数字信号处理DSP刘兴钊习题答案完整版

1 习题详解 第1章 单项选择题（ 1-1 1-10 题） 1-1 关于序列 x n 的自相关 * xx k rn xkxkn = =+ ，错误的是 （ D） （ A） 0 xx rE= ， E 是序列的能量 ； （ B） * x n 的自相关等于 x n 的自相关； （ C） x nm 的自相关等于 x n 的自相关， m 是任意整数； （ D） xx xx rnrn= 。 解： （ A） * 0 0 xx k rxkxkE = =+= （ B） x k 共轭翻褶再左移 n得到 * ( )x kn+ * * ( ) x xn kk rn xkxnk xknxkrn = = =+= + = （ C） ( ) ( ) xn m xn rn xkmxknm xkxknrn = = + += （ D） * xx xx kk rn xkxnk xknxkrn = = = += + = 若 x n 是实序列则自相关偶对称 1-2 序列 11 5cos( ) 63 xn n = 的周期是 （ A） （ A） 12 （ B） 11 （ C） 12/1 （ D） 6 解： 212 11 11 6 = ，所以周期 12 1-3 下列系统因果且稳定的是 （ B） （ A） 2 n Txn xn= （ B） 1Txn xn un= + （ C） 10 log Txn xn= （ D） 5 5 n kn Txn xk + = = 1-4 下列系统线性且时不变的是 （ B） （ A） 0 n kn Txn xk = = （ B） 0 0 nn knn Txn xk + = = （ C） 0.5 x n Txn = （ D） Txn x n= 1-5 有一系统输入为 x n ，输出为 yn，满足关系 ( 2)yn xn un un= + ，则系统是（ A） （ A）线性的 （ B）时不变的 （ C）因果的 （ D）稳定的 解： 2 ( ) 12 12 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ()1(1) 1(1)1 var () 2 k A T ax n bx n ax n bx n h n u n a x n h n u n b x n h n u n aT x n bT x n linear BT xn xn hn un yn xn hn un time iant Cyn xn kuk = +=+ = + = + = = =+ 2 ( 2 .) , () k un x n k u n x n u n non causal D unstable = =+ 1-6 LTI 系统的单位脉冲响应如下，因果且稳定的是 （ C） （ A） 2 nunh n = （B） 1 = nuanh n （ C） )5.0cos( 10 nRnnh = （D） 2 2hn un un= + 1-7 关于 LTI 系统，以下说法正确的是 （ C） （ A） IIR 不能实现； （ B） IIR 是非因果系统； （ C） IIR 不一定稳定； （ D） IIR 不如 FIR 好。 1-8 有一系统，其输入 x n 和输出 y n 按图 T1-1 所示方框图关联。其中 hn是因果稳定的 LTI 系统的单位脉冲响应。则整个系统不是 （ B） (A)线性的 (B)时不变的 (C)稳定的 (D)因果的 0 j n e 图 T1-1 解： () () 0 0 0 00 0 12 12 12 00 () 00 , , var , ( ) , jn jn jn jnn jn yn xne hn Taxn bxn axn bxn e hn aT x n bT x n linear Txn n xn ne hn yn n xn n e hn time iant if x n finite then x n e finite then y = +=+ =+ = = () 00 (1) , 0 1 1 ., jn j n n finite stable yn xne h xn e h causal =+ 1-9 设 LTI 系统的单位脉冲响应 hn和输入序列 x n 如图 T1-2 所示，则输出样本正确的是 （ D） -2 -1 0 1 xn 2 -1 hn 1 2 1 0.5 0 1 2 图 T1-2 3 （ A） 2 1y = （ B） 1 2y = （ C） 0 3y = （ D） 1 5.5y = 解： 2 20 2yxh= = 1 10 21 1yxhxh= + = 0 0 0 1 1 2 2 3.5yxhxhxh=+ = 1 1 0 0 1 1 2 2 3 5.5yxhxhxhxh+= 1-10 关于 LTI 系统的实现，以下说法错误的是 （ C） （ A） FIR 可以采用卷积和实现； （ B） FIR 可以采用有递归的差分方程实现； （ C） IIR 可以采用卷积和实现； （ D） IIR 可以采用有递归的差分方程实现。 填空题（ 1-11 1-15 题） 1-11 用 n 的移位加权和表示图 T1-3 所示序列 x n = 2 1 2nn n +。 xn 图 T1-3 1-12 设 yn xn hn=，则 23xn hn = 5yn （用 yn表示） 。 1-13 有限长序列 x n 的非零区间是 09n 和 30 39n ， yn的非零区间是 10 19n ， 则 nxnyn =的非零区间是 10 28n 和 40 58n 。 1-14 已知回声系统的输入输出关系 0 nnxanxny += ，系统的单位脉冲响应 hn= 0 nann +，单位阶跃响应 s n = 0 un aun n+ 。 1-15 线性常系数差分方程为 1 1 2 4 yn yn yn xn+ = ，设输入是 x nn= ，初始条件是 0yn= ， 0n，求系统的单位阶跃响应； （ c）证明：如果系统稳定，则单位阶跃响应有界。 解： （ a） * ( 1)* 1hn n hn un un hn sn sn= （ b）图解法或解析法 1 0 1 1 1 0, 1 1 0, 1 ,0 1 1 ,0 1 k k nn k k k k n sn au kun k a nsn a a nsn a a a n a sn n a = = = = = = （ c） , | , | n nkk stable h n s n h n u n h k u n k h k h n = = = = (B) 0|za （C） 3 () (2 1)(2 ) z Xz zz = , 2z （D） 3 () (2 1)(2 ) z Xz zz = , 1 2 2 z ，则 5xn 的z变换和ROC是 （D） （A） 5 (1 / ), 1 /zX zz a （B） 5 (1 / ), 1 /zX z z a （C） 5 (1 / ), 1 /zX zz a 。 2-10 不需求出 ()X z ，直接写出下列序列 z 变换的ROC。 14 （a） 1, 10 5 0, n xn = 其它 的ROC是 0|z 。 解： 2 2 00 0 1 () 2 2 ,| | 1 1 nnk nk kn k Xz n k z n kz z z z = = = = = = = 2-13 11 ( ) (1 2 )(1 3 )(1 )Xz z z z = + 的反变换为 x n = 2 1 3 8 1 3 2nnnn + + 。 2-14 已 知 序 列 x n 的z变换是 ()X z ，其零点和极点分别是 , 0,1,., 1 , 0,1,., 1 kk ck N dk M=和 。则序列 (1) n yn xn= 的z变换 ()Yz= ()Xz (用 ()X z 表示)，零点是 , 0,1,., 1 k ck N= ，极点是 , 0,1,., 1 k dk M= - 。 解： ()() (1) ( ) n nn nn Yz xnz xn z X z = = = = = 2-15某序列 x n 的z变换为 1 1 51 () 1 13 1 2 Xz z z =+ ， 收敛域包括单位圆。 则其 0x 的值为5 。 解： 1 1 1 0 1 51 () ,1/2 | | 3 1 13 1 2 51 0 lim lim 5 1 13 1 2 zz Xz z z z x z z =+ 。 （b） ( )( ) 11 12 12 11 12 1 12 () 25 43 1 11 12 34 zz zz Xz zz zz + + = + 零点：1，-2；极点：4/3，3/4； 3/4 | | 4/3z ，右边序列。 2-19 利用 z变换的性质求下列序列的 z 变换，并画出零极点图和收敛域。 (a) ( ) 0.3 0.5 n j N x neRn = (b) ,0 2 , 1 2 0, nnN x nNnNnN =+ 其他 解： （a) () () () 0.3 1 0.3 0.3 1 0.3 1 2 0.3 1 2 / 0.3 2 /0.3 2 / 10.5 () , 0.5 10.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 , 0,1,. 1 10 N j j j N j jk j jkN jkNjjkN ez Xz z e ez ez e eze zee e k N Nz = = = = = 极点： 零点： ， 第一个零点与极点抵消，还有 阶极点 所以： ( )0.3 2 / 0( 1 ), 0.5 , 1,. 1 jkN zN z e k N = = = 极点 阶 零点 所以 ROC |0z (b) 22 1 121 2/ 111 1, () ,| | 0 0(2 2 , (2 , 1,2,. 1 NN NN N jkN zz xn R n R n X z z z zzz zN ze k N = = = = = 极点 阶)零点 阶) 16 2-20 利用 z变换的性质求下列序列的 z 变换及ROC。 (a) (1/2) 2 n xn n un= （b） 0 cos( )x n n nun= ，其中 0 为常数； （c） (1/4) n xn n= 。 解： （a） 1 2 1 1 2 2 21 1 1 (1 / 2) , | | 1 / 2 1(1/2) (1 / 4) (1 / 2) 2 1(1/2) 1 1 (1 / 4) 1 4 () , 1/2 1(1/2) 2 1 1 2 z n z n un z z z un z z dz Xz z z z dz z z = = (b) 设 0 cos( )y nnun= ,则 1 0 12 0 1cos 12 cos z Yz zz = + 而 x nnyn= ，所以 () 3 00 2 12 0 cos 2 cos() () 12 cos zdY z Xz z dz zz + = = + , 1z （c） 11 () () 4 1 44 n nn xn n n un n u n= i 1 1 111 () , 1 1 4 1 4 1 , 4 14 zn zn un z z un z z = （b） 33 1 () , 1 X zza az = （c） 1 5 1 1 2 () , 1 1 z Xz z z = 解： （a） 2 11 0 11 1 1 () , ( ) ) 2 21 1 2 nn k k X zxnaunan az az = =+=+ + （b） 3 0 3 k k x nank = = （c） 00 1 5 1 5 2 kk x nnk nk = = 2-22 用长除法求以下 z反变换。 (a) 1/3 3 1 () , 2 1 1 2 Xz z z = （b） 1 1 1 1 3 () , 1 1 3 z Xz xn z = + 为右边序列 （c） 1 12 () , 2 (1 2 ) z Xz z z = 解 （a）参照 2-21（b）解答，或用长除法 /3 0 1 , 0,3,6,. 1 3 2 2 0, n k k n x nn = = = 其它 （b）方法 1： 1 111 1 1 2 333 3 nn n x nun un un = = 方法 2：长除法 18 （c）根据收敛域判断是因果序列，因而 ()X z 分子分母应按 z 的降幂或 1 z 的升幂排列，进行 长除： 12 3 4 5 121 4123280. 14 4 zzzzz zzz + + + + + 123 23 44 44 zzz zz + 234 34 41616 12 16 zzz zz + 345 45 12 48 48 32 48 zzz zz + 567 67 32 128 128 80 128 zzz zz + null 所以 4 01 12 23 34 1 1 () 12 22 32 42 2 nn n X zz z z z z = = + + + + = null 由此得到 1 2 1 n xn n un = 2-23 序列 1 1 2 n x nun = , 2 3 1 n xn u n=，利用 z 变换求以下序列。 （a） 12 3 1yn x n x n=+ （b） 12 k y nxkxkn = = + 解： （a） 19 11 1 22 1 3 12 1 1 3 2 11 11 () ,| | 1 1 2 1 3 1 () ,| | 3 13 1 3 ,| ,1 ,|3 1 213 1 2 1/5 6/5 () 13 13 22 11 52 n n xn un X z z z xn u n X z z z zz xn z xn z z z zz Yz z zz yn = = = + 因果，所以零点： 极点： ， （a） 3 () (), 3 03 -1, 4 ; 0 2 ,3/ 41/ 2 ,-1/ 2 ; :| | 3/ 4 Yz z Xz z z jjROCz = = 新增零点 （ 阶），新增极点 （ 阶），与原来的零点抵消掉1阶 所以零点： （ 阶）极点： （阶） ， (b) 20 () (1/ ), 0,-1, ; 4 / 3 2 ,-2 ; :| | 4 / 3 Yz X z jjROCz = 零点极点变成原来的共轭 零点： 极点： ， (e) () ( /0.2), 0,-0.2, ; 3/ 20 1/10 ,-1/10 ; :| | 3/ 20 Yz Xz jjROCz = 零点极点变成原来的0.2倍 零点： 极点： ， *2-25 已知 x n 是因果序列，其 z 变换为 ()X z ，收敛域为 |za ，且 ()X z 在 1z = 处没有零 点。考虑序列 0 n m y nxm = = ，用 ()X z 表示其 z 变换 ()Yz，并写出收敛域。 解： 0 n m y nxmxnun = = ，所以 () () 1 z Yz Xz z = ，z=1 新增了一个极点，所以 max(1,| |)za 解法2： 000 ()() () nn n mnm y nxm xmz = = ZZ 由于是因果序列的累加，故有 n0。改变求和次序，可得 1 00 0 () () () 1 mnn n n mmnmm z xm xm z xm z = = Z 1 0 1 () 1 n m m x mz z = = 1 1 () (), max(| |,1) 11 z xn Xz z a zz = Z *2-26 利用序列的线性加权性质求解本题。 （a）证明 2 dd () dd Z nxn z z Xz zz = ； （b）求 2 n x nnaun= 的 z变换； （c）求 2 ( 1) 1xn n un= 的 z变换； （d）求 2 ( 1)( 3) ( 4)xn n un un un un=+ 的 z变换。 证明： （a） 2 ddd ( )Z nxn Znnxn z Znxn z z Xz zz = = = 2 2 2 dd () ()zXzzXz zz =+ （b） 21 ROC 改成 |za （c） |1z （d） （c）和（d）中大写 Z改成小写 z *2-27 设因果序列 gn的z变换为 112 () sin( )(1 2 3 )Gz z z z =+，求出 11g 的值。 解： 124 35791 4 () sin( )(1 2 3 ) 3! 5! 7! 9! 11! n n Gz z z z zzzzz zz gnz =+ =+ + + = null 22 123 11 11!9!7! g = + MATLAB 上机题（2-282-30） 2-28 已知z变换 1 12 1 1 2 () 12 3 z Xz z z = + ，ROC包括单位圆。 （a）求零点和极点； （b）画出零点和极点图； （c）画出 ()X z 在单位圆上的函数值（包括幅度和相位） 。 提示：可以调用的函数有 tf2zp（） 、zplane（）和 freqz（）等。 解： B=1,- 0.5; A=1,2,3; z,p,k=tf2zp(B,A); figure; zplane(B,A); figure; freqz(B,A); 输出：z = 0.5000 ；p =-1.0000 + 1.4142i， - 1.0000 - 1.4142i；k = 1 23 2-29 已知因果序列 x n 的z变换 11 11 () ,| | 0.5 1 0.5 1 0.2 Xz z zz = ，画出序列 x n 的前 20 个样本。 提示：可以调用的函数有 impz（）等。 解：B1=1; A1=1 -0.5; B2=1; A2=1,-0.2; x1,n1=impz(B1,A1,20); x2,n2= impz(B2,A2,20); x=x1-x2; stem(n1,x); 2-30 将以下z 变换分解成部分分式形式 1 12 1 1 11 2 () , 31 42 1 48 z Xz z zz = 的反变换 xn= 3 1 3 k k ank = + 。 解： （a） ( ) (1 0.5 )(1 2 ) 1 0.5 2 1 2 1 2 0.5 1 jjjjj Xe e e e e xn n n n = = + = + + （b） ()()() 22 44 ( ) sin(2 ) sin( 4 ) cos( ) 222 111 44 22 11 222 jj jjjj j ee e eee Xe jj xn n n n n n n jj + =+= + + = + + + 27 （c） 33 33 33 33 66 99 33 3 369 3 1 1 () ,|1 |, 1 1 1 3 6 9 12 3 j j j jjjj j k k Xe a ROC z a ae ae ae ae ae ae ae xn a n a n a n a n ank = = + 和 11 () , 3 (1 0.2 )(1 3 ) 5 Xz z zz = （D） 1 5 z 4-2 下列LTI 系统是IIR系统的是 （D） （A）差分方程为 15yn yn xn xn=+； （B）单位脉冲响应为 2 10 nn hn aun aun=+； （C）系统函数为 0.61 0.61 0.81 0.81 ( ) (1 0.3 )(1 0.3 )(1 1.2 )(1 1.2 ) jjjj H zezezezez = （D）系统函数的零点极点图如图 T4-1 所示。 图T4-1 图T4-2 4-3 若一个 LTI 系统的系统函数有如图 T4-2 所示的零极点，并且系统是因果的，则关于其逆 系统，正确的说法是（提示：零点极点个数相同） （C） （A）因果稳定 (B)因果不稳定 (C)稳定非因果 (D)非因果，不稳定 解：无穷远还又一个零点。逆系统的 ROC 是圆外部，但不包括无穷远，非因果 4-4 已知二阶差分系统的差分方程 2 1 2yn xn xn xn= +，该系统是 （B） （A）低通滤波器 （B）高通滤波器 （C）带通滤波器 （D）带阻滤波器 解：z=1 有零点，采用几何法判断是高通。 4-5 已知LTI系统 1 的差分方程是 0.5 1yn xn yn= +，其频率响应为 1 () j He ，LTI 系统 2 的频率响应满足 21 () ( ) jj He H e =，则系统 2 是 （B） （A）低通滤波器 （B）高通滤波器 （C）带通滤波器 （D）带阻滤波器 解：就系统极点在 0.5z = ,新系统 21 () ( )Hz H z= ,极点在 0.5z = ，几何法确定是高通。 4-6 下列系统函数代表的不是全通系统的是 （D） （A） 1 1 12 () 10.5 z Hz z = （B） 2 2 9 () 19 z Hz z = 40 （C） 2 ()Hz z = （D） 2 1 4 () 10.5 z Hz z = 解： （C）是理想延迟系统 4-7 以下系统函数中是最小相位系统的是 （C） （A） 11 1 (1 3 )(1 0.5 ) () (1 0.2 )(1 0.2 ) zz Hz + = （B） 11 2 11 1(1 ) 1(1 ) () (1 0.6 )(1 0.6 ) j zjz Hz zz + = + （C） 1 3 11 (1 0.2 ) () (1 0.5 )(1 0.5 ) z Hz j zjz = + （D） 11 4 (1 0.2 ) () (1 0.5 )(1 0.5 ) zz Hz = + 解： （C）1+j在单位圆以外； （D）有零点在无穷远。 4-8 以下说法错误的是 （B） (A)最小相位系统的级联也是最小相位系统；(B)最小相位系统的并联也是最小相位系统； （C）最小相位系统的逆系统也是最小相位系统； （D）全通系统的级联也是全通系统。 4-9 以下说法错误的是 （B） （A）广义线性相位系统级联是广义线性相位系统； （B）广义线性相位系统并联是广义线性相位系统； （C）零相位系统级联一定是线性相位系统； （D）零相位系统并联一定是线性相位系统。 4-10 可以采用四类线性相位 FIR 系统中任意一种实现的选频滤波器是 （C） （A）低通 （B）高通 （C）带通 (D)带阻 填空题（4-11 题4-20 题） 4-11 已知 LTI 系统的输入和输出的 z变换分别为 1 11 () , 1 4 1 4 Xz z z = ， 如果另一个系统稳定，且只有一个极点，则其系统函数 2 ()Hz= 1 1 ,| | 2 0.5 z z ，带通 （） ， 1 6 1/6,| | /6 1 () ()* () 1/4|/2,/6| /2, 2 0,| | / 2 jjj lp lp He H e H e 非理想低通 4-24 某因果LTI 系统的系统函数为 2 11 () ,| | 1/2 11 23 z Hz z zz = ， 已知输入信号为 x nun= ，用两种方法求 4y 。 （a）递推法； （b）z 变换法。 解： （ a）递推法 1 2 0 25/611/62 0 0 1 0 2 0 1, 3 1 5/ 6 2 11/ 6, 4 2 5/ 6 3 1/ 6 2 1 55/ 36 1/ 6 85 / 36 yy yn xn yn yn yyyxyxy yx y y = =+ =+ = =+ =+ = 因果， 初始条件 ， （ b） z 变换法求卷积 () 2 1 11111 12 9 3 () () () 11 11 1 1 2323 12(1/ 2) 9(1/ 3) 3 4 85/36 nn z Yz XzHz z zzzzz yn un un un y = =+ = + + = 4-25 考虑一个 LTI 系统，其输入是 0.5 1 n xn un u n= +，输出是 0.75 n y nu= 。 (a)求该系统的系统函数，画出 H(z)的零极点图并指出收敛域； (b)求系统的单位脉冲响应； (c)写出表征该系统的差分方程； (d)判断该系统的稳定性和因果性。 解： （ a） () 1 1 1 11 1 1 1 1 11 2 () ,1/2 | | 1 1 11 1 11 2 2 1 () ,| | 3/4 3 1 4 23 () ()/ () ,3/4 | | 3 1 4 z Xz z z z zz Yz z z zz Hz Yz Xz z z =+= + = = = = = 当时， 即当时间足够长为 M 时， FIR 系统输出所需要的以前的输入权重为 0 时，系统输出与 当输入是非因果信号时相同。 （ b）相同 （ c）方法 1：求卷积再取极限 () 1 0 lim lim lim (1) 2 1 1 cos( )2 lim(1) (1) lim(1) 2 111 222 k nk nn n k n n k n nkn nn k j yn xn hn un k j j n j jj = + = = = = = = + 方法 2：求输入为无限长非因果序列时的输出，用特征函数法 () cos 2 ( )| ( )| 22 11 | 1/2 21/2 2 11cos() 1/221/22 1 2 jn jn jn jn jj jn jn jj jn jn ee xn n ee yn He He je je een j jj = + = =+ =+ = + + *4-30 考虑一个实序列 , 0 4 0xn n xn =在之外 ，它的傅里叶变换是 () j X e 。给出下面信 息，确定并画出序列 x n 。 （a）群延迟 ( )2 j grd X e = ； （b） 2 1 () 20 2 j Xe d = ； 48 （c）序列 y nxnun=，且 2 1 () 4 2 jj Ye e d = ； （D） () 0 j Xe = = 。 解：根据（a） ，对称中心在 2； 根据（b） ， 22 2 2 0 2 1 2 2 20xxx+=； 根据（c， 2 4 2 1 0y xxx= =+ 根据（d） ，2或 3 类广义线性相位，因为 M=4，所以 3 类，奇对称，所以 x2=0。 解出 1 3 0 -3 -1 3 1 0 -1 -3,n=0,1,2,3,4xn= 或 。 *4-31 希尔伯特变换器 的频率响应是 /2 /2 ,0 () ,0 j j j je He je = 。 解： 22 ,| | ,| | /()| ,| / () 0, | | 0,| | /0,| | / jT jTj ccT eff cc eT e THe T Hj TTT = = = = 56 5-13 考虑图5.4-1 的系统，已知 () c x t 带限到 5kHz，离散时间系统是一个截止频率为 /8 弧度 /秒的理想低通滤波器。 (a)为了避免在 C/D 转换中发生混叠，T 的最大取值是 1/10000 s ； (b 若 1/T=10kHz，等效连续时间滤波器的截止频率是 625 Hz； (c) 若1/T=20kHz，等效连续时间滤波器的截止频率是 1250 Hz ； （d）要想使等效连续时间滤波器的截止频率是 2.5kHz ，1/T= 40 kHz。 解： (a) 1/ 2 5TkHz ，则 max 1 10000 Ts= 。 (b) 1 10kHz T = ， 1 2 625 / 625 8 10000 cc c TradsfHz = = = =， ， (c) 1 20kHz T = ， 1 2 1250 / 1250 8 20000 cc c = = = =， ， (d) 2500 c f Hz= 2 2500 / c rad s= ， T = ， 8 c T = ， 81 40 c kHz T = 5-14 在图 5.4-1 的的系统中，输入信号带限为 ()0, / c Xj T= 。已知等效连续时间系 统是积分器，即输出 () c y t 与输入 () c x t 的关系是 () ( ) t cc yt x d = 。 （a）写出等效连续时间系统的频率响应 () eff Hj = 1 ,0 / (), 0 T j ， () c X j 如 57 图 T5-1 所示。对下列各种情况画出 () r y t 的傅里叶变换。 (a) 4 1/ 10T = (b) 4 1/ 2 10T = () c Xj 3 2510 1 3 2510 图T5-1 解： (a) (b) 5-17 考虑图 5.3-5，已知采样周期 T，连续时间信号 () a x t 的傅里叶变换如图 T5-2 所示。 （a）画出抗混叠低通滤波器的频率响应 () a Hj ； （b）画出 () c x t 和 x n 的傅里叶变换。 () a Xj 22 0 TT 图T5-2 图T5-3 解： （ a） 1| | () 0| | a T Hj T = ， ， （ b） 58 () c Xj 0 TT )( j eX 202 - 5-18 考虑图 5.4-1 所示系统。其中离散时间滤波器的频率响应 () j He 如图 T5-3 所示，采样 频率和重构频率 1/T 16kHz。 （a）画出整个系统的频率响应 () eff H j ； （b）确定 () c x t 的最高频率的最大取值，以使等效连续时间系统是一个理想低通滤波器。 解： （a）截止频率 2 2000 / 弧度 秒 的低通滤波器 （ b） x n 的频谱混迭高于 /4 ， 3 7 2,/2140/ 44 NN TTrads = *5-22 图 T5-5 所示系统中， ( ) 0,| | 2 5000, n c k X jyx = = = 。 C/D hn T )(tx c ny nx 图T5-5 （a）将 y 用 )( j eX 表示； (b)确定T 的最大取值，使 | () nc y nxtd = = 。 解： （a） 0 0 ( )| jn j k yxkeXe = = = = （b） 0 0 0 | () () ( )| () (0), 5000, 1/ 5000 jt nc c c j c yn x tdt x te dt X j Xe X j T = = = = = 即要求频率为0处不能混叠 1 T *5-23 考虑图 5.4-1 的系统。输入信号 () c x t 的傅里叶变换 ()0,| cN Xj =。离散时间系 统的频率响应为 1, () 0, j c He 在 之外为零 ， y nxnhn= 。采用 DFT 求 y n 在区间 11M nL 的值，则 DFT 的最小点数是 （C） （A）M （B）M-1 （C）L （D）L+M-1 解：循环卷积是线性卷积的周期性延拓取主周期。本题只需线性卷积的中间段，两头允许混叠， 即允许求 L点的循环卷积，其中间 M-1到 L-1 点是没有混叠的线性卷积。 6-10 利用短时 DFT 分析信号频谱，分别采用矩形窗和汉宁窗（采用相同窗长和 DFT 点数） ，正 确的说法是 （A） （A） 前者较后者频率分辨率高； （B）前者较后者时间分辨率高； （C）前者较后者旁瓣相对幅度小； （D） 前者较后者频域取样更密。 填空题（6-11 题-6-25 题） 6-11 已知 42323174 += nnnnnnx ，其 6 点DFT是 kX ， )1,0(3 = kkXkY ，则 kY 的2 点IDFT ny = 189 + nn 。 解 1：Yk是 6点序列的 2点频域取样，则重构后是原序列以 2为周期的混迭。 解2： 67 666 6 666 6 22 22 123 4 36912 3 4 7 3 2 3 4 7 3 2 432(7 ) 432(7 ) kkkk kkk k kk kk Xk W W W W Yk X k W W W W WW WW =+ + + + =+ =+ + =+ + 6-12 X k 是序列 1,0 3xn n n=+ 的 4 点DFT，不直接计算 X k 写出下列值。 （a） 0X = 10 ； （b） 2X = -2 ； （c） = 3 0 k kX = 4 ； （d） 3 2/4 0 jk k eXk = = 16 ； （e） = 3 0 2 )( k kX = 104 ； （f） = 3 0 2 | k kX = 120 。 解：利用 DFT、IDFT定义，循环卷积，PASWAL定理 （a） 33 0 4 00 0 123410 n nn XxnWxn = =+= （ b） 33 2 4 00 2 ( 1) 1 2 3 4 2 nn nn XxnWxn = =+= （c） 404 0 3 0 3 0 = = xWkXkX k N kk （d） 333 2/4 1 3 44 000 43 16 jk k k kk eXkXkW XkW x = = = （e）时域循环卷积在 n=0点的取值。采用线性卷积混叠求循环卷积 33 220 40 00 04 ( ) ( ) 4 (4) | 4(*| *| ) 4( 0 0) 4(0 0 3 1 2 2 1 3) 4(1 4*2 3*3 2*4) 104 k n kk nn Xk Xk W xn xn xn xn xn xn x xxxxxxxx = = = = =+ + =+ + + = （ f） PASWAL定理 120|4| 3 0 2 3 0 2 = = nk nxkX 6-13 一个长度为8 的序列 7xn n在0 之外为零 ，其8点DFT为 246 1 2sin 3cos 4sin 888 kkk Xk =+ + + ，则 nx = 13 223 1 1 2 3 5 6 7 22 nn n n n n n jjjj +。