2014高考数学 名师指导提能专训（打包22套）
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22
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2014高考数学 名师指导提能专训（打包22套）,高考,数学,名师,指导,指点,指示,提能专训,打包,22
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1 提能专训 (九 ) 空间几何体 A 组 一、选择题 1 (2013 东北三省四市一联 )如图所示是一个几何体的三视图，其侧 (左 )视图是一个边长为 a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为 ( ) A 解题思路： 由三视图可知，几何体是由两个相同的三棱锥组合而成，所以 V 2 13 34 32 a 选 D. 2 (2013 东北三省二联 )如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( ) 2 A 16 2 B 8 2 C 16 D 8 B 命题立意：本题主要考查立体几何中的三视图问题和简单几何体的体积公式，难度中等 解题思路： 由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此 V124 1 22 8 2 ，故选 B. 3在 ， 2， 120( 如图所示 )，若将 所在直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 ( ) D 解题思路： 如图所示，该旋转体的体积为圆锥 圆锥 体积之差，由已知求得 V 圆锥 V 圆锥 133 52 1331 32. 4如图，啤酒瓶的高为 h，瓶内酒面高度为 a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为 a( a b h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为 ( ) 3 A 1 a b h B 1 a b h C 1 a b h D 1 a b h B 解题思路： 设啤酒瓶的底面积为 S，啤酒瓶的容积为 V 瓶 ，瓶内酒的体积为 V 酒 ， 则 V 酒 V 瓶 V 酒 得 V 瓶 V 酒 S(a b)， S a 1 又 a a， h a b a b， 1 a b h. 5已知一个几何体的正 (主 )视图和俯视图如图所示，正 (主 )视图是边长 为 2a 的正三角形，俯视图是边长为 a 的正六边形，则该几何体的侧 (左 )视图的面积为 ( ) 4 B. 32 . 34 命题立意：本题主要考查三视图的相关知识解题时，首先根据三视图判断出该几何体的直观图，确定相关基本量，再进行求解 解题思路： 由该几何体的正 (主 )视图和俯视图可知，该几何体是一个正六棱锥该几何体的侧 (左 )视图，如图所示，其中 长是俯视图正六边形对边间的距离，即 3a， 正六棱锥的高，则 3a，所以该几何体的侧 (左 )视图的面积为 S 12 3a 3a 326一个几何体的正 (主 )视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为 2 3的正三角形，且圆与三角形内切，则侧 (左 )视图的面积为 ( ) A 6 B 4 3 C 6 4 D 4 3 4 5 A 命题立意：本题考查三视图知识、空间想象能力与几何体的体积公式，难度中等 解题思路： 依题意得，该几何体是在一个正三棱柱的上面放置一个球的组合体，其中该正三棱柱的底面边长是 2 3，侧 棱长是 2，该球的半径是 1，因此其侧 (左 )视图的面积为 1 2 2 3 32 2 6 ，故选 A. 7 (2013 吉林省质检一 )已知三棱锥 S 四个顶点 都在半径为 1 的球面上，底面 正三角形， 平面 球心，则三棱锥 S 体积是 ( ) 4 B. 33 C. 34 D. 312 C 命题立意：本题考查与球有关的组合体知识及球的性质应用，难度中等 解题思路： 由已知可得底面等边三角形 接圆的半径为 1，设等边三角形 边长为 a，则有 33 a 1，解得 a 3，故 V 棱锥 S 13 34 ( 3)21 34 ，故选 C. 8如图，正三角形 在平面与正方形 在平面互相垂直， O 为正方形 M 为正方形 一点，且满足 点 M 的轨迹为 ( ) B 命题立意：本题考查空间直线与平面的位置关系和空间想象能力，难度中等 解题思路： 利用平面的基本性质求解由 点 P 在线段 垂直平分面上，又点 M 在平面 ，所以点 M 在两个平面的交线上，而两个平面的交线是一条直线又以交线不经过点 O，故选 B. 9 (2013 海口高考调研 )在三棱柱 ，侧棱垂直于底面， 90 ， 30 ， 1，且三棱柱 ，则三棱柱 ) A 16 B 12 6 C 8 D 4 A 解题思路： 90 ， 30 ， 1， 3. 底面 三棱柱 121 3 3，得 2 3， 三棱柱 r 12 1 3 2 3 2 2， S 表 42 2 16. 10 (2013 石家庄一模 )已知正三棱锥 P 正 (主 )视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为 ( ) A 4 B 12 D 命题立意：本题考查三视图知识及与球有关的组合体知识，考查空间想象与运算能力，难度中等 7 解题思路： 由三视图可知正三棱锥的底面是边长为 2 3的等边三角形，侧棱长为 D 为外接球的球心，则 2， 2 3，在直角三角形 可得 (2 3 R)2 22，解得 R 4 33 ，则此三棱锥的外接球的表面积 S 4 643 ，故选 D. 二、填空题 11一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 _ 50(1 3) 命题立意：本题考查三视图及空间几何体表面积的求解，考查空间想象与公式运用能力，难度较小 解题思路： 据三视图可知几何体为四棱锥，其中底面为正方形，对角线长为 10，四棱锥的高为 5， 故侧面高为 h 52 5 22 2 5 62 ，因此表面积 S 1245 2 5 62 121010 50(1 3) 12 (湖南联考 )直三棱柱 各顶点都在同一球面上，若 2， 120 ，则此球的表面积等于 _ 8 20 命题立意：本题考查几何体外接球表面积的计算，难度中等 解题思路： 底面三角形 外心是 O ，设 O A O B O C r，在 ， 2， 120 ， 2 22 22 22220 2 3， 由正弦定理可得 2r r 2 3220 2，设外接 球的球心为 O，在 ，易得球半径 R 5，故此球的表面积为 4 20. 13已知正方体 ，则以正方体 平面 _ 4 3 26 解题思路： 的正三角形，由正弦定理得其外接圆的半径 9 为 63 ，圆 锥底面面积为 63 2 23 ；圆锥的母线即为球的半径 32 ，圆锥的侧面积为 122 63 32 22 ，因此圆锥的表面积为 S 23 22 4 3 26 . B 组 一、选择 题 1下列说法正确的是 ( ) A有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 B 解题思路： 对于 A 选项，若两个底面相同的斜三棱柱对接后满足 A 答案的情况，但不是棱柱， A 错；对于 B 选项，取长方体上底面的一个顶点为顶点，取下底面的矩形为底的四棱锥满足 B 答案；对于 C 选项，和 A 选项类似，两个底面形状相同的棱台对接后满足 不是棱台，因为棱台是由棱锥截得的；对于 D，只有旋转轴为直角三角形的直角边时，才能得到圆锥，其他情况不满足要求故选 B. 2一个几何体的正 (主 )视图如图所示，俯视图是正六边形及半径为 1 的内切圆，则这个几何体的体积为 ( ) A 2 3 23 B 2 3 43 C 4 3 23 10 D 4 3 43 C 解题思路： 该几何体是由一个底面边长为 2 33 ，高为 2 的六棱柱和半径为 1 的半球组成，其体积为 6 34 2 33 22 23 1 3 4 3 23 . 3已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为 43 的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是 ( ) A 6 3 B 12 3 C 18 3 D 24 3 C 命题立意：本题主要考查空间几何体、球的体积、棱柱的表面积等基础知识，考查考生的空间想象能力、运算求解能力 解题思路： 根据已知可得球的半径等于 1，故三棱柱的高等于 2，底面内切圆的半径等于 1，即底面的高等于 3，底面边长等于 2 3，所以这个三棱柱的表面积等于 32 32 2 122 33 18 3. 4从点 P 出发的三条射线 两成 60 角，且分别与球 O 相切于 A， B， 球的体积为 43 ，则 O， P 两点之间的距离为 ( ) A. 2 B. 3 C D 2 B 解题思路： 构造法解决，点 P 看作是一个正方体的一个顶点，三条射线看作以 P 为起点的三条面对角线，球 O 与这三条面对角线相切于 A， B， C 三点，根据球和正方体的对称可知，球 O 的球心 O 为正方体的中心 (体对角线的中点 )由球的体积得到球半径为 1，那么构造的正方体边长等于球体 的直径，即为 2，所以 度为此正方体体对角线的一半，即为 3，故选 B. 5在三棱锥 A ，侧棱 两垂直， 面积分别为 22 ， 32 ， 62 ，则该三棱锥外接球的表面积为 ( ) A 2 B 6 C 4 6 D 24 11 B 解题思路： 依题意知 1222 ，122 ，122 ，解得 2，1，3，而三棱锥 A 补成一个长方体，该三棱锥与该长方体的外接球是同一个球，故外接球的半径 R 12 62 ，故 S 球表 4 6 ，故选 B. 6已知正四棱锥 S ， 2 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ( ) A 1 B. 3 C 2 D 3 C 解题思路： 如图，设正四棱锥 S 高为 x，由题意，知 x (0， 2 3)则在直角 ， 12 底面正方形 ， 22 22 12 以 2(12 24 2该锥体的体积 V(x) 133(24 2x2)x 13(24x 2 V( x) 13(24 6 8 2 V( x) 0，即 8 20，解得 x 2.当 x (0,2)时， V( x) 0， V(x)单调递增；当 x (2,2 3)时， V( x) 0， V(x)单调递减所以当 x 2 时， V(x)取得最大 值 7 (河南豫东、豫北十校测试三 )在矩形 ， 4 3， 2 3，且矩形 的球 四棱锥 O ，则球 ( ) A 3 B. 10 C 2 3 D 4 D 命题立意：本题考查锥体的体积计算、球的截面圆性质，难度中等 解题思路： 利用矩形求出截面圆的半径，再利用四棱锥的体积求出球心到截面圆的距离， 12 根据勾股定理求球的半径因为矩形 对角线长为 3 2 3 2 2 15，所以该矩形所在的截面圆的半径为 r 15，又设球心 h，则四棱锥 O 34 32 3h 8，解得 h 1，所以球 O 的半径 R 4. 8已知三棱锥 O ， 两互相垂直， 1， x， y，若 x y 4，则三棱锥 O 积的最大值是 ( ) A 1 D. 33 C 解题思路： 体积为 1616 x 23. 9如图，在三棱柱 A B C 中，点 E， F， H， K 分别为 ， ， A B， B C的中点， G 为 重心从 K， H， G， B 中取一点作为 P，使得该棱柱恰有 2 条 棱与平面 行，则 P 为 ( ) A K B H C G D B C 解题思路： 假如平面 侧棱 平行，则和三条侧棱都平行，不满足题意，而，排除 为点 B ，则平面 平面 A B C，此平面只与一条棱 行，排除 D；若 P 为点 H，则 C 的中位线， A C ； 的中位线， C 的中位线， B C ，显然不合题意，排除 为点 G， A B ，满足条件，故 C 正确 二、填空题 10 (2013 东北三省四市联考 )如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为 3 的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为 _ 13 16 3 解题思路： 设球心到棱锥底面距离为 x，则底面 边长为 9 为 x 3， V 13 34 (9 6( x 3) 32 ( 39x 27)，其中 0 x 3， V 32 ( 36x 9) 02x 3 0，解得 x 1 或 x 3(舍 )， (1) 32 ( 1 3 9 27) 16 3. 11已知正三角形 个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 距离为 1，点 E 是线段 中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是 _ 94 命题立意：本题主要考查球及其截面性质等知识，意在考 查考生的运算求解能力、推理论证能力以及空间想象能力 解题思路： 由题意知，正三角形 外接圆半径为 22 12 3， 3，过
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