【创新设计】2015-2016学年高中数学 第1-4章章末检测（打包8套）新人教A版必修2
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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第1-4章章末检测（打包8套）新人教A版必修2,创新,立异,设计,学年,高中数学,章章末,检测,打包,新人,必修
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1 【创新设计】 2015年高中数学 第一章 空间几何体章末检测（ A）新人教 A 版必修 2 (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1下列几何体是台体的是 ( ) 2如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是 ( ) A棱柱 B棱台 C棱柱与棱锥 组合体 D无法确定 3如图所示，下列三视图表示的几何体是 ( ) A圆台 B棱锥 C圆锥 D圆柱 4如图所示的是水平放置的三角形直观图， D 是 A B C 中 B C 边上的一点，且 D 离 C 比 D 离 B 近，又 A D y 轴，那么原 B、 ) A最长的是 短的是 最长的是 短 的是 最长的是 短的是 最长的是 短的是 一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形，原三角形的面积为 ( ) A 64 B 34 C 32 D 62 6如图，若 是长方体 去几何体 体，其中 E 为线段 1的点， F 为线段 1的点，且 下列结论中不正确的是 ( ) A B四边形 矩形 C 是棱柱 D 是棱台 7某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的 “ 走马灯 ” ，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了 “ 年 ” 字，当灯旋转时，正好看到 “ 新年快乐 ” 的字样，则在 、 、 处应依次写上 ( ) A快、新、乐 B乐、新、快 C新、乐、快 D乐、快、新 8已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是( ) A 16 B 20 C 24 D 32 9圆锥的表面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( ) A 120 B 150 C 180 D 240 10把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱，则圆柱的高为 ( ) A R B 2R C 3R D 4R 11一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积 (单位： ( ) A 48 12 2 B 48 24 2 C 36 12 2 D 36 24 2 12若圆锥的母线长是 8，底面周长为 6 ，则其体积是 ( ) A 9 55 B 9 55 C 3 55 D 3 55 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13一个水平放置的圆柱形储油桶 (如图所示 )，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是 _ 3 14等边三角形的边长为 a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得 旋转体的体积为_ 15设正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则其体积为 _ 16如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 _ 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17 (10 分 )某个几何体的三视图如图所示 (单位： m)， (1)求该几何体的表面积 (结果保留 ) ； (2)求该几何体的体积 (结果保留 ) 18 (12 分 )如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图是一个正方形 (1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图 (不写作法 )； (2)求这个几何体的体积 4 19 (12 分 )等边三角形 边长为 a，沿平行于 线段 起，使平面 平面 点 A 到直线 距离为 x， 长为 d x 为何值时， 小值是多少 ？ 20 (12 分 )如图所示，在四边形 ， 90 ， 135 ， 5， 2， 2，求四边形 转一周所成几何体的表面积及体积 21 (12 分 )沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高 (母线长 )，所以圆柱的侧面积 S 2 中 r 为圆柱底面圆半径， l 为母线长现已知一个圆锥的底面半径为R，高为 H，在其中有一个高为 x 的内接圆柱 (1)求圆柱的侧面积； (2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？ 5 22 (12 分 )养路处建造圆锥形无底仓库用于贮藏食盐 (供融化高速公路上的积雪之用 )，已建的仓库的底面直径为 12 m，高 4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变 )；二是高度增加 4 m(底面直径不变 ) (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两 种方案所建的仓库的表面积； (3)哪个方案更经济些？ 第一章 空间几何体 (A) 答案 1 D 2 A 3 A 4 C 5 D 原图与其直观图的面积比为 4 2，所以3424 ，所以 S 原 62 6 D 平面 线面平行性质， 同理 面 由直棱柱定义知几何体 直三棱柱， 四边形 矩形， 为五棱柱故选 D 7 A 8 C 6 如图所示，由 V ， S 4，即正四棱柱底面边长为 2 2， R 6 S 球 4 24 9 C S 底 S 侧 3S 底 ， 2S 底 S 侧 ， 即： 2 2r l设侧面展开图的圆心角为 ， 则 2 r， 180 10 D 11 A 棱锥的直观图如图， 则有 4， 3，由勾股定理， 得 5， 6 2，全面积为 1266 2 1265 126 24 48 12 2，故选 A 12 C 13 14 12 解析 设圆柱桶的底面半径为 R， 高为 h，油桶直立时油面的高度为 x， 则 14 12R2 h 以 14 12 14 14 析 如图，正三角形 ， a，高 32 a， V 13 13 32 a 2 a 14 15 28 3 16 2 3 7 解析 由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分 (四棱锥 还原在正方体中，如图所示 多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线， 由正方体棱长 2 知最长棱的长为 2 3 17解 由三视图可知： 该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体，上半部分是半径为 1 m 的半球 (1)几何体 的表面积为 S 1241 2 62 2 1 2 24 (m 2) (2)几何体的体积为 V 23 12 431 3 8 23 ( 18解 (1)直观图如图 (2)这个几何体是一个四棱锥 它的底面边长为 2，高为 2， 所以体积 V 132 2 2 4 23 19解 下图 (1)为折叠前对照图，下图 (2)为折叠后空间图形 平面 平面 又 平面 在 ， 12a 2 32 a x 2， 故 23 2 x 34 a 2 58 01， 方案二比方案一更加经济 1 第一章 章末检测 （ B） (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是 ( ) 2一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 ( ) A 4 B 6 C 8 D 12 3下列说法不正确的是 ( ) A圆柱的侧面展开图是一个矩形 B圆锥的过轴的截面是一个等腰 三角形 C直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D圆台平行于底面的截面是圆面 4水平放置的正方体的六个面分别用 “ 前面、后面、上面、下面、左面、右面 ” 表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中 “2” 在正方体的上面，则这个正方体的下面是 ( ) A 0 B 9 C快 D乐 5如图， O A B 是水平放置的 直观图，则 面积是 ( ) A 6 B 3 2 C 6 2 D 12 6下列几何图形中，可能不是平面图形的是 ( ) A梯形 B菱形 C平行四边形 D四边形 7如图所示，在正方体 M、 N 分别是 中点则图中阴影部分在平面 ) 2 8若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 ( ) A 12 3 B 36 3 C 27 3 D 6 9一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中 ( ) A B 平面 D 0若圆台两底面周长的比是 1 4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是 ( ) A 12 B 14 C 1 D 39129 11如图所示，正四棱锥 S 所有棱长都等于 a，过不相邻的两条棱 截面 截面的面积为 ( ) A 32 B 12 D 132一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是 ( ) 3 A B C D 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13已知 A、 B、 C、 D 四点在同一个球面上， 6， 2 13， 8，则 B、 C 两点间的球面距离是 _ 14若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 _ 15下列有关棱柱的说法： 棱柱的所有的面都是平的； 棱柱的所有的棱长都相等； 棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形； 棱柱的侧面的个数与底面的边数相等； 棱柱的上、下底面形状、大小相等 其中正确的有 _ (填序号 ) 16如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，相对的面分别是 _ 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17 (10 分 ) 画出如图所示的四边形 直观图 (要求用斜二测画法，并写出画法 ) 18 (12 分 )已知四棱锥 P 三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积 4 19 (12 分 ) 如图，在正三棱柱 3， 4， M 为 P 是的一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 的最短路线长 为 29，设这条最短路线与 求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； (2) 长 20 (12 分 ) 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图 (或称主视图 )是一个底边长为 8，高为 4 的等腰三角形，侧视图 (或称左视图 )是一个底边长为 6，高为 4 的等腰三角形求： (1)该几何体的体积 V； (2)该几何体的侧面积 S 21 (12 分 )如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为 水面高是锥体高的 13，即 13h，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为 5 求 22 (12 分 )如图所示，有一块扇形铁皮 60 ， 72 剪下来一个扇形环 圆台形容器的侧面，并且余下的扇形 剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面 (大底 面 ) 试求： (1)取多长？ (2)容器的容积 第一章 空间几何体 (B) 答案 1 D 2 A 由三视图得几何体为四棱锥，如图记作 S 中 面 2， 6 2， 2， 4，且 直角梯形 90 ， V 1312( 132 12(2 4)2 4，故选 A 3 C 4 B 5 D 直角三角形，两直角边分别为 4 和 6， S 12 6 D 四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成 4 个顶点不共面的四边形 7 A 8 B 由三视图知该直三棱柱高为 4，底面正三角形的高为 3 3，所以正三角形边长为 6，所以 V 34 364 36 3，故选 B 9 C 原正方体如图，由图可得 C 正确 10 D 设上，下底半径分别为 过高中点的圆面半径为 题意 得 452 9129 11 C 根据正棱锥的性质 ， 底面 正方形 ， 2a 在等腰三角形 ，a， 又 2a， 90 ， 即 S 12 12 A 当截面平行于正方体的一个侧面时得 ；当截面过正方体的体对角线时可得 ；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得 但无论如何都不能截得 故选 A 13 43 解析 如图所示，由条件可知 此可知 该球的直径，设 中点为 O，则 O 为球心，连接 6， 8， 2 13，得球的半径 4，13 2 62 4，所以球心角 60 ，所以 B、 C 两点间的球面距离为 60180R 43 14 27 解析 若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径 d 等于正方体的体对角线的长 棱长为 3， d 33 2 3 3R 3 32 S 4 27 15 16 与 ， 与 ， 与 解析 将展开图还原为正方体，可得 与 相对， 与 相对， 与 相对 17解 直观图如下图所示 7 (1)画轴：在直观图中画出 x 轴， y 轴，使 x O y 45 (2)确定 A ， B ， C 三点，在 x 轴上取 B 使 O B 4过 (2,0)， (4,0)两点作y 轴的平行线，过 (0,2)， (0， 1)两点作 x 轴的平行线，得交点 A ， C (3)顺次连接 O A ， A B ， B C ， C O 并擦去辅助线，就得到 四边形 直观图 O A B C 18解 由三视图知底面 矩形， 2， 4 顶点 P 在面 的射影为 点 E，即棱锥的高为 2， 则体积 1313242 163 19解 (1)正三棱柱 ，宽为 4 的矩形，其对角线的长为 92 42 97 (2) 如图所示，将平面 棱 20 使其与侧面 同一平面上，点 P 运动到点 接 沿棱柱侧面经过棱 的最短路线 设 x，则 x 在 在勾股定理得 (3 x)2 22 29， 求得 x 2 2 25， 45 20解 由已 知该几何体是一个四棱锥 P 图所示 由已知， 8， 6，高 h 4， 由俯视图知底面 矩形，连接 于点 O，连接 4，即为棱锥的高作 M， N，连接 42 32 5， 42 42 4 2 (1)V 1313(86)4 64 (2)S 侧 2S 2S 85 64 2 40 24 2 8 21解 当锥顶向上时，设圆锥底面半径为 r，水的体积为： V 13 13 23r 2 23h 1981 当锥顶向下时，设水面圆半径为 r ， 则 V 13 r 2 又 r 此时 V 13 1981 193 h， 即所求 93 h 22解 (1)设圆台上、下底面半径分别为 r、 R， x，则 72 x，由题意得 2 R 60180 7272 x 3R， R 12x 36 即 取 36 (2) 2 r 3 3 36 ， r 6 圆台的高 h R r 2 362 2 6 35 V 13 h( 136 35(12 2 126 62) 504 35() 1 【创新设计】 2015年高中数学 第三章 直线与方程章末检测（ A）新人教 A 版必修 2 (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1若直线过点 (1,2)， (4,2 3)，则此直线的倾斜角是 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 2如果直线 2y 2 0 与直线 3x y 2 0 平行，则系数 a 为 ( ) A 3 B 6 C 32 D 23 3下列叙述中不正确的是 ( ) A若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B每一条直线都有唯一对应的倾斜角 C与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0 或 90 D若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 4在同一直角坐标系中，表示直线 y 直线 y x a 的图象 (如图所示 )正确的是( ) 5若三点 A(3,1)， B( 2， b)， C(8,11)在同一直线上，则实数 b 等于 ( ) A 2 B 3 C 9 D 9 6 过点 (3， 4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 ( ) A x y 1 0 B 4x 3y 0 C 4x 3y 0 D 4x 3y 0 或 x y 1 0 7已知点 A(x,5)关于点 (1， y)的对称点为 ( 2， 3)，则点 P(x， y)到原点的距离是( ) A 4 B 13 C 15 D 17 8设点 A(2， 3)， B( 3， 2)，直线过 P(1,1)且与线段 交，则 l 的斜率 k 的取值范围是 ( ) A k 34或 k 4 B 4 k 34 C 334 k4 D以上都不对 9已知直线 4y 2 0 与直线 2x 5y b 0 互相垂直，垂足为 (1， c)，则a b c 的值为 ( ) 2 A 4 B 20 C 0 D 24 10如果 A(1,3)关于直线 l 的对称点为 B( 5,1)，则直线 l 的方程是 ( ) A 3x y 4 0 B x 3y 8 0 C x 3y 4 0 D 3x y 8 0 11直线 3 0 在 y 轴上截距为 3，而且它的倾斜角是直线 3x y 3 3倾斜角的 2 倍，则 ( ) A m 3， n 1 B m 3， n 3 C m 3， n 3 D m 3， n 1 12过点 A 0， 73 与 B(7,0)的直线 2,1)， (3， k 1)的直线 实数 k 等于 ( ) A 3 B 3 C 6 D 6 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13已知 2x 1 0 与 y 3x 1，若两直线平行，则 m 的值为 _ 14若直线 m 被两平行线 x y 1 0 与 x y 3 0 所截得的线段的长为 2 2，则 m 的倾斜角可以是 _ (写出所有正确答案的序号 ) 15 ； 30 ； 45 ； 60 ； 75 15已知直线 l 与直线 y 1， x y 7 0 分别相交于 P、 Q 两点，线段 中点坐标为 (1， 1)，那么直线 l 的斜率为 _ 16已知直线 l 经过点 E(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是 4，则直线 l 的方程为 _ 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17 (10 分 )平行四边形的两邻边所在直线的方程为 x y 1 0 及 3x 4 0，其对角线的交点是 D(3,3)，求另两边所在的直线的方程 18 (12 分 )已知直线 l 经过直线 2x y 5 0 与 x 2y 0 的交点若点 A(5,0)到 ，求直线 l 的方程 19 (12 分 )已知 两条高线所在直线方程为 2x 3y 1 0 和 x y 0，顶点A(1,2) 求 (1)所在的直线方程； (2) 面积 3 20 (12 分 ) 如图，已知 A( 8,2)， 上中线 在直线的方程为 x 2y 5 0， 上的中线 在直线的方程为 2x 5y 8 0，求直线 方程 21 (12 分 ) 某房地产公司要在荒地 图 )上划出一块长方形地 面 (不改变方位 )建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积 (精确到 1 22 (12 分 )三角形 ， D 是 上任意一点 (D 与 B， C 不重合 )，且 | | | 求证： 等腰三角形 4 第三章 直线与方程 (A) 答案 1 A 利用斜率公式 k 2 3 24 1 33 ，可求倾斜角为 30 2 B 当两直线平行时有关系 2 1 2 2，可求得 a 6 3 D 90 时，斜率不存在 选 D 4 C 5 D 由 b 9 6 D 当截距均为 0 时，设方程为 y 点 (3， 4) 代入得 k 43；当截距不为 0 时，设方程为 1， 将 (3， 4)代入得 a 1 7 D 8 A 如图： 34， 4，结合图形可知 k 34或 k 4 9 A 垂足 (1， c)是两直线的交点，且 25 1， a 10 l： 10x4y 2 0将 (1， c)代入，得 c 2；将 (1， 2)代入 b 12则 a b c 10( 12) ( 2) 4 10 A 11 D 依题意 3n 3， 20 3， m 3， n 1故选 D 12 B 由题意知 1 5 即 13k 1， k 3 13 23 14 解析 两直线 x y 1 0 与 x y 3 0 之间的距离为 |3 1|2 2又动直线被 2，故动直线与两直线的夹角应为 30 ，因此只有 适合 15 23 解析 设 P(x,1)则 Q(2 x， 3)，将 Q 坐标代入 x y 7 0 得， 2 x 3 7 0 x 2， P( 2,1)， 23 16 4x 2y 8 0 解析 设直线 l 的方程为 1 由题意，得 1a 2b 1， 124 联立 ， ，得 a 2， b 4 l 的方程为 1，即 4x 2y 8 0 17解 由题意得 x y 1 0，3x y 4 0， 解得 x 54，y 14，即平行四边形给定两邻边的顶点为为 54， 14 又对角线交点为 D(3,3)，则此对角线上另一顶点为 294 ， 234 另两边所在直线分别与直线 x y 1 0 及 3x y 4 0 平行， 它们的斜率分别为 1 及 3， 即它们的方程为 y 234 x 294 及 y 234 3 x 294 ， 另外两边所在直线方程分别为 x y 13 0 和 3x y 16 0 18解 方法一 联立 2x y 5 0，x 2y 0 得交点 P(2,1)， 当直线斜率存在时，设 l 的方程为 y 1 k(x 2)， 即 y 1 2k 0， |5k 1 2k|1 3，解得 k 43， l 的方程为 y 1 43(x 2)，即 4x 3y 5 0 当直线斜率不存在时，直线 x 2 也符合题意 6 直线 l 的方程为 4x 3y 5 0 或 x 2 方法二 经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x y 5) (x 2y) 0， 即 (2 )x (1 2 )y 5 0， 5| 2 2 2 3， 即 2 2 5 2 0，解得 2 或 12， 直线 l 的方程为 4x 3y 5 0 或 x 2 19解 (1) A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设 32， 1 所在的直线方程为 3x 2y 7 0， x y 1 0 由 3x 2y 7 0x y 0 得 B(7， 7) 由 x y 1 02x 3y 1 0 得 C( 2， 1) 所在的直线方程 2x 3y 7 0 (2) | 117， A 点到 的距离 d 1513， S 12 d| 12 1513 117 452 20解 设 B(则 点 E 的坐标为 82 ， 22 ， 由条件可得： 258 082 222 5 0， 得 258 0214 0 ，解得 64 ，即 B(6,4)，同理可求得 C 点的坐标为 (5,0)故所求直线 方程为 y 04 0 x 56 5，即 4x y 20 0 21解 在线段 任取一点 P，分别向 垂线划出一块长方形土地，以 A 的交点为原点，以 在的直线为 x， y 轴，建立直角坐标系，则 方程为 1，设 Px， 20 2则长方形的面积 S (100 x)8020 20 x30) 化简得 S 23203x 6 000(0 x30) 当 x 5， y 503 时， S 最大，其最大值为 6 017 22证明 作 足为 O，以 所在的直线为 x 轴，以 在的直线为 y 轴，建立直 角坐标系，如右图所示设 A(0， a)， B(b,0)， C(c,0)， D(d,0)，因为 | | | 所以，由两点间距离公式可得 (d b)( c d)，即 (d b)(b d) (d 7 b)(c d)，又 d b0 ，故 b d c d，即 c b，所以 等腰三角形 1 【创新设计】 2015年高中数学 第三章 直线与方程章末检测（ B）新人教 A 版必修 2 (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1如图直线 1， 2， 3，则有 ( ) A 10，直线斜率为负，截距为正，故不过第三象限 10 D 所求直线与已知直线平行，且和点 (1， 1)等距，不难求得直线为 2x 3y 8 0 11 D a 1 1 a 1， 1 显然 x y 0 错误，故选 D 12 A B 上的点与原点的距离的平方，由数形结合知， O 到线段 距离的平方为最小值，即 15， | 1 为最大值 13二 解析 直线方程可变形为： (3x y 7) a(x 2y) 0 由 3x y 7 0x 2y 0 得， x 2y 1 直线过定点 ( 2,1)因此直线必定过第二象限 14 2x y 5 0 解析 所求直线应过点 ( 2,1)且斜率为 2，故可求直线为 2x y 5 0 5 15 y 25x 或 x y 3 0 解析 不能忽略直线过原点的情况 16 3x 4y 4 0 解析 所求直线可设为 3x 4y m 0，再由 73，可得 m 4 17解 (1)代入点 (1,1)， 得 2 (t 2) 3 2t 0，则 t 3 (2)令 x 0，得 y 2t 3t 2 3，解得 t 95 18解 设直线 l 的方程为 1， 则 181a4b 1，解得 a 3b 6 或 a 32b 12则直线 l 的方程 2x y 6 0 或 8x y 12 0 19解 如图所示，由题设，点 B 在原点 O 的左侧，根据物理学知识，直线 定过 ( 1,6)关于 y 轴的对称点 (1,6)，直线 定过 (1,6)关于 x 轴的对称点 (1， 6)且 4 6 3 1 52 程为 y 4 52(x 3) 令 y 0，得 x 75， B 75， 0 程为 y 6 52(x 1) 令 x 0，得 y 72， C 0， 72 方程为 x 75 1， 即 5x 2y 7 0 20解 如图所示，过 A 作直 线 l 的对称点 A ，连接 A B 交 l 于 P， 6 若 P( 异于 P)在直线上，则 | | |A P| | A B| 因此，供水站只有在 P 点处，才能取得最小值，设 A( a， b)， 则 的中点在 l 上，且 l， 即 a 12 2 b 22 10 0，b 2a 1 12 1，解得 a 3，b 6， 即 A(3,6) 所以直线 A B 的方程为 6x y 24 0， 解方程组 6x y 24 0，x 2y 10 0， 得 x 3811，y 3611，所以 P 点的坐标为 3811， 3611 故供水站应建在点 P 3811， 3611 处 21解 设 B(410， 由 点在 6x 10y 59 0 上， 可得： 6 472 10 12 59 0， 5， 所以 B(10,5) 设 A 点关于 x 4y 10 0 的对称点为 A( x ， y) ， 则有 x 32 4 y 12 10 0y 1x 314 1A(1,7) ， 点 A(1,7) ， B(10,5)在直线 ， y 57 5 x 101 10， 故 2x 9y 65 0 22解 方法一 若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x 3，此时与直线 l1，(3， 4)， B(3， 9)截得的线段 长为 | | 4 9| 5，符合题意 若直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为 y k(x 3) 1解方程组 y k x 1，x y 1 0 得 x 3k 2k 1 ，y 4k 1k 1 ，所以点 A 的坐标为 3k 2k 1 ， 4k 1k 1 7 解方程组 y k x 1，x y 6 0 得 x 3k 7k 1 ，y 9k 1k 1 ，所以点 B 的坐标为 3k 7k 1 ， 9k 1k 1 因为 | 5，所以 3k 2k 1 3k 7k 1 2 4k 1k 1 9k 1k 1 2 25 解得 k 0，即所求直线为 y 1 综上所述，所求直线方程为 x 3 或 y 1 方法二 设直线 l 与直线 ( B( 则 1 0， 6 0 两式相减，得 ( ( 5 因为 | 5，所以 ( ( 25 由 可得 5，0， 或 0，5. 所以直线的倾斜角为 0 或 90 又 P(3,1)在 l 上，所以 x 3 或 y 1 1 【创新设计】 2015年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末检测（ A）新人教 A 版必修 2 (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1在空间四边形 边 分别取 E、 F、 G、 H 四点，如果 ，则 ( ) A P 一定在直线 B P 一定在直线 C P 一定在直线 D P 既不在直线 ，也不在直线 2下列推理错误的是 ( ) A A l， A ， B l， B l B A ， A ， B ， B l ， A lA D A l， l A 3给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中，为真命题的是 ( ) A 和 B 和 C 和 D 和 4在空 间中，下列说法中不正确的是 ( ) A两组对边相等的四边形是平行四边形 B两组对边平行的四边形是平行四边形 C一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D对角线互相平分的四边形是平行四边形 5长方体 面直线 ) A 30 B 45 C 60 D 90 6正方体 面角 C 的平面角等于 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 7已知 m， n 是不同的直线， ， 是不重合 的平面，则下列命题中正确的是 ( ) A若 m ， m n，则 n B若 m ， n ，则 n m C若 m ， m ，则 D若 ， m ，则 m 8如图 (1)所示，在正方形 E， F 分别是 2D 是 中点，现在沿 这个正方形折成一个四面体，使 合后的点记为 G，如图 (2)所示，那么，在四面体 S 必有 ( ) A 在平面 2 B 在平面 C 在平面 D 在平面 9如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线 原正方体中的位置关系是 ( ) A平行 B相交且垂直 C异面直线 D相交成 60 角 10矩形 ， 4， 3，沿 矩形 成一个直二面角 B D，则四面体 外接球的体积为 ( ) A 12512 B 1259 C 1256 D 1253 11如图所示，在正方体 E 是 直线 直于 ( ) A B D 2如图所示，将等腰直角 斜边 的高 成一个二面角，此时 B 60 ，那么这个二面角大小是 ( ) A 90 B 60 C 45 D 30 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13设平面 平面 ， A、 C ， B、 D ，直线 于点 S，且点 S 位于平面 ， 之间， 8， 6， 12，则 _ 14如图所示，已知矩形 ， 3， a，若 平面 上取点 E，使 满足条件的 E 点有两个时， a 的取值范围是 _ 15如图所示，在 直四棱柱 底面四边形 _ 3 时，有 ：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况 ) 16下列四个命题： 若 a b， a ，则 b ； 若 a ， b ，则 a b； 若a ，则 a 平行于 内所有的直线； 若 a ， a b， b ，则 b 其中正确命题的序号是 _ 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17 (10 分 ) 如图所示，长方体 M、 N 分别为 判断 平面 什么？ 18 (12 分 ) 如图，在四面体 ， E、 F 分别是 中点 求证： (1)面 (2)面 面 19 (12 分 ) 如图，已知矩形 A 作 平面 过 A 作 点 E，过E 作 点 F (1)求证： (2)若平面 点 G，求证： 4 20 (12 分 )如图所示， 正方形， O 是正方形的中心， 底面 面边长为 a， E 是 中点 (1)求证： 面 面 平面 (2)若二面角 E C 为 30 ，求四棱锥 P 体积 21 (12 分 )如图所示，在矩形 ， 3 3， 3，沿对角线 起，使点 C 移到 C 点，且 C 点在平面 的射影 O 恰在 (1)求证： 平面 D； (2)求点 A 到平面 D 的距离 22 (12 分 ) 如图，在五面体 ，四边形 正方形， 平面 1， 2 2， 45 (1)求异面直线 成角的余弦值； (2)证明 平面 (3)求二面角 B A 的正切值 5 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 (A) 答案 1 B (如图 )， P P 面 理 P 面 面 面 P B 2 C 若直线 l A，显然有 l ， A l，但 A 3 D 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故 不对；由平面与平面垂直的判定可知 正确；空间中垂直于同一条直线 的两条直线可以相交也可以异面，故 不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故 正确 4 A 5 D 由于 异面直线 明显 90 6 B 7 C A 中还有可能 n ； B 中 n m； D 中还有可能 m 或 m 或相交不垂直；C 中，由于 m ，设过 m 的平面 与 交于 b，则 m b，又 m ，则 b ，又 b ，则 ，所以 C 正确 8 A 四边形 当正方形折成四面体之后，上述三个垂直关系仍保持不变， 为四面体的面 相邻两条边， 因此，在四面体 S 侧棱 平面 9 D 恢复成正方体 (如图 )， 易知 等边三角形， 所以 60 选 D 10 C 球心 O 为 点，半径为 R 1252， V 43 1256 选 C 11 B 证 面 12 A 连接 B C，则 C 为等边三角形，设 a， 则 B C 2a， B D a， 所以 B 90 13 9 解析 由面面平行的性质得 解得 9 14 a6 6 解析 (如图 ) 由题意知： 又 所以 面 易证 设 x，则 3a x 9 0，由 0，解得 a6 15 案不唯一 ) 解析 由直四棱柱可知 面 所以 使 只要 平面 以只要 还可以填写四边形 方形等条件 16 解析 中 b 可能在 内； a 与 b 可能异面； a 可能与 内的直线异面 17解 直线 平面 证明如下： 平面 平面 面 如图，取 1，连接 2 12 B 四边形 平行四边形 又 面 平面 18证明 (1) E， F 分别是 中点， 中位线， 面 (2) F 是 中点， 又 F， 面 面 面 19证明 (1) 平面 面 四边形 矩形， 平面 又 平面 平面 7 (2) 平面 又 平面 又由 (1)有 平面 平面 20 (1)证明 连接 图所示 O、 E 分别为 点， 面 面 在正方形 ， 又 0， 面 又 面 面 (2)解 取 点 F，连接 E 为 点， 中位线， 又 面 面 二面角 E C 的平面角， 30 在 ， 121424 a， OF0 612a， 266 a 13 66 a 618 21 (1)证明 点 C 在平面 的射影 O 在 ， C O 平面 C O 又 C O O， 平面 ， 又 C D C D D， 平面 D (2)解 如图所示， 8 过 A 作 C D，垂足为 E，连接 平面 D， 平面 D 故 长就是 A 点到平面 D 的距离 ， 平面 ， 在 B 中， 2 3 2 在 D 中， C D 3 3 在 C ，由面积关系，得 D 3 233 3 6 点 A 到平面 D 的距离是 6 22 (1)解 因为四边 形 正方形，所以 所以 异面直线 成的角 因为 平面 以 在 ， 1， 2 2， 3， 所以 2 23 所以异面直线 成角的余弦值为 2 23 (2)证明 如图，过点 B 作 点 G，则 45 由 45 ，可得 而 又 A，所以 平面 (3)解 由 (2)及已知，可得 2，即 G 为 中点 取 中点 N，连接 因为 以 过点 N 作 点 M， 则 二面角 B A 的平面角 连接 得 平面 从而 由已知，可得 22 由 在 ， 14 所以二面角 B A 的正切值为 14 1 【创新设计】 2015年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末检测（ B）新人教 A 版必修 2 (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1给出下列语句： 一个平面长 3 m，宽 2 m； 平面内有无数个点，平面可以看成点的集合； 空间图形是由空间的点、线、面所构成的 其中正确的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2 a ，则 a 平行于 内的 ( ) A一条确定的直线 B任意一条直线 C所有直线 D无数多条直线 3如图所示，点 P， Q， R， S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线 异面直线的图是 ( ) 4下列命题正确的是 ( ) A一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行 B平行于同一个平面的两条直线平行 C平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行 D与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面 5如果 么 ) A相等 B互补 C相等或互补 D以上均不对 6正方体 ) A平面 B平面 平面 D平面 对于平面 和共面的直线 m、 n，下列命题中真命题是 ( ) A若 m ， m n，则 n B若 m ， n ，则 m n C若 m ， n ，则 m n D若 m、 n 与 所成的角相等，则 m n 8给出以下四个命题 ( ) 如果一条直 线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； 2 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 其中真命题的个数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 9设 、 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确的是 ( ) A若 l ， ，则 l B若 l ， ，则 l C若 l ， ， 则 l D若 l ， ，则 l 10已知平面 平面 ， l，点 A ， Al，直线 l，直线 l，直线 m ， m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ( ) A m B m C D 11如图， 面结论 错误 的是 ( ) A 平面 平面 异面直线 0 12如 图所示，在长方体 2， 1，则 ) A 63 B 2 55 C 155 D 105 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13设 ， A ， C ， B ， D ，直线 于 O，若 8， ， 34，则 _ 14空间四边形 ， E、 F、 G、 H 分别是 中点 若 四边形 _； 若 四边形 _ 15在边长为 a 的等边三角形 ， D，沿 成二面角 B C 后， 12a，这时二面角 B C 的大小为 _ 16如图，四棱锥 S ，底面 平行四边形， E 是 一点，当点 E 满足条件： _时， 平面 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17 (10 分 ) 如图所示，空间四边形 ， E， F， G， H 分别是 的 3 点，且满足 12， 2 (1)求证：四边形 梯形；
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