为 0， 2 如图，在圆锥 ，已知 2， O 的直径 2， C 是 的中点， D 为 中点 (1)证明：平面 平面 (2)求平面 平面 角的余弦值 (1)证明 如图，以 O 为坐标原点， 在直线分别 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 O(0,0,0)， A( 1,0,0)， B(1,0,0)， C(0,1,0)， P(0,0， 2)， D( 12， 12， 0) 设 (平面 一个法向量， 8 则由 D 0， P 0， 得 12120，20， 1，得 (1,1,0) 设 (平面 一个法向量， 则由 A 0， C 0， 得 20，20. 所以 22取 1， 得 ( 2， 2， 1) 因为 n1(1,1,0)( 2， 2， 1) 0， 所以 平面 (2)解 因为 y 轴 平面 所以平面 一个法向 量为 (0,1,0) 由 (1)知，平面 一个法向量为 ( 2， 2， 1) 设向量 ， 则 n2n3| 25 105 . 所以平面 平面 角的余弦值为 105 . 题型四 求空间距离 例 4 已知 正方形 边长为 4， 平面 2， E， F 分别是 中点，则点 C 到平面 距离为 _ 思维启迪 所求距离可以看作 平面 答案 6 1111 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 则 (0,0,2)，由题意易得平面 一个法向量为 n (1,1,3)， 所以点 C 到平面 距离为 d |n|n| 6 1111 . 思维升华 求点面距一般有以下三种方法： 作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； 等体积法； 向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便 9 (2012大纲全国改编 )已知直四棱柱 面 正方形， 2， 2 2， E 为 点 A 到平面 距离为 ( ) A 2 B. 3 C. 2 D 1 答案 D 解析 以 D 为原点， x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 (如图 )，则 D(0,0,0)， A(2,0,0)， B(2,2,0)， C(0,2,0)， ,2,2 2)， E(0,2， 2) 设 n (x， y， z)是平面 法向量 则 n 2x 2y 0n 2y 2z 0. 取 y 1，则 n ( 1,1， 2)为平面 一个法向量 又 (2,0,0)， 点 A 到平面 距离是 d |n|n| | 1 2 0 0| 12 12 22 1. 利用空间向量求角 典例： (12 分 )(2013江西 )如图，四棱锥 P ， 平面 E 为 中点， D 的中点， 1， 32，连接 延长交 F. (1)求证： 平面 (2)求平面 平面 角的余弦值 思维启迪 (1)可利用判定定理证明线面垂直； (2)利用 两个平面的法向量，利用向量夹角求两个平面 10 规范解答 (1)证明 在 ，因为 E 为 中点， 所以 1， 故 2， 3. 因为 以 从而有 3， 所以 2 分 故 又因为 以 又 平面 4 分 所以 故 平面 6 分 (2)解 以 A 为坐标原点建立如图所示的坐标系， 则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C 32， 32 ， 0 ， D(0， 3， 0)， P 0， 0， 32 ， 故 12， 32 ， 0 ， 32， 32 ， 32 ， 32， 32 ， 0 . 8 分 设平面 法向量为 ( 则 P 0C 0 11 即 3232 320122 0令 3，则 3， 2， (3， 3， 2) 9 分 同理求得面 法向量为 (1， 3， 2)， 10 分 从而平面 平面 角 的余弦值为 | |n1 44 2 2 24 . 12 分 利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系 第二步：确定点的坐标 第三步：求向量 (直线的方向向量、平面的法向量 )坐标 第四步：计算向量的夹角 (或函数值 ) 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角 第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范 温馨提醒 (1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用 (2)本题易错点是 在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范 (3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错 方法与技巧 1 用向量来求空间角，各类角都可以转化为向量的夹角来计算 2 求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段 失误与防范 1 利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同 2 求点到平面的距离，有时利用等体积法 求解可能更方便 12 A 组 专项基础训练 (时间： 40分钟 ) 一、选择题 1 已知正方体 直线 为 ( ) A 60 B 45 C 30 D 90 答案 D 解析 以 A 为原点， x， y， z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为 1， 则射线 方向向量分别是 ( 1,0,1)， ( 1,1， 1)， ， 1 0 12 3 0， 直线 0. 2 如图，四棱锥 S 底面为正方形， 底面 下列 结论中不正确的是 ( ) A 平面 平面 成的角等于 平面 成的角 D 成的角等于 成的角 答案 D 解析 四边形 正方形， 又 底面 其中 D， 平面 而 故 A 正确；易知 B 正确；设 于 O 点，连接 则 平面 成的角为 平面 成的角为 又 故 C 正确；由排除法可知选 D. 3 (2013山东 )已知三棱柱 积为 94， 底面是边长为 3的 13 正三角形若 P 为底面 平面 成角的大小为 ( ) 案 B 解析 如图所示： 12 3 3 3 3 34 . 3 34 94， 3. 又 32 3 23 1， 3， 又 0 2， 3. 4 在正方体 E 为 平面 平面 角的余弦值为 ( ) C. 33 D. 22 答案 B 解析 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 棱长为 1， 则 ,0,1)， E 1， 0， 12 ， D(0,1,0)， (0,1， 1)， 1， 0， 12 ， 设平面 一个法向量为 (1， y， z)， 则 y z 0，1 12z 0， y 2，z 2. (1,2,2) 平面 一个法向量为 (0,0,1)， 23 1 23. 所以平面 平面 角的余弦值为 23. 5 在四 面体 P ， 两垂直，设 a，则点 P 到平面 ( ) A. 63 B. 33 a D. 6a 答案 B 解析 根据题意 ， 可建立如图所示的空间直角坐标系 则 P(0,0,0)， A(a,0,0)， B(0， a,0)， C(0,0， a) 过点 P 作 平面 平面 点 H，则 长即为点 14 P 到平面 距离 H 为 外心 又 正三角形， H 为 重心， 可得 H 点的坐标为 0 2 0 2 0 2 33 a. 点 P 到平面 距离为 33 a. 二、填空题 6 已知两平面的法向量分别为 m (0,1,0)， n (0,1,1)，则两平面夹角的大小为 _ 答案 4 解析 m， n mn|m|n| 22 ， m， n 4. 两平面夹角的大小为 4. 7 如图所示，在三棱柱 底面 90，点 E、 F 分别是棱 直线 成的角是 _ 答案 60 解析 以 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 设 2， 则 ,0,2)， E(0,1,0)， F(0,0,1)， 则 (0， 1,1)， (2,0,2)， 2， ， 22 2 2 12， 0. 8 正方体 ， E、 F 分别为 中点，则点 F 到平面 _ 答案 3 510 解析 以 A 为坐标原点， x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 15 则 ,0,1)， E(1,0， 12)， F(12， 1,0)， ,1,1) (1,0， 12)， (0,1,0) 设平面 一个法向量为 n (x， y， z)， 则 n 0，n 0，即 x 12z 0，y 0.令 z 2，则 x 1. n (1,0,2) 又 (12， 1， 1)， 点 F 到平面 距离为 d |n|n| |12 2|5 3 510 . 三、解答题 9 如图，四棱锥 P ， 平面 平面 成 的角为 60，在四边形 ， 90， 4， 1， 2. (1)建立适当的坐标系，并写出点 B， P 的坐标； (2)求异面直线 成的角的余弦值 解 (1)建立如图空间直角坐标系， 90， 4， 1， 2， A(2,0,0)， C(0,1,0)， B(2,4,0) 由 平面 平面 成的角， 60. 在 ，由 2，得 2 3， P(0,0,2 3) (2) (2,0， 2 3)， ( 2， 3,0)， ， 2 2 0 3 2 3 04 13 1313 ， 异面直线 成的角的余弦值为 1313 . 10 (2013天津 )如图，四 棱柱 棱 底面 1， 2， E 为棱 16 (1)证明： (2)求二面角 (3)设点 M 在线段 ，且直线 平面 6 ，求线段 方法一 如图，以点 A 为原点，以 在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，依题意得 A(0,0,0)， B(0,0,2)， C(1,0,1)， ,2,2)， ,2,1)， E(0,1,0) (1)证明 易得 (1,0， 1)， ( 1,1， 1)，于是 0，所以 (2)解 (1， 2， 1) 设平面 法向量 m (x， y， z)， 则 m 0，m 0，即 x 2y z 0， x y z 0. 消去 x，得 y 2z 0，不妨令 z 1，可得一个法向量为 m ( 3， 2,1) 由 (1)知， 得 平面 (1,0， 1)为平面 于是 m， mm| 414 2 2 77 ，从而 m， 217 ， 所以二面角 17 . (3)解 (0,1,0)， (1,1,1)，设 (， ， )， 0 1，有 (， 1， ) 可取 (0,0,2)为平面 设 为直线 平面 |， | | 22 12 2 2 32 2 1， 于是 32 2 1 26 ，解得 13(负值舍去 )， 所以 2. 17 方法二 (1)证明 因为侧棱 底面 面 以 经计算可得 5， 2， 3， 从而 所以在 又 面 所以 平面 又 面 (2)解 过 1G 点 G，连接 由 (1)知， 平面 所以 1 在 ，由 3， 2，可得 2 63 . 在 ， 423 ， 所以 217 ， 即二面角 17 . (3)解 连接 点 M 作 ，可得 平面 接 直线 平面 设 x，从而在 ，有 26 x， 346 x. 在 ， 1， 2， 得 213x. 在 ， 135， 1， 由 235， 得 17181 1923 x， 整理得 52 2x 6 0，解得 x 2(负值舍去 ) 所以线段 长为 2. 18 B 组 专项能力提升 (时间： 30分钟 ) 1 过正方形 顶点 A 作线段 平面 平面 平面 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 答案 B 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 设 1， 知 A(0,0,0)， B(1,0,0)， D(0,1,0)， C(1,1,0)， P(0,0,1) 由题意得， 平面 E 为 中点， 连接 又 平面 又 D， 平面 (0,1,0)， (0， 12， 12)分别是平面 面 法向量， 而 ， 45， 平面 平面 夹角大小为 45. 2 在棱长为 2 的正方体 O 是底面 中点， E， F 分别是 D 的中点，那么异面直线 _ 答案 155 解析 以 D 为原点，分别以 x 轴、 y 轴、 z 轴建立 空间直角坐标系， F(1,0,0)， ,0,2)， O(1,1,0)， E(0,2,1)， ( 1,0,2)， ( 1,1,1)， ， 1 25 3 155 . 3 设正方体 ，则点 1距离是 _ 答案 2 33 解析 如图建立空间直角坐标系， 则 ,0,2)， ,0,2)， D(0,0,0)， B(2,2,0)， (2,0,0)， 19 (2,0,2)， (2,2,0)， 设平面 一个法向量 n (x， y， z)， 则 n 2x 2z 0n 2x 2y 0. 令 x 1，则 n (1， 1， 1)， 点 1距离为 d |n|n| 232 33 . 4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P ， 90， 平面 3，
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