数量关系解题方法辅导

行测之数量关系解题方法辅导 一、数量关系数字推理典型例题解析 1 二、从数字特点寻找数字推理规律 4 三、数字推理之数字拆分 5 四、数学运算之数的拆分 7 五、数量关系之行程问题 10 六、数学运算：排列组合 12 七、盈亏问题解题思路点拨 16 八、带入排除法解题技巧 18 九、巧用集成思想破解数学运算 20 2 数量关系数字推理典型例题解析 数字推理是数量关系中必考题型之一。其不同于其他形式的推理，题目中全部 是数字，没有文字可供应试者理解题意，真实地考查了应试者的抽象思维能力。 1.等差数列及其变式 例题：1, 4, 7, 10, 13, ( ) A.14 B.15 C.16 D.17 答案为 C。我们很容易从中发现相邻两个数字之间的差是一个常数 3，所以 括号中的数字应为 16。等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。 例题：3, 4, 6, 9, ( )，18 A.11 B.12 C.13 D.14 答案为 C。仔细观察，本题中的相邻两项之差构成一个等差数列 1,2,3,4,5.，因此很快可以推算出括号内的数字应为 13,象这种相邻项之 差虽不是一个常数，但有着明显的规律性，可以把它看作等差数列的变式。 2.“两项之和等于第三项”型 例题：34, 35, 69, 104, ( ) A.138 B.139 C.173 D.179 答案为 C。观察数字的前三项，发现第一项与第二项相加等于第三项， 34+35=69，再把这假设在下一数字中检验，35+69=104，得到验证，因此类推， 得出答案为 173。前几项或后几项的和等于后一项是数字排列的又一重要规律。 3.等比数列及其变式 例题：3，9，27，81，( ) A.243 B.342 C.433 D.135 答案为 A。这是最一种基本的排列方式，等比数列。其特点为相邻两项数 字之间的商是一个常数。 例题：8，8，12，24，60，( ) A.90 B.120 C.180 D.240 3 答案为 C。虽然此题中相邻项的商并不是一个常数，但它们是按照一定规 律排列的：1，1.5，2，2.5，3，因此答案应为 603=180,象这种题可视作等 比数列的变式。 4.平方型及其变式 例题：1, 4, 9, ( )，25, 36 A.10 B.14 C.20 D.16 答案为 D。这道试题考生一眼就可以看出第一项是 1 的平方，第二项是 2 的平方，依此类推，得出第四项为 4 的平方 16。对于这种题，考生应熟练掌握 一些数字的平方得数。如： 10 的平方=100 11 的平方=121 12 的平方=144 13 的平方=169 14 的平方=196 15 的平方=225 例题：66，83，102，123，( ) A.144 B.145 C.146 D.147 答案为 C。这是一道平方型数列的变式，其规律是 8，9，10，11 的平方后 再加 2，因此空格内应为 12 的平方加 2，得 146。这种在平方数列的基础上加 减乘除一个常数或有规律的数列，可以被看作是平方型数列的变式，考生只要 把握了平方规律，问题就可以化繁为简了。 5.立方型及其变式 例题：1，8，27，( ) A.36 B.64 C.72 D.81 答案为 B。解题方法如平方型。 我们重点说说其变式 例题：0，6，24，60，120，( ) A.186 B.210 C.220 D.226 答案为 B。这是一道较有难度的题目。如果你能想到它是立方型的变式， 4 就找到了问题的突破口。这道题的规律是第一项为 1 的立方减 1，第二项为 2 的立方减 2，第三项为 3 的立方减 3，依此类推，空格处应为 6 的立方减 6，即 210。 6.双重数列 例题：257，178，259，173，261，168，263，( ) A.275 B.178 C.164 D.163 答案为 D。通过观察，我们发现，奇数项数值均为大数，而偶数项都是小 数。可以判断，这是两列数列交替排列在一起而形成的一种排列方式。在这类 题目中，规律不能在邻项中寻找，而必须在隔项中寻找，我们可以看到，奇数 项是一个等差数列，偶数项也是一个等差数列，因此不难发现空格处即偶数项 的第四项，应为 163。也有一些题目中的两个数列是按不同的规律排列的，考 生如果能判断出这是多组数列交替排列在一起的数列，就找到了解题的关键。 从数字特点寻找数字推理规律 数字推理规律千变万化是数字推理题在河南公务员考试中的分低的主要原 因之一，也是广大考生复习中最为头疼的问题。本站总结出以下规律帮助广大 考生从题目数字本身具有的特点来寻找题目的推理规律。 一、 数列中数字的整除性 ：通过对题中的正整数进行整除乘积拆分。 例题 1： 1， 8， 28， 80， 208， ( ) A.480 B.512 C.625 D.666 【答案】B 。解析：整数乘积拆分数列。 1 8 28 80 208 (512) 11 24 47 810 1613 (3216) 第一个乘数：1、2 、 4、8 、16、(32) 是公比为 2 的等比数列; 第二个乘数：1、4 、 7、10 、13、(16)是公差为 3 的等差数列。 二、 数列中数字的质合性 ：仅仅考查数字质合性的题目较少，这种题目 也比较简单。 例题 2：31，29 ， 23，( )，17，13，11 A.21 B.20 C.19 D.18 5 【答案】C。解析：数列各项均为质数，23 与 17 之间的质数是 19。 三、 数列中数字与多次方数字的关系 对多次方数字的考查的题目较多，其实对多次方数的直接考查并不难，如 果对多次方数进行变化，就会大大增加题目的难度。考生要想轻松应对这类题 目，建议广大考生对 5 以内的数字的多次方要清楚。 例题 3：11， 24， 67， 122， 219， ( ) A.340 B.360 C.420 D.440 【答案】A。解析：通过观察我们发现数列数字均为多次方数字周围的数 字，仔细分析发现此数列为立方数列的变式。 11 24 67 122 219 (340) 2 3+3 33-3 43+3 53-3 63+3 (73-3) 四、 数列中数字的数位特征 例题 4：20002，40304，60708 ，( 80 016 )， 10023032，12041064 A.8013012 B.8013016 C.808015 D.8011016 【答案】B。解析：将每个数字看成 3 个部分的组合，末几位依次是 2、4、8、( )、32、64;前几位依次是 20、40 、60 、( )、100 、120;剩下 数字是 00、 30、70、( )、230、410 。不难确定末两位数应是 16，头两位 应是 80，中间填入 130 后是一个三级等差数列变式。 数字推理之数字拆分 在常见的数字推理中，拆分思想主要有以下 3 种形式： 一、数字加乘思想 即数列的每一项都是由有规律的两个数字或几个数字通过相加或相乘等方 式组合而成。 1 、数字拆分乘积思想( 因数分解思想) 【例 1】 1、6、20 、 56、144、( ) A.384 B.352 C.312 D.256 【解析】答案为 B。本题的规律是，数列中的每一个数字可分别写为： 6 11，23，45 ，87，169，即一个公比为 2 的等比数列的每一项乘一 个等差为 2 的等差数列的每一项而成。 2、数字拆分加和思想(数字拆和思想) 【例 2】153、179、227、321 、533、( ) A.789 B.919 C.1229 D.1079 【解析】答案为 D。本题的规律是，数列中的每一个数字可分别写为： 150+3，170+9，200+27，240 +81，290+243， （350+729） ，即一个 二级等差数列的每一项加上一个公比为 3 的等比数列的每一项而成。 二、多级拆分思想 即把数列的每一项都拆分成有规律的两个数列或几个数列通过相互组合等 方式而成。 1 、两级拆分思想 【例 3】 1.01、1.02、2.03、3.05、5.08 、( ) A. 8.13 B.8.013 C. 7.12 D.7.012 【解析】答案为 A。本题的规律是，数列中的每一个数字可分别写为： 1+0.01，1+0.02，2+0.03，3+0.05，5+0.08，即每个数字的整数部分 和小数部分分别是一个简单的递推和数列。 2 、三拆分思想 【例 4】 2000.1.1、 2002.3.5、2004.5.9、2006.7.13、( ) A.2008.8.8 B.2008.18.16 C.2008.9.20 D.200.8.9.17 【解析】答案为 D。本题的规律是，数列中的每一个数字可分别拆分成三 部分，而各部分有各自是一个等差数列，即 2000、 2002、20004、2006 、(2008)是一个公差为 2 的等差数列; 1、3 、5 、7 、(9)是一个公差为 2 的等差数列;1、5、9、13、(17)是一个公 差为 4 的等差数列。 三、数字裂分思想 即把数列的每一项都各自分裂成的两个数或几个数，而这些数相互组合在 一起又成一定规律的数列。 1 、裂分差思想 7 【例 5】4635、3728、3225、2621 、2219 、( ) A.1565 B.1433 C.1916 D.1413 【解析】答案为 D。本题的规律是，数列中的每一个数字裂分成两部分， 即每个数字“两两分裂” 成 46 和 35、37 和 28、32 和 25、26 和 21、22 和 19，而这些两两分裂后的数之差 11、9、7、5、3 又组合成公差为 2 的等差 数列，故答案为 D，裂分成 14 和 13，差为 1，符合上述规律。 2、裂分和思想 【例 6】1526、4769、2154、5397 、( ) A.2317 B.1545 C.1469 D.5213 【解析】答案为 C。本题的规律是，数列中的每一个数字裂分成首尾和中 间两部分，每个数字“两两分裂” 成 1、6 和 5、2， 4、9 和 7、6， 2、4 和 1、5，5、7 和 3、9 ，而这些两两分裂后的数之和相等，即 1+6=5+2、 4+9=6+7、2+4=1+5、5+7=3+9，故答案为 C，裂分成 1、9 和 4、6，其和相等，符合上述规律。 总结，数量关系中“数字推理” 这部分题型每道题都有其自身的规律，可以 通过归纳不同的题型，缩小解题时的方法思维，掌握好解题的规律，并通过解 题学会了解和掌握更多的方法、规律、技巧，加强数学逻辑思维和方法，探求 数字推理中“数字拆分” 题型的解题思想。 数学运算之数的拆分（难） 数学运算中数的拆分问题是公务员考试常考的题型之一，考察对数的基本 特性的掌握，通常此类问题都比较灵活。一般来说此类问题整体难度不大，但 常用的代入法等将不再实用，故掌握方法就变得特别重要。 1.分解因式型：就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式。运用此方 法解题首先要熟练掌握如何分解质因数，还要灵活组合这些质因数来达到解题 的目的。 【例】20n 是 2001*2000*1999*1998*3*2*1 的因数，自然 数 n 最大可能是多少？ 8 A.499 B.500 C.498 D.501 【解析】20n=5*2*2 的 N 次方，显然 2001*2000*1999*1998*3*2*1 中，能分解出来的 2 个个数要远远大 于 5 的个数，所以 2001*2000*1999*1998*3*2*1 中最多能分解多 少个 5 也就是 N 的最大值，由此计算所求应为【 20015】+ 【200125】 +【2001125】+【2001625】=400+80+16+3=499 。 2.已知某几个数的和，求积的最大值型：基本原理：a2+b22ab， （a，b 都大于 0，当且仅当 a=b 时取得等号）推 论：a+b=K（常数） ，且 a，b 都 大于 0，那么 ab（a+b）/2）2，当且仅当 a=b 时取得等号。此结论可 以推广到多个数的和为定值的情况。 【例】3 个自然数之和为 14，它们的乘积的最大值为（ ） A.42 B.84 C.100 D.120 【解析】若使乘积最大，应把 14 拆分为 5+5+4，则积的最大值为 554=100。也就是说，当不能满足拆分的数相等的情况下，就要求拆分的 数之间的差异应该尽量的小，这样它们的乘积才能最大，这是做此类问题的指 导思想。 3. 排列组合型： 运用排列组合知识解决数的分解问题。要求对排列组合有 较深刻的理解，才能达到灵活运用的目的。 【例】 学校准备了 1152 块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少 种不同的拼法？ A.1152 B.384 C.28 D.12 【解析】本题实际上是想把 1152 分解成两个数的积。 1152=11152=2576=3384=4288=6192=8144=9128=12 96=1672=1864=2448=3236，故有 12 种不同的拼法。 解法二：（用排列组合知识求解） 由 1152=2732，那么现在我们要做的就是把这 7 个 2 和 2 个 3 分成两 部分，当分配好时，那么长方形的长和宽也就固定了。 具体地： 1）当 2 个 3 在一起的时候，有 8 种分配方法（从后面有 0 个 2 一直到 7 个 2） ； 2）当两个 3 不在一起时，有 4 种分配方法，分别是一个 9 3 后有 0，1，2，3 个 2。故共有 8+4=12 种。 解法三：若 1152=2732，那么 1152 的所有乘积为 1152 因数的个数 为（7+1） （2+1）=24 个，每两个一组，故共有 242=12 组。 下面谈谈如何利用确定“中间数” 法解将一个整数分拆成若干个连续数的问 题。 那么什么是“中间数”呢？其实这里的“中间数” 也就是平均数。有的“中间数” 是答数中的一个，如：1、2、3、4 、5 中的“3” 便是；也有的 “中间数”是为了 解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7 这四个数的“中间数” 即为“5.5”。由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数 个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。 把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题 【例】把 2000 分成 25 个连续偶数的和，这 25 个数分别什么？ 【解析】这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数： 200025=80，那么 80 的左边有 12 个数，右边也有 12 个数，再加上 80 本身，正好是 25 个数，我们又知相邻两个偶数相差 2，那么这 25 个偶数中最 小的便为：80122=56，最大的为：80+122=104，故所求的这 25 个 数为：56、58、80、102、104 。 把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式 【例】84 分拆成 2 个或 2 个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？ 【解析】我们先把 84 分解质因数，84=2237 由分解式可以看出， 84 的不同质因数有 2、3、7，这就说明能把 84 分拆成 2、3、7 的倍数个不 同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把 84 分拆成 2 个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为 3、7、8（222）个连续自然数的和。 分拆为 3 个连续自然数的和：（2237） 3=28 ，确定了“中间数” 28，再依据例 2 的方法确定其它数，所以这三个数是 27、28 、29。 同理，分拆为 7 个连续自然数的和：（2237）7=12 ，它们是 9、10、11、 12、13、 14、15。 10 分拆为 8（222）个连续自然数的和：（2237）8=10.5 ，它 们是 7、8 、 9、10 、 （10.5） 、11、12、13 、14 。其它情况均不符合要求。 再将此题引伸一步，怎样判断究竟有几种分拆方式呢？就 84 而言，它有 三种分拆方法，下面我们看 84 的约数有： 1、2、3、4、6、7 、12、14、21 、28、42、84。其中大于 1 的奇约数恰有 三个。于是可以得此结论：若一个整数（0 除外）有 n 个大于 1 的奇约数，那 么这个整数就有 n 种分拆成 2 个或 2 个以上连续自然数的和的方法。 450=2*3*3*5*5，大于 1 的奇约数为 3，5，9，15 ，25，45，75 ，225 一共 8 个，则共有 8 种拆分方法。 数量关系之行程问题 数学运算中的行程问题一直是常考的一类题。行程问题分为相遇问题，追 及问题和流水问题。每一类问题的题型都有相应的解法，只有熟练掌握这些解 法，才能提高我们的解题速度，节约时间，在考试中考出优异的成绩。 行程问题的备考知识 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和 运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物） 以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方 向相同，则为追及问题。 相遇（相离）问题的基本数量关系： 速度和相遇时间相遇（相离）路程 在相遇（相离）问题和追及问题中，考生必须很好的理解各数量的含义及 其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。 相遇问题的模型为：甲从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，然后甲，乙在 途中相遇，实质上是两人共同走了 A、B 之间这段路程，如果两人同时出发， 那么： A ，B 两地的路程（甲的速度乙的速度）相遇时间速度和相遇时 间 11 相遇问题的核心是“速度和” 问题。 例 1.某校下午 2 点整派车去某厂接劳模作报告，往返需 1 小时。该劳模在 下午 1 点就离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下 午 2 点 30 分到达。问汽车的速度是劳模步行速度的（ ）倍。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 车往返需 1 小时，实际只用了 30 分钟，说明车刚好在半路接 到劳模，故有车 15 分钟所走路程劳模 75 分钟所走路程。设劳模步行速度为 a，汽车速度是劳模的 x 倍，则可列方程，75a15ax，解得 x5 。 例 2.甲、乙两车从 A、B 两地同时出发，相向而行，如果甲车提前一段时 间出发，那么两车将提前 30 分相遇。已知甲车速度是 60 千米/时，乙车速度 是 40 千米/时，那么，甲车提前了多少分出发（ ）分钟。 A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】C 本题涉及相遇问题。 方法 1：设两车一起走完 A、B 两地所用时间为 x，甲提前了 y 时，则有 （60 40）x 60y（x 30） 40（x30） ，y 50。 方法 2：甲提前走的路程甲乙共同走 30 分钟的路程，那么提前走的时 间为，30（6040）/6050。 例 3.甲、乙二人同时从相距 60 千米的两地同时相向而行，6 小时相遇。 如果二人每小时各多行 1 千米，那么他们相遇的地点距前次相遇点 1 千米。又 知甲的速度比乙的速度快，乙原来的速度为（ ） A. 3km/h B. 4 km/h C. 5 km/h D. 6 km/h 【答案】B 原来两人速度和为 60610 km/h，现在两人相遇时间为 60（102 ）5 小时，设原来乙的速度为 X 千米/时，因乙的速度较慢，则 5（X 1） 6X1，解得 X4。注意：在解决这种问题的时候一定要先判断 谁的速度快。 方法 2：提速后 5 小时比原来的 5 小时多走了 5 千米，比原来的 6 小时多 走了 1 千米，可知原来 1 小时刚好走了 51 4 千米。 二次相遇问题的模型为：甲从 A 地出发，乙从 B 地出发相向而行，两人在 C 地相遇，相遇后甲继续走到 B 地后返回，乙继续走到 A 地后返回，第二次在 12 D 地相遇。则有： 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 例 4.甲乙两车同时从 A、B 两地相向而行，在距 B 地 54 千米处相遇，它 们各自到达对方车站后立即返回，在距 A 地 42 千米处相遇。请问 A、B 两地 相距多少千米？ A. 120 B. 100 C. 90 D. 80 【答案】A 方法 1：设两地相距 x 千米，由题可知，第一次相遇两车共走 了 x，第二次相遇两车共走了 2x，由于速度不变，所以，乙第一次相遇到第二 次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即 542x5442 ，得出 x 120。 方法 2：乙第二次相遇所走路程是第一次的二倍，则有 5424254120。 总之，利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速 解题。 数学运算：排列组合 在行测数量关系中，数学运算所占的比重是很大的，而数学运算包括多种 题型，其中就有时钟问题，河南公务员考试网为广大考生解析排列组合问题解 题技巧等。 排列组合问题是公务员考试数学运算中常见的题型，基本知识点： 1 、排列：从 N 不同元素中，任取 M 个元素（被取元素各不相同）按照一 定的顺序排成一列，叫做从 N 个不同元素中取出 M 个元素的一个排列。 2 、组合：从 N 个不同元素中取出 M 个元素并成一组，叫做从 N 个不同元 素中取出 M 个元素的一个组合（不考虑元素顺序） 3 、分步计数原理（也称乘法原理）：完成一件事，需要分成 n 个步骤， 做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法 做第 n 步有 mn 种不同的方法。那么完成这件事共有 Nm1m2mn 种不同的方法。 13 4、分类计数原理：完成一件事有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不 同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法在第 n 类办法中有 mn 种 不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1+ m2+ mn 种不同的方法。 排列组合部分是难点原因 （1）从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的 抽象思维能力； （2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻 辑关联词和量词）准确理解； （3）计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需 要的思维量较大； （4）计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概 念、原理，并具有较强的分析能力。 两个基本计数原理及应用 （1）加法原理和分类计数法 1.加法原理 2.加法原理的集合形式 3.分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体 方法，互不相同（即分类不重） ；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类 （即分类不漏） （2）乘法原理和分步计数法 1.乘法原理 2.合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n 步才能 完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的 完成此事的方法也不同 例题分析 排列组合思维方法选讲 1.首先明确任务的意义 14 例. 从 1、2、3、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列， 这样的不同等差数列有_个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组 合问题。 设 a,b,c 成等差， 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 决定， 又 2b 是偶数， a,c 同奇或同偶，即：从 1，3，5，19 或 2，4，6，8，20 这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差 数列，因而本题为 C（10,2）*2*2=180 2.注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组 合 例 1.从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的取法有 _。 （A）240 （B ）180 （C）120 （D）60 分析：显然本题应分步解决。 （一）从 6 双中选出一双同色的手套，有 6 种方法； （二）从剩下的十只手套中任选一只，有 10 种方法。 （三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有 8 种方法； （四）由于选取与顺序无关，因而（二） （三）中的选法重复一次，因而共 240 种。 例 2.身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列，在第一行的每一个人都 比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_。 分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一 纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有 C（6.2 ） *C（4.2 ）*C（2.2）=90 种。 例 3.在 11 名工人中，有 5 人只能当钳工，4 人只能当车工，另外 2 人能 当钳工也能当车工。现从 11 人中选出 4 人当钳工，4 人当车工，问共有多少 种不同的选法？ 分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的 15 标准必须前后统一。 以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类 标准。 第一类：这两个人都去当钳工，C（5.2）*C（4.4）=10 第二类：这两人有一个去当钳工， C（2.1）*C（5.3）*C（5.4 ）=100 第三类：这两人都不去当钳工， C（5.4）*C（6.4）=75 因而共有 185 种。 例 4.停车场划一排 12 个停车位置，今有 8 辆车需要停放，要求空车位连 在一起，不同的停车方法是_种。 分析：把空车位看成一个元素，和 8 辆车共九个元素排列，因而共有 P（9.8）种停车方法。 3.特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑 例. 六人站成一排，求 （1）甲不在排头，乙不在排尾的排列数 （2）甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 分析： （1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。 第一类：乙在排头，有 P（5.5）种站法。 第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有 C（4.1 ）C（4.1） P（4.4）种站法， 法 2:P（ 6.6）-P （5.5）*2+P（4.4） （2） 第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。 第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。 第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。 第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。 共 312 种。 法 2:甲乙相邻的排法数 C （4,1）*C （3,1）*2*P（3,3）+P（4,4）+P（4,4 ）=192 16 头尾取非甲乙，乙头，甲尾。 504-192=312 4.捆绑与插空 例 1. 8 人排成一队 （1）甲乙必须相邻 （2）甲乙不相邻 （3）甲乙必须相邻且与丙不相邻 （4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 （5）甲乙不相邻，丙丁不相邻 分析： （1）甲乙必须相邻 ，就是把甲乙捆绑（甲乙可交换） 和 7 人排列 P（7.7）*2 （2）甲乙不相邻 P（8.8）-P （7.7）*2 （3）甲乙必须相邻且与丙不相邻？ 先求甲乙必须相邻且与丙相邻 P（6.6）*2*2 甲乙必须相邻且与丙不相邻 P（7.7）*2-P（6.6）*2*2 （4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 P（6.6）*2*2 （5）甲乙不相邻，丙丁不相邻 P（8.8）-P（7.7）*2*2+P （6.6）*2*2 例 2. 某人射击 8 枪，命中 4 枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的 情况？ 分析： 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空 问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的 5 个空中选出 2 个的排列，即 P（5.2） 。 盈亏问题解题思路点拨 盈亏问题介绍 现在把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如 17 果物体还有剩余，就叫盈;如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一 类算法的应用题就叫盈亏问题。 盈亏问题是一类应用非常普遍的应用题，在省公务员考试中考察的比较多， (所以华图教育特别提示备考省公务员考试的考生，加大这方面的训练)因而非 常有必要分析这类问题的具体解题思路，以便在今年的应考中有一个好的对策。 解盈亏问题常常用到比较法。思路是比较两种不同的做事方法，把盈余数 与不足数之和看作总差数，用每个单位的差去除，就可得到单位的数目，对本 题就是栽树的人数。我们有如下的公式： (盈 +亏)(每个单位的差)= 单位数 (盈一盈)(每个单位的差)=单位数 (亏一亏)(每个单位的差)=单位数 真题讲解 例 1、若干学生住若干房间，如果每间住 4 人则有 20 人没地方住，如果 每间住 8 人则有一间只有 4 人住，问共有多少名学生( ) A.30 人 B.34 人 C.40 人 D.44 人 解析：每间住 4 人，剩余 20 人没地方住;每间住 8 人，有一间缺 4 人没 住满。 我们可以假设这些学生先 4 人一间，然后再每间加 4 人，那么第一次剩余 的 20 人可以分配到 204=5 间，还有一间只有 4 人，可以很容易得到房间为 5+1=6 间，那么总人数为 64+20=44 人。 通过做这道题目，我们可以进一步总结，第一次分配人到房间是盈，第二 次分配人到房间是亏，(盈+ 亏)( 分配方法之差)=房间数。 例 2、单位安排职工到会议室听报告。如果每 3 人坐一条长椅，那么剩下 48 个人没有坐 ;如果每 5 人坐一条长椅，则刚好空出两条长椅。听报告的职工 有多少人? A.128 B.135 C.146 D.152 解析：每 3 人坐一条长椅，剩余 48 人;每 5 人坐一条长椅，缺 10 人没地 18 方坐。 48+10=58 人，58(5-3)=29 条长椅，则人数=(29-2)5=135 人。 当然本题还可以直接用人数能被 5 整除来进行判断，选择 B。 例 3、某单位以箱为单位向困难职工分发救济品，如果有 12 人每人各分 7 箱，其余的每人分 5 箱，则余下 148 箱; 如果有 30 人每人各分 8 箱，其余 的每人分 7 箱，则余下 20 箱。由此推知该单位共有困难职工( ) A.61 人 B.54 人 C.56 人 D.48 人 解析：本题和别的盈亏问题的区别在于，每次的救济品分发的过程中，有 一部分人的分配方法和其他人不同。对于这样的问题，我们要做的是首先统一 分配方法，即所有人采用相同的分配方法。 第一次每人分 5 箱，余下 148+122=172 箱 第二次每人分 7 箱，余下 20+30=50 箱 172-50=122 箱，122(7-5)=61 人。 由解盈亏问题的公式可以看出，求解此类问题的关键是小心确定两次分配 数量的差和盈亏的总额，如果两次分配是一次是有余，另一次是不足时，则依 上面的计算过程，先求得人数(不是物数) ，再求出物数; 如果两次分配都是有余， 则计算过程变成两次剩余差除以两次分配数之差。 有时候，必须转化题目中条件，才能从复杂的数量关系中寻找解答;有时候， 直接从“包含 ”入手比较困难，可以间接从其反面 “不包含” 去想就会比较容易。 带入排除法解题技巧 近几年的河南公务员考试行测试题中，出现越来越多的多元方程组类的题 目，解决这类公务员行测题目往往需要列出 3 元以上的方程组，通过解方程组 可以得出答案。做这类题目的时候，能列出方程组是考生在拿到题目时应该有 的一种本能反应，但是如果老老实实的去解这个方程组，那么会浪费很多的时 间，做这样的题目会觉得得不偿失。 代入排除法 公务员行测考试的最大特点是，题量大，做题时间不够，因而决定了应对 19 公务员行测考试题，我们就不能采用对待填空题和解答题的解法，对待行测考 试题最好的解法是代入排除法，代入排除法是行测解题第一大法，拿到题目之 后第一个想法是能不能用代入排除法解题。 例题讲解 例 1、有四个数，其中每三个数的和分别是 45，46，49 ，52，那么这四 个数中最小的一个数是多少?(2010 年黑龙江省公务员考试行测试卷第 44 题) A. 12 B. 18 C. 36 D. 45 解析：(1)这道题目常见的解法是： 假设四个数分别为 a，b，c，d ，且 a a+b+c=45 a+b+d=46 a+c+d=49 b+c+d=52 进而由以上方程组，我们可以得到，a=(45+46+49+52)/3-52=12 (2)运用代入排除法解题： 题目中已知 4 个数中每 3 个数的和，求解的是其中最小的数是多少? 如果最小的是 18，那么最小的三个数的和最小为 18+19+20=5745， 即答案不可能是 18 或者 18 以上，所以答案选择 A。 例 2、甲、乙、丙、丁四人，其中每三个人的岁数之和分别是 55、58、62、65 。这四个人中年龄最小的是( )(2009 年广东省公务员考试行 测试卷第 8 题) A.7 岁 B.10 岁 C.15 岁 D.18 岁 解析：(1)本题也可以采用列多元方程组就求解; (2)已知 4 个人中每 3 个