高考试题数学文新课标Ⅰ卷解析版

2016普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 新 课 标 卷 ） 文 科 数 学 1 . 选 择 题 ： 本 大 题 共 1 2 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 . （ 1 ） 设 集 合 ， ， 则 （ A） 1 ， 3 （ B） 3 ， 5 （ C） 5 ， 7 （ D） 1 ， 7 【 答 案 】 B (2 ) 设 的 实 部 与 虚 部 相 等 ， 其 中 a为 实 数 ， 则 a= （ A） 3 （ B） 2 （ C） 2 （ D） 3 【 答 案 】 A 【 解 析 】 ， 由 已 知 ， 得 ， 解 得 ， 故 选 A. （ 3 ） 为 美 化 环 境 ， 从 红 、 黄 、 白 、 紫 4 种 颜 色 的 花 中 任 选 2 种 花 种 在 一 个 花 坛 中 ， 余 下 的 2 种 花 种 在 另 一 个 花 坛 中 ， 则 红 色 和 紫 色 的 花 不 在 同 一 花 坛 的 概 率 是 （ A） （ B） （ C） （ D） 【 答 案 】 A （ 4 ） ABC的 内 角 A、 B、 C的 对 边 分 别 为 a、 b、 c.已 知 ， ， ， 则 b= （ A） （ B） （ C） 2 （ D） 3 【 答 案 】 D 【 解 析 】 由 余 弦 定 理 得 ， 解 得 （ 舍 去 ） ， 故 选 D. （ 5 ） 直 线 l经 过 椭 圆 的 一 个 顶 点 和 一 个 焦 点 ， 若 椭 圆 中 心 到 l的 距 离 为 其 短 轴 长 的 ， 则 该 椭 圆 的 离 心 率 为 （ A） （ B） （ C） （ D） 【 答 案 】 B yx OB FD 【 解 析 】 如 图 ， 由 题 意 得 在 椭 圆 中 ， 在 中 ， ， 且 ， 代 入 解 得 ， 所 以 椭 圆 得 离 心 率 得 ， 故 选 B. （ 6 ） 若 将 函 数 y=2 sin (2 x+)的 图 像 向 右 平 移 个 周 期 后 ， 所 得 图 像 对 应 的 函 数 为 （ A） y=2 sin (2 x+) （ B） y=2 sin (2 x+) （ C） y=2 sin (2 x ) （ D） y=2 sin (2 x ) 【 答 案 】 D （ 7 ） 如 图 ， 某 几 何 体 的 三 视 图 是 三 个 半 径 相 等 的 圆 及 每 个 圆 中 两 条 相 互 垂 直 的 半 径 .若 该 几 何 体 的 体 积 是 ， 则 它 的 表 面 积 是 （ A） 1 7 （ B） 1 8 （ C） 2 0 （ D） 2 8 【 答 案 】 A 【 解 析 】 （ 8 ） 若 ， ， 则 （ A） lo g accb 【 答 案 】 B 【 解 析 】 由 可 知 是 减 函 数 ， 又 ， 所 以 故 选 B.本 题 也 可 以 用 特 殊 值 代 入 验 证 . （ 9 ） 函 数 在 的 图 像 大 致 为 （ A） （ B） （ C） （ D） 【 答 案 】 D （ 1 0 ） 执 行 右 面 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 n=1 ， 则 输 出 的 值 满 足 （ A） （ B） （ C） （ D） 【 答 案 】 C 【 解 析 】 第 一 次 循 环 ： ， 第 二 次 循 环 ： ， 第 三 次 循 环 ： ， 此 时 满 足 条 件 ， 循 环 结 束 ， ， 满 足 故 选 C （ 1 1 ） 平 面 过 正 文 体 ABCD A1 B1 C1 D 1 的 顶 点 A， ， ， 则 m ， n所 成 角 的 正 弦 值 为 （ A） （ B） （ C） （ D） 【 答 案 】 A （ 1 2 ） 若 函 数 在 单 调 递 增 ， 则 a的 取 值 范 围 是 （ A） （ B） （ C） （ D） 【 答 案 】 C 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 5 分 （ 1 3 ） 设 向 量 a =(x， x+1 )， b =(1 ， 2 )， 且 a b ， 则 x= . 【 答 案 】 【 解 析 】 由 题 意 ， （ 1 4 ） 已 知 是 第 四 象 限 角 ， 且 sin (+)=， 则 tan ( )=. 【 答 案 】 【 解 析 】 由 题 意 ， 因 为 ， 所 以 ， 从 而 ， 因 此 故 填 （ 1 5 ） 设 直 线 y=x+2 a与 圆 C： x2 +y2 -2 ay-2 =0 相 交 于 A， B两 点 ， 若 ， 则 圆 C的 面 积 为 【 答 案 】 （ 1 6 ） 某 高 科 技 企 业 生 产 产 品 A和 产 品 B需 要 甲 、 乙 两 种 新 型 材 料 .生 产 一 件 产 品 A需 要 甲 材 料 1 .5 k g ， 乙 材 料 1 k g ， 用 5 个 工 时 ； 生 产 一 件 产 品 B 需 要 甲 材 料 0 .5 k g ， 乙 材 料 0 .3 k g ， 用 3 个 工 时 ， 生 产 一 件 产 品 A的 利 润 为 2 1 0 0 元 ， 生 产 一 件 产 品 B的 利 润 为 9 0 0 元 .该 企 业 现 有 甲 材 料 1 5 0 k g ， 乙 材 料 9 0 k g ， 则 在 不 超 过 6 0 0 个 工 时 的 条 件 下 ， 生 产 产 品 A、 产 品 B的 利 润 之 和 的 最 大 值 为 元 . 【 答 案 】 【 解 析 】 设 生 产 产 品 、 产 品 分 别 为 、 件 ， 利 润 之 和 为 元 ， 那 么 目 标 函 数 . 取 得 最 大 值 .解 方 程 组 ， 得 的 坐 标 . 所 以 当 ， 时 ， . 故 生 产 产 品 、 产 品 的 利 润 之 和 的 最 大 值 为 元 . 三 .解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . （ 1 7 ） .（ 本 题 满 分 1 2 分 ） 已 知 是 公 差 为 3 的 等 差 数 列 ， 数 列 满 足 ， . （ I） 求 的 通 项 公 式 ； （ II） 求 的 前 n项 和 . 【 答 案 】 （ I） （ II） （ II） 由 （ I） 和 ， 得 ， 因 此 是 首 项 为 1 ， 公 比 为 的 等 比 数 列 .记 的 前 项 和 为 ， 则 （ 1 8 ） （ 本 题 满 分 1 2 分 ） 如 图 ， 在 已 知 正 三 棱 锥 P-ABC的 侧 面 是 直 角 三 角 形 ， PA=6 ， 顶 点 P在 平 面 ABC内 的 正 投 影 为 点 ， 在 平 面 内 的 正 投 影 为 点 E， 连 接 PE并 延 长 交 AB于 点 G （ I） 证 明 G 是 AB的 中 点 ； （ II） 在 答 题 卡 第 （ 1 8 ） 题 图 中 作 出 点 E在 平 面 PAC内 的 正 投 影 F（ 说 明 作 法 及 理 由 ） ， 并 求 四 面 体 PD EF的 体 积 【 答 案 】 （ I） 见 解 析 （ II） 作 图 见 解 析 ， 体 积 为 【 解 析 】 （ I） 因 为 在 平 面 内 的 正 投 影 为 ， 所 以 因 为 在 平 面 内 的 正 投 影 为 ， 所 以 所 以 平 面 ， 故 又 由 已 知 可 得 ， ， 从 而 是 的 中 点 . （ II） 在 平 面 内 ， 过 点 作 的 平 行 线 交 于 点 ， 即 为 在 平 面 内 的 正 投 影 . 理 由 如 下 ： 由 已 知 可 得 ， ， 又 ， 所 以 ， 因 此 平 面 ， 即 点 为 在 平 面 内 的 正 投 影 . 连 接 ， 因 为 在 平 面 内 的 正 投 影 为 ， 所 以 是 正 三 角 形 的 中 心 . 由 （ I） 知 ， 是 的 中 点 ， 所 以 在 上 ， 故 由 题 设 可 得 平 面 ， 平 面 ， 所 以 ， 因 此 由 已 知 ， 正 三 棱 锥 的 侧 面 是 直 角 三 角 形 且 ， 可 得 在 等 腰 直 角 三 角 形 中 ， 可 得 所 以 四 面 体 的 体 积 （ 1 9 ） （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ） 某 公 司 计 划 购 买 1 台 机 器 ， 该 种 机 器 使 用 三 年 后 即 被 淘 汰 .机 器 有 一 易 损 零 件 ， 在 购 进 机 器 时 ， 可 以 额 外 购 买 这 种 零 件 作 为 备 件 ， 每 个 2 0 0 元 .在 机 器 使 用 期 间 ， 如 果 备 件 不 足 再 购 买 ， 则 每 个 5 0 0 元 .现 需 决 策 在 购 买 机 器 时 应 同 时 购 买 几 个 易 损 零 件 ， 为 此 搜 集 并 整 理 了 1 0 0 台 这 种 机 器 在 三 年 使 用 期 内 更 换 的 易 损 零 件 数 ， 得 下 面 柱 状 图 ： 记 x表 示 1 台 机 器 在 三 年 使 用 期 内 需 更 换 的 易 损 零 件 数 ， y表 示 1 台 机 器 在 购 买 易 损 零 件 上 所 需 的 费 用 （ 单 位 ： 元 ） ， 表 示 购 机 的 同 时 购 买 的 易 损 零 件 数 . （ I） 若 =1 9 ， 求 y与 x的 函 数 解 析 式 ； （ II） 若 要 求 “需 更 换 的 易 损 零 件 数 不 大 于 ”的 频 率 不 小 于 0 .5 ， 求 的 最 小 值 ； （ III） 假 设 这 1 0 0 台 机 器 在 购 机 的 同 时 每 台 都 购 买 1 9 个 易 损 零 件 ， 或 每 台 都 购 买 2 0 个 易 损 零 件 ， 分 别 计 算 这 1 0 0 台 机 器 在 购 买 易 损 零 件 上 所 需 费 用 的 平 均 数 ， 以 此 作 为 决 策 依 据 ， 购 买 1 台 机 器 的 同 时 应 购 买 1 9 个 还 是 2 0 个 易 损 零 件 ？ 【 答 案 】 （ I） （ II） 1 9 （ III） 1 9 （ ） 由 柱 状 图 知 ， 需 更 换 的 零 件 数 不 大 于 1 8 的 概 率 为 0 .4 6 ， 不 大 于 1 9 的 概 率 为 0 .7 ， 故 的 最 小 值 为 1 9 . （ ） 若 每 台 机 器 在 购 机 同 时 都 购 买 1 9 个 易 损 零 件 ， 则 这 1 0 0 台 机 器 中 有 7 0 台 在 购 买 易 损 零 件 上 的 费 用 为 3 8 0 0 ， 2 0 台 的 费 用 为 4 3 0 0 ， 1 0 台 的 费 用 为 4 8 0 0 ， 因 此 这 1 0 0 台 机 器 在 购 买 易 损 零 件 上 所 需 费 用 的 平 均 数 为 . 比 较 两 个 平 均 数 可 知 ， 购 买 1 台 机 器 的 同 时 应 购 买 1 9 个 易 损 零 件 . （ 2 0 ） （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ） 在 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 l:y=t(t0 )交 y轴 于 点 M， 交 抛 物 线 C： 于 点 P， M关 于 点 P的 对 称 点 为 N， 连 结 O N并 延 长 交 C 于 点 H . （ I） 求 ； （ II） 除 H 以 外 ， 直 线 MH 与 C是 否 有 其 它 公 共 点 ？ 说 明 理 由 . 【 答 案 】 （ I） 2 （ II） 没 有 【 解 答 】 （ ） 直 线 与 除 以 外 没 有 其 它 公 共 点 .理 由 如 下 ： 直 线 的 方 程 为 ， 即 .代 入 得 ， 解 得 ， 即 直 线 与 只 有 一 个 公 共 点 ， 所 以 除 以 外 直 线 与 没 有 其 它 公 共 点 . （ 2 1 ） （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ） 已 知 函 数 (I)讨 论 的 单 调 性 ； (II)若 有 两 个 零 点 ， 求 的 取 值 范 围 . 【 答 案 】 见 解 析 (II) 【 解 析 】 (I) (i)设 ， 则 当 时 ， ； 当 时 ， . 所 以 在 单 调 递 减 ， 在 单 调 递 增 . (ii)设 ， 由 得 x=1 或 x=ln (-2 a). 若 ， 则 ， 所 以 在 单 调 递 增 . 若 ， 则 ln (-2 a)1 ， 故 当 时 ， ； 当 时 ， ， 所 以 在 单 调 递 增 ， 在 单 调 递 减 . 若 ， 则 ， 故 当 时 ， ， 当 时 ， ， 所 以 在 单 调 递 增 ， 在 单 调 递 减 . 请 考 生 在 2 2 、 2 3 、 2 4 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 ， 做 答 时 请 写 清 题 号 （ 2 2 ） （ 本 小 题 满 分 1 0 分 ） 选 修 4 -1 ： 几 何 证 明 选 讲 如 图 ， O AB是 等 腰 三 角 形 ， AO B=1 2 0 .以 O 为 圆 心 ， O A为 半 径 作 圆 . (I)证 明 ： 直 线 AB与 O 相 切 ； (II)点 C， D 在 O 上 ， 且 A， B， C， D 四 点 共 圆 ， 证 明 ： AB CD . 【 答 案 】 (I)见 解 析 (II)见 解 析 在 中 ， ， 即 到 直 线 的 距 离 等 于 圆 的 半 径 ， 所 以 直 线 与 相 切 （ ） 因 为 ， 所 以 不 是 四 点 所 在 圆 的 圆 心 ， 设 是 四 点 所 在 圆 的 圆 心 ， 作 直 线 由 已 知 得 在 线 段 的 垂 直 平 分 线 上 ， 又 在 线 段 的 垂 直 平 分 线 上 ， 所 以 同 理