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全国 高中数学 联合 竞赛 比赛 试题 打包

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1992 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一、选择题 (每小题 5 分，共 30分 ) 1. 对于每个自然数 n，抛物线 y (n2+n)2n+1)x+1 与 n, |示该两点的距离，则 | +|值是 ( ) (A)19921991(B)19931992(C)19931991(D)199219932. 已知如图的曲线是以原点为圆心， 1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是 ( ) (A)(x+ 21 y )(y+ 21 x )=0 (B)(x 21 y )(y 21 x )=0 (C)(x+ 21 y )(y 21 x )=0 (D)(x 21 y )(y+ 21 x )=0 3. 设四面体四个面的面积分别为 2,4,它们的最大值为 S，记 = )( 41i S，则 一定满足 ( ) (A)21) fn(x)=),2 1,2,1(,)1()1(),2,2,1(,)1()1(212121221122211为奇数为偶数 1992 年全国高中数学联赛试卷 第 二 试 一、 (35分 )设 2,4依次为 证： 2,4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置 二、 (35分 )设集合 1,2, ,n若 的“容量”(规定空集的容量为 0)，若 偶 )数，则称 偶 )子集 1求证 2求证：当 n 3时， 3当 n 3时，求 三、 (35分 )在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取 6个格点 Pi(xi,i 1,2,3,4,5,6)满足 (1) | 2,| 2,(i 1,2,3,4,5,6)， (2) 任何三点不在同一条直线上试证：在以 Pi(i 1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于 2 1993 年全国高中数学联合竞赛试卷 第 一 试 一、选择题 (每小题 5分，共 30分 ) 1 若 M=(x,y)| |tgy|+x 0， N=(x,y)|x2+2，则 M ） (A)4 (B)5 (C)8 (D)9 2 已知 f(x)=b+4(a,，且 f( 5，则 f(值是（ ） (A)5 (B)3 (C)3 (D)随 a,3 集合 A,集 A B=a1,a2,当 A(A,B)与 (B,A)视为不同的对，则这样的 (A,B)对的个数是（ ） （ A） 8 （ B） 9 （ C） 26 （ D） 27 4 若直线 x4被曲线 C:(xx(yy+ 0所截的弦长为 d，当 ) (A) 4(B) 3(C)2(D) 5 在 ，角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c，若 ca 等于 上的 高 h，则2co 的值是 ( ) (A)1 (B)21(C)31(D)1 6 设 m,zC，则方程 |z+|zz+|z 2为焦点 )是 ( ) 二、填空题（每小题 5分，共 30分） 1 二次方程 (1i)+i)x+(1+i) 0(R)有两个虚根的充分必要条件是 的取值F 2F 2F 1F 2A ) ( B ) ( C ) ( D ) 范围为 _ 2 实数 x,，设 S=x2+ S _ 3 若 zC,)=65,)=3，则 _. 4 整数 310103193的末两位数是 _. 5 设任意实数 x0x1x2，要使1993lo 1993恒成立，则 _. 6 三位数 (100,101, ,999)共 900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如 198倒过来看是 861；有的卡片则不然，如 531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印 _张卡片 三、（ 本题满分 20分） 三棱锥 棱 与 P证明： (1)(2)设 ，则 D为三棱锥 四、（本题满分 20分） 设 0ab，过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l和 m，使与抛物线 y2=这四点共圆时，求这种直线 l与 的轨迹 五、（本题满分 20分） 设正数列 a0,a1, , 满足1212 2 n 2)且 a0=求 通项公式 1993年全国高中数学联合竞赛试卷 第 二 试 一、（ 35分） 设一凸四边形 的内角中仅有 一些直线段将该凸四边形分割成 除去 A、 B、 C、 该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点试证 n 4. 二、（ 35分） 设 A的 1, ,证： (1)n |1 1； (2) 中 |示 | 示 的组合数 三、（ 35分） 水平直线 的中心，直线 lm， l与 ，点 线 ,B,位于直线 点最远， 点最近， Q,O 的三条切线， P,Q,R 为切点试证： (1)l 与圆 O 相切时， R+P=Q； (2)相交时， R+P Q； (3)相离时， R+P Q. 1997 年全国高中数学联合竞赛试卷 (10 月 5 日上午 8:0010:00) 一、选择题 (每小题 6 分，共 36 分 ) 1已知数列 足11 n 2)， a, b, 记 x1+ +下列结论正确的是 (A)a,ba (B)b,ba (C)b,ba (D)a,ba 2如图，正四面体 ， E 在棱 ， F 在棱 ，使得 )0( 记 )(表示 成的角，表示 成的角，则 (A) )(f 在 ),0( 单调增加 (B) )(f 在 ),0( 单调减少 (C) )(f 在 (0,1)单调增加 ,而在 (1， + ) 单调减少 (D) )(f 在 (0,+ )为常数 3. 设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项的和为 972，则这样的数列共有 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 4在平面直角坐标系中，若方程 222 )32()12( 示的曲线为椭圆，则 m 的取值范围为 (A)(0,1) (B)(1,+ ) (C)(0,5) (D)(5,+ ) 5设 2)( , )45(ar cc t g),31ar cc o s (,45ar ct g ,则 (A) )()()()( (B) )()()()( (C) )()()()( (D) )()()()( 如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线，那么与 a,b,c 都相交的直线有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条 二、 填空题 (每小题 9 分，共 54 分 ) 1 设 x,y 为实数，且满足1)1(1 99 7)1(1)1(1 99 7)1(33则 x+y . 2 过双曲线 1222 右焦点作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点，若实数 使得 | 的直线 l 恰有 3 条，则 = . 3 已知复数 z 满足 1|12| z 的幅角主值范围是 4 已知三棱锥 S底面是以 斜边的等腰三角形， B=， ，设 S、 A、 B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上，则点 O 到平面 距离为 5 设 正六边形，一只青蛙开始在顶点 A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在 5 次之内跳到 D 点，则停止跳动；若 5 次之内不能到达 D 点，则跳完 5 次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种 6 设 a lgx(1+1， b +lg()， c 1+1，记 a,b,大数为 M，则M 的最小值为 三、（本题满分 20 分） 设 x y z12，且 x+y+z 2，求乘积 最大值和最小值 四、 (本题满分 20 分 ) 设双曲线 的两支为 2(如图 )，正三角形 三顶点位于此双曲线上 (1)求证： P、 Q、 R 不能都在双曲线的同一支上； (2)设 P(1,1)在 Q、 R 在 顶点 Q、 R 的坐标 1, 1) 、 (本题满分 20 分 ) 设非零复数 a1,a2,a3,a4,1111(4543215432145342312 其中 S 为实数且 |S| 2 求证：复数 a1,a2,a3,a4, 1997 年全国高中数学联赛答案 一、选择题 6. 二、 填空题 题号 答案 + 26 、 由已知得 x= ， 0， 0，于是， y+z)+ y+z)= ,且当 x= ,y=z= 时取等号所以 类似方法可得 最大值是 。 四、 (1)用反证法；（ 2） Q、 2- ,2+ ),(2+ ,2- ) 五、令公比为 q,可得 +q+q2+q3+ (1+q+q2+q3+（ 1）若 1+q+q2+q3+，则 |q|=1,复数 a1,a2,a3,a4, （ 2） 若 1+q+q2+q3+0,则 2, x=q+ 满足方程x2+x+1= . , 复数 a1,a2,a3,a4,的圆上。 一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷 （ 10月 11日上午 8 00 10 00） 一、 选择题（本题满分 36 分，每小题 6分） 1 若 a 1,b 1且 lg(a+b)= lg(a1)+lg(b1)的值 (A) 等于 (B)等于 1 (C)等于 0 (D)不是与 a,2 若非空集合 A=x| 2a+1 x 3a5,B=x|3 x 22，则能使 AA ) (A)a|1 a 9 (B)a|6 a 9 (C)a|a 9 (D) 3 各项均为实数的等比数列 n，若 0,0，则 ) (A) 150 (B) 200 (C) 150或 200 (D)400或 50 4 设命题 P：关于 x 的不等式 0 与 0 的解集相同；命题 Q：212121 。则命题 Q (A)是命题 (B)是命题 (C)是命题 (D)既不是命题 的必要条件 5 设 E ,F,B,二面角 C的大小是 ( ) (A)36)33(C) 2(D)226 在正方体的 8 个顶点， 12条棱的中点， 6个面的中心及正方体的中心共 27个点中，共线的三点组的个数是 ( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37 二、 填空题（本题满分 54 分，每小题 9分） 1 若 )( 是以 2 为 周 期 的 偶 函 数 ， 当 1,0x 时， 19981)( ，则)1998(f , )17101(f , )15104(f 由小到大的排列是 _. 2 设复数 z= i (0 180 )，复数 z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是 P,Q,R，当 P,Q,线段 R 为两边的平行四边形的第四个顶点为 S，则点 _. 3 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这 10个数中取出 3个数，使其和为不小于 10的偶数，不同的取法有 _种 . 4 各项为实数的等差数列的公差为 4，其首项的平方与其余各项之和不超过 100，这样的数 列至多有 _项 . 5 若椭圆 4)(4 22 抛物线 2 有公共点，则实数 a 的取值范围是_. 6 ， C=90 , B=30 ,， M 是 起，使 A,B 两点间的距离为 22 ，此时三棱锥 A体积等于_. 三、 （本题满分 20分） 已知复数 z=1+( 2)，求 z 的辐角主值。 四、 （本题满分 20分） 设函数 38)( 2 a 0)，对于给定的负数 a，有一个最大的正数 l(a)，使得在整个区间 0,l(a)上，不等式 |f (x)| 5都成立。 问： l(a)最大？求出这个最大的 l(a)，证明你的结论。 五、 （本题满分 20分） 已知抛物线 2 及定点 ),( B(a,0), )2,0( 2 ， 直线 1,求证：当 要 2存在且 直线 求出这个定点的坐标。 1998 年全国高中数学联合竞赛答案 一、 选择题 、 填空题 1. )15104()1998()17101( 5. 1 a 243 四、 a=8时， l(a)的最大值是2 15五、定点是 (a, 1999 年全国高中数学联合竞赛答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B D B C 二、填空题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 6 43 三、 . 四、 ( ,2). 五、 1999 年全国高中数学联合竞赛 一、 选择题（满分 36 分，每小题 6分） 1 给定公比为 q(q1)的等比数列 设 b1=a1+a2+b2=a4+a5+ , bn=+，则数列 ) (A)是等差数列 (B)是公比为 q 的等比数列 (C)是公比为 (D)既非等差数列也非等比数列 2 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|x|1)2+(|y|1)2 2的整点 (x,y)的 个数是 ( ) (A)16 (B)17 (C)18 (D)25 3 若 (x(x (y (y ，则 ( ) (A)xy 0 (B)x+y 0 (C)xy 0 (D)x+y 0 4 给定下列两个关于异面直线的命题： 命题：若平面 上的直线 a 与平面 上的直线 b 为异面直线，直线 c 是 与 的交线，那么， a, 命题：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线 。 那么， ( ) (A)命题正确，命题不正确 (B)命题正确，命题不正确 (C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确 5 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有 3名选手各比赛了 2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了 50场。那么，在上述 3名选手之间比赛的场数是 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 6 已知点 A(1,2)，过点 (5,2)的直线与抛物线 ,C，那么， ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定 二、 填空题（满分 54 分，每小题 9分） 1 已知正整数 n 不超过 2000，并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和，那么，这样的 _. 2 已知 =么，复数 239 2的辐角主值是 _. 3 在 BC=a， CA=b， AB=c，若 99，则_. 4 已知点 P 在双曲线 191622 ，并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么， _. 5 已知直线 ax+by+c=0中的 a,b,3,2,1,0,1,2,3中的 3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是 _. 6 已知三棱锥 S底面是正三角形， A 点在侧面 的射影 H 是 垂心，二面角 H 的平面角等于 30, 3 。那么三棱锥 S_. 三、 (满分 20分 )已知当 x0,1时，不等式 0s ()1(c o s 22 成立，试求的取值范围。 四、 (满分 20分 )给定 A(2,2)，已知 162522 的动点， |35|最小值时，求 五、 (满分 20 分 )给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件 2121 M 的所有等差数列a1,a2, .，试求 S=+ +的最大值。 加 试 一、 (满分 50 分 )如图，在四边形 角线 分 ， ，延长 。求证： 二、 (满分 50 分 )给定实数 a,b,c，已知复数z1,z2, 11|133221321求 |值。 三、 (满分 50 分 )给定正整数 n，已知用克数都是正整数的 ,2,3, , （ 1） 求 f(n)； （ 2） 当且仅当 n 取什么值时，上述 f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。 一九九五年全国高中数学联合竞赛 一、 选择题（本题满分 36分，每小题 6分） 1. 设等差数列 a n满足 3a 8 = 5a 13, 且 a 1 0, S n 项之和，则 S n（ nN）中最大的 是 _. (A) (B) (C) (D) 0 边形的 20 个顶点所对应的复数依此为 , 则复 数 21995, _ (A) 4 (B) 5 (C) 10 (D) 20 则称甲不亚于乙 . 在 100个小伙子中 ,如果某人不亚于其它 99 人 , 就称他为棒小伙子 . 那么 100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有 _个 . (A) 1 (B) 2 (C) 50 (D) 100 x 2n | = k x (nN)在 区间 (2n 1 ,2n+1上有两个不相等的实根 . 则k 的取值范围是 _. (A) k 0 (B)0k (C) 12n + 1 k (D)以上都不是 . si si _. (A) si si B) si si C) si si D) si si 是正三棱锥 过 延长线的交点分别计为 Q、 R、 S, 则和式 1+1+ 1_. (A) 有最大值而无最小值 (B) 有最小值而无最大值 (C) 既有最大值又有最小值 , 且二者不等 (D) 是一个与平面 二、 填空题 (本题满分 54分 ,每小题 9分 ) 1. 设 , 是一对共轭复数 , 若 | | = 2 3 , 且 为实数 , 则 | | = _. 2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 _. 3. 用 x表示不大于实数 方程 (lg x)2 2 = 0的实根的个数_ . y 3x 4. 直角坐标平面上 ,满足不等式组 y 13 x 的整点 (即横、纵坐标均为整数的点 ) 11 x + y 100 的个数是 _. 5. 将一个四棱锥 的每个顶点染上一种颜色 , 并使同一条棱的两端异色 种颜色 可供使用 ,那么不同的染色方法的总数是 _. 6. 设 M=1,2,3, 1995, 的子集且满足条件 : 当 x 15xA, 则 数最多是 _. 一九九六年全国高中数学联合竞赛 一、 选择题（本题满分 36 分，每小题 6分） 1. 把圆 (y 1 )2 =1 与椭圆 9+ (y + 1)2 = 9的公共点 , 用线段连接起来的图形是 _. (A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形 2. 等比数列 首项 536, 公比是 q= 12 . 用 , 则 Tn(nN)最大的是 _ (A) (B) (C) (D) A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个 ,但为有限个 (D)有无穷多个 4 设 x( 12 , 0),以下三个数 : 1=, 2=, 3=x+1)的大小关系是 _. (A) 3 2 1 (B) 1 3 2 (C) 3 1 2 (D) 2 3 1 1, 2 上 , 函数 f(x) = q与 g(x) = x + (1x )2在同一点取相同的最小值 , 那么 f (x)在该区间上的最大值是 _. 的圆台内有一个半径为 2 的球 球心 球 面都相切 . 圆台内可再放入一个半径为 3 的球 使得球 1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点 , 除球 圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是_. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、 填空题 (本题满分 54分 ,每小题 9分 ) 1. 集合 x| 1 1x)10 12 , xN的真子集的个数是 _ 为零 ,16 , 则 z 2 = _. 的极坐标方程是 = 1 + 点 A 的极坐标是 (2, 0). 曲线 C 在它所在的平面内 绕 A 旋转一周 , 则它扫过的图形的面积是 _. 恰得到一个所有二面角都相等的六 _