2013届高考数学 考点单元复习教案（打包19套）
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2013届高考数学 考点单元复习教案（打包19套）,高考,数学,考点,单元,复习,温习,教案,打包,19
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1 三角函数 1了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切 2 掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用 3 能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证 明 4 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象会用 “ 五点法 ”画出正弦函数、余弦函数和 )( 简图，理解 、A、 的物理意义 5 会由已知三角函数值求角，并会用符号 6 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题 三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点： 1 降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查尤其是三角函数的最大值与最小值、周期 2 以小题为主一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题 等 知识网络 考纲导读 高考导航 任意角的三角函数 三 角 函 数 两角 和与差的三角函数 三角函数的图象和性质 角的概念的推广、弧度制 任意角的三角函数的定义 同角三角函数基本关系 诱导公式 两角和与差的正弦、余弦、正切 二倍角的正弦、余弦、正切 y y 图象和性质 y 图象和性质 y x )的图象 2 3 更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识 第 1课时 任意角的三角函数 一、 角的概念的推广 1与角 终 边相同的角的集合为 2与角 终边互为反向延长线的角的集合为 3轴线角（终边在坐标轴上的角） 终边在 ，终边在 ，终边在坐标轴上的角的集合为 4象限角是指： 5区间角是指： 6弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为 1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系 7弧度与角度互化： 180 弧度， 1 弧度， 1弧度 8弧长公式： l ； 扇形面积公式： S . 二、 任意角的 三角函数 9定义：设 P(x, y)是角 终边上任意一点，且 | r，则 ； ； ； 10三角函数的符号与角所在象限的关系： 12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域： 解析式 y y y 义域 值 域 13三角函数线：在图中作出角 的正弦线、余弦线、正切线 例 1. 若 是第二象限的角，试分别确定 2 ,2,3的终边所在位置 . 解 ： 是第二象限的 角， 基础过关 + x y O x y O x y O x y O 典型例题 3 k360+90 k360+180 （ k Z） . （ 1） 2k360+180 2 2k360+360 （ k Z）， 2 是第三或第四象限的角，或角的终边在 （ 2） k180+45 2 k180+90 （ k Z）， 当 k=2n（ n Z）时， n360+45 2 n360+90 ； 当 k=2n+1（ n Z） 时 ， n360+2 25 2 n360+270. 2是第一或第三象限的角 . （ 3） k120+30 3 k120+60 （ k Z）， 当 k=3n（ n Z）时， n360+30 3 n360+ 60 ； 当 k=3n+1（ n Z） 时 ， n360+150 3 n360+180 ； 当 k=3n+2（ n Z） 时 ， n360+270 3 n360+300. 3是第一或第二或第四象限的角 . 变式训练 1： 已知 是第三象限角，问3是哪个象限的角？ 解 ： 是第三象限角， 180+k360 270+k360 （ k Z）， 60+k120 3 90+k120 . 当 k=3m(m Z)时，可得 60+m360 3 90+m360 （ m Z） . 故3的终边在第一象限 . 当 k=3m+1 (m Z)时，可得 180+m360 3 210+m360 （ m Z). 故3的终边在第三象限 . 当 k=3m+2 （ m Z）时，可得 300+m360 3 330+m360 （ m Z） . 4 故3的终边在第四象限 . 综上可知，3是第一、第三或第四象限的角 . 例 2. 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围 ,并由此写出角 的集合 : (1)23;(2)21. 解 ： （ 1）作直线 y=23交单位圆于 A、 结 则 域即为角 的终边的范围，故满足条件的角 的集合为 |2k +3 2k +32 ， k Z . （ 2）作直线 x=21交单位圆于 C、 结 中阴影部分） 即为角 终边的范围 的集合为 342322| . 变式训练 2： 求下列函数的定义域： （ 1） y= 1x ；（ 2） y=. 解 ： （ 1） 210 ， 1. 由三角函数线画出 如图阴影所示 ). x 32,32 k Z） . （ 2） 3 0,x43, 3. 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 (如右图阴影 ), x （ k k +3）（ k Z). 例 3. 已知角 的终边在直线 3x+4y=0上，求 ,的值 . 解 ： 角 的终边在直线 3x+4y=0上， 在角 的终边上任取一点 P(4t,(t0), 则 x=4t,y=r= 5)3()4( 2222 t|, 当 t 0时， r=5t, =5353 =5454 =4343 5 当 t 0时， r=5353 =5454 =4343 综上可知， t 0时， =53,=54,=43; t 0时， =53,=43. 变式训练 3： 已知角 的终边经过点 P 2( 3 , ) ( 0 ) , s i m m 且，试判断角 所在的象限，并求 和 的值 解： 由题意，得 2223 , , 0 , 543mr m m 故角 是第二或第三象限角 当 5m 时 , 22r ，点 3, 5) ， 3 6 5 1 5c o s , t a 3 当 5m 时 , 22r ，点 P 的坐标为 ( 3, 5 )， 3 6 5 1 5c o s , t a 3 例 4. 已知一扇形中心角为 ，所在圆半径为 R (1) 若 3， R 2扇形的弧长及该弧所在 弓形面积； (2) 若扇形周长为一定值 C(C0)，当 为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值 解： （ 1）设弧长为 l，弓形面积为 S 弓 。 )(32 扇弓 3si )332( （ 扇形周长 22 22 22 )22(2121 扇 6 1624241244122222 当且仅当 22 4，即 2时扇形面积最大为162c 变式训练 4： 扇形 的周长是 4中心角的弧度数和弦长 解： 设扇形的半径为 r，弧长为 l，中心角的弧度数为 则有12142 21| 2 | 2( 1本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系 2在计算或化简三角函 数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清： 角的范围是什么？ 对应的三角函数值是正还是负？ 与此相关的定义、性质或公式有哪些 ? 第 2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1 同角公式： (1) 平方关系： 1， 1 ， 1 (2) 商数关系： ， (3) 倒数关系： 1， 1， 1 2 诱导公式： 2 2 222323 规律：奇变偶不变，符号看象限 3 同角三角函数的关系式的基本用途： 根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式 4 诱导公式的作用： 诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为 090 角的三角函数值 典型例题 小结归纳 基础过关 7 例 1. 已知 f( )=)s i n ()t a n ( )t a n ()2c o s ()s i n ( ; （ 1）化简 f( ); （ 2）若 是第三 象限角，且 ，求 f( )的值 . 解 ： （ 1） f（ ） = =. （ 2） 23=, =- 6525 1522 , f( )=652. 变式训练 1： 已知 A)(c o s )c o s (s i n )s i n ( 则 ( ) A 1, 1, 2, 2 B 1, 1 C 2, 2 D 2, 1, 01, 2 解： C 例 2 求值： (1) 已知53)7co s (,2 ，求)2 的值 2) 已知11，求下列各式的值 ； 2 解： （ 1）54)22； （ 2）35 变式训练 2： 化简： )4s i n ( )8c o s (t a n)5s i n ( ， )44si n( 解： 原式 原式 0 例 3. 已知02 x， x x51 （ 1）求 x x 的值 （ 2）求x xx 的值 解： ( 1 ) 57， ( 2 ) 17524变式训练 3： 已知 +=51, (0, ) （ 1） ;（ 2） ;（ 3） +. 解 方法一 +=51, (0, ), ( +)2=251=1+2， 8 =0. 由根与系数的关系知 ， ,是方程 的两根 ， 解方程得 4,53. 0, 0, =54, = （ 1） =（ 2） =57. （ 3） +=12537. 方法二 （ 1） 同方法一 . （ 2）（ ） 2=1 =12512=2549. 0, 0, 0, =57. （ 3） +=(+)(+) =51 25121=12537. 例 4 已知 =2,求下列各式的值 ： （ 1） ; （ 2） 2222; （ 3） 4. 解 ： （ 1） 原式 =1924 3229 . （ 2）75924 3229t a t a o i n4 c o i 2222222 . （ 3） +=1, 4 = 2222co ss in co ss =114 523441t a n 5t a a 2 . 变式训练 4： 已知 +k )= +k ) (k Z). 求 :（ 1） ; 9 （ 2）41+52. 解 ： 由已知得 +k )0, +k )=-2(k Z),即 =（ 1）10t a t a i o s5 c o i . （ 2）41+52=2222 =2571 . 1求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例 1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例 2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义 . 2求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法 . 第 3课时 两角和与差的三角 函数 1 两角和的余弦公式的推导方法： 2 基本公式 ) ) ; ) . 3 公式的变式 )(1 1 ) 4 常见的角的变换： 2 ( ) ( ) ； 22 ( ) ( ) 2 ( 2) (2 ) ； )4()4( 2例 1 求 21+ 3 80 的值 . 典型例题 小结归纳 基础过关 10 解 ： 原式 = 80si o s 10si 80s 0c o s 10s o 10c o o i 10c o i i = 10c o o s 40s i i i 60si o o s 60si 变式训练 1： (1)已知 (2, )， =53,则 )等于 （ ） C. 71D. 7 (2) 等于 （ ） A.(1)A (2)B 例 2. 已知 (4，43)， (0，4), 4)53， 3 ) 135，求 ) 的值 解： 443 2(43,4 ) (0,1 x) 4(0,2) 43(43,) 4)5443)1312 ) ( ) 4) (43)6556变式训练 2： 设 2） =91， ） =32，且2 ， 0 2， 求 + ） . 解： 2 ， 0 2， 4 2 ，42 2. 11 故由 2） =91，得 2） =954. 由 ） =32，得 ） =35.= 2）（2 ）= c o s ( ) c o s ( ) s i n ( ) s i n ( )2 2 2 2 = 1 5 2 4 59 3 3 9 7527 + ） =2 1= 275227729239. 例 3. 若 5,010,且 A,求 A+B 的值 . 解 A 、 5,010， - =552， =10103， +B)= 552 10103010=22 又 2 A , 2 B , A+B 2 由 知， A+B=47. 变式训练 3： 在 中，角 A、 B 、 7,求角 解 在 ， A+B+C=180, 由 47, 得 42 ) =27, 所以 4=0. 于是 1,B=60. 例 4 化简 + . 解 方法一 （复角 单角，从 “ 角 ” 入手） 原式 = + 2 (2 = + +1) 12 = + + +1. 方法二 （ 从 “ 名 ” 入手 ， 异名化同名 ） 原式 = +(1) = () = = 2=2 2 )12 =2 2=21. 方法三 （ 从 “ 幂 ” 入手 ， 利用降幂公式先降次 ） 原式 =2 22 2+2 22 2 =41(1+ )+41(1+ +) =21. 方法四 （ 从 “ 形 ” 入手 ， 利用配方法 ， 先对二次项配方 ） 原式 =( )2+2 = + )+21 = + ) +2 ) = + )- 21 2 + )=21. 变式训练 4： 化简 ：（ 1） 2 6 (2） 4 解 （ 1） 原式 =2 2 c o 13 =2 2 c o o i i n =2 2 =2 2 . （ 2）原式 = 22co s=)2=1. 1三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形 常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如： 2 =+ ( ) 等 2在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如 3 三角函数式要创造条件使用公式 第 4课时 二倍角的正弦、余弦、正切 1 基本公式： ； ； . 2 公式的变用： 1 ； 1 例 1. 求值：140co 0co 0 解：原式 8002060c o s ()2060c o s ( )2060s i n ()2060s i n ( 3 变式训练 1：)12 ( （ ） A23B21C 21D23解： D 例 2 已知 为锐角，且21，求 2的值 . 典型例题 小结归纳 基础过关 14 解： 为锐角 2 21 245变式训练 2： 化简：)4(s i n)4t a n (21c o 解： 原式)4(co s)4co s ()4s 22co 1 例 3 已知 co 2 ； (1) 求)625( (2) 设2341)2(),0( f，求 值 解： （ 1） 23625 0625c o o 25( 2 f（ 2） s 2 3412 3s o )2( 4 11 0 解得8 531 00(2 故8 531变式训练 3： 已知 6)31，求 232 )的值 解： 2 2) 2 ) 1 2 ) 197例 4 已知 1， (0，2)，求 值 解： 由已知得 2 0 即 ( 2( 0 (2 1) 0 (0 ，2) 1 2 1 2133 15 变式训练 4： 已知 、 、 的等比数列 )2,0( ，且 、 、 解： 、 、 的等比数 列 2 ， r 4 12c o o n 4si n 2si n 2 1 ，解得 1或21当 1时， 0与等比数列首项不为零矛盾故 1舍去 当21时， 20,2 322 或322 38,34,32 8,34 倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系； 2要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用 (正用、逆用、变形用 ) 3对三角函数式的变形有以下常用的方法： 降次（常用降次公式） 消元（化同名或同角的三角函数） 消去常数 “1” 或用 “1” 替换 角的范围的确定 第 5 课时 三角函数的化简和求值 1三角函数式的化简的一般要求： 函数名称尽可能少； 项数尽可能少； 尽可能不含根式； 次数尽可能低、尽可能求出值 2 常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次 3 求值问题的基本类型及方法 “ 给角求值 ” 一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解 “ 给值求值 ” 即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三 角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同； “ 给值求角 ” 关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角 4 反三角函数 别表示 2,2 、 0， 、（2, 2 ）的角 典型例题 小结归纳 基础过关 16 例 1. （ 1）化简：40co n)100si s （ 2）化简：xx 4 66 解： 10c o s 10s o 10co s 50co s )1060co s(2 原式 20c o o o o o o o o = 2 变式训练 1： 已知 11)(，若),2( ，则 )(f )f 可化简为 解：. 已知 0c o o ss 2 ， 2， ，求 2 3）的值 解法一： 由已知得 (3 2(2 0 3 2 0或 2 由已知条件可知 2即 (2,) 32 3) 23( 222222 s s co 222 t t t 2635136 解法二： 由已知条件可知 则 2从而条件可化为 6 2 0 (2, ) 解得 32(下同解法一 ) 变式训练 2： 在 ，22 2 3求 的值和 的面积 解： 2 221 17 从而 0 A(,2) co n4)co s(si n 2 26 据 可得 26 26 2 3 S4 )26(3 例 3. 已知 ) 21， 、 （ 0， ），求 2 的值 . 解： 由 71(0 ， ) 得 (2, ) 由 ) 31(0 ， ) 得 0 2 0 2 由 43 0 知 0 2 2 ) 1 由 知 2 ( ， 0) 2 43(或利用 2 2( ) 求解 ) 变式训练 3： 已知 为第二象限角，且 415，求12 的值 解： 由 415 为第二象限角 41)co s(s i s i n (12co i n)4s i n ( 2 例 4 已知310co 3 （ 1）求 值； 18 （ 2）求)2si n (282c o o 2 的值 解：（ 1） 由310 得 03 解得 3或31又 43，所以31为所求 （ 2）原式：c o o i o c o 6c o i o 6 2522 6t a o c o i 变式训练 4： 已知 k 4 0) 的图象 令 x x 转化为 y 作图象用五点法，通过列表、描点后作图象 函数 y x )的图象与函数 y 振幅变换： y 0， A1) 的图象，可以看做是 y ， (A1)或 (00 ， 1) 的图象，可以看做是把 y (1) 或 (00) 的周期为 相位变换： y x )( 0) 的图象，可以看做是把 y ( 0)或向 ( 0)或向右 ( 0)或向右 ( 0， 0) 若 A 3， 21， 3，作出函数在一个周期内的简图 若 振动频率是2，当 x24时，相位是3，求 和 解： (1) y 32 x)列表 (略 )图象如下： 32 232 x 323538311314y 位 变换 周期 变换 振幅 变换 y 期 变换 相位 变换 振幅 变换 3 2 1 2 2 35 38 311 314 x y 0 23 y 0 3 0 3 0 (2)依题意有： 32422f 64 变式训练 1： 已知函数 y=22( x, (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用 “ 五点法 ” 作出它在一个周期内的图象； (3)说明 y=22( y= 解 （ 1） y=22( =2,周期 T=22= ，初相 =3. （ 2）令 X=2x+3,则 y=22( x=2列表，并描点画出图象： x 2312765X 0 2 232 y= 1 0 y=2x+3) 0 2 0 （ 3） 方法一 把 y=单位，得到 y=( 把 y=( 坐标不变），得到y=2( 后把 y=2( 倍（横坐标不变），即可得到 y=22( 方法二 将 y=坐标不变，得到y= 24 再将 y=向左平移6个单位； 得到 y=( x=2( 将 y=2( 坐标伸长为原来的 2倍，得到 y=22( 例 2已知函数 y=321( x（ 1）用五点法作出函数的图象； （ 2）说明此图象是由 y=图象经过怎么样的变化得到的； （ 3）求此函数的振幅、周期和初相； （ 4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心 . 解 （ 1）列表： x 223252729421 232 3421( 0 描点、连线 ,如图所示： （ 2） 方法一 “ 先平移，后伸缩 ”. 先把 y=单位，得到 y=( 把 y=( 倍（纵坐标不变），得到 y=21( 后将 y=21( 倍（横坐标不变），就得到 y=321( 方法二 “ 先伸缩，后平移 ” 先把 y=倍（纵坐标不变），得到 y=把 y=单位， 得到 y=2( ，最后将 y=2( 倍（横坐标不变），就得到 y=321( （ 3）周期 T=2=212=4 ，振幅 A=3，初相是 (4)令421 x=2+k (k Z), 得 x=2k +23 (k Z),此为对称轴方程 . 25 令21k (k Z)得 x=2+2k (k Z). 对称中心为)0,22( k(k Z). 变式训练 2： 已知函数23c o ss i 2 c o ),( 的最小正周期为 且图象关于6 (1) 求 f(x)的解析式； (2) 若函数 y 1 f(x)的图象与直线 y ,0 上中有一个交点，求实数 解： （ 1）232 2c o 1)62 w R 122 当 w 1时，1)62( w 1 )62s i n (11)62s i n ()( 2）)62(1 图： 直线 y ,0 上与 y 1 f(x)图象只有一个交点 2121 a或 a 1 例 3 如图为 y= x+ )的图象的一段，求其解析式 . 解 方法一 以 则 A=- 3 ， T=2)365( = ， =2，此时解析式为 y=- 3 2x+ ） . 0 2121y x 667 26 点 N)0,6( ， 2+ =0， =3， 所求解析式为 y=- 3 2( x. 方法二 由图象知 A= 3 ， 以 M)0,3(为第一个 零点， P)0,65( 为第二个零点 . 列方程组6503 解之得322 . 所求解析式为 y= 3 22( x. 变式训练 3： 函数 y= x+ )( 0,| | 2,x R)的部分图象如图，则函数表达式为 ( ) A. y=8( y=8( y=48( y=48( B 例 4 设关于 3 k 1在 0，2内有两不同根 ， ，求 的值及 解： 由 3 k 1得 2x6) k 1 即 x6)21k设 c: y x6)， l: y21k，在同一坐标系中作出它们的图象 (略 ) 由图易知当2121 k 1时 , 即 0k 1时 直线 两交点的横坐标为 、 ，从图象中还可以看出 、 关于 x6对称 .。 故 3变式训练 f (x) x )(0 ， 0 ) 是 图象关于点 M(43 ， 0)对称，且在区间 0，2上是单调函数，求 和 的值 解： 由 f (x)是偶函数，得 f( x) f (x)即 x ) x ) x 0， 0 依题意设 0 2由 f(x)的图象关于点 27 得 f(43 x) f (43 x) 取 x 0得 f （43） f （43） f (43) 0 f(43) 32) 0 又 0得432 32 (2k 1) (k 0， 1， 2 ) 当 k 0时， 32f (x) 32 x)在 0，2上是减函数； 当 k 1时， 2 f (x) x2)在 0，2上是减函数； 当 k2 时， 310f (x) )在 0，2上不是减函数； 32或 2 1图象变换的两种途径 先相位变换后周期变换 y y x ) y x ) 先周期变换后相位变换 y y y x ) 2给出图象求解析式 y x ) 、 的确定，本质为待定系数法，基本方法是： “ 五点法 ” 运用 “ 五点 ” 中的一点确定 图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象 经过变换得到的 1 概率 （一） 事件与概率 1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。 2了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式 . （二） 古典概型 （ 三） 随机数与几何概型 运用模拟方法估计概率 . 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律纵观近几年高考，概率的内容在选择、填空解答题中都很有可 能出现。 第 1课时 随机事件的概率 1 随机事件及其概率 (1) 必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件 (2) 不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件 (3) 随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件 (4) 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件，这时就把这个常数叫做事件 作 () (5) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是 0 ( ) 1，必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0 2 等可能性事件的概率 (1) 基本事件：一次试验连同其中可能 出现的每一个结果称为一个基本事件 (2) 等可能性事件的概率：如果一次试验由 且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是 1n如果某个事件 么事件 知识网络 考纲导读 高考导航 概率 随机事件的概率 等可能事件的概率 互斥事件的概率 相互独立事件的概率 应用 2 的概率： 1) 一个盒子装有 5个白球 3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率； (2) 箱中有某 种产品 a 个正品， 有放回地从箱中随机地连续抽取 3次，每次 1次，求取出的全是正品的概率是（ ） A333333)( 333) 某班有 50名学生，其中 15人选修 外 35人选修 班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？ 解： （ 1）从袋内 8个球中任取两个球共有 2828 ，从 5个白球中取出 2个白球有 1025 取出的两球都是白球的概率为1452810)( 2）33)( 3）73250135115 C . 盒中有 1个黑球 9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由 10 人依次摸出 1个球，高第 1人摸出的是黑球的概率为 10 人摸出是黑球的概率为 （ ） A110 101 B110 91C 0 D ： D 例 2. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 2个红球， 2个白球；乙袋装有 2个红球， 甲、乙两袋中各任取 2个球 . (1) 若 n 3，求取到的 4个球全是红球的概率； (2) 若取到 4个球中至少有 2个红球的概率为43，求 n. 解： （ 1）记“取到的 4个球全是红球”为事件60110161)(. 25222422 （ 2）记“取到的 4个球至多有 1个红球”为事件 B，“取到的 4个球只有 1个红球”为事件取到的 4个球全是白球”为事件 题意，得 )( 1 221124222 22241212 C )1)(2(3 2 2 nn n)1)(2(6 )1()( 2 2224222 nn n )(2(3 2)()()(221 nn )(2(6 )1( nn 简，得 711n 6 0，解得 n 2，或73n（舍去），故 n 2. 变式训练 2： 在一个口袋中装有 5个白球和 3个黑球，这些球除颜色外完全相同从中摸出3个球，至少摸到 2个黑球的概率等于 （ ） 典型例题 3 A72B83C73D289解： A 例 3. 袋中装着标有数字 1,2,3,4,5的小球各 2个，从袋中任取 3个小球，按 3个小球上最大数字的 9倍计分，每个小球取出的可能性都相等，用 表示取出的 3个小球上的最大数字，求： (1) 取出 3个小球上的数字互不相同的概率 ； (2) 计分介于 20 分到 40分之间的概率 . 解： （ 1）“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A， 则32)( 31012121235 C 2）“一次取球所得计分介于 20 分到 40分之间”的事件记为 C，则 P(C) P(“ 3”或“ 4” ) P(“ 3” ) P(“ 4” )3013103152 变式训练 3： 从数字 1， 2， 3， 4， 5中任取 3个，组成没有重复数字的三位数，计算： 这个三位数字是 5的倍数的概率； 这个三位数是奇数的概率； 这个三位数大于 400 的概率 . 解： 15 35 25例 4. 在一次口试中，要从 20道题中随机抽出 6道题进行回答，答对了其中的 5 道就获得优秀，答对其中的 4道就可获得及格某考生会回答 20道题中的 8道题，试求： （ 1）他获得优秀 的概率是多少？ （ 2）他获得及格与及格以上的概率有多大？ 解： 从 20道题中随机抽出 6道题的结果数，即是从 20个元素中任取 6个元素的组合数 620C 由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性 都相等 (1)记“他答对 5道题”为事件 1A ，由分析过程已知在这 620C 种结果中，他答对 5题的结果有 6 5 18 8 12 700C C C种，故事件 1A 的概率为 1 6207 0 0 3 5 (2)记“他至少答对 4道题”为事件 2A ，由分析知他答对 4道题 的可能结果为6 5 1 4 28 8 1 2 8 1 2 5320C C C C C 种，故事件 2A 的概率为： 2 6205 3 2 0 751答： 他获得优秀的概率为 351938，获得及格以上的概率为 ： 有 5个指定的席位，坐在这 5个席位上的人都不知道指定的号码，当这 5个人随机地在这 5个席位上就坐时 . (1) 求 5个人中恰有 3 人坐在指定的席位上的概率； (2) 若在这 5个人侍在指定位置上的概率不小于61，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？ 4 解： （ 1）121)( 5535 2）由于 3人坐在指定位置的概率12161，故可考虑 2人坐在指定位置上的概率，设 5人中有 2人坐在指定位置上为事件 B，则612)( 5525 由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于61，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多 2人坐在指定席位上 1实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件随机事件在现实世界中是广泛存在 的在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率 2如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果，其中事件 么事件 集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合 I，其中事件 的一个子集 A，因此 .C a r d A a r d I n从排列、组合的角度看，m、 此这种“古 典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事 3利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数 第 2课时 互斥事件有一个发生的概率 1 的两个事件叫做互斥事件 2 的互斥事件叫做对立事件 3 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指 由各个事件所含的结果组成的集合彼此 事件 事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集 4 由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算设 A、 么 A+同一试验中， 中 就表示 A+们称事件 A+、 可以推广如下： “ 12A A ” 表示这样一个事件，在同一试验中， , , ,12A A 即表 示 12A A 发生，事实上，也只有其中的某一个会发生 5 如果事件 A、 么事件 A+于 即 P(A+B) A 是一个必然事件，再加上 P(A+B)=P(A)+ P(B) ，故 1P ( A A ) P ( A ) P ( A ) ，于是P( A)= ，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转 化 去求其对立事件的概率 例 1. 某射手 在一次射击训练中，射中 10环， 9环， 8环， 7环的概率分别为 小结归纳 典型例题 基础过关 5 算这个射手在一次射击中：射中 10 环或 7环的概率；不够 7环的概率 . 解： 变式训练 1. 一个口袋内有 9张大小相同的票，其号数分别是 1， 2， 3， ， 9，从中任取 2张，其号数至少有 1个为偶数的概率等于 （ ） A 59B 49C 518D 1318解： D 例 2. 袋中有红、黄、白 3种 颜色的球各 1只，从中每次任取 1只，有放回地抽取 3次，求： （ 1） 3只全是红球的概率 （ 2） 3只颜色全相同的概率 （ 3） 3只颜色不全相同的概率 （ 4） 3只颜色全不相同的概率 解： (1)记 “3 只全是红球 ” 为事件 A从袋中有放回地抽取 3次，每次取 1只，共会出现3 3 3 27 种等可能的结果，其中 3只全是红球的结果只有一种，故事件 A) (2) “3 只颜色全相同 ” 只可能是这样三种情况： “3 只全是红球 ”( 事件 A)； “3 只全是黄球 ”( 设为事件 B)； “3 只全是白球 ”( 设为事件 C) 故 “3 只颜色全相同 ” 这个事件为A+B+C，由于事件 A、 B、 此它们是互斥事件再由于红、黄、白球个数一样，故不难得 127P ( B ) P ( C ) P ( A ) ， 故 19P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) (3) 3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等考虑起来比较麻烦，现在记 “3 只颜色不全相同 ” 为事件 D，则事件 D 为 “3 只颜色全相同 ” ，显然事件 是对立事件 1811 99P ( D ) P ( D ) . (4) 要使 3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故 3次抽到红、黄、白各一只的可能结果 有 1 1 13 2 1 6C C C 种，故 3只颜色全不相同的概率为 6227 9 变式训练 2. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ ） A 至少有 1个黑球与都是黑球 B 至少有 1个黑球与至少有 1个红球 C 恰有 1个黑球与恰有 2个黑球 D 至少有 1个黑球与都是红球 解： C 例 3. 设人的某一特 征（如眼睛大小）是由他的一对基因所决定的，以 具有 有 ，具有 人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的一某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问： 1个孩子有显性决定特征的概率是多少？ 2个孩子至少有一个显性决定特征的概率是多少？ 解： 43；1615变式训练 3. 盒中有 6只灯泡，其中 2只是次品， 4只是正品，从其中任取两只，试求下列事件的概率： 取到两 只 都是次品； 取到两只中正品、次品各 1只 ； 取到两只中至少有 1只正品 解： 115 815 1415例 4. 从男女学生共 36 名的班级中，任意选出 2名委员，任何人都有同样 的当选机会，如果选得同性委员的概率等于 12，求男女相差几名 ？ 解 : 设男生有 x 名，则女生有 36，选得 2名委员都是男生的概率为： 2236 136 35xC x( x )C 选得 2名委员都是女生的概率为 2362363 6 3 53 6 3 5 x )( x )C 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率是 12得： 1 3 6 3 5 13 6 3 5 3 6 3 5 2x ( x ) ( x ) ( x ) 解得： 15x 或 21x 即：男生有 15名，女生有 21名；或男生有 21名，女生有 15 名总之，男、女生相差 6名 变式训练 4. 学校某班学习小组共 10 小，有男生若干人，女生若干人，现要选出 3人去参加某项调查活动，已知至少有一名女生去的概率为65，求该小组男生的人数？ 解： 6人 1 互斥事件概 率 的加 法公式、对立事件概率的加法公式，都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用 2 要搞清两个重要公式 ： 1P ( A B ) P ( A ) P ( B ) , P ( A ) P ( A ) 的运用前提 3 在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率 第 3 课时 相互独立事件同时发生的概率 1 事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生 的概率 ，这样的两个事件叫独立事件 2 设 A， A 的发生， 表示 事件 A， B ，小结归纳 基础过关 7 类似地可以定义事件 3 两个相互独立事件 A， 概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(A B) 一般地，如果事件 12 A , ,A 相互独立， 那么： P( . 4 k 次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次 的概率是 1k k n k ) C P ( P ) 例 1. 如图所示，用 A、 B、 C 三类不同的元件连接 成 两 个 系 统 1N 、 2N ，当元件 A、 B、 统 1N 正常工作，当元件 、 个正 常工作时系统2N 正常工作，已知元件 A、 B、 别求系统 1N 、 2 解： 分别记元件 A、 B、 、 B、 C， 由已知条件 0 8 0 0 9 0 0 9 0P ( A ) . , P ( B ) . , P ( C ) . () 因为事件 A、 B、 C 是相互独立的，所以，系统 1N 正常工作的概率 1 0 8 0 0 9 0 0 9 0 0 6 4 8P P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ). . . . 故系统 1N 正常工作的概率为 () 系统 2N 正常工作的概率 2 111 1 0 9 0 0 1 0P P ( A ) P B C P A P B P C ,P B P B . . , 21 1 0 9 0 0 1 00 8 0 1 0 1 0 0 1 0 0 8 0 0 9 9 0 7 9 2P C P C . . ,P . . . . . . . 故系统正常工作的概率为 变式训练 1. 有甲、乙两地生产某种产品， 甲 地的合格率为 90%，乙地的合格率为 92%，从两地生产的产品中各抽取 1 件，都抽到合格品 的概率等于 （ ） A 112% B C D 解： C 例 2. 箱内有大小相同的 20 个红球， 80个黑球，从中任意取出 1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出 1个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题： 求事件 A：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率； 求事件 B：“三次中恰有一次取出红球”的概率 . 解： （ 12516； 12548变式训练 2： 从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出 1 个红球的概率是21，从两袋中各摸出 1个球，则32等于 （ ） A 2个球不都是红球的概率 B 2个球都是红球的概率 C 至少有 1个红球的概率 典型例题 8 D 2个球中恰好有 1个红球的概率 解： C 例 3. 两台雷达独立工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率是 雷达发现目标的概率是 算在这一段时间内，下列各事件的概率 ： （ 1）甲、乙两雷达均未发现目标； （ 2）至少有一台雷达发现目标； （ 3）至多有一台雷达发现目标 解： 式训练 3： 甲、乙、丙三 人分别独立解一道题，甲做对的概率为 12，甲、乙、丙三 人都做对的概率是 124，甲、乙、丙三人全做错的概率是 14 （ 1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率； （ 2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率 解： 31,41或41,31；2411例 4. 有三种产品，合格率分别为 取一件进行检验 （ 1）求恰有一件不合格的概率； （ 2）求至少有两件不合格的概率（精确到 解 :设三种产品各取一件，抽到的合格产品的事件分别为 A、 () 因为事件 A、 B、 C 相 互 独立，恰有一件不合格的概 率为 0 . 9 0 0 . 9 5 0 . 0 5 0 . 9 0 0 . 0 5 0 . 9 5 0 . 1 0 0 . 9 5 0 . 9 50 . 1 7 6P A B C P A B C P A B P B P C P A P B P C P A P B P C 答：恰有一件不合格的概率为 () 解法一：至少有两件不合格的概率为 220 . 9 0 0 . 0 5 2 0 . 1 0 0 . 9 5 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 0 50 . 0 1 2P A B C P A B C P A B C P A B C 答：至少有两件不合格的概率为 解法二：三件都合格的概率为： 20 . 9 0 0 . 9 5 0 . 8 1 2P A B C P A P B P C 由 () 可知恰好有一件不合格的概率为 以至少有两件不合格的概率为 1 0 . 1 7 6 1 0 . 8 1 2 0 . 1 7 6 0 . 0 1 2P A B C 答：至少有两件不合格的概率为 变式训练 4. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121，甲、丙两台机床加工的零 件都是一等品的概率为92.分别 9 求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率 . 解： 31,41,32；651 当且仅当事件 A 与事件 B 互相独立时，才有 P A B P A P B ，故首先要搞清两个事件的独立性 2 独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在 1 k C P P ，其中 次试验中某事件发生的概率，其实 1 P 正好是二项式 1 的展开式中的第 k+1项，很自然地联想起二项式定理 第 4课时 离散型随机变量的分布列 1 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做 ，随机变量通常用希腊字母 ， 等表示 2 如果随机变量可能取的值 ，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量 3 从函数的观点来看， P( k 1， 2， ， n，称为 离散型随机变量 的 概率 函数 或概率分布 ，这个函数可以用 表示 ， 这个 叫做离散型随机变量的分布列 4 离散型随机变量分布列的性质 (1) 所有变量 对应的概率值（函数值）均为非负数，即 (2) 所有这些概率值的总和为 即 1 2 3P P P (3) 根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 5 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为 P，那么在 ，有了这个函数，就能写出它的 分布列，由于 1 P 是二项式展开式 1 的通项，所以称这个分布为二项分 布列，记作 , .B n P 例 1. 袋子中有 1个白球和 2 个红球 每次取 1个球，不放回，直到取到白球为止求取球次数 的分布列 每次取 1个球，放回，直到取到白球为止求取球次数 的分布列 每次取 1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过 5次求取球次数 的分布列 每次取 1个球，放回，共取 5次求取到白球次数 的分布列 解 ： 1,2,3. 小结归纳 典型例题 基础过关 10 1312232233111,3112, )2( P 3112312 )3( P 3113322 所求 的分布列是 1 2 3 P 131313 每次取到白球的概率是 13，不取到白球的概率是 23， 所求的分布列是 1 2 3 n P 13213322133 12133n 1 2 3 4 5 P 13 2133 22133 32133 423 1 5, ,3B P ( k) 1)k (32)5 k， 其中 0,1, 2,3, 4, 所求 的分布列是 0 1 2 3 4 5 P 32243802438024340243102431243变式训练 1. 是一个离散型随机变量，其分布列为 1 P 1212q 2q 则 q （ ） A 1 B 21 2C 21 2D 21 2 11 解： D 例 2. 一袋中装有 6个同样大小的黑球，编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6，现从中随机取出 3个球，以 表示取出球的最大号码，求 的分布列 解： 随机变量的取值为 3， 4， 5， 6从袋中随机地取 3个球，包含的基本事件总数为 36C，事件“ 3 ” 包含的基本事件总数为 33C，事件“ 4 ” 包含的基本事件总数为 1213件“ 5 ” 包含的基本事件总数为 1214件 6 包含的基本事件总数为 1215而有 3336121336121436121536132034203510162 随机变量的分布列为： 3 4 5 6 P 12032031012变式训练 2： 现有一大批种子，其中优质良种占 30%，从中任取 2粒，记 为 2粒中优质良种粒数，则 的分布列是 . 解： 0 1 2 P 3. 一接待中心有 A、 B、 C、 知某一时刻电话 A、 话 C、 部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有 部电话占线，试求随机变量 的概率分布 . 解： 0 1 2 3 4 P 式训练 3： 将编号为 1， 2， 3， 4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为 ，求随机变量 的概率分布 . 解： 0 1 2 4 P 2492482462411 本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系例如，若独立重复试验的结果只有两种（即 A 与 A ， 是必然事件），在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( ) (1 )k k n k C P P 就是二项式(1 ) 展开式中的第 1k 项，故此公式称为二项分布公式；又如两事件 ,， 1时， “ 若 , , 、 “ 若 , , 等体现了不同概念、公式之间的内在联系 小结归纳 12 2 运用( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) P A B P A P B P A P(A B) P(A) P(B)等概率公式时，应特 别注意各自成立的前提条件，切勿混淆不清例如，当 ,用公式( ) ( ) ( )P A B P A P B 便错 3 独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等 独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有 “ 恰好 ” 字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有 “ 至少 ” 或“ 至多 ” 字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样 4 解决概率问题要注意 “ 三个步骤，一 个结合 ” ： （ 1）求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种 第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件 第三步，运用公式求得 （ 2）概率问题常常与排列组合问题相结合 第 4课时 离散型随机变量的期望与方差 1 若离散型随机变量 的分布列为 ,x P 1, 2,3, , , 为 的数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 对于随机变量 ，称 D 为 的方差 D 的算术平方根 叫做 的标准差随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量取值的 3 数学期望与方差产生的实际背景与初中平均数及样本方差这两个概念有关 平均数： 1 2 1 21 1 1 1x x x x x xn n n n 12样本方差： 2 2 22121 ns x x x x x n 1)(.1)( 22221 以上两式中 12,nx x 与数学期望与方差的定义式一致 4 数学期望与方差的性质：若 （ ,为随机变量），则和事件 积事件 等可能事件：()斥事件： P(A B) P(A) P(B)， P(A B) 0 独立事件： P(A B) P(A) P(B)等 n 次独立重复试验： ( ) (1 )k k n k C P P 基础过关 13 E E a b ， D D a b 5 服从二项分布的随机变量 的期望与方差：若 ,B n P , 则 , 1 .E n P D n P P 例 1 从 4名男生和 2 名女生中任选 3人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选 3人中女生的人数 求 的分布列； 求 的数学期望； 求“所选 3人中女生人数 1”的概率 . 解： E 1 54)1()0()1( ： 如果袋中有 6个红球， 4个白球，从中任取 1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设 为取得红球的次数，则 的期望 E （ ） A 34B 125C 197D 13解： B 例 2 抛掷两个骰子 ,当至少有一个 5点或 6点出现时 ,就说这次试验成功 ,求在 30次试验中成功次数 的期望和方差 . 解 : 30,其中 4 4 51 6 6 9P 5 0 5 4 2 0 03 0 . 3 0 9 9 2 7 变式训练 2： 布袋中有大小相同的 4只红球， 3只黑球，今从袋中随机取出 4只球，设取到一只红球得 1分，取到一只黑球得 3分，试求得分 的概率分布和数学期望 解： 527例 3 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表： 射手甲 击中环数 1 8 9 10 概率 P a 手乙 击中 环数 2 8 9 10 概率 P 0.4 b 击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平 解： 1 0 . 6 0 . 2 0 . 2 , 1 0 . 4 0 . 4 0 . 2 0 1 2 P 515351典型例题 14 12 2 2122 2 211 2 1 28 0 . 2 9 0 . 6 1 0 0 . 2 9 ,8 9 0 . 2 9 9 0 . 6 1 0 9 0 . 2 0 . 48 0 . 4 9 0 . 2 1 0 0 . 4 9 ,8 9 0 . 4 9 9 0 . 2 1 0 9 0 . 4 0 . 8, D D 甲乙两名射手所得环数的平均值相等，但射手甲所得环数比较集中，射手乙所得环数比较分散，射手甲射击水平较稳定 变式训练 3： 某商场根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动，统计资料表明，每年五一节商场内的促销活动可获得经济效益 场外的促销活动如果不遇到有雨天可获得经济效益 12 万元，如果促销活动遇到有雨天，则带来经济损失 5万元，4月 30 号气象台预报五一节当地有雨的概率 是 40%，问商场应该采取哪种促销方式？ 解： 采用场外促销方式 例 4 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 旦发生，可造成400万元的损失，现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30万元，采用相应预防措施后，此突发事件不发生的概率分别为 预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，试确定预防方案使总费用最少（总费用采取预防措施的费用 +发生突发事件损失的期望值） . 解： 联合甲、乙，总费用最少为 81万元 变式训练 4： 假设 1部机器在 1天内发生故障的概率为 器发生故障时，全天停止工作，若 1周的 5个工作日里无故障，可获得利润 10万元，发生 1次故障仍可获得利润 5万元；发生 2次故障所获利润为 0；发生 3次或 3次以上故障就要亏损 2万元，求 1 周的期望利润是多少？（精确到 . 解： 用随机变量 表示 1周 5天内发生故障的天数，则 服从地一项分布 B(5, 从而 ( 5 P ， 4 1 ( 415 ， P( 2) ( 3) 为所获得利润，则 E 10 5 0 2 元） 1 数学期望与方差，标准差都是离散型随机变量最重要的数字特征，它们分别反映了随机变量取值的平均水平、稳定程度、集中与离散的程度离散型随机变量的期望与方差都与随机变量的分布列紧密相连，复习时应重点记住以下重要公式与结论： 一般地，若离散型随机变量 的分布列为 1x 2x P 1P 2P 则期望 1 1 2 2 x P x P x P ， 方差 2221 1 2 2 x E P x E P x E P ， 标准差 2, , a b a E b D a b a D 若 ,B n P ，则 ,E n P D n P q，这里 1 小结归纳 15 概率章节测试题 一、选择题 1已知非空集合 A、 B 满足 A B，给出以下四个命题： 若任取 x A，则 x 若 x A，则 x 若任取 x B，则 x 若 x B，则 x 其中正确的个数是 ( ) A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 2一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为 8081，则此射手每次射击命中的概率为（ ） A. 13 B. 23 C. 14 D. 25 3设 是离散型随机变量，32)( 1 ，31)( 2 ，且 21 ，现已知：34E，92D，则 21 的值为（ ） (A)35(B)37(C) (D) 3114 福娃是北京 2008年第 29 届奥运会吉祥物，每组福娃都由 “ 贝贝 ” 、 “ 晶晶 ” 、 “ 欢欢 ” 、“ 迎迎 ” 和 “ 妮妮 ” 这五个福娃组成甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中， “ 贝贝 ” 和 “ 晶晶 ” 恰好只有一个被选中的概率为 （ ） A 110B 15C 35D 455（汉沽一中 20082009届月考文 9） 的 C 的中点，向 么点落在 ( ) 汉沽一中 20082009届月考文 9） 的 C 的中点，向 么点落在 ( ) 圆周上有 10个等分，以
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