史济怀复变函数答案

第一章 复数与复变函数 1.1习题 2设 12,., nzzz是任意 n 个复数，证明： 11 | nn kk kk zz = ，并给出不等式中等号成立 的条件. （提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是 12,., nzzz线性相关）. 3证明： 1 (ReIm)ReIm.2 zzzzz+ 证明：设 zaib=+，则 Re za=，Im zb=， 22|zab=+.由题2知，zabiab+=+ 故 2222 2222 222( | 2222 abaabbab abababz+ +=+= ， 即有 1 (ReIm)ReIm.2 zzzzz+ 4若 12|,0zzll=，证明： 21 12|zzzzll=. 证明：不妨设 22221210.z zzl= 则 2222212122121112zzzz zzzzzzzll= 即有 21 12|zzzzll=成立. 5设|a|） 7 设 12,., nzzz， 12,., nwww是任意 2n 个复数，证明复数形式的 Lagrange 等式： 2 22 2 1111 ()(), nnn kjj jjjk jjjkn zzzzwwww = 210, 11zzkz kk=+ 12(0,1) (1),()1 kzzz kllll=+=+ . 6 图1.5是三个边长为1的正方形，证明： 2AODBODCOD p+=. E A B C O D 解：以O为原点，OD为X轴，OE为Y轴，建立坐标系.设 123,OAzOBzOCz= 则 1231,2,3zizizi=+=+=+， 从而 123arg()arg(1)(2)(3)arg(10)zz iiii=+= . PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 因为i是单位向量，它的辐角为2p ，即 2AODBODCOD p+=. 10证明： 22221212122(|),zzzzzz+=+并说明等式的几何意义. 证明： 22 2221 1 112 1122|2Re|2Re|zzzzzzzzzzzz+=+ 22122(|)zz=+ 几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和. 11设 1 ,., nzz是单位圆周（以原点为中心、半径为1的圆周）上的n个点，如果 1,., nzz是 正n边形的n个顶点，证明： 1 n k k z = =0. 证明：记 12. nzzzCw =+，设该正n边形的一个圆心角为q，0 qp时，L是一圆周. 并求出该圆周的圆心和半径. 证明：（ i ）令 22dlb= ，则 2d lbb= ，故原方程为 ()()0zzblbblb+=，即 Re()0zblb+=，即z lb+ 与b 垂直，从而轨迹是一条通过点 lb ，与b 垂直的直线. （ii）记 22 0adlb=，则 2ad bbl=， 原式 2220()()azzazazadazazazb bblbl+=+=+= 即证之. 1.3习题 1. 证明：在复数的球面表示下，z和1z的球面像关于复平面对称. PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 证明：设zxiy=+其球面对应的坐标为 2 123222 1, (1)1 zzzzzxxx zizz += + . 而1z球面像对应的坐标为 11222 11 1111 zzzzzzxx zz z + + = + , 222 22 11 1(1)(1)(1) zzzzzzxx izizi z = + , 2 2 2 33222 11 11 111 zzz xx zz z = + , 从而有 112233,xxxxxx= ，故z和1z的球面像关于复平面对称. 2. 证明：在复数的球面表示下，z和w的球面像是直径对点当且仅当zw =-1. 证明：设zxiy=+，由 1zw = 得 11,z zww= ， 由于z对应的球面像为 2 123222 1, (1)1 zzzzzxxx zizz += + ， w对应的球面像为 123,xxx，计算可得： 11,2233,xx xxx= ， 故z和w的球面像是直径对点. 由球面表示的几何意义知， ,z w位于通过竖坐标轴的平面与xoy平面交点上，从而 ,z w 必与原点共线，则 ,0zwll=，由 33xx= ，易知 1l = . 3. 证明：在复数的球面表示下, C 中的点z和w的球面像间的距离为 ( )( )22 2 11 z zw w + . 证明：设z和w的球面像的坐标为( )123,xxx和( )123,xxx， PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 则( ) ( ) ( ) ( )22211223 11223322xxxxx xxxxxx+=+ ， 112233xxxxxx+ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 22 22 11 11 z zzz z w www w + = + ( )( ) ( )( ) 222 22 112 11 zz z ww w + = + 故 ()( )( )( )222112233,dzxxxxxxw=+ ( ) ( )( )112233 22 222 11 zxxxxxx z w w =+= + 4. 证明：在复数的球面表示下，若 abcd 是二阶酉方阵，则 C的变换w= azbczd+ 诱导 了球面绕球心的一个旋转. 证明：先证 ( ) ( )( ) 22 2, 11 zwzwcdzw zw = + ，一定有 ( ),azbawbddzwczdcwd+=+. 而 ( )( ) 22 222222 ()det 11 abazbawb zw czdcw cd azbczdawbcwdazbawb czdcwd + + = + + ， 由abcd 是二阶酉方阵知， ( ) ( )22 2det1,11|1,11abacabzzazbczdzzzcdcdbd=+=+ 类似的有 222|1,awbcwdw+=+故 原式= ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 22221111 adbczw zw zwzz = + ， PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 故 ( ),azbawbddzwczdcwd+=+成立，从而诱导变换是一个等距. 又等距变换的行列式是 abcd 的连续函数且只取 1 两个值，而二阶酉方阵全体是连通的， 从而行列式为常数. 取 abcd = 1001 ，此时诱导变换是恒等变换，行列式为1，故此常数为1，从而此等距 变换为旋转. 1.4习题 1. 设 0 (,0z ， 0nz ， nN .证明：复数列 nz 收敛到 0z 的充要条件是 0lim nn zz = 和 0limargargnn zz = . 证明：因为 00(,0,0,. argzstzdpdpd+， 由不等式 0000|argargnnzzzzzzz+即得充分性 由不等式 00|nzzzz 及 0000argarg|2|sin 2nn zzzzzzz + 并注意 0argarg222nzzddpp+ C ， :,01k zzkiyyF =+C ； 解：开集； (iv) G=B(0,1) 1 :1 kk+为自然数 ; 解：非开，非闭，非紧； (v) C B( )R， ; PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 解：紧集. 8. 设D是开集，FD是非空紧集，证明： （i） ( ),0;dFD (ii) ( ) ( )12 1 0, ,.,nnk k dFDFzzzFBzDdd = 对任意 ，即 n 1 (,),)inf(,)(,)k k dBzDdDdFDdzd = = 1.6习题 1.满足下列条件的点z所组成的点集是什么？如果是域，说明它是单连通域还是多连通域？ （i）Re1;z = 实部是1的直线， 不是域 (ii) Im5z 开弓形 单连通域 (vii) 1 2;1zz + 圆盘外无界闭区域 (viii) 0arg.4zizi p 0d ， 对D上任意的 1,2zz，只要 122,zz d0,有 22 22() pfz xy + =2p 2()pfz 2()fz . 提示: = 22 22xy + = 4 2 zz ,将 ()fz写成 1 2()()fzfz, 利用 fz =0, fz =0, fz = f , fz = f ,计算. 11.设D是域, ( :D ,0f 是非常数的全纯函数,则log()fz和Arg()fz是D上的调 和函数,而 ()fz不是D上的调和函数. 提示: 22 21log()log()2log|()| 2fzfzfzzz = 21()()2 |()| fzfzzfz z= 2 ()()2 |()| fzfz zfz = ()20()fzz fz= 2arg()()() ifzfz efz= 对z求偏导 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 (arg()fzz = 12i ()()fzfz 2 zz (arg()fz =0 4 2 zz ()fz = 12()()fzfz 如果 ()fz调和,则 ()fz0,从而 f是常数,矛盾. 12.设D,G是域, :fDG 是全纯函数,证明:若 u是 G 上的调和函数,则ufo 是D上的调 和函数. 证明: 因为u是G上的调和函数,局部存在全纯函数g，s.t. Reug= , 则gfo 局部全纯, 于是局部有 Re()ufgf=oo，从而ufo 调和. 15.举例说明:存在B(0,1)0上的调和函数,它不是B(0,1)0上全纯函数的实部. 解: ()log|uzz= 是B(0,1)0上的调和函数,它不是B(0,1)0上全纯函数的实部. (反证) 假设存在B(0,1)0上的全纯函数 ()fz,使得Re()logfzz= , 设 ()log|()fzzivz=+, ()vz是实值函数. 则 ()()|fzivzeze= ,从而 () () 1,(0,1)0 fz ivze ezB z = . 由题2.(iv) 可知 ()fze z 常数, 故存在q s.t. ()fzieze q= 即 ()|ivzizeze q= ()(arg)ivzizeeq+= ()2vzargzkqp=+ . 由 ()vz的连续性可知k是常数. 于是 ()2argzvzkqp= 在B(0,1)0连续,不可能. 16.设 fuiv=+ , 000zxiy=+.证明: (i) 如果极限 0 0 0 ()()limRe zz fzfz zz 存在,那么 ( )00, u xy x 和 ( )00, v xy y 存在,并且相等. (ii) 如果极限 0 0 0 ()()limIm zz fzfz zz 存在,那么 ( )00, u xy y 和 ( )00, v xy x 存在,而且 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 ( )00,u xyy = ( )00,v xyx . 证明:(i) ( )00,u xyx = 0 000 0 (,)(,)lim xx uxyuxy xx ( )0zxiy=+ ( )( )000,zxy= = 0 000 0 (,)(,)limRe xx fxyfxy xx = 0 0 0 ()()limRe zz fzfz zz ( )00,v xyy = 0 000 0 (,)(,)lim yy vxyvxy yy = 0 000 0 (,)(,)limIm yy fxyfxy yy ( )0zxiy=+ = ( ) 0 0 0 ()()limIm zz fzfz izz = ( ) 0 0 0 ()()limIm zz fzfzi zz = 0 0 0 ()()limRe zz fzfz zz (ii)利用 Im()Re()fzifz= ,由(i)即得. PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 2.3习题 1求映射 iz izw += 在 11 =z 和 iz =2 处的转动角和伸缩率. 解：因为 zif zi= + 222()()fziziizzizi+=+ 1 22() (1)ifz i= + =1 1arg()fz= arg(1) =p 2 221() (2)22iifz i= 2arg() 2fz p= 2设f是域D上的全纯函数，且 ()fz在D上不取零值，试证： （i）对每一个 00()uivfD+ ，曲线 0Re()fzu= 和曲线 0Im()fzv= 正交； 证明：（ i ） 0uu= 和 0vv= 是uv平面中的正交直线.因为 ()0fz ,故 f 是保角的. 从而曲线 0Re()fzu= 和曲线 0Im()fzv= 的夹角等于直线 0uu= 和 0vv= 的夹角,等于2p PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 2.4习题 1.验证 zzee= 证明：令zxiy=+ ,则zxiy= (cossin)zxeeyiy=+ (cossin)zxeeyiy= (cossin)zxeeyiy= 所以 zzee= . 3.证明：若 1ze = ，则必有 2,0,1,.zkikp= 证明： 1ze = |1xzee=, 20zArgeykp=+= 0,2,xykkp=Z 2zkip= ，k Z . 4.设 f 是整函数， ( )01.f = 证明： (i)若 ()(),();zfzfzzfze=对每个 成立则 (ii) 若对每个 ,z w ,有 ()()()fzfzfww+= ,且 (0)1f = ,则 () zfze . 证明： （i） ()()()()()0.zzzzzfzefzefzefzefze= () zfzec = ,11,1cc=，故 () zfze (ii) ()()()fzfzfww+= ,令 0()()zffww= 7.设 f 在 (,0 中全纯， (1)0.f = 证明： （i）若 ( ()(),0,()logfzfzezfzz= 则 ； (ii)若 ()()()fzfzfww=+ , ( ,0z , ( )0,w ,且 (1)1f = ,则 ()logfzz . 证明： （i）令 ()() fzFzez=,则 ()()()10fzFzefz= PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 ()Fzc=(常数) 令z=1,则 (1)0110f ec=F(1)=e . 故 () ()log(1)1 fzez fzzf = = (ii)提示 ()()fzfzww= ,令 1z = 得 1()fw w = . 8证明： 32)( 2 += zzzf 在 ( )1,0B 中单叶. 证明： 取 ( )12120,1,zzBzz， 12()()fzfz=1212()(2)zzzz+ ( )12121212,0,1()()0()()zzzzBfzfzfzfz， 故)(zf在( )0,1B 中单叶. 12设 f 在 ( ,0 上全纯， (1)1,0.f m=证明： )(i 若 ( ()(),0fzfzzzm=C ，则 arg();izfzzemm )(ii 若 ()()()fzfzfww= ， ( ,0z C , ( )0,w ,且 (1),f m= 则 arg() izfzzem m 证明：(i) 要证 arg() izfzzemm= ，即证 log() zfzem= ( )log()0zfzem = ,及 (1)1f = log()|ziArgzfzezemmm= . (ii) ()()()zfzfzfww= 令 1w = 得 ()()zfzfzm= 即 ()() fzfz zm = 14.证明: )(i cos()coscossinsin;zzzwww+= )(ii sin()sincoscossin;zzzwww+=+ PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 证明:(i) cos()sin()zizww+ ()ize w+= ( )coscossinsinsincoscossinzizzwwww=+ (1 ) 在上式中以 z ， w 代入，得 cos()sin()zizww+ ( )coscossinsinsincoscossinzizzwwww=+ （2） (1)+(2)得 cos()coscossinsinzzzww+= (1)(2)得 sin()sincoscossinzzzwww+=+ 19.证明: sin zw = 将半条形域 :Re,Im022zzzpp 一一地映为上半平面. 证明: sincos()cos()22zzzppw =令 2uzp= , 则 coswu= 是由指数 ,(Re0,Im0),iuzeuup= 与Rokovsky函数 11(),(0,1)0,0),2zzzBargzwp=+ 一一映成上半平面. 20.证明 (0,1)B 是 2() (1)zfz z= 的单叶性域,并求出 (0,1)fB . 证明: 1212122 12 1()()() (1)(1) zzfzf zz zz = 给出 f 的单叶性 0z 时, 11 2() zfzz=+由Rokovsky函数的性质易得 1(0,1) (, 4fB = 21.当z按逆时针方向沿圆周 :2zz= 旋转一圈后,计算下列函数辐角的增量: (iii) 1 2 4(23);zz+ (iv) 1 21 1 z z +. 解: (iii) 1 2 4(23)zz+ 1 4(3)(1)zz=+ 3 在圆周|2z = 外,1在圆周|z =内 所以当z按逆时针方向沿圆周旋转一圈后, 辐角的增量为 2p PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 (iv) 11 122 2 2 1(1)(1)1(1)(1) 1|1|1| zzz zz+=+ + 1z = 均在圆周|2z = 内,所以辐角的增量为0. 22.设 1 (),01.(1) p p zfzp= bcad . 证明: 必要性：因为线性变换把实轴映为实轴, 故 azbczdw += + 中 dcba , 都是实数； 因为 2()() acbdadbcii cw += 属于上半平面，故 0 bcad . 充分性：对 0,1,z =都有 ()zw R ,从而w将实轴映为实轴, 又Im ()0iadbcw =,故将上半平面映为上半平面. 4.试求把单位圆盘的外部 1: zz 映为右半平面 :Re0ww 的分式线性变换,使得 (i)1,-i,-1分别变为i,0,-i; (ii)-i,i,1分别变为i,0,-i. 解:(i) () ziTz ziw += (ii) () (2)21ziTz iziw =+ 10.设 () azbTz czd+= + 是一个分式线性变换,如果记 ac 1b d = a g b d ,那么 1() zTz z ab gd += + . 证明: a c 1b d = d c b a = a l b d () azbTz czd+= + ()()czTzdTzazb+=+ 1() bdzzTz czazabgd +=+ 从而证得 1() zTz zabgd += + . 11.设 11 11 1 )( dc bazT + += , =)( 2 zT 22 22 dc ba + + 是两个分式线性变换,如果记 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 1 1 a c 1 1 b d 2 2 a c 2 2 b d = ac bd 那么 12()() azbTTz czd+= +o . 证明: 12()()TTzo = 12121212 12121212 aazabbczbd cazcbdczdd + + 又Q 1 1 a c 1 1 b d 2 2 a c 2 2 b d = ac bd 1212 1212 1212 aabca abbdc cbddd += += += 12121212 12121212 aazabbczbd azb cazcbdczddczd + += + 从而 12()() azbTTz czd+= +o . 12.设是过-1和1的圆周, z和w都不在圆周上.如果 ,1=zw 那么z和w必分别于的内部 或外部. 证明:由圆的对称性知的圆心必然在虚轴上，设圆周与虚轴交个交点为 12zz， . 又由平面几何知识知 12|1zz=,从而 2 1 1z z= . 设z在内部，则 z位于走向1， 1z ,-1的左边,因此分式线性变换 1(x)T x= ，将 1 ()z Tz= 映 为走向 1(1)()(1)TTzT， ， ，即1， 2z ，-1的左边. 注意 ()T = ，走向1， 2z ，-1的左边即的外部，故1z在外部. 15.求一单叶全纯映射,把除去线段 i+1,0 的第一象限映为上半平面. 提示: 先作变换 41 zz = ,再作 412 += zz ,最后作变换 23 zz = 可得. 16. 求一单叶全纯映射,把半条形域 :Re,Im022zzzpp映为上半平面,且把 2 p , 0, 2 p 分别映为1,-1,0. 提示: 先作变换 1ziz= ,再作 12 zez = , )1(21, 3 3423 zzzizz += . PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 即 11()2 iz izwie ie=+ 17.求一单叶全纯映射,把除去线段 hiaa +, 的条形域 :0Im1zz0,R 00使得当R0时，有 2() () Pzz M Qz 因此 2 | | | ()()2| | 0() (z ()|z|zRzRzR P PzMMd dzR QQzR p = = 所以 ()lim0() R Pzdz Qz = 6.设f 1(),CDg是域D中分别以a和b为起点和终点的可求长曲线.证明： ()() ()() z fzfzdzdzfbfa zg += z)1f ), 2 ffidzdxidy zxy =+ （ )1 ), 2 fzffidzdxidy zxy =+= （ ()()11()()()() 22 fzfzf ffdzdzidxidyidxdy xyxyz ffdxdydf xy +=+ =+= 故()()()()fzfzdzdzdffbfaz gg += 8.设g是域 D中以a 为起点，以 b 为终点的可求长曲线，f,g 1()().HDCD 证明分部积 分公式： f()()()()|z).bazgzdzfzgzfdz gg =（ PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 ()()()()()()()()()()()()|bafzgzdzfzgzdzfzgzfzgzdzfzgzdzfzgz gggg +=+= 故()()()()|()()bafzgzdzfzgzfzgzdz gg = 9.设g 是正向可求简单曲线，证明：g 内部的面积为 12i r zdz . 证明：由公式得 r zdz = z(dz D dzz）=- D dzdz =- ()(i D dxidydxidy+ DD ）=2dxdy=2idA =2iA 所以A= 12i r zdz 11.设 f 在z 0处连续，证明： （i） 2 00r0 0 1lim()z 2 ifzredf p qq p += （）； (ii) 0 00 0|r 1()lim() 2r zz fzdzfz izzp = = . 证明：(i) 22 0000 00 11()(|()(|diifzredfzfzrefzppqq+） 0| sup|()()|0(0) zzr fzfzr+ = 所以 2 00r0 0 1lim()() 2 ifzredfz p q q p += . (ii) 0 2 0 0|r0 1()1() 22 i zz fzdzfzred izz p qq pp= =+ 故 0 0r0 0| 1()lim() 2 zzr fzdzfz izzp = = 12.设D= 00z:arg()(02),zaaqqap+ 22 |z|2|2|2 11 2ai2 zz azaza eeedzdzdz zazaiaizai=+ 112i22sin 2ai2 aiaiieiea aia ppp= 2.设 f在:|zrz PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 证明：设 ,rRR 由Cauchy积分公式得 | | 1()1() 2i2zrz fzfzd dz izdpp= 即 22 00 11()()iifredfedppqqqdq=，令 0d ，则有 2 0 1 ()(0) 2 ifredf p q q p = (ii) 2 |z| 1 () r rfzdxdyp ，那么 f 是D上的 单叶函数. 证明： 12,zzD， 12zz 则 2 1 1 2 121210()()()()() z z fzfzfdfztzzzzdtxx=+ 则 1 21 121 021 ()() ()fzfz fztzzdt zz =+ 从而 1 21 121 021 ()() Re()0fzfz fztzzdt zz + 故 12()()fzfz ，这表明 f 是D上的单叶函数. 3.4习题 1 计算下列积分： （1） 2 |1 sin 1z z dz z= PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 解： 2 |1|1|1 1 sin1sinsin2sin1 1111zz z zzzd dzii z pp= = = + (2) 2 |2 ;1 z dz z= + 解： 2 |2|2 111 0 12zz dz dz zizizi= = + (4) 22 3| 2 ;(1)(4) z dz zz = + 解：与第二题类似，答案为0. (6) | ()() n zR dz zazb= ,n为正整数，a b不在圆周|z|=R上. 解：原式 0, 2 () 2 () 0,. n n ab i a ba i a ba ab p p = 均在圆外. 在圆外，b在圆内. 在圆内，b在圆外. 均在圆内 3.设 D 是由有限条可求长简单闭曲线围成的域， 1, nzz, 是 D 中 n个彼此不同的点.如果 ()()fHDCD I ，证明： ()()1()() 2() nn nD zfPzd iz wzwz z pwzz = 是次数不超过n-1的多 项式，并且 1()(),1,2 .()()(-)k nnPzfzknzzzzzw=，其中， . （提示：证明 ()()nnz z wzw z 是z的次数不超过n-1的多项式.） 证明：由于 1()()nzzzw = n(z-z) 从而 ()()nnz z wzw z 是z的n-1次多项式，记 ()()h(,)() nnzzf z wzwxx z = 取 0e 充分小，由Cauchy积分公式 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 1 1k11| 1 1(,)()(,)() 2 () k nnn kkjn j kz jk jj hzPzdhzzzz i zxe x x p x = = = 因为 ()h(,)() nzzf z wxx z = 是z的次数不超过n-1的多项式，故 P(z)是关于z的次数不超过 n-1的多项式. 又 1 ()()(), n nkjj jk zzzzzw = =故 ()()kkPzfz= 是关于z的次数不超过n-1的多项式. 5.设 (0,1) (0,1)fHBCB I .证明： 2 2 0 2 2 0 2(1)()cos2(0)(0); 2 2(2)()sin2(0)(0) 2 i i fedff fedff pq pq qq p qq p =+ = （提示：分别计算积分 11 11112()2() 22 dd iizz zzzzzz pzzpzz= + 和 即可.） 证明：由Cauchy公式，得 22 00 1 1()1()1(0 () 2 i iiffefdiedfed iiei qpp qq z zpz = = , 2 20 1 1()1(0)() 22 iiffdfeed i p qq z z zq pzp = = 又由Cauchy定理， 1 ()0fd z zz = = 即 2 0 1 ()0 2 iifeedp qqq p = +得 222 00 11(0)()cos()(2cos1) 2 iiffedfedppqqqq = 即222 00 21()cos(0)()(0)2(0) 2 iifedffedffppqqq =+=+ 6.利用上题结果证明： 设 (0,1) (0,1)fHBCB I ,且 (0)1,Re()0ffz=,那么 2Re(0)2f . 证明： 2 2 0 2 ()cos(0)2(0) 2 ifedffp q q q p =+ PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 两边取实部,即 2 2 0 2Re()cos2Re(0)0 2 ifedfpqq q p =+ 同理 2 2 0 2 ()sin2(0)(0) 2 ifedffpqq q p = 2 2 0 2Re(0)2()sin202 2 iffedpqq q p = 所以 2Re(0)2f . 3.5习题 1设 f 是有界整函数, 12,zz是 (0,)Br中任意两点.证明： 12 () 0 ()()zr fz dz zzzz= = 并由 得出Liouyille定理. 证明：利用Cauchy积分公式得 12 12121212 ()()()1()() 2 ()()zrzr fzfzfzfzfzd dzi zzz zzzzz zzp= = 另一方面, 由于 f 有界, 0,(),MstfzMzC 由Cauchy积分定理 121212 ()() 20() ()()()()()()zrzRr fzfzMd dzRR zzz zzzzRzRz p= 从而 12 12 12 ()()20()()()fzfzifzfzfzC zzp = 2.设 f 是整函数, 如果当z 时, ()(|),0,fzOzaa=证明 f 是次数不超过 a 的多 项式. 解：令 1n a=+ ( ) ( ) () 111 !()!()!|() 2()2()2 !0 n nnnzR zRzR n nfnfnMfzddd i zR RznMR R a z zz a zzz p pzp+= + 故 ( ) ( ) 0nfz PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 4.设 f 是整函数,如果 ();Im0fzz ,证明 f 是一个常值函数. 证明：令 ()() ()fzigz fzi= + ,则|g(z)| 由上题知h常值,故 f 常值. 6.设 f 在域D上全纯, 0zD 定义 0 0 0 00 ()(),; () (),. fzfz zDz zzFz fzzz = = 证明： ()FHD 证明： 00 0 0 0 ()()()()limlim() z zz fzfzFzf Fz zz = 故F在 0z 点也连续.将F限制在 0(,)Bz e 上,则 FM ,对D内任一简单闭曲线g ,可取一含 于 0(,)Bz e 的简单闭曲线使得 ()()fzdzfzdz egg =,对0,e由此易得 ()0fzdz g = ,从 而F在D上全纯. 7.设g 是可求长曲线, f 在域D上连续,在 D g 上全纯.证明： f 在D上全纯. 证明：任取D中简单闭曲线 0g （1） 当g 含于 0g 内部时,延长g ,交 0g 于A,B两点. PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 0 12 ()()()0 ABBA fzdzfzdzfzdz g gg+ =+= （2） 同理,当g,0相交时, 0 ()0fzdz g = 故由Morera定理知 f在D上全纯. 3.6习题 1、设D是由有限条可求长简单闭曲线围成的域, 1()fCD.证明： （i） () () DD fddfdxxxxx = （ii） () () DD fddfdxxxxx = 证明： ()fx是域上的一个0次微分形式 1()fCD,根据定理3.6.1 DD fdf = 可得 ()()()()()() DDDD ffffddfddddddxxxxxxxxxxxx =+= 同理 ()()()()() DDD ffffddddddxxxx xxxxx xx =+= 4、设是由有限条可求长简单闭曲线围成的域, f在D上全纯, zD.证明： ()()()() DD fffddd zzz xxxxxx xxx =+ 证：因 ()fHD,从而 1()fCD,则对 f用Pompeiu公式 1()1()1() 22DD fffzddd iziz xxxxx pxpxx =+ 从而两边取共轭得 1()1()() 22DD fffzddd iizz xxxxx pp = 1()1()() 22DD fffzddd iziz xxxxx pxpx =+ （1） PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 1()() 2 D ffzd iz x x px= （2） 由（1）（ 2 ）可得 ()()()() DD fffddd zzz xxxxxx xxx =+ . 3.7习题 2.设D是域, ()fCD , 证明：若 0 ()uCD 是非齐次方程的解,即 0u f z = , 则该方程 的解的全体为 0 ()uHD+ . 提示：显然 ( )0uHD+ 中的元都是解. 另一方面,设u是方程的一个解,则 ( )0 0uu ffz = ,即 0uu 满足C-R方程, 又 ( )uCD ,故 ( )0uuHD . PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 第四章 全纯函数的 Taylor展开及其应用 4.1习题 1、证明：复数项级数 1 n n z = 收敛，当且仅当 1 Re n n z = 和 1 Im n n z = 同时收敛. 证明：由不等式 11111 ReImReIm1 | | |2 npnpnpnpnp kkkkk knknknknkn zzzzz + =+=+=+=+=+ + 即得结论. 3、设 1 n n zf = （）是非空点集 E 上的函数项级数，证明 1 n n zf = （）在 E 上一致收敛当且仅当 1 n n zRef = （）和 1 nIm n zf = （）在E上一致收敛. 证明：同上题. 6、设 1 n n z = 是复数项级数，且 n nnlim|z| q = .证明： （i）当 1q 时，则 1n nz = 发散. 证明： n n n lim|z| q = ,取r使得 1qr 时，则 1 n n z = 可能收敛也可能发散. 证明：（ i ）取r使得 1qr 时, 有 n+1 n | | z r z 时发散；令 21 1 1 2n nz += , 2 1 2n nz = , 则 n+12n nn2n1 zzlim|lim|2 =,但 1 | n nz = 收敛. 13、证明：若域D上的全纯函数列 ()nfz在 D 上内闭一致收敛于 ()fz，则 ()fz在 D 上全纯，并且 ()()knfz在D上内闭一致收敛于 ()()kfz， kN . （1）证明：令 11gf= , 1,2nnngffn=. 则 1 ()n n gz = 在D上内闭一致收敛于 ()fz.由定理4.1.9即得结论. 4.2习题 1、设 0 n n n az = 和 0 n n n bz = 的收敛半径分别为 1R 和 2R .证明： （i） 0 ()nnn n abz = + 的收敛半径 12min(,)RRR （ii） 0 n nn n abz = 的收敛半径 12RRR （iii） 0 ()nknk nnk abz = 的收敛半径 12min(,)RRR 解：（ i ）若 12|min(,)zRR，|()|fzM ， 01zB（，） 故 222 0 |nn n arM = ， *N ，st *pN ，当nN 时， 不等式 1 |2 np k k kn az e + =+ ，0 rR 当 zR 时, 1110nnazazaza+ PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 从而当 zR 时,有 11 110110()0 nnnn nPzazazazaazazaza =+ 这表明 () nPz在 zR 上无零点. 利用辐角原理知, 1 ()2 nNArgPzgp= 其中N表示 ()nPz在 zR ,使得当 zR 时, 1110nnazazaza+ ， 因此 ()nPz在 zR 上无零点,且当 zR= 时, () nnnPzazaz0,Ne ,当nN 时,有 1 |()| np n kn