数学教案：数列x教师版

数列 等差数列知识清单 1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于同一2 个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表d 示。用递推公式表示为 或 。1()nad1(1)nad 2、等差数列的通项公式： ；说明：等差数列（通常可称为 数列）的单AP 调性： 为递增数列， 为常数列， 为递减数列。000d 3、等差中项的概念：定义：如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。其Abab 中 ， ， 成等差数列 。2a2 4、等差数列的前 和的求和公式： 。n11()()2nnaSd 5、等差数列的性质： （1）在等差数列 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；na （2）在等差数列 中，相隔等距离的项组成的数列是 ， AP 如： ， ， ， ，； ， ， ， ，；13573a8138a （3）在等差数列 中，对任意 ， ， ， ；namnN()nmdnma() （4）在等差数列 中，若 ， ， ， 且 ，则 ；pqpqnpq 说明：设数列 是等差数列，且公差为 ，n d （）若项数为偶数，设共有 项，则 奇 偶 ； ；2nSnd1nSa奇偶 （）若项数为奇数，设共有 项，则 偶 奇 ； 。1na中 奇偶 6、数列最值 （1） ， 时， 有最大值； ， 时， 有最小值；10adnS10adnS （2） 最值的求法：若已知 ，可用二次函数最值的求法（ ） ；若已知 ，则nSn Nna 最值时 的值（ ）可如下确定 或 。N1n10na 课前预习 1 （01 天津理，2）设 Sn是数列a n的前 n 项和，且 Sn=n2，则a n是 等差 数列 2设 是公差为正数的等差数列，若 ， ，则 105 na1235a13801213a 3 （02 京）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390， 则这个数列有 13 项 4设数列 an是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是 2 5 （06 全国 II）设 Sn是等差数列a n的前 n 项和，若 ，则 36S1612S30 6 （00 全国）设a n为等差数列，S n为数列a n的前 n 项和，已知 S77，S 1575，T n 为数列 的前 n 项和，求 Tn。n 49 2 7 （02 上海）设a n （nN *）是等差数列，S n是其前 n 项的和，且 S5S 6，S 6S 7S 8， 则下列结论错误的是（ C ）A.d0 B.a70 C.S9S 5 D.S6 与 S7 均为 Sn的最大值 8 （94 全国）等差数列a n的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为 210 等比数列知识清单 1等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 表示 ，即：q(0) ： 数列（注意：“从第二项起” 、 “常数” 、等比数列的公比和项都不为零）1na(0)q q 2等比数列通项公式为： 。)0(11qaann 说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比 时该数列既是等比数列也是等差1d 数列；（2）等比数列的通项公式知：若 为等比数列，则 。n mnaq 3等比中项 如果在 中间插入一个数 ，使 成等比数列，那么 叫做 的等比中项（两个ba与 Gba, Gb与 符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 。 4等比数列前 n 项和公式 一般地，设等比数列 的前 n 项和是 ，当 时，123,na nS123naa 1q 或 ；当 q=1 时， （错位相减法） 。qaSn1)(nqS 说明：（1） 和 各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是,1nS,1 ，通项公式中是 不要混淆；（3）应用求和公式时 ，必要时应讨论 的情况。nn 1q1q 5等比数列的性质 等比数列任意两项间的关系：如果 是等比数列的第 项， 是等差数列的第 项，且nanmam ，公比为 ，则有 ；mqmnqa 对于等比数列 ，若 ，则 . 若数列 是等比数列，vuvumn na 是其前 n 项的和， ，那么 ， ， 成等比数列。nS*NkkSk2kS23 课前预习 1在等比数列 中, ,则 192 na3712,q19_.a 2 和 的等比中项为 32 3 在等比数列 中， ， ，求 ，-1458n2548 4在等比数列 中, 和 是方程 的两个根,则 1/2a10210x47a 5. 在等比数列 ，已知 ， ，求 .20n109a8a 6 （2006 年北京卷）设 ，则 等于 47310()22()nf N ()fn42(81)7n 7 （1996 全国文）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S3S 62S 9，求数列的公比 q；-321 8在各项都为正数的等比数列a n中，首项 a1 3，前三项和为 21，则 a3a 4a 5 84 免 财富值！ 欢迎分享！ ！ 百度文库：让每个人平等的提升自我！ 免费文档！欢迎下载！ 数列通项与求和知识清单 1数列求通项与和 （1）数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式：a n= 。1sn12 （2）求通项常用方法 作新数列法。作等差数列与等比数列； 累差叠加法。最基本的形式是：a n=(ana n1 )+(an1 +an2 )+(a2a 1)+a1； 累商叠乘法。 倒序相加法 裂项求和 并项求和 错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和，常用错项 相消法。 , 其中 是等差数列， 是等比数列。ncbanbnc 课前预习 1已知数列 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，求和： 。n niia11n 2求 。)(,3214321*Nn 12 3设 a 为常数，求数列 a，2a 2，3a 3，na n，的前 n 项和。 4已知 ，数列 是首项为 a，公比也为 a 的等比数列，令 ，,0n )(lgNnabn 求数列 的前 项和 。nbS 典型例题 一、有关通项问题 1、利用 求通项1()2nnSa 例：数列 的前 项和 （1）试写出数列的前 5 项；（2）数列 是等差数列吗？（3）nna 你能写出数列 的通项公式吗？2n-1a 变式题 1、 （2005 湖北卷）设数列 的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列 的通项公式；4n-2an 变式题 2、 （2005 北京卷）数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， ，n=1，2，3，求1S a2，a 3，a 4 的值及数列a n的通项公式a = n 2,)34(1 变式题 3、 （2005 山东卷）已知数列 的首项 前 项和为 ，且 ，n15annS*125()nSN 证明数列 是等比数列n+51na 2、解方程求通项： 例：在等差数列 中， （1）已知 ；-5，3n81214,68,Sad求 和 （2）已知 ；16，44 (3)已知 .340650,aSa求 和 51740,S求 变式题 1、 是首项 ，公差 的等差数列，如果 ，则序号 等于 669n13d2nn 3、待定系数求通项： 例： （2006 年福建卷）已知数列 满足 求数列 的通项公式；2 -1na11,.nanan 二、有关等差、等比数列性质问题 例：一个等比数列前 项的和为 48，前 2 项的和为 60，则前 3 项的和为 63n 变式 1、一个等差数列前 项的和为 48，前 2 项的和为 60，则前 3 项的和为 。36 变式 2、等比数列 的各项为正数，且 10na5647123108,logllogaaa则 三、数列求和问题 例：已知 是等差数列，其中 ，公差 。 （1）求数列 的通项公式；39-8nn13dn （2）数列 从哪一项开始小于 0？4（3）求数列 前 项和的最大值，并求出对应 的值172a nan 变式题 1、已知 是各项不为零的等差数列，其中 ，公差 ，若 ,求数列 前 项n 10d10Sa 和的最大值5or6 变式题 2、在等差数列 中， ， ，求 的最大值13na125179Sn 例：求和： 213nnSxx 变式题 1、已知数列 和 ，设 ，求数列 的前 项和 4na14nbnbacncnT 变式题 2、 （2007 全国 1 文 21）设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ，na1ab ， （）求 ， 的通项公式；2n-1,2 （）求数列 的前 n 项和35ab53abnb1nn nS126n 免 财富值！ 欢迎分享！ ！ 百度文库：让每个人平等的提升自我！ 免费文档！欢迎下载！ 例：（1）已知数列 的通项公式为 ，求前 项的和； （2）已知数列 的通项na1()nan1na 公式为 ，求前 项的和1n 实战训练 A 1 （07 重庆文）在等比数列a n中，a 28，a 564 ， ，则公比 q 为 2 2 （07 重庆理）若等差数列 的前三项和 且 ，则 等于 393S1a2 3设 为公比 q1 的等比数列，若 和 是方程 的两根，则n 20405 0384x _.9/22076a 4 （07 天津理）设等差数列 的公差 不为 0， 若 是 与 的等比中项，则nad19adk1a2k 4k 5等差数列a n中，a 1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n= 10 6.等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 24246,则 等 于 7已知 是等差数列， ，其前 10 项和 ，则其公差10 107d23 8已知 成等比数列，且曲线 的顶点是 ，则 等于 2bcd， 23yx()bc，a 9 （07 辽宁理）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 81nanS96S789 实战训练 B 1 （07 江西文）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 7nn122581a 2 （07 湖南文）在等比数列 （ ）中，若 ， ，则该数列的前 10 项和为aN*a48 3 （07 广东理）已知数列 的前 项和 ，第 项满足 ，则 10n29nSkk 8 4 （07广东文）已知数列 的前 项和 ，则其通项 ；若它的第na2nna 项满足 ，则 2n-10 ; 8k58ka 5