【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第二篇（打包9套） 湘教版
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【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第二篇（打包9套） 湘教版,创新,立异,设计,高考,数学,一轮,复习,温习,第二,打包,湘教版
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1 第 二 篇 函数与基本初等函数 I 第 1 讲 函数及其表示 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1下列各对函数中，是同一个函数的是 ( ) A f(x) g(x) 3 f(x) |x|x ， g(x) 1， x0 ， 1， xgf(x)的 x 的值是 _ 解析 g(1) 3， fg(1) f(3) 1，由表格可以发现 g(2) 2， f(2) 3， f(g(2) 3， g(f(2) 1. 答案 1 2 6函数 y x 1 x 1的值域为 _ 解析 函数定义域为 1， ) ， y x 1 x 1 2x 1 x 1， 当 x1 时是减函数， 00x x32 ， Nx 1 2x 1 0 x x 3x 1 0 x|x3 ，或 8 (13 分 )二次函数 f(x)满足 f(x 1) f(x) 2x，且 f(0) 1. (1)求 f(x)的 解析式； (2)在区间 1,1上，函数 y f(x)的图象恒在直线 y 2x m 的上方，试确定实数 m 的取值范围 解 (1)由 f(0) 1，可设 f(x) 1(a0) ，故 f(x 1) f(x) a(x 1)2 b(x 1) 1 (1) 2a b，由题意，得 2a 2，a b 0， 解得 a 1，b 1， 故 f(x) x 1. (2)由 题意，得 x 12x m，即 3x 1m，对 x 1,1恒成立令 g(x) 3x 1，则问题可转化为 g(x)m，又因为 g(x)在 1,1上递减， 所以 g(x)g(1) 1，故 若 a， b， c 互不相等，且 f(a) f(b) f(c)，则 取值范围是 ( ) A (1,10) B (5,6) C (10,12) D (20,24) 解析 a， b， c 互不相等，不妨设 x)的 x 的取值范围是_ 解析 由题意有 1 ，2x0 解得 11 时，函数 g(x)是 1,3上的减函数，此时 g(x)g(3) 2 3a， g(x)g(1)1 a，所以 h(a) 2a 1； 当 0 a1 时，若 x 1,2，则 g(x) 1 g(2) g(x) g(1)； 若 x (2,3，则 g(x) (1 a)x 1，有 g(2)1.(2)画出 y h(x)的图象，如图所示，数形结合可得 h(x)h 12 12. 6 6 (13 分 )(2012 江苏 )设集合 1,2， ， n， n N*.记 f(n)为同时满足下列条件的集合 A 的个数： A 若 x A，则 2xA； 若 x 2x(1)求 f(4)； (2)求 f(n)的解析式 (用 n 表示 ) 解 (1)当 n 4 时，符合条件 的集合 A 为： 2， 1,4， 2,3， 1,3,4，故 f(4) 4. (2)任取偶数 x x 除以 2，若商仍为偶数，再除以 2， ，经过 k 次以后，商必为奇数，此时记商为 m，于是 x m2 k，其中 m 为奇数， k N*. 由条件知，若 m A，则 x Ak 为偶数； 若 mA，则 x Ak 为奇数 于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定设 此 f(n)等于 n 为偶数 (或奇数 )时， n 12 )， 所以 f(n) 2n 12 ， 1 第 2 讲 函数的单调性与最值 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1 (2013 长沙一模 )下列函数中，既是偶函数又在 (0， ) 内单调递减的函数是 ( ) A y B y |x| 1 C y lg|x| D y 2|x| 解析 对于 C 中函数，当 x0 时， y lg x，故为 (0， ) 上的减函数，且 y x|为偶函数 答案 C 2 (2011 辽宁 )函数 f(x)的定义域为 R， f( 1) 2，对任意 x R， f( x)2， 则 f(x)2x 4 的解集为 ( ) A ( 1,1) B ( 1， ) C ( ， 1) D ( ， ) 解析 法一 由 x R， f( 1) 2， f( x)2，可设 f(x) 4x 6，则由 4x 62x 4，得 x 1，选 B. 法二 设 g(x) f(x) 2x 4，则 g( 1) f( 1) 2( 1) 4 0， g( x) f( x) 20， g(x)在 R 上为增函数由 g(x)0，即 g(x)g( 1) x 1，选 B. 答案 B 3 (2012 浙江 )设 a0， b0. ( ) A若 2a 2a 2b 3b，则 ab B若 2a 2a 2b 3b，则 若 2a 2a 2b 3b，则 立，故 A 正确， B 错误当 00，0， x 0， 1， ， x 1， ， f(x)0，则 20时， f(x)1. (1)求证： f(x)是 R 上的增函数； (2)若 f(4) 5，解不等式 f(3m 2)0， f( x)1， f( f( x) f( f( x) 1f( f(x)是 R 上的增函数 (2)解 f(4) f(2) f(2) 1 5， f(2) 3， f(3m 2) ，则 f( f( a， 由 x2 ，得 16， 要使 f(x)在区间 2， ) 上是增函数， 只需 f( f( 恒成立，则 a16. B 级 能力突 破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x y) f(x) f(y) 2xy(x， y R)， f(1) 2，则 f(3)等于 ( ) A 2 B 3 C 6 D 9 解析 f(1) f(0 1) f(0) f(1) 201 f(0) f(1)， f(0) 0. f(0) f( 1 1) f( 1) f(1) 2( 1)1 f( 1) f(1) 2， f( 1) 0. f( 1) f( 2 1) f( 2) f(1) 2( 2)1 f( 2) f(1) 4， f( 2) 2. f( 2) f( 3 1) f( 3) f(1) 2( 3)1 f( 3) f(1) 6， f( 3) 6. 答案 C 2 (2013 太原质检 )设函数 y f(x)在 ( ， ) 内有定义，对于给定的正数 K，定义函数 fK(x) f x ， f x K，K， f x K， 取函数 f(x) 2 |x|，当 K 12时，函数 fK(x)的单调递增区间 为 ( ) A ( ， 0) B (0， ) C ( ， 1) D (1， ) 4 解析 x) 2 |x|， 2 |x| 12，12， 2 |x|12 x) 12 |x|， x 1或 x1 ，12， 10 20. 综上， f(x)0 (a 是常数且 a0)对于下列命题： 函数 f(x)的最小值是 1； 函数 f(x)在 R 上是单调函数； 若 f(x)0 在 12， 上恒成立，则 a 的取值范围是 a1； 对任意的 5 12， 上恒成立，则 2a12 10， a1，故 正确；由图象可知在 ( ， 0)上对任意的 断函数 f(x)的单调性； (2)若 x)时的 x 的取值范围 解 (1)当 a0， b0 时，因为 a2 x， b3 以函数 f(x)单调递增；当 (i)当 ， 32 x 解得 x ( a0， ， 6 即 . 又 ( (1 (1)(1)0， 0. 由题意，知 f ，即 f(f( f(x)在 (0,1)上单调递减，又 f(x)为奇函数且 f(0) 0， f(x)在 ( 1,1)上单调递减 . 1 第 3 讲 函数的奇偶性与周期性 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x 2) f(x)，又当 x (0,1)时， f(x) 2x 1，则 f(于 ( ) A 5 B 6 C 56 D 12 解析 f( f( f(2) 2 (0,1)， f 12， f( 12. 答案 D 2 (2011 安徽 )设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x) 2x，则 f(1)等于 ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 解析 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x0 时， f(x) 2x， f(1) f( 1) 2( 1)2 ( 1) 3. 答案 A 3定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) f(x 2)，当 x 3,5时， f(x) 2 |x 4|，则下列不等式一定成立的是 ( ) A f 3 f 3 B f()f() 解析 当 x 1,1时， x 4 3,5，由 f(x) f(x 2) f(x 4) 2 |x 4 4| 2 |x|， 显然当 x 1,0时， f(x)为增函数；当 x 0,1时， f(x)为减函数， 12，3 32 12，又 f 12 f 12 f 32 ，所以 f 3 f 3 . 2 答案 A 4 (2013 秀山 一模 )已知函数 f(x) 1 2 x， x0 ，2x 1， ， f( x) 2 x 1 f(x)；当 f(x)在 2， ) 上是增函数， 当 a0 时，由 f( x) 20， 解得 x 3 f(x)在 2， ) 上是增函数， 可知 3 . 解得 0a16. 综上可知实数 a 的取值范围是 ( ， 16 6 (13 分 )已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x 2) f(x) (1)求证： f(x)是周期函数； (2)若 f(x)为奇函数，且当 0 x1 时， f(x) 12x，求使 f(x) 12在 0,2 014上的所 5 有 x 的个数 (1)证明 f(x 2) f(x)， f(x 4) f(x 2) f(x) f(x)， f(x)是以 4 为周期的周期函数 (2)解 当 0 x1 时， f(x) 12x， 设 1 x0 ，则 0 x1 ， f( x) 12( x) 12x. f(x)是奇函数， f( x) f(x)， f(x) 12x，即 f(x) 12x. 故 f(x) 12x( 1 x1) 又设 1x3，则 1x 21， f(x 2) 12(x 2) 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数 f(x 2) f(x 2) f(x)， f(x) 12(x 2)， f(x) 12(x 2)(1x3) f(x) 12x， 1 x1 ， 12 x ， 1x3.由 f(x) 12，解得 x 1. f(x)是以 4 为周期的周期函数， f(x) 12的所有 x 4n 1(n Z) 令 04 n 12 014 ，则 14 n 2 0154 . 又 n Z， 1 n503( n Z)， 在 0,2 014上共有 503 个 x 使 f(x) 12. 1 第 4 讲 指数与指数函数 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1 (2011 山东 )若点 (a,9)在函数 y 3 值为 ( ) A 0 B. 33 C 1 D. 3 解析 由题意有 3a 9，则 a 2， 3. 答案 D 2 (2012 天津 )已知 a b 12 c 2，则 a， b， c 的大小关系为 ( ) A b 12 以 1b， 如 1 ( ) A R B (0， ) C (0,1 D 1， ) 2 解析 f(x) 2x*2 x 2x， x0 ，2 x， x0， f(x)在 ( ， 0上是增函数，在 (0， ) 上是减函数， 00， 则函数 y f(f(x)的值域是 _ 解析 当 x0 时，有 f(x)0. 故 f(f(x) 2f x ， f x ， 2 f x ， f x 2 2 x， x0， 2 2x， ， 10,210， f( 21，即 32t 10，解不等式可得t t1或 a1) 在 1,2上的最大值与最小值之和为 6，则 a 的值为 ( ) C 2 D 4 解析 由题意知 f(1) f(2) 6，即 a 6， a 6 0，解得 a 2 或 a 3(舍 ) 答案 C 2若函数 f(x) (k 1)a x(a0 且 a1) 在 R 上既是奇函数，又是减函数，则 g(x)x k)的图象是下图中的 ( ) 4 解析 函数 f(x) (k 1)a f(0) 0，即 (k 1)0，解得 k 2，所以 f(x) a x，又 f(x) a 03 a 的取值范围是 _ 解析 由已知得 f(1) 21 1 3，故 f(f(1)3a2f(3)32 6a10， x 1. (2)当 t 1,2时， 2t 22t 122t m 2t 12t 0 ， 即 m(22t 1) (24t 1)， 22t 10， m (22t 1)， t 1,2， (22t 1) 17， 5， 故 m 的取值范围是 5， ) 1 第 5 讲 对数与对数函数 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1 (2011 天津 )已知 a b c 15 ( ) A abc B bac C acb D cab 解析 15 503 ， 1 3.45选 C. 答案 C 2 (2013 徐州模拟 )若函数 y 1)有最小值，则 a 的取值范围是 ( ) A 01，且 4 0，得 10 且 a1) 满足对任意的 实数 a 的取值范围为 ( ) A (0,1)(1,3) B (1,3) C (0,1)(1,2 3) D (1,2 3) 解析 “ 对任意的 当 实质上就是 “ 函数单调递减 ”的 “ 伪装 ” ，同时还隐含了 “ f(x)有意义 ” 事实上由于 g(x) 3 在 x 而 a1，g 0. 由此得 a 的取值范围为 (1,2 3)故选 D. 答案 D 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5函数 y x a)的定义域是 23， ，则 a _. 解析 由 3x a0 得 x数 y x a)的定义域是 ，所以 23，a 2. 答案 2 6对任意非零实数 a， b，若 ab 的运算原理如图所示，则 ( 13 2 _. 解析 框图的实质是分段函数， 3， 13 2 9，由框图可以看出输出 9 3 3. 答案 3. 三、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )已知函数 f(x) 3a 3)x. 3 (1)判断函数的奇偶性； (2)若 y f(x)在 ( ， ) 上为减函数，求 a 的取值范围 解 (1)函数 f(x) 3a 3). 又 f( x) 3a 3) x 3a 3)x f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数 (2)函数 f(x) 3a 3) ， ) 上为减函数，则 y (3a 3) ， ) 上为增函数， 由指 数函数的单调性，知 3a 31，解得 所以 a 的取值范围是 ( ， 1) (2， ) 8 (13 分 )已知函数 f(x) x x. (1)求 f 12 014 f 12 014 的值； (2)当 x ( a， a，其中 a (0,1)， a 是常数时，函数 f(x)是否存在最小值？若存在，求出 f(x)的最小值；若 不存在，请说明理由 解 (1)由 f(x) f( x) x x 0. f 12 014 f 12 014 0. (2)f(x)的定义域为 ( 1,1)， f(x) x 1 2x 1)， 当 a1) 的定义域为 R，则 m 的取值范围为 ( ) A (0,4 B ( ， 4) C ( ， 4 D (1,4 4 解析 由于函数 f(x)的定义域是 R，所以 4m0 恒成立，即 . 答案 C 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 3函数 f(x) b， x0 ， x 19 ， x0 的图象如图所示，则 a b c_. 解析 由图象可求得 a 2， b 2，又易知函数 y x 19 的图象过点 (0,2)，进而可求得 c 13，所以 a b c 2 2 13 133. 答案 133 4对于任意实数 x，符号 x表示 x 的整数部分，即 x是不超过 x 的最大整数在实数轴R(箭头向右 )上 x是在点 x 左侧的第一个整数点，当 x 是整数时 x就是 x叫做 “ 取整函数 ” ，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用那么 _. 解析 当 1 n2 时， 0，当 3 f(x)0，试证： 5 (1)f f(x) f(y)； (2)f(x) f 1x ； (3)f(x)在 (0， ) 上递增 证明 (1)由已知 f f(y) f(x)， 即 f(x) f(y) f (2)令 x y 1，则 f(1) 2f(1)因此 f(1) 0. f(x) f 1x f(1) 0，即 f(x) f 1x . (3)设 01，由已知 f ，即 f( f(f(，且 a1) (1)求函数的定义域，并证明： f(x) 1x 1在定义域上是奇函数； (2)对于 x 2,4， f(x) 1x 12 x 恒成立，求 m 的取值范围 解 (1)由 x 1x 10，解得 函数的定义域为 ( ， 1) (1， ) 当 x ( ， 1) (1， ) 时， f( x) x 1 x 1 1x 1 x 1x 1 11x 1 f(x)， f(x) 1x 1在定义域上是奇函数 (2)由 x 2,4时， f(x) 1x 12 x 恒成立， 当 a1 时， x 1x 1 2 x 0 对 x 2,4恒成立 00. y g(x)在区间 2,4上是增函数， g(x)g(2) 15. 02 x 恒成立， x 1x 1(x 1)(x 1)(7 x)在 x 2,4恒成立 设 g(x) (x 1)(x 1)(7 x)， x 2,4， 由 可知 y g(x)在区间 2,4上是增 函数， g(x)g(4) 45， m45. m 的取值范围是 (0,15) (45， ). 1 第 6 讲 幂函数与二次函数 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1 (2013 临州质检 )下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( ) A y 1x(x R，且 x0) B y 12 x(x R) C y x(x R) D y x3(x R) 解析 对于 f(x) f( x) ( x)3 ( f(x)， f(x) y 上是增函数， y 上是减函数 答案 D 2 (2013 巴南区 模拟 )如图所示，给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ( ) A y y y y x 1 B y y y y x 1 C y y y y x 1 D y y y y x 1 解析 因为 y 且为奇函数，故应为图 ； y 为图 正确 答案 B 3已知函数 f(x) 1， g(x) 4x 3，若有 f(a) g(b)，则 b 的取值范围为 ( ) A 2 2， 2 2 B (2 2， 2 2) C 1,3 D (1,3) 2 解析 f(a) g(b)1 4b 3 4b 2 成立，故 4b 20，解得 2 20，x 1， x0 ， 若 f(a) f(1) 0，则实数 a 的值等于 ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 解析 f(a) f(1) 0f(a) 2 0 a0，2a 2 0 或 a0 ，a 1 2 0， 解得 a 3. 答案 A 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5若 f(x)是幂函数，且满足 3.则 f 12 _. 解析 设 f(x) 由 3，得 42 3，解得 f(x) 以f 12 12 2 213. 答案 13 6若二次函数 f(x) 4x c 的值域为 0， ) ，则 a， c 满足的条件是 _ 解析 由已知得 a0，4164a 0 a0，4 0. 答案 a0， 4 三、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )设 f(x)是定义在 R 上以 2 为最小正周期的周期函数当 1 (1)若 f(x)的定义域和值域均是 1， a，求实数 a 的值； 3 (2)若 f(x)在区间 ( ， 2上是减函数，且 对任意的 1， a 1，总有 |f(f(4 ，求实数 a 的取值范围 解 (1) f(x) (x a)2 5 a2(a1)， f(x)在 1， a上是减函数又定义域和值域均为 1， a f a，f a 1， 即 1 2a 5 a，25 1， 解得 a 2. (2) f(x)在区间 ( ， 2上是减函数， a2. 又 x a 1， a 1，且 (a 1) a a 1， f(x)f(1) 6 2a， f(x)f(a) 5 对任意的 1， a 1，总有 |f( f(4 ， f(x)f(x) ，得 1 a3 ，又 a2 ， 2 a3. B 级 能力突破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1 (2013 黔江模拟 )已知函数 f(x) x1 ，x， x1， 则 “ a 2” 是 “ f(x)在 R 上单调递减 ” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 若 a 2，则 ，且 12a 140， a(a 4)0， a4，由于 a 的最小值为 5. 答案 C 4 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 3已知函数 f(x) 2)在 (2， ) 上为增函数，则实数 a 的取值范围为_ 解析 函数 f(x) 2)在 (2， ) 上为增函数，包含两个方面：函数 g(x) 2 在 (2， ) 上恒正，以及其在 (2， ) 上的单调性由于 g(x) 2 开口向上，因此在 (2， ) 上只能是增函数，所以 a1，g ， ， 11 时， g(x)0，当 x 1 时， g(x) 0， m 0 不符合要求；当 m0 时，根据函数 f(x)和函数 g(x)的单调性，一定存在区间 a， ) 使 f(x)0 且g(x)0 ，故 m0 时不符合第 条的要求；当 函数 g(x) 1 qf(x) (2q1)x 在区间 1,2上的值域为 4， 178 ？若存在，求出 q；若不存在，请说明理由 解 (1) f(2)0，解得 10 满足题设，由 (1)知 g(x) (2q 1)x 1， x 1,2 g(2) 1， 两个最值点只能在端点 ( 1， g( 1)和顶点 2q 12q ， 414q 处取得而414q g( 1)414q (2 3q)q 24q 0 ， g(x)14q 178 ， g(x)g( 1) 2 3q 4. 解得 q 2， 存在 q 2 满足题意 6 (13 分 )设函数 f(x) |2x a|(x R， a 为实数 ) (1)若 f(x)为偶函数，求实数 a 的值； (2)设 a2，求函数 f(x)的最小值 解 (1) 函数 f(x)是偶函数， f( x) f(x)，即 |2x a| |2x a|，解得 a 0. (2)f(x) 2x a， x 12a，2x a， x 12a，得 x1，故 f(x)在 12a， 时单调递增， f(x)的最小值为 f 当 f(x)的最小值为 a 1. 1 第 7 讲 函数图象 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1函数 y x( x) 的大致图象为 ( ) 解析 因 x ，由 y x0，得 2 0，则 f(t)0，故选 B. 答案 B 4如图，正方形 顶点 A 0， 22 ， B 22 ， 0 ，顶点 C、 D 位于第一象限，直线 l： x t(0 t 2)将正方形 成两部分，记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为 f(t)，则函数 S f(t)的图象大致是 ( ) 解析 当直线 l 从原点平移到点 B 时，面积增加得越来越快；当直线 l 从点 B 平移到点C 时，面积增加得越来越慢故选 C. 答案 C 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5设函数 f(x) |x 2| |x a|的图象关于直线 x 2 对称，则 a 的值为 _ 解析 因为函数 f(x)的图象关于直线 x 2 对称，则有 f(2 x) f(2 x)对于任意实数x 恒成立，即 |x 4| |x 2 a| |x 4| |x 2 a|对于任意实数 x 恒成立，从而有 2 a 4，a 2 4， 解得 a 6. 答案 6 6 (2011 新课标全国 )函数 y 11 y 2 x( 2 x4) 的图象所有交点的横坐标之和等于 _ 解析 函数 y 11 x 1x 1和 y 2 的对称中心 (1,0)，画出二者图象如图所示，易知 y 11 x与 y 2 x( 2 x4)的图象共有 8 个交点，不妨设其横坐标为 2x ， 数为减函数，当 解集； (5)求集合 M m|使方程 f(x) m 有三个不相等的实根 解 (1) f(4) 0， 4|m 4| 0，即 m 4. (2) f(x) x|m x| x|4 x| x x ， x4 ， x x ， 解集为： x|04 (5)由图象可知若 y f(x)与 y m 的图象有三个不同的交点，则 0m4， 集合 Mm|0m4 6 (13 分 )设函数 f(x) x 1x(x ( ， 0) (0， ) 的图象为 (2,1)的对称的图象为 g(x) (1)求函数 y g(x)的解析式，并确定其定义域； (2)若直线 y b 与 b 的值，并求出交点的坐标 解 (1)设 P(u， v)是 y x 1 v u 1u 关于 A(2,1)对称的点为 Q(x， y)， u x 4，v y 2 u 4 x，v 2 y， 代入 得 2 y 4 x 14 xy x 2 1x 4， g(x) x 2 1x 4(x ( ， 4) (4， ) 7 (2)联立 y b，y x 2 1x 4 (b 6)x 4b 9 0， (b 6)2 4(4 b 9) 4b 0b 0 或 b 4. 当 b 0 时得交点 (3,0)；当 b 4 时得交点 (5,4) 1 第 8 讲 函数与方程 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1函数 f(x) x x 零点的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 f( x) x 10 ， f(x)单调递减，又 f(0) 0， 则 f(x) x x 的零点是唯一的 答案 B 2 (2013 渝北区 模拟 )设 f(x) x 4，则函数 f(x)的零点位于区间 ( ) A ( 1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3) 解析 f(x) x 4， f( x) 10， 函数 f(x)在 R 上单调递增对于 A 项，f( 1) e 1 ( 1) 4 5 e 10， A 不正确，同理可验证 B、 D 不正确对于 C 项， f(1) e 1 4 e 30，f(1)f(2)0， g(x) f(x) x a，若函数 g(x)有两个零点，则实数 a 的取值范围为 _ 解析 设 n 为自然数 ，则当 ，函数 f(x)的图象是以 1 为周期重复出现而函数 y x a 是一族平行直线，当它过点 (0,1)(此时a 1)时与函数 f(x)的图象交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数 a 的取值范围为 则函数 y ff(x) 1 的所有零点所构成的集合为_ 解析 本题即求方程 ff(x) 1 的所有根的集合，先解方程 f(t) 1，即 t0 ，t 1 1 或 t0， 1， 得 t 2 或 tf(x) 2 和 f(x)12. 即 x0 ，x 1 2 或 x0， 2 和 x0 ，x 1 12 或 x0，12. 得 x 3 或 x 14和 x 12或 x 2. 答案 3， 12， 14， 2 三、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )设函数 f(x) 1 1x (x0) (1)作出函数 f(x)的图象； (2)当 00)为函数 f(x)的 “ 友好点对 ” ，则 y 2 y 2( x)2 4( x) 1 24x 1， 224x 1 0，在同一坐标系中作函数 2 2x 1 的图象， 以 f(x)有 2 个 “ 友好点对 ” ，故填 2. 答案 2 三、解答题 (共 25 分 ) 5 (12 分 )设函数 f(x) 32(a c)x c (a0， a， c R) (1)设 ac0.若 f(x)2c a 对 x 1， ) 恒成立，求 c 的取值范围； (2)函数 f(x)在区间 (0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？ 解 (1)因为二次函数 f(x) 32(a c)x c 的图象的对称轴为 x a 由条件ac0，得 2aa c，故 a 2c a 对 x 1， ) 恒成立，则 f(x)f(1)2c a，即 a cc a，得 f(1) a c0，则 ac0. 因为二次函数 f(x) 32(a c)x c 的图象的对称轴是 x a 而 f a 0， 6 所以函数 f(x)在区间 0， a a 1 内各有一个零点，故函数 f(x)在区间 (0,1)内有两个零点 6 (13 分 )已知二次函数 f(x) 16x q 3. (1)若函数在区间 1,1上存在零点，求实数 q 的取值范围； (2)是否存在常数 t(t0) ，当 x t,10时， f(x)的值域为区间 D，且区间 D 的长度为12 t(视区间 a， b的长度为 b a) 解 (1) 函数 f(x) 16x q 3 的对称轴是 x 8， f(x)在区间 1,1上是减函数 函数在区间 1,1上 存在零点，则必有 f ，f ， 即 1 16 q 30 ，1 16 q 30 ， 20 q12. (2) 0 t10， f(x)在区间 0,8上是减函数，在区间 8,10上是增函数，且对称轴是 x 8. 当 0 t6 时，在区间 t,10上， f(t)最大， f(8)最小， f(t) f(8) 12 t，即 15t 52 0， 解得 t 15 172 ， t 15 172 ； 当 6t8 时，在区间 t,10上， f(10)最大， f(8)最小， f(10) f(8) 12 t，解得 t 8； 当 8t10 时，在区间 t,10上， f(10)最大， f(t)最小， f(10) f(t) 12 t，即 17t 72 0，解得 t 8,9， t 9. 综上可知，存在常数 t 15 172 ， 8,9 满足条件 . 1 第 9 讲 函数的应用 A 级 基础 演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1 (2013 成都调研 )在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍，则函数 y f(x)的图象大致为 ( ) 解析 由题意可得 y (1 x. 答案 D 2 (2013 青岛月考 )某电信公司推出两种手机收费方式： A 种方式是月租 20 元， B 种 方式是月租 0 元一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟 )与打出电话费 s(元 )的函数关系如图，当打出电话 150 分钟时，这两种方式电话费相差 ( ) A 10 元 B 20 元 C 30 元 解析 设 A 种方式对应的函数解析式为 s 20， B 种方式对应的函数解析式为 s 当 t 100 时， 10020 100 15， t 150 时， 15015020 150 15 20 10. 答案 A 3某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润 (单位：万元 )分别为 2x，其中 x 为销售量 (单位：辆 )若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得最大 2 利润为 ( ) A 元 B 元 C 元 D 元 解析 依题意可设甲销售 乙销售 (15 x)辆，总利润 S 总利润 S 2(15 x) 30 x 30(x0) ， 当 x 10 时， 元 ) 答案 B 4 (2013 綦江 模拟 )某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润 y(单位： 10 万元 )与营运年数 x(x N*)为二次函数关系 (如图所示 )，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 解析 由题图可得营运总利润 y (x 6)2 11，则营运 的年平均利润 x 25x 12， x N*， 2 x 25x 12 2， 当且仅当 x 25x ，即 x 5 时取 “ ” x 5 时营运的年平均利润最大 答案 C 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文 加密 密文 发送 密文 解密 明文 已知加密为 y 2(x 为明文， y 为密文 )，如果明文 “3” 通过加密后得到密文为 “6” ，再发送，接受方通过解密得到明文 “3” ，若接受方接到密文为 “14” ，则原发的明文是_ 解析 依题意 y 2 中，当 x 3 时， y 6，故 6 2，解得 a y2x 2，因此，当 y 14 时，由 14 2x 2，解得 x 4. 答案 4 6如图，书的一页的面积为 600 计要求书面上方空出 2 边，下、左、右方都空出 1 边，为使中间文 字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为 _ 3 解析 设长为 a 为 b 600，则中间文字部分的面积 S (a 2 1)(b 2) 606 (2a 3b)606 2 6600 486，当且仅当 2a 3b，即 a 30， b 20 时，486. 答案 30 20 、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的 “ 如意卡 ” 与 “ 便民卡 ” 在某市范
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