2011届高三数学一轮复习 第五章 精品课件(打包7套) 新人教A版
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2011届高三数学一轮复习 第五章 精品课件(打包7套) 新人教A版,高三,数学,一轮,复习,温习,第五,精品,课件,打包,新人
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第 5课时 三角函数的图象与性质 1周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 有 ，那么函数 f(x)就叫做周期函数 叫做这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个 就叫做 f(x)的最小正周期 基础知识梳理 f(x T) f(x) 非零常数 T 最小的正数 最小正数 y f(x)的周期是 T，那么函数 y f(x)的周期是多少？ 基础知识梳理 【思考 提示】 函数 y f ( x ) 的周期是T| |，而不是 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 基础知识梳理 函数 y y y 象 基础知识梳理 定义域 R R 值域 y| 1 y 1 R x |x R 且x2 k ，k Z y| 1 y 1 基础知识梳理 基础知识梳理 基础知识梳理 【 思考 提示 】 y yx，对称中心的横坐标都是它们的零点 基础知识梳理 1函数 y |一个单调增区间是 ( ) 三基能力强化 A ( 4，4) B (4，34) C ( ，32) D (32 ， 2 ) 答案： C 三基能力强化 2 ( 2 0 0 9 年高考江西卷改编 ) 若函数f ( x ) (1 3 t a n x ) c o s x ，2 x 0 ， 则 f ( x )的最大值为 ( ) A 1 B 2 C. 3 1 D. 3 2 答案： A 三基能力强化 答案： C 3 f ( x ) 1 2 c o s 2 x ( 0 ) 的周期与 g ( x ) t a 则 等于 ( ) A 2 B 1 三基能力强化 4 ( 教材习题改编 ) 求函数 y t a n ( 2 x 6) 2 的定义域是 _ _ _ _ _ _ _ _ 答案： x | x 12 k 6 ， k Z 三基能力强化 5 函数 y c o s ( x 3) ， x (0 ，3 的值域是 _ _ _ _ _ _ _ _ 答案： 12 ，12 ) 课堂互动讲练 考点一 求三角函数的定义域 1 求三角函数的定义域 ， 既要注意一般函数的定义域的规律 ， 又要注意三角函数本身的特有属性 ， 如题中出现t a n x ， 则一定有 x k 2， k Z . 2求三角函数的定义域通常使用三角函数线，三角函数图象和数轴 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例 1 求下列函数的定义域 ： ( 1 ) y 2 c o 3 c o s x 1 l g ( 3 6 ； ( 2 ) y 2 l o t a n x . 【 思路点拨 】 本题求函数的定义域 (1)需注意对数的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解 (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) 由题意得 2 c o 3 c o s x 1 0 ，36 0 ( 2 c o s x 1 ) ( c o s x 1 ) 0 ， 6 x 6 12 c o s x 1 ， 6 x 6 解得3 2 k x 3 2 k ( k Z ) ， 6 x 6 .取 k 1 , 0 , 1 ，可分别得到 x ( 6 ，53 或 x 3，3 或x 53， 6) 即 0 x 2或 x 4. 所以函数的定义域为 (0 ，2) ， 4 课堂互动讲练 即所求的定义域为 ( 6 ，53 3，3 53，6) ( 2 ) 要使函数有意义，只要2 l o 0 ，t a n x 0 x 4 ，k x k 2( k Z ) .【 误区警示 】 例题中出现分段区间和定区间的 交集，要对 技巧是应从 k 0开始 课堂互动讲练 1三角函数属于初等函数，因而前面学过的求函数值域的一般方法，也适用于三角函数但涉及正弦、余弦函数的值域时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即 |1，|1对值域的影响 课堂互动讲练 考点二 三角函数的值域与最值 2解答此类题目首先应进行三角恒等变形，将函数式化为只含一个三角函数式的形式，再根据定义域求解 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例 2 求下列函数的值域 ： ( 1 ) y 2 s i n x c o s i n x； ( 2 ) y s i 2 s i n x c o s x 3 c o 【 思路点拨 】 首先要进行等价变化，目的是化为一个角的三角函数 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) y 2 s i n x c o s i n x 2 s i n x (1 s i n x ) 2 ( s i n x 12)212. 1 s i n x 1 ， y ( 4 ，12 ，即值域为 ( 4 ，12 课堂互动讲练 ( 2 ) y s i 2 s i n x c o s x 3 c o 1 c o s 2 s i n 2 x 3 ( 1 c o s 2 x )2 s i n 2 x c o s 2 x 2 2 s i n ( 2 x 4) 2. 故函数值域为 2 2 ， 2 2 【 名师点评 】 (1)小题中 1而不是 1. 课堂互动讲练 课堂互动讲练 互动探究 例 2 中若 x 0 ， 2 ， 试求函数的值域 解： ( 1 ) y 2 ( s i n x 12)212， 0 x 2， 0 s i n x 1 ， y 0 ，12 ，即函数值域为 0 ，12 ， 课堂互动讲练 ( 2 ) y 2 s i n ( 2 x 4) 2 ， 0 x 2， 4 2 x 454 ， 22 s i n ( 2 x 4) 1 ， 1 y 2 2 ， 所以函数值域为 1 , 2 2 1定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的前提因此，在判断函数奇偶性时，应首先判断函数定义域的对称性 若 f( x) f(x)或 f( x) f(x)0，则 f(x)为偶函数 若 f( x) f(x)或 f( x) f(x)0，则 f(x)为奇函数 课堂互动讲练 考点三 三角函数的奇偶性与周期性 2周期函数 f(x)的最小正周期 (1)当 有 f(x T) f(x)； (2) 一般地，若 T为 f(x)的周期，则nT(n Z)也为 f(x)的周期，即 f(x) f(x 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例 3 ( 2008 年高考陕西卷 ) 已知函数f ( x ) 2 s i o 2 3 s i 3 . ( 1 ) 求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值 ； ( 2 ) 令 g ( x ) f ( x 3) ， 判断函数g ( x ) 的奇偶性 ， 并说明理由 课堂互动讲练 【思路点拨】 恒等变形 由T 2确定周期，代入求 g ( x ) 验证 g ( x ) 与 g ( x ) 的关系 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) f ( x ) s i 3 (1 2 s i s i 3 c o 2 s i n (3) ， f ( x ) 的最小正周期 T 212 4 . 当 s i n (3) 1 时， f ( x ) 取得最小值 2 ； 当 s i n (3) 1 时， f ( x ) 取得最大值 2. 课堂互动讲练 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 f ( x ) 2 s i n (3) ， 又 g ( x ) f ( x 3) ， g ( x ) 2 s i n 12( x 3) 3 2 s i n (2) 2 c o g ( x ) 2 c o s ( 2 c o g ( x ) ， 函数 g ( x ) 是偶函数 【 思维总结 】 (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量 个正数是对(2)不是所有的周期函数都有最小正周期，如周期函数 f(x) C(就没有最小正周期 课堂互动讲练 课堂互动讲练 考点四 求三角函数的单调区间 函数 y A s i n ( x )( A 0 ， 0)的单调区间的确定 ， 基本思想是把 x 看做一个整体 ， 比如 ： 由 2 k 2 x 2 k 2( k Z ) 解出 x 的范围 ， 所得区间即为增区间 ； 由 2 k 2 x 2 k 32( k Z ) 解出 x 的范围 ， 所得区间即为减区间 课堂互动讲练 例 4 ( 解题示范 )( 本题满分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x ) c o 2 s i n x c o s x s i ( 1 ) 求 f ( x ) 的最小正周期 ； ( 2 ) 求 f ( x ) 的单调区间 ； ( 3 ) 若 x 0 ，2 ， 求 f ( x ) 的最大值及最小值 【 思路点拨 】 首先要进行化简，化成一个角的三角函数 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) f ( x ) ( c o s i ( c o s i s i n 2 x c o s 2 x s i n 2 x 2 c o s ( 2 x 4) ， T 22 . 4 分 课堂互动讲练 ( 2 ) 由 2 k 2 x 4 2 k ， k Z 解得 k 58 x k 8， k Z ， 函数 f ( x ) 的单调增区间为 k 58 ， k 18 ( k Z ) . 6 分 由 2 k 2 x 4 2 k 解得 k 18 x k 38 ，函数 f ( x ) 的单调减区间为 k 18 ， k 38 ( k Z ) . 8 分 课堂互动讲练 ( 3 ) x 0 ，2 ， 2 x 4 4，54 ， c o s ( 2 x 4) 1 ，22 f ( x ) 2 ， 1 . 1 0 分 当 x 0 时， f ( x ) 的最大值为 1 ， 当 x 38 时， f ( x ) 的最小值为 2 . 1 2 分 【 规律小结 】 求三角函数 yx )或 y x )或 yx )的单调区间时，一定要注意到函数中 的符号，一般是将化为正或用复合函数单调性来求解，否则极易出现将单调区间求反的错误 课堂互动讲练 (本题满分 12分 )设函数 f(x)a. (1)写出函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间； 课堂互动讲练 高考检阅 ( 2 ) 当 x 6，3 时 ， 函数 f ( x ) 的最大值与最小值的和为32， 求 a 的值 课堂互动讲练 解： ( 1 ) f ( x ) 32s i n 2 x 1 c o s 2 a s i n ( 2 x 6) a 12， 2 分 T 由2 2 k 2 x 632 2 k ， k Z ， 得6 k x 23 k ， k Z . 故函数 f ( x ) 的单调递减区间是 6 k ，23 k ( k Z ) . 6 分 课堂互动讲练 ( 2 ) 6 x 3， 6 2 x 656. 12 s i n ( 2 x 6) 1 . 8 分 当 x 6，3 时，原函数的最大值与最小值的和 (1 a 12) ( 12 a 12) 32， a 0 . 1 2 分 1三角函数的周期性 求三角函数 y x )或 yx )的周期，通常有三种方法： 规律方法总结 ( 1 ) 定义法 ； ( 2 ) 公式法 ： 由公式 T2| |或 T | |求之 ； (3)图象法三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求之 2三角函数值大小的比较 比较三角函数值大小的一般步骤是： (1)先判断正负； (2)利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数； (3)利用单调性比较 规律方法总结 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 第 6课时 三角函数的图象及三角函数模型的简单应用 基础知识梳理 1简谐运动的有关概念 简谐运动图象的解析式 振幅 周期 频率 相位 初相 y x ) (A0， 0)， x 0， ) A T 2 f 1T 2 x 基础知识梳理 y x )一个周期内的简图 用五点法画 y x )一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示 . 基础知识梳理 x 0 2 x y x ) 0 A 0 A 0 2 32 2 32 2 在上表的三行中，找五个点时，首先确定哪一行的数据？ 基础知识梳理 【思考 提示】 第一行，即先使 x 0 ，2， ，32， 2 ，然后求出对应的 x 的值 3函数 y y x )的图象的步骤 基础知识梳理 三基能力强化 1 函数 y 3 s i n (12x 3) 的周期 ， 振幅依次是 ( ) A 4 ， 3 B 4 ， 3 C ， 3 D ， 3 答案： A 三基能力强化 答案： D 2 ( 教材习题改编 ) 把函数 y 2 x6) 的图象向左平移6个单位，所得图象的函数解析式为 ( ) A y 2 x 3) B y 2 x 6) C y x D y co s2 x 三基能力强化 3 ( 2 0 0 9 年高考山东卷改编 ) 将函数 y s i n 2 x 的图象向右平移4个单位 ， 再向上平移 1 个单位 ， 所得图象的函数解析式是( ) A y c o s 2 x B y 2 c o C y 1 s i n ( 2 x 4) D y 2 s i 答案： D 三基能力强化 4若函数 f(x) x )的图象关于 值是 _ 答案： k 2 ( k Z ) 5 (2009年高考江苏卷 )函数 y x)(A、 、 为常数，A0， 0)在闭区间 ， 0上的图象如图所示，则 _. 答案： 3 三基能力强化 课堂互动讲练 考点一 作已知函数的图象 用 “ 五点法 ” 作正 、 余弦函数的图象要抓住四点 ： ( 1 ) 化为正弦型 y A s i n ( x ) 或余弦型 y A c o s ( x ) ； ( 2 ) 周期T 2| |； ( 3 ) 振幅 A ( A 0) 最大值 A 和最小值 A ； ( 4 ) 列出一个周期的五个特殊点 课堂互动讲练 例 1 已知函数 y s i 3 c o x R . ( 1 ) 作出函数的简图 ； ( 2 ) 写出函数的振幅 、 周期 、 初相 、 最值 课堂互动讲练 【思路点拨】 转化为一个角的三角函数 列表 描点 连线 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) y s i 3 c o 2(12s i 2c o 2 s i n (3) 列表： 课堂互动讲练 x 23 3437310330 2 32 2 y 0 2 0 2 0 描点画图，如图 课堂互动讲练 把 23，103 之间的图象向左 ， 右扩展 ， 即可得到它的简图 ( 2 ) 振幅为 2 ， 周期为 4 ， 初相是3， 最大值为 2 ， 最小值为 2. (1)平移变换 沿 “左加右减 ”法则； 沿 “上加下减 ”法则 课堂互动讲练 考点二 三角函数的图象变换 (2)伸缩变换 课堂互动讲练 沿 x 轴伸缩时 ， 横坐标 x 伸长( 0 1 ) 为原来的1倍 ( 纵坐标 y 不变 ) ； 沿 y 轴伸缩时 ， 纵坐标 y 伸长 ( A 1 )或缩短 ( 0 0 ，| |2)的图象的一部分如图所示 ： (1)求 f(x)的表达式； (2)试写出 f(x)的对称轴方程 课堂互动讲练 【思路点拨】 ( 1 ) 函数的最大值为 3 ，最小值为 1 ，周期 T ，从而 A ， b ， 可求，再代入 (6， 3) ，可求 值 (2)根据 y 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) 由图象可知，函数的最大值 M 3 ，最小值 m 1 ， 则 A 3 ( 1 )2 2 ， b 3 12 1 ， 又 T 2(23 6) ， 2T22 ， f ( x ) 2 s i n ( 2 x ) 1 ， 将 x 6， y 3 代入上式，得 s i n (3 ) 1 ， 课堂互动讲练 3 2 2 k ， k Z ， 即 6 2 k ， k Z ， 6， f ( x ) 2 s i n ( 2 x 6) 1. ( 2 ) 由 2 x 62 k ( k Z ) 得 x 612k ， k Z ， 课堂互动讲练 f ( x ) 2 s i n ( 2 x 6) 1 的对称轴方程为 x 612k ， k Z . 【名师点评】 在确定 值时，也可用五点法确定，往往以寻找 “ 五点法 ” 中的第一零点 ( ， 0) 作为突破口 具体如下： 课堂互动讲练 “ 第一点 ” ( 即图象上升时与 x 轴的交点 ) 为 x 0 ； “ 第二点 ” ( 即图象的“ 峰点 ” ) 为 x 2； “ 第三点 ” ( 即图象下降时与 x 轴的交点 ) 为 x ；“ 第四点 ” ( 即图象的 “ 谷点 ” ) 为 x 32； “ 第五点 ” 为 x 2 . 例 3已知不变，求 f(x)的对称中心 课堂互动讲练 互动探究 解： 由例题可知 f ( x ) 2 s i n ( 2 x 6) 1. 令 2 x 6 k ，得 x 12k Z ) ， f ( x ) 2 s i n ( 2 x 6) 1 的对称中心为 ( 1212k ， 1) ， k Z . 将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点： (1)审题：把问题提供的 “条件 ”逐条地 “翻译 ”成 “数学语言 ”； (2)描点画图，建立数学模型； (3)求出三角函数解析式； (4)利用函数的性质进行解题 课堂互动讲练 考点四 三角函数模型的应用 课堂互动讲练 例 4 (解题示范 )(本题满分 12分 ) 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点与地面距离 为 0.8 m,60秒转动一圈，图中 时针转动 角到 h. (1)求 间的函数关系式； (2)设从 过 B，求 h与 求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？ 课堂互动讲练 【 思路点拨 】 (1)以圆心 用三角函数的定义求出点 之间的关系可求 (2)把 用 的函数关系式即可 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) 以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以 始边， 2， 2 分 课堂互动讲练 故点 B 的坐标为 ( 4 . 8 c o s ( 2) , 4 . 8 s i n ( 2) ， h 5 . 6 4 . 8 s i n ( 2) . 6 分 ( 2 ) 点 A 在圆上转动的角速度是30， 故 t 秒转过的弧度数为30t ， h 5 . 6 4 . 8 s i n (30t 2) ， t 0 ， ). 10 分 课堂互动讲练 到达最高点时， h 1 0 . 4 m. 由 s i n (30t 2) 1 得30t 22， t 30 ， 缆车到达最高点时，用的最少 时间为 30 秒 . 12 分 【 规律小结 】 在解答过程中易出现求得 错误，导致错误的原因是没有理解三角函数的定义 课堂互动讲练 (本题满分 12分 )某昆虫种群数量在 1月 1日时低至 700只，而在当年 7月 1日时高达 900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化 (1)求出种群数量关于时间 ； (2)画出种群数量关于时间 高考检阅 课堂互动讲练 解： ( 1 ) 设所求的函数解析式 为 y A s i n ( t ) B ，则 B 700 9002 8 0 0 ， A 1 0 0 ，且 T 12 2， 3 分 6， 图象过点 ( 0 , 7 0 0 ) ， 故有 1 0 0 s i n (6 0 ) 8 0 0 700 ， 6 0 2 k 2 2 k 2，k Z. 5 分 课堂互动讲练 取绝对值最小的，故 2. 所求的函数解析式为 y 1 0 0 s i n (6t 2) 800 1 0 0 c o 800. 8 分 (2)其图象为： 课堂互动讲练 规律方法总结 1 三角函数的对称中心与对称轴方程 ( 1 ) 正弦函数 y s i n x 的对称中心是( k ， 0) ， 对称轴方程是 x k 2， k Z ； ( 2 ) 余弦函数 y c o s x 的对称中心是( k 2， 0) ， 对称轴方程是 x k ， k Z ； ( 3 ) 正切函数 y t a n x 的对称中心是(k 2， 0) ， k Z . 2三角函数的图象变换 在图象变换时，提倡先平移后压缩 (伸展 )，但先压缩 (伸展 )后平移也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握无论是哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 图象变换要看 “变量 ”起多大变化，而不是 “角 ”变化多少例如：函数 y 规律方法总结 规律方法总结 象向右平移6个单位 ， 得到的图象表达式应是 y s i n 2 ( x 6) ， 而不应该是 y s i n ( 2 x 6) ； 再如 ， 将 y s i n ( x 6) 的图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ， 得到的函数图象表达式应是y s i n (6) ， 而不应是 y s i x 6) 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 第五章 平面向量 2011高考导航 考纲解读 (1)了解向量的实际背景 (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 (3)理解向量的几何表示 2向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 (2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义 2011高考导航 考纲解读 (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义 3平面向量的基本定理及坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义 (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 2011高考导航 考纲解读 (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件 4平面向量的数量积 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义 (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系 (3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 2011高考导航 考纲解读 (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 (2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 . 2011高考导航 命题探究 为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中以选择、填空题考查本章的基本概念和性质此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型，此类题既可以为选择、填空题，也可以为中档的解答 2011高考导航 命题探究 题向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求以解答题考查圆锥曲线中的典型问题此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主从近几年高考来看分值大约为 10 12分 2011高考导航 命题探究 2预计 2011年高考对本部分会以选择题和填空题的形式考查平面向量的基本概念及运算，难度一般不大；在解答题中向量依然会作为工具，与圆锥曲线、不等式、三角函数、数列等知识结合，体现知识点的交汇，其综合性强，难度一般在中等以上 . 第 1课时 平面向量的概念及其线性运算 基础知识梳理 1向量的有关概念及表示方法 (1)向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既 有 又有 的量；向量的大小叫做向量 的 (或 ) 零向量 长度 为 的 向量；其方向是任意的 记作 0 大小 方向 长度 模 0 基础知识梳理 名称 定义 备注 单位向量 长度等 于 的 向量 平行向量 方 向 或 的 非零向量 与 任一向量平行或共线 共线向量 向 量又叫做共线向量 相等向量 长 度 且 方 向 的 向量 相反向量 长 度 且 方 向 的 向量 0的相反向量为 0 1个单位 相同 相反 平行 相等 相同 相等 相反 0 基础知识梳理 ( 2 ) 向量的表示方法 字母表示法 ， 如 ： a ， 几何表示法 ： 用一条 表示向量 有向线段 【 思考 提示 】 向量有两个要素：大小和方向，而有向线段则有三个要素：大小，方向和起点大小相等，方向相同的两个向量是相等向量，而大小相等，方向相同的两个有向线段不一定相同，即：平移向量，向量不变；平移有向线段，有向线段发生改变；向量与起点无关，有向线段与起点有关这是二者的区别 基础知识梳理 2向量的线性运算 基础知识梳理 向量运算 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量和的运算 法则 法 则 (1)交换律： a b (2)结合律： (a b) c 三角形 平行四边形 b a a (b c) 基础知识梳理 向量运算 定义 法则 (或 几 何 意义 ) 运算律 减法 求 a与 法则 数乘 求实数 与向量 (1)|a| . (2)当 0时 ， a与 ； 当 0时， a与 ； 当 0时，a . (a) ； ( )a ； (a b) . 相同 相反 三角形 |a| ()a a a a b 0 3两向量共线条件 向量 a(a0)与向量 ，使 . 基础知识梳理 b a 、B、 基础知识梳理 【思考 提示】 首先求出 然后证明 即 线即可 三基能力强化 1 在平行四边形 A B C E 为 的中点，且 a ， b ，则 于 ( ) A b 12a B b 12a C a 12b D 12b 答案： A 三基能力强化 答案： B 2 化简 结果等于 ( ) A. . . . 案： B 三基能力强化 3 ( 2 0 0 9 年高考山东卷改编 ) 设 P 是 A B 2 则 ( ) A. . . . 0 答案： a 2b 三基能力强化 4 ( 教材习题改编 ) 化简 ：112 2 ( 2 a 8 b ) 4 ( 4 a 2 b ) _ _ _ _ _ _ _ _ . 三基能力强化 5 在 A B C D 中， a ， b ， 3 M 为 中点，则 _ _ _ _ _ _ _ _ . ( 用 a ， b 表示 ) 答案： 14 a 14 b 1对向量概念的理解着重以下几方面： (1)向量的模； (2)向量的方向； (3)向量的几何表示； (4)向量的起点与终点 2在判定两向量的关系时，特别注意两特殊情况： (1)零向量的方向及与其他向量的关系； (2)单位向量的长度及方向 课堂互动讲练 考点一 向量的有关概念 课堂互动讲练 例 1 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量 A 1 B 2 C 3 D 0 课堂互动讲练 向量 向量 线 ， 则 A 、 B 、C 、 D 四点共线 ； 如果 a b ， b c ， 那么 a c . 以上命题中正确的个数为 ( ) 课堂互动讲练 【 思路点拨 】 联想向量的基本概念 注意特殊向量：零向量 逐一考查判断 【 解析 】 不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段； 不正确，若 a与 向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； 不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； 不正确，如果 b 0时，则 a与 所以应选 D. 【 答案 】 D 课堂互动讲练 【 规律小结 】 准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，才是相等向量共线向量或相等向量均与向量起点无关 课堂互动讲练 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解 课堂互动讲练 考点二 向量的线性运算 课堂互动讲练 例 2 ， 23 E ， 上的中线 N . 设 a ， b ， 用 a 、 b 表示向量 课堂互动讲练 【思路点拨】 解本题除要进行向量的加、减运算外，还要进行数乘向量运算，如23 1313a ， 1313a . 在进行计算时要 充 分 利 用 A D E 条件 课堂互动讲练 【解】 23 2323b ， b a . 由 A D E 得 2323( b a ) ， 又 中线， 且 E 交于点 N ， 得 1213( b a ) 【 规律小结 】 解决这类问题的方法是依据三角形法则或平行四边形法则，构造含有表示所求向量的有向线段的三角形或平行四边形 课堂互动讲练 课堂互动讲练 互动探究 例 2 的条件不变 ， 试求 ， . 解： a 12 a 12( b a ) 12( a b ) A D N 23 2313( a b ) 1向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想 2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 课堂互动讲练 考点三 向量的共线问题 课堂互动讲练 例 3 ( 解题示范 ) ( 本题满分 12 分 ) 已知非零向量 e 1 、 e 2 不共线 ( 1 ) 如果 e 1 e 2 ， 2 e 1 8 e 2 ， 3( e 1 e 2 ) ， 求证 ： A 、B 、 D 三点共线 ； (2)欲使 确定实数 课堂互动讲练 【思路点拨】 对于 ( 1 ) ，欲证明A 、 B 、 D 三点共线，只需要证明存在 ，使 可；对于 ( 2 ) ，若 k e 1 e 2 与 e 1 k e 2 共线，则一定存在 ，使 k e 1 e 2 ( e 1 k e 2 ) 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) 证明： 2 8 3 3 5( 5 3 分 线，它们有公共点 B . A 、 B 、 D 三点共线 . 6 分 课堂互动讲练 ( 2 ) k e 1 e 2 与 e 1 k e 2 共线， 存在 使 k e 1 e 2 ( e 1 k e 2 ) ， 8 分 则 ( k ) e 1 ( k 1) e 2 . 由于 e 1 与 e 2 不共线， 只能有k 0 ，k 1 0 ，11 分 解得 k 1 . 12 分 【 误区警示 】 在本例的 (1)中向量共线并不能等同于表示两向量的起点和终点一定在同一直线上，还需确定有一公共点在 (2)中要合理应用两个向量共线的条件 课堂互动讲练 (本题满分 12分 )设两个非零向量 课堂互动讲练 高考检阅 ( 1 ) 如果 e 1 e 2 ， 3 e 1 2 e 2 ， 8 e 1 2 e 2 ， 求证 ： A 、 C 、 D 三点共线 ； ( 2 ) 如果 e 1 e 2 ， 2 e 1 3 e 2 ， 2 e 1 k e 2 ， 且 A 、 C 、 D 三点共线 ， 求 k 的值 课堂互动讲练 解： ( 1 ) 证明： 3 2 8 2 4 12( 8 2 12 线 又 公共点 C ， A 、 C 、D 三点共线 . 6 分 课堂互动讲练 ( 2 ) ( (2 3 2 A 、 C 、 D 三点共线， 线，从而存在实数 使得 8 分 即 3 2 (2 k ，由平面向量基本定理，得 3 2 2 k， 11 分 解得 32， k 43. 12 分 1向量加法应注意的几个问题 (1)两个向量的和仍是一个向量； (2)使用三角形法则时要注意 “首尾相连 ”； (3)当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用； (4)向量求和的多边形法则：已知次把这 首尾相连 ”，以第一个向量的起点为起点，第 做这 规律方法总结 2向量减法运算应注意的两个问题 (1)向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量 (2)用三角形法则作向量减法时，记住 “连接两个向量的终点，箭头指向被减向量 ” 规律方法总结 3向量的数乘运算 (1)向量数乘的特殊情况：当 0时， a 0；当 a 0时，也有 a 0. (2)实数和向量可以求积，但不能求和、求差 (3)熟练掌握向量线性运算的运算规律是正确化简向量算式的关键，要正确区分向量数量积与向量数乘的运算律 规律方法总结 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 第 2课时 平面向量的基本定 理及其坐标表示 基础知识梳理 1平面向量基本定理 如果 么该平面内任一向量 a，存在唯一的一对实数 a ，把不共线向量 底 ，记为 叫做向量 分解式 2正交分解 如果基底的两个基向量 称这个基底为 ，在正交基底下分解向量，叫做 基础知识梳理 基底 正交 正交分解 3向量坐标 设 平面直角坐标系内的正交基底，由平面向量基本定理，对于平面上的一个向量 a，有且只有一对实数 x， y，使得 a 们把有序实数对 (x， y)叫做向量 ， 记作： ， 叫 a在 叫 a在 把 a (x， y)叫做向量的坐标表示 基础知识梳理 下的坐标 a (x， y) 量与它的坐标之间是什么关系？ 【 思考 提示 】 向量与它的坐标之间是一一对应关系，即向量确定，则坐标唯一；坐标确定，则向量唯一 基础知识梳理 4向量的直角坐标运算 设 a ( b (则 a b ， a b ，a 基础知识梳理 (基础知识梳理 5 用平面向量坐标表示向量共线条件 设 a ( a 1 ， a 2 ) ， b ( b 1 ， b 2 ) ， 向量 a b a 1 b 2 a 2 b 1 0 a 1b 1a 2b 2( b 1 0 且 b 2 0) 1 (2009年高考湖北卷改编 )若向量 a (1,1)， b ( 1,1)， c (4,2)，则b ( ) A 3a c B 3a c C a 3c D a 3c 答案： B 三基能力强化 A ( 2， 4) B ( 3， 5) C (3,5) D (2,4) 答案： B 三基能力强化 2 在平行四边形 ， 一条对角线 ， 若 (2 , 4) ， (1 , 3) ，则 于 ( ) 答案： A 三基能力强化 3 已知两点 A (4 , 1) ， B (7 ， 3) ， 则与 向的单位向量是 ( ) A (35，45) B ( 35，45) C ( 45，35) D (45，35) 答案： 8 三基能力强化 4 若 p (1 ， 2) ， q (12， 0) ， a (3 , 4) 且满足 a m p n q . 则 m n _ _ _ _ _ _ _ _ . 5 (教材习题改编 )已知向量 a(1,2)， b (x,1)，若 u a 2b， v 2a b，且 u v，则 x _. 三基能力强化 答案： 12 1以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同 2利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算 课堂互动讲练 考点一 平面向量的基本定理及其应用 提醒 ：由于基底向量不共线，所以 0不能作为一个基底向量 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例 1 如图所示，在 O A B 中， 14 12 于点 M，设 a， b，以 a、 课堂互动讲练 【思路点拨】 先用平面向量基本定理设出 m a n b ，再利用共线向量的条件列出方程组，确定 m ， 课堂互动讲练 【解】 设 m a n b ( m ， n R ) ， 则 ( m 1) a n b ， 12b a a 12b . 因为 A ， M ， D 三点共线，所以m 1 1 m 2 n 1. 课堂互动讲练 而 ( m 14) a n b ， b 14a 14a b ， 因为 C ， M ， B 三点共线，所以m 1414 4 m n 1. 课堂互动讲练 由m 2 n 1 ，4 m n 1 ，解得m 17，n 37，所以 17a 37b . 【 名师点评 】 (1)本题两次利用了共线的条件，并且注意方程思想的利用； (2)解决类似问题应重视平面几何知识的应用； (3)用基底表示向量是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，并熟练掌握 课堂互动讲练 向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算 课堂互动讲练 考点二 平面向量的坐标运算 课堂互动讲练 例 2 已知 A ( 2 , 4) ， B (3 ， 1) ， C ( 3 ， 4) 设 a ， b ， c ， ( 1 ) 求 ： 3 a b 3 c ； ( 2 ) 求满足 a m b n c 的实数m ， n ； 【 思路点拨 】 利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【解】 由已知得 a (5 ， 5) ， b ( 6 ， 3) ， c (1 , 8) ( 1 ) 3 a b 3 c 3 ( 5 ， 5) ( 6 ， 3) 3 ( 1 , 8) ( 1 5 6 3 ， 15 3 24) (6 ， 4 2 ) ( 2 ) m b n c ( 6 m n ， 3 m 8 n ) (5 ， 5) ， 6 m n 5 3 m 8 n 5，解得m 1n 1【 名师点评 】 利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程组求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向不能写错 课堂互动讲练 课堂互动讲练 互动探究 若例 2 条件不变 ， 又已知 3 c ， 2 b . 求 M 、 N 的坐标及向量 坐标 课堂互动讲练 解： 3 c ， 3 c (3 , 24) ( 3 ，4) (0 , 2 0 ) M (0 , 20) 又 2 b ， 2 b ( 1 2 , 6) ( 3 ，4) (9 , 2) ， N (9 , 2) ， (9 ， 1 8 ) 两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若 a ( b (x2，则 a ； (2)若 a b(a0)，则 b a. 课堂互动讲练 考点三 平面向量共线的坐标表示 课堂互动讲练 例 3 已知平面内三个向量： a(3,2)， b ( 1,2)， c (4,1) (1)求满足 a n； (2)若 (a (2b a)，求实数 k. 【 思路点拨 】 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) a m b n c ， m ， n R . (3 , 2) m ( 1 , 2) n (4 , 1) ( m 4 n , 2 m n ) m 4 n 3 ，2 m n 2 ，解之得m 59，n ( 2 ) ( a k c ) (2 b a ) ， 且 a k c (3 4 k , 2 k ) , 2 b a ( 5 , 2) ， (3 4 k ) 2 ( 5) (2 k ) 0 ， k 1613. 课堂互动讲练 【误区警示】
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