南昌市2017届高三第二次模拟冲刺数学理科试题（二）含答案

南昌市十所省重点中学 2017 年二模突破冲刺交流卷（ 02） 高三理科数学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1）设集合 2 | 6 0 A x x x ， 2 2 | B x x ，则 （ A） (2,3 （ B） (2,3) （ C） ( 2,3 （ D） ( 2,3) （ 2）设 i 为虚数单位，若 i ()1 a 的值是 （ A） 1 （ B） 0 （ C） 1 （ D） 2 （ 3）若 是第二象限角且 1213，则4) = （ A） 177（ B） 717（ C） 177（ D） 717（ 4）设 F 是抛物线 E： 2 2 ( 0 )y p x p的焦点，直线 l 过点 F 且与抛物线 E 交于 A， F 是 中点且 8，则 p 的值是 （ A） 2 （ B） 4 （ C） 6 （ D） 8 （ 5）为便民惠民，某通信运营商推出“优惠卡活动” 其内容如下：卡号的前 7 位是固定的， 后四位从“ 0000”到“ 9999”共 10000 个号码参与该活动，凡卡号后四位带有“ 6”或“ 8”的一律作为优惠卡，则“优惠卡”的个数是 （ A） 1980 （ B） 4096 （ C） 5904 （ D） 8020 （ 6）在 ，点 D 是 中点，点 E 是 中点，点 F 在线段 并且 2 a， b，则 （ A） 23a 16b （ B） 23a 12b （ C） 16a 13b （ D） 16a 16b （ 7）设 , 示 m， n 中 最大值，则关于函数 ( ) m a x s i n c o s , s i n c o s f x x x x x 的命题中，真命题的个数是 函数 ()周期 2T 函数 ()值域为 1, 2 函数 ()偶函数 函 数 ()象与直线 x = 2y 有 3 个交点 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 （ 8）更相减损术是出自中国古代数学专著九章算术的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也 以等数约之 ”右图是该算法的程序框图，如果输入 a = 153， b = 119，则输出的 a 值是 （ A） 16 （ B） 17 （ C） 18 （ D） 19 （ 9）设实数 0 ， 0c ，则下列不等式 一定正确 的是 （ A） 01（ B） C） （ D） 0ac （ 10）下列方格纸中每个正方形的边长为 1，粗线部分是一个几何体的三视图，则该几何体最长棱的棱长是 （ A） 3 （ B） 6 （ C） 25 （ D） 5 （ 11）设 P 为双曲线 C： 221( 0xy ， 0)b 上且在第一象限内的点， 焦点， x 轴上有一点 A 且 E 是 中点，线段 若22F，则双曲线的离心率是 （ A） 12 （ B） 22 （ C） 32 （ D） 42 （ 12）设函数 () x 2( ) 2g x x x， 2( ) 2 s i n ( )63h x x ，若对任意的 xR ，都有 ( ) ( ) ( ) 2 gx 成立，则实数 k 的取值范围是 否结束输出 = b - a a = a - a ， A） 1( , 1e（ B） 1( 2, 3e （ C） , )（ D） , )第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 （ 13） 题第 （ 21） 题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 （ 22） 题第 （ 23） 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 （ 13） 7(3 )x 的展开式中， 系数是 （用数字填写答案） （ 14）若 x， y 满足约束条件 3 2 02003 2 6 ，则22 1 0 6 3 4x y x y 的最小值是 （ 15）下表示意某科技公司 2012 2016 年年利润 y（单位：十万元）与年份代号 x 之间的关系，如果该公司盈利变化规律保持不变，则第 n 年（以 2012 年为第 1 年）年利润的预报值是 y = （直接写出代数式即可，不必附加单位） 年份 2012 2013 2014 2015 2016 年份代号 x 1 2 3 4 5 年利润 /十万元 1 6 15 28 45 （ 16）在如图所示的直角坐标系 ， |= 3，点 C 是 靠近 O 点的三等分点，若 ( 0)函数的图象（图中未画出）与 边界至少有 2 个交点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17）（本小题满分 12 分） C ， a， b， c 分别是角 A， B， C 所对的边， D 是 上靠近点 B 的三等分点， 6s i C A C B （）若 2 c o s ( c o s c o s )C a B b A c，求 C； （）若 c = 3，求 面积 （ 18）（本小题满分 12 分） 如图，在圆柱中， A， B， C， D 是底面圆的四等分点， O 是圆心， 直，底面圆的直径等于圆柱的高 （）证明： （）（）求二面角 D 的大小； （）求异面直线 D 所成角的余弦值 （ 19）（本小题满分 12 分） 王明参加某卫视的闯关活动，该活动共 3 关 设他通过第一关的概率为 0. 8，通过第二、第三关的概率分别为 p， q，其中 ，并且是否通过不同关卡相互独立 记 为他通过的关卡数，其分布列为： 0 1 2 3 P 0. 048 a b 0. 192 （）求王明 至少 通过 1 个关卡的概率； （）求 p， q 的值 （ 20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 222 1 ( 3 )3xy 的右焦点为 F，右顶点为 A，设离心率为 e，且 1 3 O A A F，其中 O 为坐标原点 （）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆交于 M， N 两点，求 积的最大值 （ 21）（本小题满分 12 分） 已知函数2 3 21( ) l n 3 4 2 ( )2f x x x a x x a a a a （）求实数 a 的取值范围； （ ）设1)两个极值点且12证明： 212 请考生从 （ 22） 、 （ 23） 两题中任选一题作答 如果多做，则按所做第一个题目计分 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，曲线 参数方程为 2（ t 为参数） 在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2 （）求曲线 2的直角坐标方程，并分别指出其曲线类型； （ ）试判断：曲线 否有公共点？如果有，说明公共点的个数；如果没有 ，请说明理由； （）设 ( , )曲线 直接写出 a + 2b 的取值范围 （ 23）（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 设函数 ( ) 2 1 2 2f x x x （）将函数化为分段函数的形式； （ ）写出不等式 ( ) 1的解集 理科数学试题答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A C B B C D C B B D A C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 题 号 13 14 15 16 答 案 189 10 22 920, )8 （ 1） | ( 2 ) ( 3 ) 0 | 2 3 A x x x x x ， | 2 2 B x x x 或 ，故 (2, 3 （ 2） i ( i ) ( 1 i ) 1 1i1 i ( 1 i ) ( 1 i ) 2 2a a a ，因为 z 是纯虚数，所以 1010，故 1a （ 3） 由 是第二象限角且 1213知：2 51 s ic o s n 13 ， 2 所以 45t a n t a n 7t a n ( )1 5a n t a n 1 7 （ 4） 设11( , )A x y，22( , )B x y，则1222F xx ，故 12 28x x p p ，即 p = 4 （ 5） 不带“ 6”或“ 8”的号码个数为 84 = 4096，故带有“ 6”或“ 8”的有 5904 个 （ 6） 2 1 2 1 1 1 1( ) ( )3 2 3 2 2 6 6E F A F A E A D A C A B B C A B B C A B B C ，故选 D （ 7）下图是函数 ()直线 2在同一坐标系中的图象，由图知 正确，选 C. （ 8）第一次循环得： 1 5 3 1 1 9 3 4a ；第二次循环得： 119 34 85b ；第三次循环得： 85 34 51b ；同理，第四次循环 51 34 17b ；第五次循环 34 17 17a ，此时 a = b，输出 a = 17，结束 （ 9）由于 0 ， 1 A 错； ln ， B 对；当 01c 时， ；当 1c 时，；当 1c 时， ，故 不一定正确； 0 ， 0c ，故 0ac ，D 错 （ 10）画出立体图（如图） 由图知，该几何体最长棱的棱长是 5 （ 11）由题设条件知1( ,0)2( ,0)2( , )22F F c 在 ，由射影定理得 22 1 2 2P F F F A F，所以 42 22 所以 42( , 0)2， 422( , )42a c a 2 220 22824b b a 所以 )k x c，当 x = c 时12 2 24 2 242 83EF a b c by c k b a c a 即 6 2 2 2 2 2 28 1 2b a b c a b c， 4 2 24b a c ，又 2 2 2b c a ，所以 2 2 2 2 2( ) 4c a a c ，即4 2 2 460c a c a ，同除以 426 1 0 ，得 2 3 2 2e 或 2 3 2 2 ( )e 舍 所以 12e （ 12）由题设 ( ) ( ) ( ) 2 gx 恒成立等价于 ( ) ( ) ( ) 2f x k g x h x k 设函数 ( ) ( ) ( )H x f x k g x，则 ( ) ( 1 ) ( e 2 )xH x x k 1设 k = 0，此时 ( ) e ( 1)xH x x ，当 1x 时 ( ) 0 ，当 1x 时 ( ) 0 ，故1x 时 ()1x 时 () 1( ) ( 1 ) eH x H 而当1x 时 ()得最大值 2，并且 1，故 式不恒成立 2设 k 0， ( ) ( 1 ) ( e 2 )xH x x k ，此时当 1x 时 ( ) 0 ，当 1x 时 ( ) 0 ，故 1x 时 ()1x 时 () 1( ) ( 1 )eH x H k ；而当 1x 时) 2，故若使式恒成立，则 1 22e ，得 12 （ 13）由二项式定理得 717( 1 ) 3 Cr r r ，令 r = 5 得 系数是 2573 C 189 14）画出可行域（如图） 所求代数式可化为22( 5 ) ( 3 ) ，这表示动点 ( , )定点 ( 5, 3) 的距离的平方 由图知，只有 C 点可能与 ( 5, 3)M 的距离最短 于是 联立 3 2 020 ，得 24，所以 ( 2, 4)C 而 22( 5 2 ) ( 3 4 ) 1 0 ，225 3 ( 3 ) ( 1 ) 2 103 ( 1 )d 故 22 1 0 6 3 4x y x y 的最小值是 10 （ 15）考虑数列 ()na f n，那么1 1a，2 6a ，3 15a ，4 28a ，5 45a 所以215 4 0 ，325 4 1 ，4354 2，1 5 4 ( 2 )a n ， 上述各式相加得： 21 ( 2 ) 4 ( 2 ) ( 1 2 )5 ( 1 ) 4 1 2 3 5 4 22n a n n n n n （ 16）当 k 0 时，由题设， (1, 2)A ， (3,0)B ， (1,0)C 若函数与 边界分别交于 ()y f x 应满足 (1) 2 若函数与 边界 于两点（不含 A 点），则临界位置为相切 由题设 直线方程为 2 2 2 2 0 设切点为0 0( , )kx x，2() x ，则0 202() 2x ，即 2022将切点代入直线 程得0 32x ， 928k综上， 9208k 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17）（本小题满分 12 分） 解： （）由 2 c o s ( c o s c o s )C a B b A c及 正弦定理得 3 x + 2 y - 6 = 0x - y - 2 = 03 x - y + 2 = 0- 5, - 3)c o s ( s i n c o s s i n c o s ) s i B B A C2 c o s s i n ( ) s i B C 2 c o s s i n s i C，因为 , )(0C ，所以 0，所以 2C 又因为 , )(0C ，所以3C 6 分 （ ）由 6s i n s i n c o 2 3B A C B 得2 1c o s 2 c o s 123 由余弦定理得 2 2 2c o B D A B B D ，即 2 2 21 3 3=3 2 3D ，得 2， 故 6a 过 A 作 ， s i n 2 2A E A B B 所以 面积为 1 2 2 6 6 22 12 分 （ 18）（本小题满分 12 分） 解： （）证明：因为 面 平面 以 因为在底面圆 O 中， B，所以 面 因为 平面 以 5 分 （ ）（）由圆柱性质知 两垂直 以 C 为原点，以 1x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系 C ，不妨设圆柱的高为 2 则 (0,0,0)C ， (0, 2,0)B ， (1,1,0)O 6 分 所以平面 一个法向量是 (0, 2 , 0) 平 面 一个法向量是 (1,1, 0) 所以 22c o s , 222C B C C O C B C O 8 分 由图知二面角 D 是锐二面角，所以它的大小是4 9 分 （）由题意得 ( 2, 2, 0)A ， ( 2,0,0)D ，1(0, 2, 2)B 所以1 ( 2 , 0 , 2 )， ( 2 , 2 , 0 ) 所以 1112 6c o s ,624 2 2A B B B B D 12 分 （ 19）（本小题满分 12 分） 解： （）设事件 ( 1, 2,3)示“王明通过第 i 个关卡”，由题意知1( ) 2()P A p，3()P A q 2 分 由 于事件“王明至少通过 1 个关卡”与事件“ 0”是对立的，所以王明至少通过1 个关卡的概率是 1 ( 0 ) 1 0 . 0 4 8 0 . 9 5 2P 6 分 （ ）由题意 ( 0 ) 0 . 2 ( 1 ) ( 1 ) 0 . 0 4 8P p q ， ( 3 ) 0 . 8 0 . 1 9 2P p q 整理得 1， ，又 ，所以 ， 12 分 （ 20）（本小题满分 12 分） 解： （）设椭圆的焦半距为 c，则 |= c， |= a， |= 所以 1 1 3ec a a c，其中 又 2 2 23b a c ，联立解得 2a ， 1c 所以椭圆 C 的方程是 22143 4 分 （ ）由题意直线不能与 x 轴垂直，否则将无法构成三角形 5 分 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设其斜率为 k，那么 l 的方程为 1y 联立 l 与椭圆 C 的方程，消去 y，得 22( 4 3 ) 8 8 0k x k x 于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是 = 22(8 ) 3 2 ( 4 3 )，这显然大于 0 设点11( , )M x y，22( , )N x y 由根与系数的关系得12 2843k ，12 2843xx k 7 分 所以 22212 24 6 2 1 11 43 k x x k ，又 O 到 l 的距离211d k 所以 面积 222 2 21 2 6 2 1 2 1262 4 3 ( 4 3 )d M 10 分 令 24 3 3 ，那么221 1 1 2 62 3 2 3 3tS t t t ，当且仅当 t = 3 时取等 所以 积的最大值是 263 12 分 （ 21）（本小题满分 12 分） 解： （）由题设函数 ()定义域为 (0, ) ， ( ) x x ，故函数 ()两个极值点等价于其导函数 ()在 (0, ) 有两个零点 当 a = 0 时 ( ) x x ，显然只有 1 个零点0 1x 2 分 当 a 0 时，令 ( ) x x ，那么 11() x 若 a 0 时 ( ) 0 ，即 ()调递增，所以 ()两个零点 . 3 分 若 a 0，则当 10 时 ( ) 0 ， ()调递增；当 1 ( ) 0 ， ()单调递减，所以 11( )