高考数学冲刺一轮复习文理第十一章数列

第 十 一 章 、 数 列 第 1 节 数 列 的 基 本 概 念 考 纲 要 求 考 纲 研 读 1 .了 解 数 列 的 概 念 和 几 种 简单 的 表 示 方 法 (列 表 、 图 象 、 通 项 公 式 )2 .了 解 数 列 是 自 变 量 为 正 整 数 的 一 类 函 数 . 1 .数 列 的 通 项 公 式 揭 示 了 项 与 项 数 之 间 的 联系 ， 要 掌 握 求 通 项 公 式 的 常 用 方 法 2 .数 列 是 一 种 特 殊 的 函 数 ， 可 结 合 函 数 的 性质 研 究 数 列 的 性 质 ， 如 研 究 数 列 的 最 大 项 、 通 项 或 前 n 项 和 的 最 值 等 问 题 . 1 数 列 的 定 义按 照 称 为 数 列 ， 数 列 中 的 每 个 数 称 为 该 数 列 的 项 数 列 可 以 看 作 是 定 义 域 为 N* 的 非 空 子 集 的 函 数 ， 其 图 象 是 一 群 孤 立 的 点 2 数 列 的 表 示 方 法 、 、 、 3 数 列 的 分 类 (1 )数 列 按 项 数 的 多 少 分 为 ： 有 穷 数 列 ， 无 穷 数 列 (2 )数 列 按 前 后 项 的 大 小 来 分 ： 递 增 数 列 ： 对 于 任 何 n N* ， 均 有 ； 递 减 数 列 ： 对 于 任 何 n N* ， 均 有 ； 摆 动 数 列 ： 例 如 ： 1 ,1 ， 1 ,1 ， 1 ， ； 常 数 数 列 ： 例 如 ： 6 ,6 ,6 ,6 ， . 4 通 项 公 式如 果 数 列 a n 的 第 n 项 与 之 间 可 以 用 一 个 式 子 表 示 ， 那 么 这 个 公 式 叫 做 这 个 数 列 的 通 项 公 式 ， 即 a n f(n ) 并 不 是 每 个 数 列 都 有 通 项 公 式 ， 有 通 项 公 式 的 数 列 ， 其 通 项 公 式 也 不 一 定 唯 一 5 递 推 公 式 如 果 已 知 数 列 a n 的 第 一 项 (或 前 几 项 )， 且 任 何 一 项 a n 与 它 的 前 一 项 a n 1 (或 前 几 项 )间 的 关 系 可 以 用 一 个 式 子 来 表 示 ， 即 a n f(a n 1 )或 a n f(a n 1 ， a n 2 )， 那 么 这 个 式 子 叫 做 数 列 a n 的 递 推 公 式 如 数 列 a n 中 ， a 1 1 ， a n 2 a n 1 1 ， 其 中 a n 2 a n 1 1 是 数 列 a n 的 递 推 公 式 6 数 列 的 前 n 项 和 与 通 项 的 公 式 (1 ) Sn . (2 ) a n . 1 数 列 1 ,2 ,4 ,8 ,1 6 ,3 2 ， 的 一 个 通 项 公 式 是 ( )A a n 2 n 1 B a n 2 n 1C a n 2 n D a n 2 n 12 数 列 2 ,5 ,1 1 ,2 0 ， x ,4 7 ， 中 的 x 等 于 ( ) A 2 8 B 3 2 C 3 3 D 2 73 已 知 数 列 a n 的 前 六 项 为 1 ,1 2 ,1 6 ,1 1 2 ,1 2 0 ， ， 则 该 数 列 的一 个 通 项 公 式 ( ) A 1 n (n 1 ) B 1 2 n C 1 n (n 1 ) D 以 上 都 不 是4 下 列 对 数 列 的 理 解 有 四 种 ： 数 列 可 以 看 成 一 个 定 义 在 N* (或 它 的 有 限 子 集 1 ,2 ,3 ， ， n )上 的 函数 ； 数 列 的 项 数 是 有 限 的 ； 数 列 若 用 图 象 表 示 ， 从 图 象 上 看 都 是 一 群 孤 立 的 点 ； 数 列 的 通 项 公 式 是 唯 一 的 其 中 说 法 正 确 的 是 (填 序 号 ) 5 如 图 1 1 1 1 ， 第 一 个 图 中 有 1 个 ， 第 二 个 图 中 有 3 个 ， 第 三 个 图中 有 7 个 .按 照 此 规 律 ， 第 5 个 图 中 的 数 目 是 . 图 1 1 1 1 1 . (四 川 )数 列 a n 的 前 n 项 和 为 Sn ， 若 a 1 1 ， a n 1 3 Sn (n 1 )， 则 a6 ( ) A 3 4 4 B 3 4 C 4 4 D 4 52 . 数 列 a n 的 构 成 法 则 如 下 ： a 1 1 ， 如 果 a n 2 为 自 然 数 且 该 自 然 数之 前 未 出 现 过 ， 则 用 递 推 公 式 a n 1 a n 2 ， 否 则 用 递 推 公 式 a n 1 3 a n ， 则 a6 _ _ _ _ _ . 1 根 据 数 列 的 前 几 项 ， 用 归 纳 法 写 出 一 个 通 项 公 式 ， 体 现 了 由 特 殊 到一 般 的 思 想 方 法 ， 考 查 了 基 本 的 数 学 分 析 能 力 和 观 察 能 力 熟 知 一 些 常 见 数 列 的 通 项 公 式 可 起 到 事 半 功 倍 的 效 果 一 般 步 骤 为 ：(1 )分 数 中 的 分 子 与 分 母 的 特 点 ； (2 )相 邻 项 的 变 化 规 律 ； (3 )各 项 的 符 号 特 征 ；(4 )拆 项 后 的 变 化 规 律 ， 并 对 此 进 行 归 纳 、 化 归 、 展 开 联 想 2 由 S n 求 a n 时 利 用 公 式 a n ， 注 意 验 证 a 1 是 否 包 含 在 S n S n 1 的 结 果 中 ， 若 不 符 合 要 单 独 列 出 ， 形 如 f(S n ， a n ， n ) 0 的 递 推 关 系 式 ， 一 般 考 虑 上 述 公 式 3 求 数 列 中 最 大 (最 小 )项 的 方 法(1 )若 a n 最 大 ， 则 若 a n 最 小 ， 则(2 )考 虑 数 列 的 单 调 性 认 真 听 讲 ， 做 好 笔 记 ： 第 2 节 等 差 数 列 考 纲 要 求 考 纲 研 读 1 .理 解 等 差 数 列 的 概 念 2 .掌 握 等 差 数 列 的 通 项 公 式 与 前 n 项 和 公 式 ； 并 能 运 用 有 关 知 识 解 决相 应 问 题 . 3 .能 在 具 体 的 问 题 情 境 中 识 别 数 列的 等 差 关 系 ， 并 能 用 有 关 知 识 解 决 相 应 的 问 题 4 .了 解 等 差 数 列 与 一 次 函 数 的 关 系 . 1 .理 解 等 差 数 列 的 概 念 ， 会 用 定 义 证明 一 个 数 列 是 等 差 数 列 2 .能 利 用 等 差 中 项 、 通 项 公 式 与 前 n项 和 公 式 列 方 程 求 值 3 .善 于 识 别 数 列 中 等 差 关 系 或 转 化 为等 差 关 系 ； 能 利 用 通 项 公 式 或 前 n 项 和 公 式 求 最 值 . 1 等 差 数 列 的 概 念如 果 一 个 数 列 从 第 二 项 起 ， 每 一 项 与 它 前 一 项 的 差 等 于 同 一 个 常 数 d ， 这 个 数 列 叫 做 等 差 数 列 ， 常 数 d 称 为 等 差 数 列 的 公 差 2 通 项 公 式 与 前 n 项 和 公 式 a 1 为 首 项 ， d 为 公 差 ，(1 )通 项 公 式 a n ；(2 )前 n 项 和 公 式 S n 或 . 3 等 差 中 项 如 果 a ， A， b 成 等 差 数 列 ， 那 么 A 叫 做 a 与 b 的 等 差 中 项 即 ： A 是 a与 b 的 等 差 中 项2 A a ， A， b 成 等 差 数 列 4 等 差 数 列 的 常 用 性 质 (1 )数 列 a n 是 等 差 数 列 ， 则 数 列 a n p 、 p a n (p 是 常 数 )都 是 等 差 数 列 (2 )若 m n p q (m， n ， p ， q N* )， 则 a m a n a p a q ； 特 别 地 ， 若m n 2 p (m， n ， p N* )， 则 a m a n 2 a p .(4 )若 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 Sn ， 则 Sk ， S2 k Sk ， S3 k S2 k ， S4 k S 3 k 是 等 差 数 列 (5 )等 差 数 列 的 单 调 性 ： 若 公 差 d 0 ， 则 数 列 单 调 递 增 ； 若 公 差 d 0 ， 公 比 q 1 或 首 项 a1 0 ， 公 比 0 1 时 ， 数 列 a n 单 调 递 减 ； 若 公 比 q 1 ， 数 列 a n 为 常 数 列 ； 若 公 比 q 0 ， 数 列 a n 为 摆 动 数 列 1 M 是 a ， M， b 成 等 比 数 列 的 ( )A 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件 C 充 分 必 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件2 已 知 等 比 数 列 a n 的 前 三 项 依 次 为 a 1 ， a 1 ， a 4 ， 则 a n ( ) A B C D 3 设 等 比 数 列 a n 的 公 比 q 2 ， 前 n 项 和 为 S n ， 则 ( ) A 2 B 4 C D4 (广 州 调 研 )等 比 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 Sn ， 若 S2 6 ， S4 3 0 ， 则 S6 . 5 等 比 数 列 a n 中 ， a3 7 ， 前 3 项 之 和 S3 2 1 ， 则 公 比 q 的 值 为 . 1 .(北 京 )已 知 a n 为 等 差 数 列 ， 且 a 3 6 ， a6 0 . (1 )求 a n 的 通 项 公 式 ； (2 )若 等 比 数 列 b n 满 足 b 1 8 ， b 2 a 1 a 2 a 3 ， 求 b n 的 前 n 项 和 公 式 2 . (广 东 )已 知 an 是 递 增 的 等 比 数 列 ， 若 a 2 2 ， a 4 a 3 4 ， 则 此 数 列 的 公 比 q _ _ _ .3 . (辽 宁 )设 S n 为 等 比 数 列 a n 的 前 n 项 和 ， 已 知 3 S3 a 4 2 ,3 S2 a 3 2 ， 则 公 比 q ( ) A.3 B.4 C.5 D.64 . (全 国 )设 等 比 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 Sn ， 已 知 a 2 6 ,6 a 1 a 3 3 0 ，求 a n 和 Sn . 5 . (北 京 )在 等 比 数 列 a n 中 ， 若 a 1 ， a 4 4 ， 则 公 比 q _ _ ； a 1 a 2 a n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 6 . (广 东 )已 知 数 列 a n 为 等 比 数 列 ， Sn 是 它 的 前 n 项 和 ， 若 a 2 a 3 2 a 1 ， 且 a 4 与 2 a 7 的 等 差 中 项 为 ， 则 S5 ( ) A.3 5 B.3 3 C.3 1 D.2 9 7 . (安 庆 模 拟 )在 等 比 数 列 a n 中 ， a 2 ， a 1 0 是 方 程 x 2 8 x 4 0 的 两 根 ， 则 a 6 为 ( ) A. -2 B.2 C.2 D4 1 等 比 数 列 的 判 定 方 法 (1 )定 义 法 ： q (n N* ， q 0 是 常 数 )a n 是 等 比 数 列 (2 )中 项 法 ： a a n a n 2 (n N* )且 a n 0a n 是 等 比 数 列 2 解 决 与 等 比 数 列 有 关 问 题 时 常 见 的 思 想 方 法 (1 )函 数 思 想 ： 在 等 比 数 列 中 a n q n ， 它 的 各 项 是 该 函 数 图 象 上 的 一 群 孤 立 的 点 (2 )方 程 思 想 ： 准 确 分 析 a 1 ， q ， a n ， S n ， n 之 间 的 关 系 ， 通 过 列 方 程 (组 )可 做 到 “知 三 求 二 ” (3 )整 体 思 想 ： 在 应 用 等 比 数 列 a n 的 性 质 “若 m n p q (m， n ， p ， q N* )， 则 a ma n a p a q ”或 用 “S n q n ”时 ， 要 会 用 整 体 思 想 进 行 代 换 (将 视 为 一 个 整 体 )(4 )类 比 思 想 ： 等 差 数 列 中 的 “和 ”、 “倍 数 ”可 以 与 等 比 数 列 中 的 “积 ”“幂 ”相 类 比 关 注 它 们 之 间 的 异 同 有 助 于 类 比 思 想 的 推 广 ， 更 有利 于 我 们 从 整 体 上 把 握 ， 使 我 们 的 学 习 达 到 事 半 功 倍 的 效 果 认 真 听 讲 ， 做 好 笔 记 ： 第 4 节 数 列 的 求 和 考 纲 要 求 考 纲 研 读 1 .掌 握 等 差 数 列 、 等 比 数 列的 求 和 公 式 2 .了 解 一 般 数 列 求 和 的 几 种方 法 . 对 等 差 、 等 比 数 列 的 求 和 以 考 查 公 式 为主 ， 对 非 等 差 、 非 等 比 数 列 的 求 和 ， 主 要 考 查 分 组 求 和 、 裂 项 相 消 、 错 位 相 减 等 方 法 . 数 列 求 和 常 用 的 方 法1 公 式 法 (1 )等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 公 式 ： S n (2 )等 比 数 列 an 的 前 n 项 和 Sn ： 当 q 1 时 ， Sn ； 当 q 1 时 ， Sn . 2 分 组 求 和 法把 一 个 数 列 分 成 几 个 可 以 直 接 求 和 的 数 列 3 错 位 相 减 法适 用 于 一 个 等 差 数 列 和 等 比 数 列 对 应 项 相 乘 构 成 的 数 列 求 和 4 裂 项 相 消 法有 时 把 一 个 数 列 的 通 项 公 式 分 成 两 项 差 的 形 式 ， 相 加 过 程 消 去 中 间 项 ， 只 剩 有 限 项 再 求 和 1 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 S n ， 若 a n ， 则 S 5 等 于 ( ) A 1 B C D2 若 等 差 数 列 a n 中 ， a3 a4 a5 2 ， a4 a5 a6 5 ， 则 a8 a9 a1 0 ( ) A 1 6 B 1 7 C 1 8 D 1 9 3 若 数 列 a n 满 足 ： a 1 1 ， a n 1 2 a n (n N* )， 则 a 5 ， 前 8 项 的 和 S 8 (用 数 字 作 答 ) 4 数 列 1 ， 2 ， 3 ， ， ， 的 前 n 项 和 S n . 5 数 列 a n 的 通 项 公 式 a n ， 若 前 n 项 的 和 为 1 0 ， 则 项 数 n . 1 . (重 庆 )设 an 是 公 比 为 正 数 的 等 比 数 列 ， a 1 2 ， a 3 a 2 4 . (1 )求 a n 的 通 项 公 式 ； (2 )设 b n 是 首 项 为 1 ， 公 差 为 2 的 等 差 数 列 ， 求 数 列 a n b n 的 前 n 项 和 Sn .【 利 用 公 式 或 分 组 法 求 和 法 】 2 .(全 国 )已 知 等 比 数 列 a n 各 项 均 为 正 数 ， 且 2 a 1 3 a 2 1 ， a 9 a 2 a 6 . (1 )求 数 列 a n 的 通 项 公 式 ； (2 )设 b n lo g 3 a 1 lo g 3 a 2 lo g 3 a 3 lo g 3 a n ， 求 数 列 的 前 n 项 和 【 裂 项 相 消 法 求 和 法 】 3 .(辽 宁 )已 知 等 差 数 列 a n 满 足 a 2 0 ， a 6 a 8 1 0 . (1 )求 数 列 a n 的 通 项 公 式 ； (2 )求 数 列 的 前 n 项 和 【 错 位 相 减 法 求 和 法 】 1 对 于 一 般 数 列 的 求 和 ， 通 常 化 归 为 等 差 、 等 比 数 列 的 求 和 ， 以 考 查公 式 为 主 由 于 数 列 求 和 是 由 通 项 公 式 决 定 的 ， 因 此 ， 从 寻 找 数 列 的 通 项 公 式 入 手 ， 通 过 研 究 它 的 特 点 确 定 使 用 的 方 法 是 解 决 求 和 问 题 的 关键 2 数 列 求 和 常 见 类 型 及 方 法 (1 )a n k n b 型 ， 利 用 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 直 接 求 解 (2 )a n a1 q n 1 型 ， 利 用 等 比 数 列 的 前 n 项 和 直 接 求 解 ， 但 要 注 意 对 q 分 q 1 与 q 1 两 种 情 况 进 行 讨 论 (3 )a n b n cn ， 数 列 b n 、 cn 是 等 比 数 列 或 是 等 差 数 列 ， 采 用 分 组 求 和 (4 )a n b n cn ， 数 列 b n 是 等 差 数 列 ， cn 是 等 比 数 列 ， 采 用 错 位 相 减 法求 和 (5 )对 于 通 项 可 化 为 a n f f(n 1 )形 式 的 数 列 ， 采 用 裂 项 相 消 法 求 和 (6 )对 于 a n k a k c(c为 常 数 )， 可 考 虑 采 用 倒 序 相 加 求 和 (7 )a n n f， 可 采 用 相 邻 两 项 合 并 求 解 ， 即 采 用 “并 项 法 ”求 和 认 真 听 讲 ， 做 好 笔 记 ： 第 5 节 利 用 几 类 经 典 的 递 推 关 系 式 求 通 项 公 式 考 纲 要 求 考 纲 研 读 1 .了 解 用 通 项 公 式 表 示 数 列 的 方 法 2 .掌 握 等 差 数 列 、 等 比 数 列 的 通 项 公 式 3 .能 用 等 差 数 列 、 等 比 数 列 的 基 本 思 想 求 其 他 数 列 的 通 项 公 式 . 1 .掌 握 等 差 数 列 、 等 比 数 列 的 通 项公 式 是 基 础 2 .能 用 累 差 、 累 商 的 方 法 求 通 项 公式 3 .能 利 用 待 定 系 数 法 求 几 类 经 典 的递 推 关 系 式 的 通 项 公 式 . 数 列 通 项 的 常 用 方 法(1 )利 用 观 察 法 求 数 列 的 通 项 (2 )利 用 公 式 法 求 数 列 的 通 项 ： 等 差 、 等 比 数 列 a n 的 通 项 公 式 ； a n (3 )应 用 迭 加 (迭 乘 、 迭 代 )法 求 数 列 的 通 项 ： a n 1 a n f(n )； a n 1 a n f(n ) (4 )构 造 等 差 、 等 比 数 列 求 通 项 ： a n 1 p a n q ； a n 1 p a n q n ； a n 1 p a n f(n )； a n 2 p a n 1 q a n . 1 数 列 a n 中 ， a 1 1 ， 对 所 有 的 n 2 都 有 a 1 a 2 a 3 a n n 2 ， 则 a 3 等 于 ( )A. B. C. D. 2 在 数 列 a n 中 ， 若 a n 1 ， a 1 1 ， 则 a 6 ( ) A 1 3 B C 1 1 D3 已 知 等 差 数 列 a n 和 等 比 数 列 b n 各 项 都 是 正 数 ， 且 a 1 b 1 ， a 2 n 1 b 2 n 1 ， 那 么 一 定 有 ( ) A a n 1 b n 1 B a n 1 b n 1C a n 1 b n 1 D a n 1 b n 14 已 知 等 差 数 列 a n 的 前 三 项 分 别 为 a 1 ,2 a 1 ， a 7 ， 则 这 个 数 列的 通 项 公 式 为 . 5 设 等 差 数 列 a n 的 前 n