广东省汕头市2017届高三4月联合考试理科数学试题含答案

2017 届高三联合测试 数学（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 2 4A x x， 1 02，则 （ ） A 2,2 B 1,2 C 2,1 D 1,2 2已知复数 z 满足 34，则 z 的实部与虚部之比为（ ） A 34B 43C 43D 343已知数列 n 项和为“数列为等差数列”是“数列 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4中国清朝数学家李善兰在 1859 年翻译代数学中首次将“ 译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” 知集合 1, 1, 2 , 4M ， 1, 2, 4,1 6N ，给出下列四个对应法则： y 2x， 1， 2 ， 2，请由函数定义判断，其中能构成从 M 到 ） A B C D 5一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A 2 B 22C 23D 266若变量 x ， y 满足约束条件 3123 ，且 3z ax y 的最小值为 7，则 a 的值为（ ） A 1 B 2 C 2 D不确定 7已知 F 为双曲线 C ： 221（ 0a ， 0b ）的左焦点， 直线 l 经过点 F ，若点 ,0 0,l 对称，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 312B 212C 31 D 21 8已知平面向量 1ar ， 2br ，且 1若 平面单位向量， a b er r r 的最大值为（ ） A 6 B 6 C 7 D 7 9执行如图所示的程序框图，如果输出的 715S，则输入的 n （ ） A 6 B 7 C 8 D 9 10设函数 22,0,0x x ， 上的奇函数，且当 0x 时， 2 25g x x x ，若 2f g a ，则实数 a 的取值范围是（ ） A , 1 0 , 2 2 1 B 1, 2 2 1 C , 1 0 , 3 D 1,3 11已知函数 2 c o s s i n c o s 1f x x x x 的定义域为 ,值域为 22,2，则的值不可能是（ ） A 512B2C 712D 12若存在 m ，使得关于 x 的方程 2 2 4x a x m e x l n l n 0x m x 成立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是（ ） A ,0 B 10,2eC 1, 0 ,2 e D 1 ,2e第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知圆 C ： 223 1 4 ，过 1,5P 的直线 l 与圆 C 相切，则直线 l 的方程为 14已知 51的展开式中各项系数和为 243，则二项式 5331xa x的展开式中含 x 项的系数为 （用数字作答） 15半径为 1 的球 O 内有一个内接正三棱柱，当正三棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是 16已知数列 1a， 2112n n na a a 2n，若1112n * ，则数列 n 项和 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知 内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ， 等差数列，且3. （ ）求 值； （ ）若 13b ，求 面积 . 18下表是某校高三一次月考 5 个班级的数学、物理的平均成绩： 班级 1 2 3 4 5 数学（ x 分） 111 113 119 125 127 物理（ y 分） 92 93 96 99 100 （ ）一般来说，学生的物理成绩与数学成绩具有线性相 关关系，根据上表提供的数据，求两个变量 x ， y 的线性回归方程 y bx a； （ ）从以上 5 个班级中任选两个参加某项活动，设选出的两个班级中数学平均分在 115分以上的个数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . 附： 121x y 1221y n x yx n x， a y 19已知五边形 由直角梯形 等腰直角三角形 成，如图所示，D ， E ， D ，且 2D24，将五边形 着 起，且使平面 平面 （ ）若 M 为 点，边 是否存在一点 N ，使得 平面 若存在，求值；若不存在，说明理由； （ ）求二面角 A 的平面角的余弦值 . 20已知点 1,0F ，动点 M ， N 分别在 x 轴， y 轴上运动， F ， Q 为平面上一点， 0Fr ，过点 Q 作 行于 x 轴交 延长线于点 P . （ ）求点 P 的轨迹曲线 E 的方程； （ ）过 Q 点作 x 轴的垂线 l ，平行于 x 轴的两条直线1l，2 于 A ， B 两点（直线 过 F ），交 l 于 C ， D 两点 点的轨迹方程为 2 24，求 面积之比 . 21已知 22ax af x x e x1x, 0a （ ）当 1a 时，求 （ ）若0 1x，使 0 2立，求参数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 2 )4 t经过点 4 2 , 4P ，曲线 C ： 221 3 s i n 4. （ ）求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程； （ ）若点 Q 为曲线 C 上任意一点，且点 Q 到直线 l 的距离表示为 d ，求 d 的最小值 . 23选修 4等式选讲 已知函数 6f x x x . （ ）求不等式 10的解集； （ ）记 m ，若正实数 a ， b ， c 满足 a b c m ，求证：23a b c m . 理数答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 1x 或 4 3 1 9 0 14 45215 4 3 3 161b b 1121 三、解答题 17解：（ ） B 、 C 为 内角，且3. 由 A B C ，可得 32232 （ *） 值成等差数列 2 将（ *）代入上式，化简得 3. 2c o s 1 2 s i n 2 58 . （ ） 13b Q ， 5由余弦定理，得 2 2 213b a c 254 ac a c 134 值成等差数列，由正弦定理，得 2 2 1 3a c b 131 3 5 2 4 ，解得 12B ，得 39B ， 的面积 1 s i a c BV 1 3 9 3 3 9122 8 4 18解：（ 1）由题意得 119x ， 96y 1 100n x x y y ， 21 200n ii ， 1210 . 5x y ，3 6 y b x ， 故所求的回归直线方程为 0 6 . （ 2）随机变量 X 的所有可能的取值为 0， 1,2. 22251010 ， 1123256110 ， 23253210 所以， X 的分布列为： X 0 1 2 P 1103531016011 0 1 0 36210 5 19解：（ 1）证明：取 点为 N ， 点为 P ，连接 EQ ， 面 面 面 同理 面 P P 面 边 存在这样的点 N ，且 12 2）以 A 为原点，以 y 轴，以 z 轴建立空间直角坐标系 . 则 0,0,0A ， 0,0,4B ， 0, 2 2 , 2C ， 0, 2 2 , 0D ， 2 , 2 , 0E EQ ， B 面 面 一个法向量为 2 , 2 , 0设面 一个法向量为 ,n x y zr 0 , 2 2 , 2 2 , 2 , 42 2 2 02 2 4 0n B C y E x y z r u u u r 令 1y ，则 3x ， 2z 3,1, 2n c o s , D E n D E n 662 2 3 二面角 A 的平面角的余弦值为 6620解：（ 1）设 ,P x y ，由 N 为 Q ， F 的中点可得 N 为 P ， M 的中点，则 M ， N 分别为 ,0， 0,2, 2x 1, 2 0F得点 P 的轨迹方程为： 2 4 （ 2）设直线 x 轴的交点 ,0设 211,4， 222,4设 A ， B 中点为 ,M x y ， 当 x 轴不垂直时，由得124 yy y x a 而 122，则 42 yy x a 即 2 2y x a，即 2a 当 x 轴垂直时， A ， B 中点 M 与 ,0合，适合方程 . 由 N 为 Q ， F 的中点，可知过 Q 点作 x 轴的垂线 l 即为 2 4的准线， 121 22C D FS y y V，121 12y y a V 121 12 与 面积之比为 2. 21解：（ 1） 2 12x xf x x e x 1x e x e x 1 1 0 时 1 0x ，2 1x x ,1 1 1,0 0 0, 减 增 的减区间为 1,0 ,1 ， 0, （ 2）由题意，即 1x 1 1 0x a x e 1 1x a，2 0x 当 0a 时， 1xQ 0 单调递增 即 m f x f 1 22x 即 0 设 xg a e a 10xg a e m g a g 0 0 1 0e 即 恒成立 无解 当 0a 时 x ,0 0 10, a1a 1 ,a 且 0 1 0f ，由（ 1）知 12恒成立，若0 1x使 0 2 1 !a且1 2af a1 1a 10a 1 11f a 1 122 2 212a e 212 212e 2 由 12取交集： 21 2 0 22解：（ ）将点 P 的坐标代入直线 l 的极坐标方程，得 8t ，整理可得直线 l 的直角坐标方程为 80 ；由 221 3 s i n 4，得 22 3 s i n 4 ，即2 2 234x y y ， C 的直角坐标方程为 2 2 14x y. （ ）设 2 c o s , s ，则点 Q 到直线 l 的距离2 c o s s i n 82d 5 s i n 82 ， 当 时，m 8 2 102 . 23解：（ ）