2010届高三数学高考第一轮复习精品教案：(9套)（附高考预测）
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2010届高三数学高考第一轮复习精品教案：(9套)（附高考预测）,高三,数学,高考,第一轮,复习,温习,精品,教案,预测
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第 1 页 共 6 页 精品教案集合与简易逻辑 一、本章知识结构： 二、考点回顾 1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义； 2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等； 3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法； 4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定； 5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系； 6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。 三、经典例题剖析 考 点 1、集合的概念 1、集合的概念： （ 1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （ 2） 集合的分类： 按元素个数分：有限集，无限集； 按元素特征分；数集，点集。如数集 y|y=表示非负实数集，点集 (x， y)|y=示开口向上，以 （ 3） 集合的表示法： 列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如 N+=0， 1， 2， 3， ；描述法。 2、两类关系： （ 1） 元素与集合的关系，用 或 表示； （ 2）集合与集合的关系，用 ， ， =表示，当 A 的子集；当 A 2 页 共 6 页 称 的真子集。 3、 解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合 x|x P,要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆4、 注意空集 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A B,则有 A= 或 A 两种可能，此时应分类讨论新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆例 1、 下面四个命题正确的是 （ A） 10 以内的质数集合是 1， 3， 5， 7 （ B） 方程 4x 4 0的解集是 2， 2 （ C） 0 与 0表示同一个集合 （ D） 由 1， 2， 3 组成的集合可表示为 1， 2， 3或 3， 2，1 解：选（ D），最小的质数是 2，不是 1，故（ A）错；由集合的定义可知（ B）（ C）都错。 例 2、已知集合 A 1， 3， 2m 1 ，集合 B 3， 2m 若 B A，则实数 m 解： 由 B A，且 2m 不可能等于 1，可知 2m 2m 1，解得： m 1。 考点 2、集合的运算 1、交，并，补，定义： A B=x|x A且 x B， A B=x|x A，或 x B， x|x U，且 x A，集合 2、运算律，如 A（ B C） =（ A B）（ A C）， A B） =（ （ A B） =（ （ 。 3、学会画 会用 例 3、设集合 A x|2x 1 3， B x| 3 x 2，则 A ） (A) x| 3 x 1 (B) x|1 x 2 (C) x|x 3 (D) x|x1 解 ：集合 A x|2x 1 3 x|x1，集合 A 和集合 B 在数轴上表示如图 1所示， A 和集 合 选（ A）。 例 4、经统计知，某村有电话的家庭有 35 家 ,有农用三轮车的家庭有 65 家 ,既有电话又有农用三轮车的家庭有 20 家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 ( ) A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 解：画出 图 2，画图可得到有一种物品的家庭数为：15+20+45=C）。 例 5、 （ 2008广东卷 ）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008年 8月 8日在北京举行，若集合 A=参加北京奥运会比赛的运动员 ，集合 B=参加北京奥运会比赛的男运动员 。集合 C=参加北京奥运会比赛的女运动员 ，则下列关系正确的是 （ ） B C B=C C=A 解：由题意可知，应选（ D）。 考点 3、逻辑联结词与四种命题 1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题； 图 1 图 2 第 3 页 共 6 页 2、复合命题的形式： p且 q， p或 q，非 p； 3、复合命题的真假：对 p且 q、 为 真；当 p、 为假。对 p或 p、 为假；当 p、 为真；当 4、四种命题：记“若 q 则 p”为原命题，则否命题为“若非 p 则非 q”，逆命题为“若 q则 p“，逆否命题为”若非 q 则非 p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。 例 6、（ 2008广东高考） 命题“若函数 ( ) l o g ( 0 , 1 )af x x a a 在其定义域内是减函数，则 0a ”的逆否命题是（ ） A、若 0a ，则函数 ( ) l o g ( 0 , 1 )af x x a a 在其定义域内不是减函数 B、若 0a ，则函数 ( ) l o g ( 0 , 1 )af x x a a 在其定 义域内不是减函数 C、若 0a ，则函数 ( ) l o g ( 0 , 1 )af x x a a 在其定义域内是减函数 D、若 0a ，则函数 ( ) l o g ( 0 , 1 )af x x a a 在其定义域内是减函数 解：逆否命题是将原命题的结论的否定作为条件，原命题的条件的否定作为结论，故应选（ A）。 例 7 、 已 知 命 题 :p 方程 2 10x 有 两 个 不 相 等 的 负 数 根 ； :q 方程24 4 ( 2 ) 1 0x m x 无实根若“ p 或 q ”为真，“ p 且 q ”为假，求实数 m 的取值范围 解： 2 40:0 ，2m 22: 1 6 ( 2 ) 1 6 1 6 ( 4 3 ) 0q m m m ， 13m p 或 q 为真， p 且 q 为假， p 真， q 假或 p 假， q 真 213 ， 或 ，或 213 ，故 3m 或 12m 考点 4、全称量词与存在量词 1全称量词与存在量词 （ 1）全称量词： 对应日常语言中的 “ 一切 ” 、 “ 任意的 ” 、 “ 所有的 ” 、 “ 凡是 ” 、 “ 任给 ” 、 “ 对每一个 ” 等词，用符号 “ ” 表示。 （ 2） 存在量词： 对应日常语言中的 “ 存在一个 ” 、 “ 至少有一个 ” 、 “ 有个 ” 、“ 某个 ” 、 “ 有些 ” 、 “ 有的 ” 等词， 用符号 “ ” 表示。 第 4 页 共 6 页 2全称命题与特称命题 （ 1）全称命题：含有 全称量词的命题。 “对 x M，有 p（ x）成立 ”简记成 “ x M，p（ x） ”。 （ 2）特称命题：含有 存在量词的命题。 “ x M，有 p（ x）成立 ” 简记成 “ x M，p（ x） ” 。 3 同一个 全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，供参考。 命题 全称命题 x M， p（ x） 特称命题 x M， p（ x） 表述 方法 所有的 x M，使 p（ x）成立 存在 x M，使 p（ x）成立 对一切 x M，使 p（ x）成立 至少有一个 x M，使 p（ x）成立 对每一个 x M，使 p（ x）成立 对有些 x M，使 p（ x）成立 任给一个 x M，使 p（ x）成立 对某个 x M，使 p（ x）成立 若 x M，则 p（ x）成立 有一个 x M，使 p（ x）成立 4 常见词语的否定如下表所示： 词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 一定不是 不 都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有 至多有一个 所有 词语的否定 或 一个也没有 至多有 至少有两个 存在一个 例 8、（ 2007 山东） 命题“对任意的 01, 23 的否定是（ ） 1, 23 1, 23 1, 23 D. 对任意的 01, 23 解：命题的否定与否命题不同，命题的否定是将全称量词改为特称量词，或将特称量词改为全称量词，再否定结论即可，故选（ C）。 例 9、命题“ 0x ，有 2 0x ”的否定是 解： 将“存在”改为“任意”，再否定结论，注意存 在与任意的数学符号表示法，答案：200 ， 有 第 5 页 共 6 页 考点 5、充分条件与必要条件 1、定义：对命题“若 p 则 q”而言，当它是真命题时， p是 q是 p 的必要条件，当它的逆命题为真时， q是 p 的充分条件， p是 种命题均为真时，称p是 2、在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件 ，满足条件 q 的所有对象组成集合 q，则当 A B 时 ， p 是 q 的充分条件。 B A 时， p 是 q 的充分条件。 A=B 时， p是 3、当 p和 现了命题等价转换的思想。 4、 充分条件 ”“必要条件 ”的概念，当 “若 p则 q”形式的命题为真时，就记作 p q，称 p是 q 的充分条件，同时称 q是 此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆5、 要理解 “充要条件 ”的概念，对于符号 “ ”要熟悉它的各种同义词语新疆王新敞特级教师 源头学子小屋头学子小屋特级教师 王新敞新疆“等价于 ”， “当且仅当 ”， “必须并且只需 ”， “ ，反之也真 ”等新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆6、 是概念的判断依据 ，又是概念所具有的性质7、 从集合观点看，若 A B，则 A 是 B 的充分条件， B 是 A 的必要条件；若 A=B，则 A、 级教师 王新敞疆8、 证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立 (即条件的充分性 )，又要证明它的逆命题成立 (即条件的必要性 ). 例 10、 （ 2008安徽卷 ） 0a 是方程 2 2 1 0ax x 至少有一个负数根的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：当 042 2 a ，得 a1 时方程有根。 a0 时， 0121 程有负根，又 a=1时，方程根为 1x ，所以选（ B）。 例 11、 （ 2008湖北卷 ）若集合 ,50,4,3,2,1 ,则： （ ） A. 是 的充分条件，不是 的必要条件 B. 不是 的充分条件，是 的必要条件 C 是 的充分条件，又是 的必要条件 . D. 既不是 的充分条件，又不是 的必要条件 解： x P x Q 反之不然故选 A 四 、方法总结与 2010 年高考预测 （一）思想方法总结 第 6 页 共 6 页 1. 数形结合 2. 分类讨论 （二） 2010 年高考预测 1集合是每年高考必考的知识点之一 。题型一般是 选择和填空的形式，主要考查集合的运算和求有限集合的子集及其个数 2简易逻辑是一个新增内容， 据 其内容的 特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低 档 题 3集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用 ，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力 ，题 型常以解答题的形式出现 五 、复习建议 1在复习中首先把握基础性知识，深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和基本数学方法重点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法要真正掌握数形结合思想 用文氏图解题 2涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型 (如集合与映射，集合与自然数集，集合与不等式，集合与方程等，充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等 ) 映射的概念以选择题型出现，难度不大。就可以了 3活用“定义法”解题。定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点。利用定义，可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件，证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出函数的单调区间等。 4重视“数形结合”渗透。“ 数缺形时少直观，形缺数时难入微”。当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议便是：画个图 !利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题。 5实施“定义域优先”原则。函数的定义域是函数最基本的组成部分，任何对函数性质的研究都离不开函数的定义域。例如，求函数的单调区间，必须在定义域范围内；通过求出反函数的定义域，可得到原函数的值域；定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要条件。为此，应熟练掌握求函数定义域的原则与方法，并贯彻到解 题中去。 6强化“分类思想”应用。指数函数与对数函数的性质均与其底数是否大于 1有关；对于根式的意义及其性质的讨论要分清 第 1 页 共 14 页 2010 届高三数学一轮复习精品教案平面解析几何（附高考预测） 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1直线 (1) 直线的的斜率为 k，倾斜角为 ，它们的关系为： k 若（ x1,（ ，则1212 xx B 。 (2) 第 2 页 共 14 页 )( 11 ； 式： ； 21121 xx ； 1 0 其中 A、 B 不同时为 0. (3)两条直线 1l ， 2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个 公共点） 们重点研究平行与相交 。 若直线 1l 、 2l 的斜率分别为 1k 、 2k ，则 1l 2l 1k 2k ， 1l 2l 1k 2k 。 （ 4）点、直线之间的距离 点 A（ 直线 0 距离为： d=2200 | 。 两点之间的距离： | 212212 )() （2. 圆 （ 1）圆方程的三种形式 标准式：222 )()( ，其中点（ a， b）为圆心， r0， r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小 一般式： 022 中 22 为圆心21 22 为半径，圆的一般方程中也有三个待定系数，即 D、 E、 F若已 知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程 参数式：以原点为圆心、 r 为半径的圆的参数方程是其中为参数） 以（ a， b）为圆心、 r 为半径的圆的参数方程为为参数），的几何意义是：以垂直于 y 轴的直线与圆的右交点 A 与圆心 C 的连线为始边、以 C 与动点 图所示 三种形式的方程可以相互转化，其流程图为： 第 3 页 共 14 页 2二元二次方程是圆方程的充要条件 “ A=C 0 且 B=0”是一个一般的二元二次方程 022 x 二元二次方程 022 x A=C 0、B=0 且 0422 ，它可根据圆的一般方程推导而得 3参数方程与普通方程 我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义 要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来， (1) 椭圆2222的参数方程为： 为参数）。 (2)双曲线的标准方程及其性质 第 4 页 共 14 页 双曲线2222的参数方程为： 为参数）。 (3)平面内，到一个定点 F 和一条直线 l 的距离相等的点的轨迹，叫做抛物线。定点 线 2 叫做抛物线的准线。 四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为： 022 022 其中： 参数 p 的几何意义：焦参数 p 是焦点到准线的距离，所以 p 恒为正值； p 值越大，张口越大；2 标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为 x 轴时，方程中的一次项变量就是 x ， 若 x 的一次项前符号为正，则开口向右，若 x 的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为 y 轴时，方程中的一次项变量就是 y ， 当 y 的一次项前符号为正，则开口向上，若 y 的一次项前符号为负，则开口向下。 抛物线的简单几何性质 方程 设抛物线 022 性质 焦点 范围 对称性 顶点 离心率 准线 通径 0,20x 关于 原点 1e 2 抛物线 2 的参数方程为： （ t 为参数）。 (4)椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线 )的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用 e 表示，当 0 e 1 时，是椭圆，当 e 1 时，是双曲线，当 e 1 时，是抛物线 4. 直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来） (1)切、还是相离的 般用 点到直线的距离跟圆的半径相比 (几何法 )，也可以利用方程实根的个数来判断 (解析法 ). 曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离 物线有自己的特殊性 (2)弦所在的直线方程 ;(3) 坐标，一直线与圆锥曲线交于两点 P、 Q，且中点为 A，求 P、 Q 所第 5 页 共 14 页 在的直线方程 (4)圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称） 二次曲线在高考数 学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。 (1) (2) (3)结合。 (4) 三、考点剖析 考点一 点、 直线、圆的位置关系问题 【 内容解读 】点与直线的位置关系有：点在直线上、直线外两种位置关系，点在直线外时，经常考查点到直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆外、圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交三点，经常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来确定位置位置关系；圆与圆的位置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、内含五种，一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离，再与两圆的半径之和或差比较。 【 命题规律 】本节内容一般以选择题或填空题为主，难度不大，属容易题。 例、 (2008 全国卷文 )原点到直线 052 距离为（ ） A 1 B 3 C 2 D 5 解 ：原点为 (0， 0)，由公式，得： 52152 d ，故选（）。 点评 ：本题直接应用点到直线的公式可求解，属容易题。 例、（湖南理）圆心为 (11)， 且与直线 4 相切的圆的方程是 解 ：圆与直线相切，圆心到直线的距离为半径，所以，11|4 2 ，所以，第 6 页 共 14 页 所求方程为： 22( 1 ) ( 1 ) 2 点评： 直线与圆的位置关系问题是经常考查的内容，对于相切问题，经常采用点到直线的距离公 式求解。 例、 (2008 重庆理 )圆 2x 0 和圆 4y 0 的位置关系是 ( ) (A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 解 ：配方，得：圆 x ） 2 和圆 y ） 2， 圆心为（，），（，），半径为 r， 圆心之间距离为： 22 2（）（ 5 ，因为 5 ， 所以，两圆相交选（） 点评 ：两圆的位置关系有五种，通常是求两圆心之间的距离，再与两圆的半径之和或之差来比较，确定位置关系 考点二 直线、圆的方程问题 【 内容解读 】直线方程的解析式有 点斜式、 斜 截式、两点式、 般式五种形式，各有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解。圆的方程有标准式一般式两种；直线与圆的方程问题，经常与其它知识相结合，如直线与圆相切，直线与直线平行、垂直等问题。 【 命题规律 】直线与圆的方程问题多以选择题与填空题形式出现，属容易题。 例、 (2008 广东文 )经过圆 02 22 圆心 C，且与直线 x+y 0 垂直的直线方程是（ ） A 01 B. 01 C. 01 D. 01 解 ： 易知点 C 为 ( 1,0) ，而直线与 0垂直，我们设待求的直线的方程为y x b，将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 1b ，故待求的直线的方程为10 ,因此，选（ .）。 点评 ：两直线垂直，斜率之积为，利用待定系数法求直线方程，简单、方便。 例、 (2008 山东文 )若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4 3 0和 x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A 22 7( 3 ) 13 B 22( 2 ) ( 1 ) 1 C 22( 1 ) ( 3 ) 1 D 2 23 ( 1 ) 12 解 ： 设圆心为 ( ,1),a 由已知得 | 4 3 | 11 , 2 ( ) 舍故选 B. 点评 ：圆与 x 轴相切，则圆心的纵坐标与半径的值相等，注意用数形结合，画出草图来帮助理解。 第 7 页 共 14 页 考点三 曲线（轨迹）方程的求法 【 内容解读 】轨迹问题是高中数学的一个难点， 常见的求轨迹方程的方法： （ 1）单动点的轨迹问题 直接法 待定系数法； （ 2）双动点的轨迹问题 代入法； （ 3）多动点的轨迹问题 参数法 交轨法。 【 命题规律 】轨迹问题在高考中多以解答题出现，属中档题。 例、 （ 2008 深圳福田模拟）已知动圆过定点 1,0 ，且与直线 1x 相切 . (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程； (2) 是否存在直线 l ，使 l 过点（ 0， 1），并与轨迹 C 交于 ,满足 0Q？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 . 解 ：（ 1）如图，设 M 为动圆圆心， F 1,0 ，过点 M 作直线 1x 的垂线，垂足为 N ，由题意知： N 即动点 M 到定点 F 与到定直线 1x 的距离相等， 由抛物线的定义知，点 M 的轨迹为抛物线，其中 1,0F 为焦点， 1x 为准线， 动圆圆心的轨迹方程为 2 （ 2）由题可设直线 l 的方程为 ( 1 ) ( 0 )x k y k 由2( 1)4x k 得 2 4 4 0y ky k 21 6 1 6 0 ， 01 或 设 ),( 11 ),( 22 则124y y k，124y y k由 0Q，即 11,OP x y， 22,OQ x y，于是1 2 1 2 0x x y y， 即 21 2 1 21 1 0k y y y y ， 2 2 21 2 1 2( 1 ) ( ) 0k y y k y y k ， 2224 ( 1 ) 4 0k k k k k ，解得 4k 或 0k （舍去）， 又 40k ， 直线 l 存在，其方程为 4 4 0 点评 ：本题的轨迹问题采用抛物线的定义来求解，用圆锥曲线的定义求 轨迹问题是经常采用的方法，要求充分掌握圆锥曲线的定义，灵活应用。 例 、（ 2008 广州模拟）已知曲线 上任意一点 P 到两个定点 1 3, 0F 和 2 3,0 （ 1）求曲线 的方程； （ 2）设过 0, 2 的直线 l 与曲线 交于 C 、 D 两点，且 0D（ O 为坐标原点），求直线 l 的方程 解： （ 1）根据椭圆的定义，可知动点 M 的轨迹为椭圆， 1,0第 8 页 共 14 页 其中 2a ， 3c ，则 221b a c 所以动点 M 的轨迹方程为 2 2 14x y （ 2）当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 2y ，设11( , )C x y，22( , )D x y， 0D，1 2 1 2 0x x y y 112y ，222y ， 21 2 1 2 1 22 ( ) 4y y k x x k x x 21 2 1 2(1 ) 2 ( ) 4 0k x x k x x 由方程组 2 2 1,42.x yy 得 221 4 1 6 1 2 0k x k x 则12 21614k，12 21214xx k， 代入 ，得 2221 2 1 61 2 4 01 4 1 4 即 2 4k ，解得， 2k 或 2k 所以，直线 l 的方程是 22或 22 点评 ：本题考查椭圆的定义，椭圆与向量结合的综合题的解法。 例、（ 2008 广东吴川模拟） 已知点 ( 8,0)P 和圆 C： 0410222 （ 1）求经过点 P 被圆 C 截得的线段最长的直线 l 的方程 ； （ 2）过 P 点向圆 C 引割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹。 解： （ 1）化圆的方程为： 2251 22 圆心坐标： (1, 5)C 由 题意可得 直线 l 经过圆 C 的圆心，由 两点式方程得： 085 0 1 8 化简得： 5 9 4 0 0直线 l 的方程是： 5 9 4 0 0 （ 2）解：设中点 , 是 有： 2 2 2P M M C P C 即： 2 2 2 28 ( 1 ) ( 5 ) 1 0 6x y x y 化简得： 0857 22 故 中点 M 的轨迹是 圆 0857 22 圆 C 内部 的一段弧。 点评 ：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。要求掌握好平面几何的知识，如勾股定理，垂径定理等初中学过的知识要能充分应用。 考点四 有关圆锥曲线的定义的问题 【 内容解读 】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，除了在大题中考查P A x y C B M 第 9 页 共 14 页 轨迹时用到外，经常在选择题、填空题中也有出现。 【 命题规 律 】填空题、选择题中出现，属中等偏易题。 例 9、 (2008 上海文 )设 p 是椭圆 22125 16上的点若12椭圆的两个焦点，则12F等于（ ） A 4 B 5 C 8 D 10 解 ：由椭圆的定义知：12 2 1 0 P F a 故选（ D）。 点评 ：本题很简单，直接利用椭圆的定义即可求解，属容易题。 例 0、 （ 2008 北京理） 若点 P 到直线 1x 的距离比它到点 (20)， 的距离小 1，则点 ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解 : 把 P 到直线 1x 向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。故选（ D）。 点评 ： 本题考 查抛物线的定义，将点 P 到 x=距离，转化为点 P 到 x 2 的距离，体现了数学上的转化与化归的思想。 例 12、 (2008 海南、宁夏理 )已知点 P 在抛物线 4x 上，那么点P 到点 Q（ 2， 1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（ ） A. （41， 1） B. （41， 1） C. （ 1， 2） D. （ 1， 2） 解 ：点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离，如图 P F P Q P S P Q ,故最小值在 ,S 点共线时取得， 此时 , ，点 P 坐标为 1( , 1)4 ，所以选 A。 点评 ：点 P 到焦点的距离， 利用抛物线的定义，转化为点 P 到准线之间的距离，体现数学上的 转化与化归的思想，在数学问题中，经常考查这种数学思想方法。 考点五 圆锥曲线的几何性质 【 内容解读 】圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线的对称性、顶点坐标、离心率和近近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容， 离心率公式一样： e围不一样，椭圆的离心率在（ 0,1）之间，双曲线的离心率在（ 1， ）之间，抛物线的离心率为 1， 【 命题规律 】 例 13、 (2008 海南、宁夏文 )双曲线 22110 2的焦距为（ ） A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3 D. 4 3 解 ：因为 a 10 ， b 2 ，所以 c 210 2 3 ， 2c 4 3 ，故选（ D）。 第 10 页 共 14 页 点评 ：本题考查双曲线中 a、 b、 c 之间的关系，焦距的定义，属容易题。 例 14、 (2008 福建文、理 )双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的两个焦点为12, 12| | 2 | |F，则双曲线离心率的取值范围为（ ） (1,3) (1,3 (3, ) 3, ) 解 ： 如图，设2PF m，12 ( 0 )F P F ，当 P 在右顶点处 ， 2 2 2( 2 ) 4 c o 4 c o m 1 ， 1,3e 点评 ：本题考查离心率的公式及其意义， 另外也可用三角形的两边和大于第三边 ,及两边差小于第三边来求解 ,但要注意前者可以取到 等号成立 ,因为可以三点一线 . 例 15、 (2008 辽宁文 ) 已知双曲线 2 2 29 1 ( 0 )y m x m 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 15，则 m ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解 ： 2 2 2 119 1 ( 0 ) , ,3y m x m a b m 取顶点 1(0, )3, 一条渐近线为 3 0,mx y 221| 3 |1 3 9 2 5 4 故选（ D）。 点评 ：本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式问题。 考点六 直线与圆锥曲线位置关系问题 【 内容解读 】能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题；能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后 ，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便。 【 命题规律 】直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程，数形结合，分类讨论、化归等数学思想方法，因此这部分经常作为高考试题的压轴题，命题主要意图是考查运算能力，逻辑揄能力。 例 6、 (2007 年重庆 )已知以1( 2 0)F ，2(20)F ，为焦点的椭圆与直线 3 4 0 第 11 页 共 14 页 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长 为（ ） （ A） 32 （ B） 26 （ C） 27 （ D） 42 解 ：设椭圆方程为 22 1 ( 0 ) .m x n y m n ，联立方程组： 221,3 4 0m x n 消 x 得： 2( 3 ) 8 3 1 6m n y m y m 1 0， 1924(16m 1)（ 3m n) 0，整理，得： 3 1 6 ,m n m n 即： ，又 c 2，由焦点在 x 轴上信，所以， 11 4，联立解得：1713 ，故长轴长为 2 7. 点评 ： 直线与圆锥曲线只有一个交点时，经常采用联立方程组，消去一个未知数后，变成一元二次方程，由判别式来求解，但要注意，有时要考虑二次项的系数为 0 的特殊情况。 例 7、 (2007 年浙江 )如图，直线 y kx b与椭圆 2 2 14x y交于 两点，记的面积为 S （ I）求 在 0k ， 01b的条件下， S 的最大值； （ 2， 1S 时，求直线 方程 解 ：设点 A 的坐标为1()点 B 的坐标为2() 由 2 2 14x b，解得 212 21 ， 所以 2 2 2121 2 1 1 12S b x x b b b b ， 当且仅当 22b时， S 取到最大值 1 （）解：由 22 14y kx bx y ，得 2 2 21 2 1 04k x k b x b ， 2 2 2 24 ( 4 1 ) ( 1 )k b k b 224 1， A y x O B 图 1 第 12 页 共 14 页 221 2 1 2( ) ( )x x y y 222212 2411114x x 2 设 O 到 距离为 d ，则 2 1，又因为21， 所以 221，代入式并整理，得 421 04 ， 解得， 2 12k ， 2 32b ，代入式检验， 0 故直线 方程是 2622，或 2622， 或 2622 ，或 2622 点评 :求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式： 221 2 1 2( ) ( )x x y y 2 121 k x x 来求解。 例 8、 (2006上海卷 )已知在平面直角坐标系 的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ( 3, 0)F ,右顶点为 (2,0)D ,设点 11,2A. （ 1）求该椭圆的标准方程； （ 2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 点 M 的轨迹方程； 解： (1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1. 又椭圆的焦点在 x 轴上 , 椭圆的标准方程为 14 22 (2)设线段 中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是 (x0, 由0012122，得 0021122 由 ,点 P 在椭圆上 ,得 1)212(4 )12( 22 第 13 页 共 14 页 线段 点 M 的轨迹方程是 1)41(4)21( 22 点评 :涉及弦的中点问题，除用上述方法外，有时也联立方程组，转化为一元二次方 程，利用韦达定理，或运用平方差法求解，但必须是以直线与圆锥曲线相交为前提。 四、方法总结与 2010 年高考预测 （一）方法总结 1求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的 a， b， p 等 a， b， c，e 的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关 . 2涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用定义 . 3直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明 . 4对于轨迹问题，要根据已知条件求 出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征 义法、参数法、代入法、交轨法等 . 5与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明 . （二） 2010 年高考预测 1求曲线（轨迹）方程的常用方法（定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）。 2掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。 3直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和部分省高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有 ： （ 1）直线方程、圆方程； （ 2）圆锥曲线的标准方程； （ 3）圆锥曲线的几何性质； （ 4）直线与圆锥曲线的位置关系； （ 5）求曲线（轨迹）方程。特别是求曲线（轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。 五、复习建议 步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。 2由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考 的 热点问题作深入的研究。 第 14 页 共 14 页 3在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。 第 1 页 共 10 页 2010 届高三数学一轮复习精品教案数列（附高考预测） 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 数列的概念及表示方法 （）定义： 按照一定顺序排列着的一列数 （）表示方法： 列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法 （）分类： 按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列 （）11( 1 )( 2 )n n 2等差数列和等比数列的比较 （）定义： 从第 2 项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2 项起 每一项与它前一项的比等于同一常数（不为 0）的数列叫做等比数列 第 2 页 共 10 页 （）递推公式：11 0n n n na a d a a q q n N， ， ， （）通项公式： 111( 1 ) a n d a a q n N， ， （）性质 等差数列的主要性质： 单调性： 0d 时为递增数列， 0d 时为递减数列， 0d 时为常数列 若 m n p q ，则 ()m n p qa a a a m n p q N， ， ，特别地，当 2m n p时，有 2m n pa a a ( ) ( )a n m d m n N， 2 3 2k k k k S S S， ， ， 成等差数列 等比数列的主要性质： 单调性：当 1 001， 或 1 01时，为递增数列；当 1 01，或 1 001时，为递减数列；当 0q 时，为摆动数列；当 1q 时，为常数列 若 m n p q ，则 ()m n p qa a a a m n p q N ， ， ，特别地，若 2m n p ，则 2m n pa a a ( 0 )q m n N， ， 2 3 2k k k k S S S， ，当 1q 时为等比数列；当 1q 时，若 k 为偶数，不是等比数列若 k 为奇数，是公比为 1 的等比数列 三、考点剖析 考点一： 等差、等比数列的概念与性质 例 1. （ 2008 深圳模拟） 已知数列 2项和的前（ 1）求数列 （ 2）求数列 .|和的前解： （ 1）当 111112,1 211 ；、 当 1()1(12)12(,2 221 时， 形式也符合 , 的通项公式为数列所以 、 （ 2）令 0213 * 得又 2121 12|,6 时； 当 |,67621 nn 时 87621第 3 页 共 10 页 2()6612(22 2226 212,6,1222本题考查了数列的前 n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意 n时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想 例、（ 2008广东双合中学） 已知等差数列 且3 5a ，15 225S . 数列 2 3 2 5, 1 2 8b a a b b （其中 1, 2, 3,n ） . （ I）求数列 , n n n n nc a b c n T 求 数 列 前 项 和. 解 ： （ I）公差为 d， 则,22 571515,5211 da 12,2 ,11 1, 2, 3,n ) . 设等比数列 q ， ,12 8,82333 3 33 ( 1, 2, 3,n ). （ ,2)12( nn 232 3 2 5 2 ( 2 1 ) 2 , 2(2)32(252322 1432 作差： 11543 2)12(22222 31 12 ( 1 2 )2 ( 2 1 ) 212n 3 1 1 2 2 12 2 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 2 8 2 2n n n n 16 2 ( 2 3 )n n 1( 2 3 ) 2 6 ( 1, 2, 3,n ). 点评 ：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前 n 项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。 考点二：求数列的 通项与求和 例 3.（ 2008 江苏） 将全体正整数排成 一个 三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第 4 页 共 10 页 按照以上排列的规律，第 n 行（ 3n ）从左向右的第 3 个数为 解 ：前 n 1 行共有正整数 1 2（ n 1）个，即 22，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 22 3 个，即为 2 62 点评 ： 本小题考查归纳推理和等差数列求和公式， 难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 例 4.（ 2008 深圳模拟） 图（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）分别包含 1 个、 5个、 13个、 25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福 娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第 n 个图形包含()“福娃迎迎”，则 (5)f ；( ) ( 1)f n f n 解 ： 第 1 个图个数： 1 第 2 个图个数： 1+3+1 第 3 个图个数： 1+3+5+3+1 第 4 个图个数： 1+3+5+7+5+3+1 第 5 个图个数： 1+3+5+7+9+7+5+3+1=41 ， 所以 ， f（） f(2)= ， f( ) )=， f( ) )=， f( ) )= ( ) ( 1)f n f n 4( 1)n 点评 ：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通 项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。 考点三：数列与不等式的联系 例 5.（届高三湖南益阳）已知等比数列 a，公比 q 满足10 。又已知 1a ， 35a ， 59a 成等差数列。 （ 1）求数列 第 5 页 共 10 页 （ 2）令，求证：对于任意 ，都有1 2 2 3 11 1 1 1. . . 12b b b b b （ 1）解：3 1 52 5 9a a a 241 1 11 0 9a q a a q 429 1 0 1 0 10 13q 11 3a q （ 2）证明： 133l o g l o g 3na ， 11 1 1 1( 1 ) 1b n n n n 1 2 2 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1. . . 1 12 2 3 1 1b b b b b n n n 1 2 2 3 11 1 1 1. . . 12b b b b b 点评 ：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由 n 的 范围证出不等式。 例、 (2008 辽宁理 ) 在数列 |， ，且1n n na b a ， ，成等差数列，11n n nb a b， ，成等比数列（ n *N ） （ ）求 此猜测 |证明你的结论； （ ）证明：1 1 2 21 1 1 512b a b a b 解：（）由条件得 21 1 12 n n n n n nb a a a b b ，由此可得 2 2 3 3 4 46 9 1 2 1 6 2 0 2 5a b a b a b ， ， ， ， ， 猜测 2( 1 ) ( 1 )n n b n ， 用数学归纳法证明： 当 n=1 时，由上可得结论成立 假设当 n=k 时，结论成立，即 2( 1 ) ( 1 )k k b k ， ， 那么当 n=k+1 时， 222 2112 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )kk k k b a k k k k k b ， 所以当 n=k+1 时，结论也成立 由，可知 2( 1 ) ( 1 )n n b n ，对一切正整数都成立 （）111 1 56 1 2 n 2 时，由（）知 ( 1 ) ( 2 1 ) 2 ( 1 )b n n n n 故1 1 2 21 1 1 1 1 1 1 16 2 2 3 3 4 ( 1 )b a b a b n n 第 6 页 共 10 页 1 1 1 1 1 1 1 16 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 56 2 2 1 6 4 1 2n 综 上，原不等式成立 点评 ：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力 例 . （ 2008 安徽理） 设数列 *010 , 1 , ,a c a c c N c 其 中为实数 （ ）证明： 0,1对任意 *成立的充分必要条件是 0,1c ； （ ）设 103c，证明： 1*1 ( 3 ) ,c n N ; （ ）设 103c，证明： 2 2 2 *12 21,13na a a n n 解： (1) 必要性 ：120 , 1a a c ， 又 2 0 , 1 , 0 1 1 ，即 0,1c 充分性 ： 设 0,1c ，对 *用数学归纳法证明 0,1当 1n 时，1 0 0,1a 0 ,1( 1)则 31 1 1 1c a c c c ，且 31 1 0c a c c 1 0,1 ，由数学归纳法知 0,1对所有 *成立 (2) 设 103c，当 1n 时，1 0a ，结论成立 当 2n 时， 321 1 1 11 , 1 (1 ) (1 )n n n n n na c a c a c a a a 103C,由（ 1）知1 0,1 ，所以 21113 且 11011 3 (1 )c a 2 1 11 2 11 3 (1 ) ( 3 ) (1 ) ( 3 ) (1 ) ( 3 )n na c a c a c a c 1*1 ( 3 ) ( )c n N (3) 设 103c，当 1n 时， 21 202 13a c ，结论成立 当 2n 时，由（ 2）知 11 ( 3 ) 0 2 1 2 1 2 ( 1 ) 1(1 ( 3 ) ) 1 2 ( 3 ) ( 3 ) 1 2 ( 3 )n n n c c c c 2 2 2 2 2 2 11 2 2 1 2 3 ( 3 ) ( 3 ) a a a a n c c c 2 ( 1 ( 3 ) ) 2111 3 1 3 点评： 本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。 考点四：数列与函数、概率等的联系 例题 . (2008 福建理 ) 已知函数 321( ) 23f x x x . 第 7 页 共 10 页 （）设 正数组成的数 列，前 n 项和为 中 11( , 2 )n n na a a(nN*)在函数 y=f (x)的图象上，求证：点（ n,在 y=f (x)的图象上； （）求函数 f(x)在区间（ a）内的极值 . ( )证明 ：因为 321( ) 2 ,3f x x x 所以 f (x)=x, 由点 211( , 2 ) ( N )n n na a a n 在函数 y=f (x)的图象上 , 又 0 ( N ),所以11( ) ( 2 ) 0 ,n n n na a a a 所以 2( 1 )3 2 = 22n n n n ,又因为 f (n)=n,所以 ()nS f n, 故点 ( , )y=f (x)的图象上 . ( )解 : 2( ) 2 ( 2 )f x x x x x , 由 ( ) 0, 得 02 或 . 当 x 变化时 , () () 注意到 ( 1) 1 2 ,从而 当 21 2 , 2 1 , ( ) ( 2 )3a a a f x f 即 时 的 极 大 值 为,此时 () 当 1 0 , 0 1 , ( )a a a f x 即 时的极小值为 (0) 2f ,此时 () 当 2 1 0 1 , ( )a a a f x 或 或 时既无极大值又无极小值 . 点评： 本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查
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