数学运算题型汇总与解析(简化)

数 学 运 算 题 型 详 讲 （ 上 ） 1.行 程 问 题 此 题 型 各 种 技 巧 较 多 ， 但 实 际 上 规 律 不 难 ， 只 要 把 握 住 路 程 =速 度 时 间 这 个 基 本 公 式 ， 对 不 同 的 题 型 灵 活 应 用 即 可 。 2.相 遇 问 题 相 遇 问 题 是 人 才 测 评 考 试 中 经 常 考 查 的 一 种 问 题 ， 解 答 人 才 测 评 中 的 相 遇 问 题 最 关 键 的 方 法 是 一 定 要 认 真 想 象 题 目 所 述 的 时 空 概 念 ， 将 运 动 体 在 题 目 所 述 过 程 中 的 运 动 状 态 （ 即 速 度 、 路 程 、 时 间 关 系 ） 分 析 清 楚 ， 从 其 相 互 间 的 可 列 方 程 的 等 量 关 系 着 手 解 决 。 1.解 答 行 程 问 题 的 首 要 步 骤 是 分 析 题 目 描 述 的 情 境 中 运 动 状 态 的 改 变 ， 而 后 按 照 不 同 运 动 状 态 各 个 击 破 。 行 程 问 题 中 ， 路 程 往 往 是 不 变 量 ， 速 度 变 化 导 致 时 间 变 化 。 2.当 行 程 问 题 中 引 入 “平 均 速 度 ”的 概 念 时 ， 一 定 牢 记 ， 平 均 速 度 =分 段 路 程 和 分 段 时 间 和 ， 切 忌 认 为 平 均 速 度 就 是 速 度 的 简 单 平 均 。 在 去 程 速 度 为 V1回 程 速 度 为 V2的 往 返 运 动 中 ， 往 返 的 平 均 速 度 =2V1V2/(V1+V2) 3.题 目 中 出 现 数 电 线 杆 、 数 大 树 、 数 台 阶 问 题 时 ， 当 数 了 N 个 定 点 时 ， N 个 定 点 间 只 有 N-1 段 距 离 。 4.在 解 答 行 程 问 题 中 较 难 的 题 目 时 。 画 图 的 方 法 可 以 使 题 目 更 加 直 观 ， 因 此 用 画 图 的 方 法 寻 找 数 量 间 的 关 系 是 解 答 行 程 问 题 的 重 要 辅 助 手 段 之 一 。 - 2 - 3.追 及 问 题 人 才 测 评 中 的 追 及 问 题 是 考 查 考 生 时 空 情 境 想 象 能 力 、 抽 象 能 力 、 分 析 能 力 的 一 种 题 型 ， 其 难 点 也 往 往 是 在 题 目 所 述 过 程 中 速 度 、 路 程 、 时 间 关 系 的 分 析 上 。 4.速 度 叠 加 无 论 是 水 流 问 题 还 是 扶 梯 问 题 ， 解 决 此 类 问 题 的 一 个 共 同 前 提 就 是 将 水 流 、 扶 梯 看 解 答 追 及 问 题 的 注 意 事 项 ： 1.在 一 般 追 及 问 题 中 ， 追 及 速 度 等 于 两 运 动 体 的 速 度 之 差 （ 大 速 度 小 速 度 ） 。 追 及 问 题 的 基 本 公 式 为 追 及 路 程 =（ 大 速 度 -小 速 度 ） 追 及 时 间 2.环 形 路 （ 如 跑 道 ） 上 的 追 及 问 题 ， 两 者 若 同 时 同 地 同 向 出 发 ， 大 速 度 者 若 要 追 上 小 速 度 者 一 圈 ， 需 要 追 及 的 路 程 一 定 为 环 形 路 的 总 长 。 3.间 歇 追 及 问 题 实 际 上 是 一 般 追 及 问 题 的 变 形 ， 重 点 在 于 把 握 过 程 中 间 歇 次 数 不 同 所 造 成 的 新 的 路 程 差 。 4.“追 队 伍 ， 追 列 车 ”问 题 中 ， 很 多 情 况 下 ， 追 及 路 程 还 需 加 上 队 伍 和 列 车 本 身 的 长 度 。 解 答 相 遇 问 题 的 注 意 事 项 ： 1.相 遇 问 题 的 基 本 公 式 是 ： 相 遇 路 程 =（ A 速 度 +B 速 度 ） 相 遇 时 间 2.在 通 常 情 况 下 ， 相 遇 问 题 中 的 相 遇 时 间 是 相 等 的 。 3.如 果 题 目 中 某 方 先 出 发 ， 注 意 把 他 先 行 的 路 程 去 掉 ， 剩 下 的 部 分 依 然 是 相 遇 问 题 。 4.环 形 路 上 的 相 遇 问 题 ， 两 者 若 同 时 同 地 反 向 出 发 ， 则 相 遇 距 离 一 定 为 环 形 路 的 全 长 。 若 两 者 第 一 次 相 遇 时 距 中 点 M 米 ， 则 两 者 在 第 二 次 相 遇 时 相 距 2M 米 。 5.折 返 跑 问 题 中 ， 两 者 从 两 地 出 发 ， 第 一 次 相 遇 路 程 为 M， 以 后 再 相 遇 ， 相 遇 路 程 均 为 2M。 6.解 答 相 遇 问 题 中 的 “列 车 错 车 ”问 题 时 ， 计 算 相 遇 路 程 时 还 要 注 意 算 上 两 列 列 车 本 身 的 长 度 。 7.在 解 决 相 遇 个 数 问 题 时 ， （ 例 如 乘 坐 某 公 交 车 从 一 终 点 站 到 另 一 终 点 站 用 N 小 时 ， 全 程 遇 到 相 向 而 来 的 同 路 线 公 交 车 M 量 ， 那 么 这 路 公 交 车 就 每 隔 小 时 发 车 一 辆 ） 尤 其 要 注 意 对 题 意 时 空 情 境 的 想 象 ， 解 答 问2 题 。 - 3 - 作 匀 速 ， 与 运 动 物 体 的 速 度 关 系 是 相 加 或 相 减 的 关 系 。 （ 1） 水 流 问 题 （ 2） 扶 梯 问 题 5.工 程 问 题 工 程 问 题 是 国 家 及 地 方 公 务 员 考 试 中 最 常 见 的 题 型 之 一 ， 而 且 近 年 来 在 考 试 中 ， 此 类 型 题 目 难 度 有 明 显 的 加 大 趋 势 。 其 实 ， 工 程 问 题 万 变 不 离 其 宗 ， 绝 大 多 数 情 况 都 可 以 采 用 所 谓 “整 体 1”的 方 法 。 解 答 工 程 问 题 时 ， 要 熟 练 掌 握 相 关 技 巧 ， 灵 活 作 答 。 解 决 水 流 问 题 的 注 意 事 项 一 、 水 流 问 题 中 ， 船 速 和 水 流 速 度 恒 定 匀 速 。 顺 水 速 度 =船 速 +水 流 速 度 逆 水 速 度 =船 速 -水 流 速 度 顺 水 速 度 -逆 水 速 度 =2水 流 速 度 二 、 在 水 流 问 题 中 ， 沿 水 流 方 向 的 相 遇 和 追 及 问 题 同 水 流 速 度 无 关 。 当 A、 B 两 船 在 同 一 河 流 相 向 而 行 时 ， （ A 船 顺 水 而 行 ， B 船 逆 水 而 行 ） A 船 顺 水 速 度 +B 船 逆 水 速 度 =A 船 船 速 +B 船 船 速 当 A、 B 两 船 在 同 一 河 流 同 向 行 驶 时 ， （ A 船 船 速 B 船 船 速 ） 两 船 距 离 拉 大 /缩 小 速 度 =A 船 船 速 -B 船 船 速 三 、 无 动 力 状 态 下 ， 船 （ 木 筏 、 竹 排 ） 的 航 行 速 度 =水 流 速 度 一 、 扶 梯 问 题 与 水 流 问 题 类 似 。 当 人 步 行 方 向 与 扶 梯 运 行 方 向 相 同 时 ， 人 在 扶 梯 上 运 行 的 速 度 =人 步 行 速 度 +扶 梯 的 运 行 速 度 当 人 步 行 方 向 与 扶 梯 运 行 方 向 相 反 时 ， 人 在 扶 梯 上 运 行 的 速 度 =人 步 行 速 度 -扶 梯 的 运 行 速 度 二 、 扶 梯 问 题 与 相 遇 、 追 及 问 题 的 转 化 扶 梯 问 题 相 对 于 水 流 问 题 较 复 杂 ， 较 难 理 解 ， 在 此 给 大 家 推 介 一 种 较 好 理 解 的 方 法 。 由 于 当 扶 梯 运 行 方 向 与 人 行 走 方 向 同 向 时 ， 须 将 扶 梯 速 度 与 人 行 走 速 度 叠 加 ， 故 我 们 可 以 将 扶 梯 看 做 与 人 相 向 而 行 的 运 动 体 ， 将 扶 梯 问 题 看 做 相 遇 问 题 。 由 于 当 扶 梯 运 行 方 向 与 人 行 走 方 向 逆 向 时 ， 须 将 扶 梯 速 度 与 人 行 走 速 度 相 减 ， 故 我 们 可 以 将 扶 梯 看 做 与 人 同 向 而 行 的 运 动 体 ， 将 扶 梯 问 题 看 做 追 及 问 题 。 - 4 - 6.比 例 问 题 解 决 比 例 问 题 的 核 心 思 想 是 “份 数 思 想 ”， 即 根 据 题 目 中 各 数 量 间 的 比 例 关 系 ， 设 定 各 个 量 的 份 数 ， 将 复 杂 的 比 例 问 题 简 单 化 。 本 种 题 型 应 注 意 事 项 ： 1、工程问题中最常见的解题思路是将总量看作整体“1” 。若设整项工程的工作量 为“整体 1”，那么，如果一个人用 n 个单位时间完成，则每单位时间的工作量就是 ，1n 其它技巧往往是在此基础上的变化。 2、近几年的真题中，工程问题往往出现“交替工作”的情况。遇到此种情况，考 生可将 N 人的工作效率“打包”相加，看做 N 人合作 N 天的效率和，大大简化了题目的 复杂程度。 3、在工程问题中，常常会出现多人完成的整项工程，某人“停顿”N 天的情况。 遇到此类问题，考生可先对这一“停顿忽略不计” ，用几人合作的工作效率和实际工 作时间得到一个超过“整体 1”的工作量。这一工作量与“整体 1”的差值就是某人单 独在 N 天的工作量。 甲完成某项工作需要 40 天，乙完成某项工作需要 30 天，两人合作，共同完成这一 工作，由于乙中途休息了一段时间，这项工作最终 20 天完成，问乙中途休息了多长时 间？ 设整项工作为“整体 1”，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，两人的效401301 率和为 + = 。若两人一直合作，则能完成整项工作的 20= ，比工作401327 276 量多出 -1= 。这多出的 就是多算的乙休息时间的工作量，故乙休息了 =5661 天。 4、工程问题中，当出现“水池蓄、放水”问题时，要尤其注意认真审题，以避免 与隐含其中的“此消彼长”问题（蓄水的同时漏水、放水的同时注水）相混淆。 - 5 - 7.百 分 比 问 题 百 分 比 问 题 与 比 例 问 题 十 分 接 近 ， 几 乎 可 以 看 作 是 将 比 例 用 百 分 数 来 表 示 的 。 百 分 比 问 题 只 要 不 混 淆 所 比 较 的 对 象 仔 细 计 算 即 可 轻 松 解 决 。 在 2011 年 国 家 公 务 员 考 试 中 ， 出 现 了 两 道 百 分 比 类 题 目 ， 比 重 有 所 提 高 ， 广 大 考 生 应 足 够 重 视 。 8.利 润 问 题 1.对 于 只 给 出 百 分 比 关 系 没 有 给 出 具 体 数 量 值 的 百 分 比 问 题 ， 考 生 应 掌 握 设 “整 体 1”的 方 法 ， 或 者 将 这 个 量 设 为 利 于 计 算 的 数 值 ， 使 题 目 难 度 简 化 ， 降 低 计 算 量 。 2.遇 到 涉 及 “个 数 ”的 题 目 时 ， 要 牢 记 “人 数 、 动 物 数 、 物 品 个 数 ”等 概 念 只 能 为 整 数 。 3.题 目 中 出 现 “A 比 B 多 M%”、 “A 是 B 的 M%”等 类 似 描 述 时 ， 要 分 辨 “比 ” 与 “是 ”的 区 别 ， 并 牢 记 以 “比 ”、 “是 ”等 连 词 后 面 的 量 为 参 照 基 准 。 4.无 论 是 一 般 百 分 比 问 题 还 是 浓 度 问 题 ， 很 多 参 考 书 或 者 培 训 机 构 都 提 倡 使 用 所 谓 的 “十 字 交 叉 法 ”来 解 题 。 实 际 上 ， 在 近 年 的 公 务 员 考 试 中 ， 百 分 比 类 题 目 难 度 在 日 渐 加 大 ， 对 “十 字 交 叉 法 ”的 生 搬 硬 套 往 往 会 将 简 单 的 问 题 复 杂 化 。 实 际 上 “十 字 交 叉 法 ”是 一 种 通 过 列 等 式 很 容 易 推 导 出 的 方 法 。 有 质 量 分 别 为 M、 N 的 溶 液 ， 浓 度 分 别 为 A、 B， 混 合 后 溶 液 浓 度 为 C 根 据 条 件 ， 易 列 等 式 ： MA+NB=（ M+N） C， 经 整 理 ， B 易 得 到 溶 液 质 量 的 比 例 关 系 。 解 决 比 例 问 题 的 核 心 思 想 ： “份 数 ”思 想 “份 数 ”思 想 与 我 们 解 题 时 经 常 使 用 的 “单 位 1”思 想 类 似 。 “单 位 1”思 想 是 将 总 量 视 为 整 体 1， 而 “份 数 ”思 想 是 将 总 量 视 为 既 定 份 ， 视 作 多 少 份 依 据 具 体 题 目 而 定 。 所 设 份 数 的 基 本 原 则 就 是 便 于 计 算 。 在 具 体 应 用 的 时 候 ， 我 们 可 以 把 未 知 量 设 为 既 定 份 ， 亦 可 以 把 已 知 量 设 为 既 定 份 。 往 往 在 无 法 确 定 已 知 量 与 未 知 量 的 具 体 比 例 关 系 的 时 候 ， 将 已 知 量 也 设 为 既 定 份 ， 通 过 份 数 寻 找 比 例 关 系 ， 在 计 算 的 时 候 转 换 即 可 。 比 例 问 题 往 往 涉 及 到 份 数 计 算 ， 因 此 面 对 一 些 计 算 量 大 ， 通 分 、 约 分 不 方 便 的 题 目 时 ， 灵 活 使 用 “份 数 ”思 想 ， 能 极 大 程 度 的 简 化 比 例 计 算 的 复 杂 程 度 ， 节 省 大 量 宝 贵 时 间 。 “份 数 ”思 想 的 应 用 极 其 广 泛 ， 不 仅 在 比 例 问 题 当 中 ， 在 任 何 类 型 的 题 目 当 中 ， 只 要 涉 及 了 比 例 关 系 都 可 以 应 用 。 在 本 节 ， 我 们 将 通 过 具 体 例 题 来 讲 解 “份 数 ”思 想 的 应 用 。 希 望 大 家 灵 活 掌 握 ， 反 复 练 习 。 解 决 比 例 问 题 时 ， 除 要 掌 握 份 数 的 思 想 外 ， 还 应 注 意 比 例 关 系 间 的 传 导 性 ， 将 各 比 例 关 系 建 立 起 联 系 ， 找 到 统 一 “参 照 物 ”， 进 行 比 例 关 系 的 转 化 。 - 6 - 解 答 利 润 问 题 时 ， 只 要 掌 握 利 润 问 题 的 基 本 公 式 ， 了 解 利 润 问 题 中 各 要 素 间 的 数 量 关 系 ， 同 时 ， 灵 活 运 用 “整 体 1”的 思 想 ， 就 能 又 快 又 好 的 解 答 利 润 问 题 。 9.浓 度 问 题 浓 度 问 题 实 际 上 是 一 类 特 殊 的 百 分 比 问 题 ， 此 类 问 题 只 要 掌 握 固 有 的 解 题 思 路 大 多 可 以 轻 松 解 出 。 解 答 利 润 问 题 相 关 注 意 事 项 ： 1.掌 握 利 润 问 题 的 基 本 公 式 总 利 润 =总 售 价 -总 进 价 =单 件 商 品 利 润 总销售量 总利润率= 100%总 进 价总 进 价总 售 价 总售价=单价总销售量 2.利润问题中，所提到的利 润 率 提 高 （ 降 低 ） N%， 并 非 是 指 去 年 利 润 率 的 （ 1+ N%） 倍 ， 而 是 指 去 年 的 利 润 率 + N%。 如 某 企 业 2010 年 利 润 率 为 20%， 2011 年 该 企 业 利 润 率 提 高 了 10%， 2011 年 该 企 业 的 利 润 率 并 非 20%（ 1+10%） ， 而 是 20%+10=30%。 3.利 润 问 题 中 ， 无 论 是 采 用 先 提 价 N%再 降 价 N%的 方 式 ， 还 是 采 用 先 降 价 N%再 提 价 N%的 方 式 ， 现 价 都 比 原 价 降 低 ， 且 两 种 价 格 浮 动 方 式 所 得 到 的 现 价 相 等 。 如 某 产 品 原 价 100 元 ， 先 将 产 品 价 格 提 升 10%， 再 降 低 10%， 现 价 为 100（ 1+10%） （ 1-10%） =99 元 ， 售 价 降 低 了 100-99=1 元 。 若 将 该 产 品 先 降 价 10%， 再 提 价 10%， 则 产 品 现 价 为 100（ 1-10%） （ 1+10%） =99 元 ， 售 价 仍 降 低 了 100-99=1 元 。 4.与 一 般 百 分 比 问 题 相 同 ， 解 答 利 润 问 题 时 ， 巧 设 “整 体 1”往 往 是 解 决 利 润 问 题 的 突 破 口 ， 对 于 利 润 问 题 中 ， 将 某 一 不 变 量 设 为 “整 体 1”， 或 其 他 利 于 计 算 的 数 字 ， 往 往 使 一 些 题 目 的 难 度 降 低 ， 解 题 步 骤 更 简 捷 。 - 7 - 数 学 运 算 题 型 详 讲 （ 中 ） 10.自 然 数 的 性 质 自 然 数 的 性 质 问 题 包 含 的 范 围 较 广 ， 自 然 数 的 整 除 问 题 、 奇 偶 性 问 题 、 余 数 问 题 、 最 小 公 倍 数 问 题 、 最 大 公 约 数 问 题 、 自 然 数 大 小 比 较 问 题 等 都 属 于 自 然 数 的 性 质 问 题 。 11.整 除 问 题 很 多 问 题 ， 实 际 上 都 可 以 用 整 除 的 方 法 求 解 ， 整 除 问 题 往 往 与 余 数 问 题 、 分 解 因 数 问 题 有 着 密 切 的 联 系 。 可 以 说 是 对 同 一 问 题 ， 不 同 角 度 的 思 考 方 法 。 解答浓度问题应注意以下问题： 1.应牢记浓度问题的基本公式：浓度= = = 。溶 液溶 质 溶 剂溶 质 溶 质溶 液 溶 剂溶 液 2.浓 度 问 题 中 的 蒸 发 情 况 ： “溶 质 ”量 是 不 会 因 为 蒸 发 而 增 多 或 减 少 的 ， “蒸 发 ”时 ， 浓 度 的 变 化 只 与 溶 剂 的 变 化 有 关 。 3.解 答 多 种 溶 液 混 合 的 浓 度 问 题 时 ， 可 以 采 用 将 几 种 溶 液 的 溶 质 和 溶 剂 先 分 别 求 出 再 整 体 考 虑 的 方 法 ， 减 小 浓 度 问 题 的 计 算 量 。 4.解 答 溶 液 的 多 次 混 合 问 题 时 ， 要 把 握 好 混 合 的 先 后 顺 序 ： 设 原 溶 液 为 M 毫 升 ， 每 次 操 作 先 倒 出 N 毫 升 溶 液 ， 再 倒 入 N 毫 升 清 水 ， 反 复 操 作 n 次 时 ， 新 溶 液 浓 度 =原 溶 液 浓 度 （ ） n； 设 原 溶 液 为 M 毫 升 ， 每 次 操 作 先 倒 入 N 毫 升 清 水 ， 再 倒 出 N 毫 升 溶 液 ， 反 复 操 作 n 次 时 ， 新 溶 液 浓 度 =原 溶 液 浓 度 （ ） n。 - 8 - 12.余 数 问 题 余 数 问 题 可 以 看 作 整 除 问 题 的 一 类 变 式 ， 寻 求 满 足 条 件 的 数 字 实 际 上 等 同 于 解 决 满 足 各 种 限 制 条 件 的 整 除 问 题 ， 此 类 问 题 对 大 家 的 要 求 主 要 是 能 够 迅 速 做 出 准 确 判 断 。 作 答 整 除 问 题 ， 应 注 意 以 下 几 点 ： 1.熟 记 能 被 基 本 数 字 （ 2/3/5） 整 除 的 数 字 规 律 。 掌 握 能 被 数 字 （ 4/8/9） 整 除 的 数 字 规 律 ： 一 个 数 当 且 仅 当 末 两 位 能 被 4 整 除 ， 这 个 数 才 能 被 4 整 除 ； 一 个 数 当 且 仅 当 末 三 位 能 被 8 整 除 ， 这 个 数 才 能 被 8 整 除 ； 一 个 数 当 且 仅 当 各 位 数 字 和 能 被 9 整 除 ， 这 个 数 才 能 被 9 整 除 。 了 解 能 被 数 字 （ 7/11/13） 整 除 的 数 字 的 共 同 规 律 ： 当 且 仅 当 末 三 位 与 其 余 数 字 的 差 能 被 7/11/13 整 除 ， 这 个 数 才 能 被 7/11/13 整 除 。 （ 如 数 字 122135， 末 三 位 数 字 为 135， 其 余 数 字 为 122， 135- 122=13， 故 122135 能 被 13 整 除 。 ） 2.对 于 “见 面 ”问 题 ， 要 弄 清 “隔 几 天 一 见 ”与 “几 天 一 见 ”的 区 别 。 若 是 N 天 一 见 ， 则 M 天 中 可 以 相 见 MN 次 ， 若 是 隔 N 天 一 见 ， 则 M 天 中 只 能 相 见 M（ N+1） 次 ， 也 就 是 说 “隔 N 天 一 见 ”相 当 于 “N+1 天 一 见 ”。 3.结 合 数 字 的 奇 偶 性 、 余 数 ， 运 用 代 入 、 特 值 、 估 算 等 方 法 也 是 解 决 整 数 问 题 的 重 要 方 法 。 如 某 个 三 位 数 的 数 值 是 其 各 位 数 字 之 和 的 23 倍 。 则 这 个 三 位 数 为 A 702 B 306 C 207 D 203 由 备 选 项 易 知 每 个 数 字 的 各 位 数 字 之 和 都 小 于 10， 所 以 我 们 所 求 的 数 肯 定 不 大 于 230， 只 能 从 C、 D 中 来 选 ， 验 证 可 知 C 正 确 ， 故 应 选 择 C 选 项 。 - 9 - 13.平 面 图 形 平 面 图 形 问 题 是 公 务 员 考 试 数 学 运 算 部 分 一 种 常 见 题 型 ， 主 要 考 察 大 家 几 何 思 维 能 力 和 巧 解 几 何 问 题 的 能 力 ， 考 察 范 围 涵 盖 面 积 、 周 长 、 角 度 等 内 容 ， 考 察 涉 及 范 围 较 广 但 题 目 难 度 不 大 ， 考 生 只 要 仔 细 阅 读 题 目 ， 通 过 一 些 常 用 的 辅 助 解 题 手 段 ， 运 用 积 累 的 几 何 知 识 大 多 可 以 应 对 平 面 图 形 类 题 目 。 解 答 余 数 问 题 ， 需 要 注 意 以 下 几 点 ： 1.余 数 问 题 要 熟 练 掌 握 余 数 问 题 的 基 本 公 式 ： 被 除 数 =除 数 商 +余 数 余 数 问 题 中 余 数 永 远 小 于 除 数 只 要 将 余 数 问 题 中 的 余 数 用 加 减 法 处 理 掉 ， 一 切 余 数 问 题 就 成 为 了 整 除 问 题 。 2.方 阵 问 题 N 排 N 列 的 方 阵 共 有 N2人 ； N 排 N 列 的 方 阵 ， 最 外 层 有 4N-4 人 ； 方 阵 中 相 邻 的 两 圈 人 数 ， 外 圈 人 数 比 内 圈 多 8 人 。 此 外 ， 在 很 多 方 阵 问 题 中 ， 最 后 一 排 不 一 定 排 满 ， 可 能 为 不 大 于 每 排 人 数 的 任 意 一 个 数 。 3.多 个 数 字 的 余 数 问 题 同 时 满 足 被 A 整 除 余 X， 被 B 整 除 余 Y的 数 可 以 表 示 为 nk+m， 其 中 k 为 A、 B 的 最 小 公 倍 数 ， m 为 同 时 满 足 被 A 整 除 余 X， 被 B 整 除 余 Y的 最 小 的 整 数 。 如 11 是 被 3 整 除 余 2， 被 5 整 除 余 1 的 数 字 中 的 最 小 的 数 字 ， 则 15n+11 也 一 定 满 足 相 同 条 件 。 解 决 此 类 问 题 通 常 从 满 足 某 一 条 件 的 最 小 的 自 然 数 入 手 ， 同 时 ， 代 入 试 算 法 也 是 解 答 此 类 问 题 的 一 种 重 要 解 题 方 法 和 验 算 方 法 。 - 10 - 14.立 体 图 形 立 体 图 形 问 题 题 目 往 往 难 度 较 小 ， 通 常 是 考 察 考 生 对 球 、 圆 锥 体 、 圆 柱 体 、 正 方 体 之 类 立 方 体 体 积 公 式 的 应 用 。 1、 长 方 形 的 周 长 =（ 长 +宽 ） 2 C=(a+b)2 2、 长 方 形 的 面 积 =长 宽 S=ab 3、 正 方 形 的 周 长 =边 长 4 C=4a 4、 正 方 形 的 面 积 =边 长 边 长 S=a.a= a 5、 三 角 形 的 面 积 =底 高 2 S=ah2 6、 平 行 四 边 形 的 面 积 =底 高 S=ah 7、 梯 形 的 面 积 =（ 上 底 +下 底 ） 高 2 S=（ a b） h2 8、 直 径 =半 径 2 d=2r 半 径 =直 径 2 r= d2 9、 圆 的 周 长 =圆 周 率 直 径 =圆 周 率 半 径 2 c= d =2 r 10、 圆 的 面 积 =圆 周 率 半 径 半 径 = r 11、 长 方 体 的 表 面 积 =（ 长 宽 +长 高 宽 高 ） 2 12、 长 方 体 的 体 积 =长 宽 高 V =abh 13、 正 方 体 的 表 面 积 =棱 长 棱 长 6 S =6a 14、 正 方 体 的 体 积 =棱 长 棱 长 棱 长 V=a.a.a= a 解 答 平 面 图 形 问 题 的 常 用 技 巧 ： 一 、 平 面 图 形 的 面 积 问 题 1.比 例 法 求 面 积 ： 所 谓 用 比 例 法 求 面 积 ， 就 是 利 用 图 形 间 边 长 的 比 例 关 系 求 解 相 关 面 积 大 小 的 方 法 。 考 生 要 特 别 注 意 三 角 形 、 梯 形 面 积 与 相 关 矩 形 、 四 边 形 面 积 间 的 比 例 关 系 ； 结 合 相 似 三 角 形 、 同 底 等 高 三 角 形 等 相 关 概 念 ， 建 立 图 形 间 面 积 关 系 的 联 系 。 2.割 补 法 求 面 积 ： 遇 到 不 规 则 图 形 时 ， 首 先 考 虑 能 否 采 用 先 分 割 再 拼 补 的 方 法 ， 将 不 规 则 图 形 转 化 为 规 则 图 形 ； 其 次 考 虑 能 否 利 用 辅 助 线 将 不 规 则 图 形 分 割 为 几 个 规 则 图 形 。 割 补 法 是 解 决 不 规 则 图 形 面 积 问 题 时 最 常 用 的 方 法 ， 是 最 应 优 先 考 虑 的 方 法 。 3.等 底 法 求 面 积 ： 运 用 图 形 间 的 同 底 关 系 ， 实 现 面 积 相 同 部 分 的 相 互 转 化 。 尤 其 对 于 求 解 三 角 形 、 梯 形 面 积 问 题 时 ， 等 底 法 都 是 一 种 很 简 便 的 方 法 。 二、平面图形的其他问题 1.掌握三角形的性质，即三角形中任意两边之和必须大于第三边，任意两边之差 必须小于第三边。 2.运用相关方法解答有关角度问题也是平面图形部分最常考察的题型，对于多边 形的内角和问题，考生要牢记 N 边形的内角和为（N-2）180。 如图，ABC 与BCD 为同底等高的三角 形，则两三角形的面积相等。 - 11 - 15、 圆 柱 的 侧 面 积 =底 面 圆 的 周 长 高 S=ch 16、 圆 柱 的 表 面 积 =上 下 底 面 面 积 +侧 面 积 S=2 r +2 rh=2 (d2) +2 (d2)h=2 (C2 ) +Ch 17、 圆 柱 的 体 积 =底 面 积 高 V=Sh V= r h= (d2) h= (C2 ) h 18、 圆 锥 的 体 积 =底 面 积 高 3 V=Sh3= r h3= (d2) h3= (C2 ) h3 19、 长 方 体 （ 正 方 体 、 圆 柱 体 ） 的 体 积 =底 面 积 高 V=Sh 20、 弧 度 为 弧 长 与 半 径 之 比 。 15.分 布 问 题 分 布 问 题 旨 在 考 察 考 生 的 数 学 统 筹 的 抽 象 思 维 能 力 ， 是 国 内 外 招 聘 考 试 最 常 选 用 的 题 目 类 型 之 一 。 近 几 年 的 公 考 ， 此 题 型 也 有 增 多 的 趋 势 解 决 分 布 问 题 的 最 核 心 方 法 就 是 构 造 最 不 利 原 则 ： 当 题 目 所 求 中 出 现 最 多 或 最 少 的 字 眼 ， 往 往 需 要 考 生 根 据 题 意 构 造 “极 限 情 况 ”。 这 里 所 讲 的 “极 限 情 况 ”大 多 数 指 “最 不 利 ”情 况 ， 即 依 照 “最 不 利 ”原 则 ， 构 建 “最 不 利 ”情 况 。 如 ： 从 一 副 完 整 的 扑 克 牌 抽 取 红 桃 花 色 的 牌 ， 最 多 需 几 次 抽 到 ？ 最 不 利 的 情 况 是 ， 抽 若 干 次 后 ， 剩 余 13 张 牌 均 是 红 桃 ， 也 就 是 要 抽 取 54- 13+1=42 张 牌 ， 才 保 证 能 有 红 桃 。 解 答 立 体 图 形 问 题 。 要 求 考 生 特 别 注 意 以 下 问 题 。 1、 立 体 图 形 中 的 比 例 关 系 以 正 方 体 为 例 ， 两 个 不 同 正 方 体 ， 边 长 比 为 N 时 ， 其 表 面 积 比 为 N2， 体 积 比 为 N3。 要 求 考 生 能 够 灵 活 运 用 比 例 方 法 解 题 。 特 别 提 醒 考 生 ， 当 题 目 中 出 现 圆 锥 体 和 圆 柱 体 时 ， 往 往 会 运 用 其 体 积 之 间 的 比 例 关 系 解 题 。 2、 最 短 距 离 问 题 要 使 沿 某 立 方 体 表 面 移 动 两 点 距 离 最 短 ， 须 使 在 其 平 面 展 开 图 中 ， 使 两 点 距 离 最 短 。 要 求 考 生 建 立 平 面 图 形 与 立 体 图 形 的 联 系 ， 使 平 面 图 形 知 识 成 为 解 决 立 体 图 形 问 题 的 重 要 辅 助 手 段 。 3、 不 规 则 立 体 图 形 的 体 积 、 表 面 积 计 算 问 题 在 熟 练 掌 握 公 式 的 基 础 上 会 运 用 割 补 法 、 同 底 法 灵 活 计 算 立 体 图 形 的 体 积 ； 熟 练 运 用 分 解 法 、 展 开 法 计 算 立 体 图 形 的 表 面 积 。 4、 结 合 实 际 的 表 面 积 问 题 当 题 目 中 出 现 计 算 某 立 体 空 间 表 面 积 的 题 目 时 ， 要 求 考 生 分 辨 此 立 体 空 间 的 “面 数 ”， 有 无 “缺 面 ”问 题 ， 避 免 盲 目 按 经 验 计 算 。 - 12 - 16.时 钟 问 题 时 钟 问 题 是 研 究 钟 面 上 时 针 和 分 针 关 系 的 问 题 。 一 般 类 型 包 括 时 针 和 分 针 重 合 、 成 一 直 线 或 直 角 问 题 ， 实 际 上 相 当 于 时 针 和 分 针 的 追 及 问 题 或 相 遇 问 题 。 时 钟 问 题 可 以 细 分 为 表 针 问 题 和 快 慢 问 题 。 （ 1） 表 针 问 题 常 见 的 表 针 问 题 有 ： 求 某 一 时 刻 时 针 与 分 针 的 夹 角 角 度 ， 计 算 两 针 重 合 、 两 针 垂 直 、 两 针 成 直 线 时 的 时 刻 等 类 型 。 表 针 问 题 是 在 公 考 中 经 常 出 现 的 题 目 ， 也 是 考 生 需 要 熟 练 掌 握 的 题 型 之 一 。 （ 2） 快 慢 问 题 常 见 的 快 慢 问 题 有 ： 某 表 和 标 准 时 间 存 在 误 差 、 多 表 同 走 、 不 规 则 的 “怪 表 ”等 类 型 。 解 答 快 慢 问 题 只 需 计 算 出 标 准 时 间 一 小 时 中 有 误 差 钟 表 所 走 时 间 ， 然 后 按 照 比 例 关 系 计 算 即 可 。 17.日 期 星 期 问 题 作答表针问题时要掌握以下几个常用基础知识： 1.时针和分针一天有 22 次重合，有 44 次垂直，有 22 次成一直线。 2.注意，有一把解决时针分针重合、垂直、成直线等问题的金钥匙。 分针每 12 小时追上时针十一次，每次追上时针用时 小时。12 时 钟 快 慢 问 题 注 意 以 下 几 点 ： 一 、 当 题 目 中 出 现 几 个 钟 表 ， 且 几 个 钟 表 的 误 差 各 不 相 同 时 。 可 利 用 误 差 的 差 值 与 标 准 时 间 的 比 例 关 系 求 解 。 即 若 A 钟 每 小 时 快 M 分 ， B 钟 每 小 时 慢 N 分 钟 ， 则 两 钟 一 小 时 的 误 差 为 M+N 分 钟 。 二 、 当 题 目 创 造 出 一 个 新 的 时 间 规 则 时 ， 考 生 应 做 好 标 准 时 间 和 “新 规 则 ”下 时 间 的 对 照 ， 再 利 用 比 例 关 系 求 解 。 有 一 只 怪 钟 ， 每 昼 夜 设 计 成 10 小 时 ， 每 小 时 100 分 钟 ， 当 这 只 怪 钟 显 示 5 点 时 ， 实 际 上 是 中 午 12 点 ， 当 这 只 怪 钟 显 示 8 点 50 分 时 ， 实 际 上 是 什 么 时 间 （ ） A.17 点 50 分 B.18 点 10 分 C.20 点 04 分 D.20 点 24 分 当 怪 钟 从 5 点 走 到 8 点 50 经 过 了 3100+50=350 分 钟 ， 又 因 为 怪 钟 每 天 为 10010=1000 分 钟 ， 正 常 钟 为 6024=1440 分 钟 。 设 正 常 钟 走 过 了 X 分 钟 ， 则 有 350： 1000=X： 1440， 解 得 X=504， 从 12 点 开 始 经 过 了 504 分 钟 ， 时 间 为 20 时 24 分 。 运 用 比 例 关 系 解 题 是 解 答 此 类 问 题 的 最 佳 方 法 。 - 13 - 解 决 日 期 问 题 的 关 键 是 根 据 已 知 条 件 分 析 出 某 一 具 体 日 期 为 星 期 几 ， 再 以 此 为 出 发 点 解 决 问 题 。 有 的 题 目 中 往 往 涉 及 大 月 、 小 月 、 12 小 时 制 、 24 小 时 制 以 及 、 平 年 、 闰 年 的 常 识 概 念 ， 所 以 要 求 考 生 在 复 习 这 类 题 目 的 时 候 也 要 对 这 些 日 期 常 识 进 行 了 解 。 做 题 时 ， 应 该 认 真 审 题 ， 耐 心 分 析 情 况 ， 解 答 过 程 中 要 把 各 种 情 况 都 考 虑 全 面 ， 确 保 回 答 正 确 完 整 。 【 例 题 1】 某 个 月 里 有 三 个 星 期 日 的 日 期 为 偶 数 ,请 推 算 出 这 个 月 的 15 日 是 星 期 几 ? 本类型题目注意事项： 一、掌握日期与星期数的关系 在日期星期类题目中往往会涉及日期与周数的关系问题。 1.相邻相同“星期数”时，日期的奇偶交替变化 同一月份中，若星期 N 的日期数为奇数，则与之相邻的星期 N 必为偶数；与 之对应的，若星期 N 的日期数为偶数，则与之相邻的星期 N 必为奇数。 2.有关 M 天后是星期几问题 （M+今天的星期数）7，余数余几，星期数的增长数即为几。 二、掌握年份与周数的关系 日期星期问题中，常常出现周数与闰年、平年的关系问题（有关闰年、平年 的基本常识见本节后） 。 平年共有 52 周余一天，闰年有 52 周余两天。 若 N 年时，某天的星期数为 A，那么 M 年的同一天星期数为 A+(M-N+X)。 （X 为 N 年与 M 年间闰年的个数） 三、掌握日期与周数的关系 一个小月（30 天）由四周零 2 天组成。也就是说星期 N 在一个月中至少出现 四次，至多出现五次。要使星期 N 在一个月中出现五次，须使该月的开头 2 天含 星期 N。 一个大月（31 天）由四周零 3 天组成。也就是说星期 N 在一个月中至少出现 四次，至多出现五次。要使星期 N 在一个月中出现五次，须使该月的开头 3 天含 星期 N。 - 14 - 18.年 龄 问 题 年 龄 问 题 大 多 数 是 有 关 自 然 数 以 及 倍 数 的 运 算 ， 属 于 相 对 较 容 易 的 题 目 。 主 要 考 察 考 生 的 基 本 运 算 能 力 ， 仔 细 列 方 程 解 答 即 可 解 决 。 最后还请注意一些基本常识： 1、 平年：不能被 4 整除，年共有 365 天，2 月共有 28 天。 2、 闰年：非整数年能被 4 整除的，整数年能被 400 整除的，能 被 400 整除但是不能被 3200 整除的均为闰年。闰年共有 366 天，2 月共有 29 天。 3、 闰年情况总结一句话为：四年一闰，百年不闰，四百年再闰， 三千两百年再不闰。例如：2005 年为平年，2008 年为闰年， 1900 年为平年，2000 年为闰年，3200、6400 年为平年， 2800、3600 年为闰年。 4、 一、三、五、七、八、十、十二（腊）月共有 31 天，称为 大月。 5、 四、六、九、十一月共有 30 天，称为小月。 - 15 - 19.平 均 数 问 题 平 均 数 平 均 数 是 我 们 日 常 生 活 、 工 作 总 最 常 用 到 的 一 个 数 学 概 念 之 一 ， 因 此 平 均 数 问 题 往 往 结 合 实 际 的 情 况 较 多 。 解答平均数问题，要掌握平均数的以下特性 1.平均数的基本公式是：平均数=总数个数 2.将一些数字分成 N 组，若 N 组数字的平均数均相等为 M，则所有数字的平均数 也为 M。 3.若有 N 个数字，将其中任意的 N-1 个数字的平均数与剩余的一个数相加构成的 由 N 个新数组成的数列中，新数列的数字和为原数列数字和的二倍。 4.在解答圆桌问题时，选定一个对象作为基准点有助于理清思路，由于圆桌问题 中，每个人都有两个“邻居”，并且每个人都是其他两个人的“邻居”，因此 在绕圆桌报平均数时，每个人的数字都被计算了两遍。 在解答年龄问题时，要熟练掌握年龄问题的特有规律。 1、N 个人的年龄一定“同增同减” 。也就是说，当一人年龄发生变化时， 其余人年龄也发生同样的变化。 2、无论年份如何变化，N 个人的年龄差永远不变。在通常情况下，年龄 问题中，一定存在一个恒定值，即年龄差。抓住年龄差这个不变值，往往就 抓住了解答年龄问题的突破口。 3、要注意年龄的科学性。如人寿命的长短，父子、爷孙年龄差值的科学 性等。这些条件往往隐含在题目之中，成为解答年龄问题时必不可少的条件 使用，同时，年龄的科学性也可以作为验算的重要手段，辅助我们正确解答 年龄问题。 4、要注意年龄问题与其他数字特性间的联系，两人年龄间的倍数关系， 随着时间的推移，倍数越来越小。当 A 的年龄B 的年龄时，M 年后，A 年龄为 A+M，B 年龄为 B+M，此时必有 。此种性质实际上是年龄问题与自B 然数倍数性质的结合，通过此法可以快速判定年龄间倍数关系的变化规律。 - 16 - 20.数 位 问 题 所 谓 数 位 问 题 是 指 以 数 字 为 主 要 研 究 内 容 的 题 目 ， 主 要 包 括 以 下 几 类 ： 书 本 的 页 码 问 题 、 自 然 数 的 运 算 规 律 以 及 自 然 数 的 相 关 排 列 问 题 。 数 学 运 算 题 型 详 讲 （ 下 ） 21.排 列 组 合 问 题 公 务 员 考 试 是 一 种 人 才 测 评 手 段 ， 公 考 的 数 学 运 算 部 分 考 查 的 重 点 不 是 一 个 人 数 学 能 力 的 如 何 ， 而 是 人 的 素 质 水 平 高 低 。 过 多 的 涉 及 公 式 的 考 试 ， 是 不 符 合 人 才 测 评 目 的 的 考 试 。 因 此 ， 在 解 答 数 学 运 算 部 分 试 题 时 ， 尽 量 不 要 涉 及 太 多 公 式 ， 对 于 排 列 组 合 部 分 ， 更 是 如 此 。 由 于 公 考 考 生 的 地 域 分 布 、 学 科 分 布 较 散 ， 有 相 当 一 部 分 考 生 对 排 列 公 式 、 组 合 公 式 的 运 用 并 不 娴 熟 ， 甚 至 是 相 当 陌 生 的 ， 强 记 、 强 用 这 些 本 身 就 很 易 混 淆 的 公 式 ， 效 果 往 往 事 倍 功 半 ， 会 将 很 多 简 单 的 问 题 复 杂 化 ， 使 解 答 题 目 的 用 时 过 长 ， 正 确 率 却 得 不 到 保 证 。 加 法 原 理 和 乘 法 原 理 是 数 学 概 率 方 面 的 最 基 本 原 理 ， 运 用 基 本 方 法 解 决 问 题 是 解 决 公 考 中 一 切 问 题 的 最 重 要 、 最 常 用 手 段 。 在 这 里 ， 我 们 提 倡 考 生 在 解 决 排 列 组 合 问 题 时 ， 用 最 简 单 、 最 好 理 解 的 加 法 原 理 和 乘 法 原 理 解 题 ， 以 达 到 快 捷 、 正 确 解 题 的 目 的 。 解答数位问题时我们要注意以下几点： 一、数字的表示方法 任何一个数字，我们都可以用A0.1+B1+C10+D100的形式来表示。 二、注意数位问题中的特殊数字与特殊构造方式 当数位问题中出现数字“0”时，考生一定要提高警惕，因为数字 0 是不能作为首 位构成数字的。同时，在构成年份、日期、星期等有特定要求的数字时，还要考虑所选 数字是否能满足这些特殊构造方式的构造习惯。 三、页码问题的特点 一页书有两个页码，并且两个页码一定为连续一奇一偶。 此外，页码问题还常常要使用等差数列的前 n 项和公式辅助计算，希望考生牢记公 式。等差数列前 n 项和公式： 四、利用代入验证法巧算 数位问题的运算量较大，很多题目我们可以结合