2014高考数学 名师指导提能专训（打包22套）
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2014高考数学 名师指导提能专训（打包22套）,高考,数学,名师,指导,指点,指示,提能专训,打包,22
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1 提能专训 (一 ) 集合与常用逻辑用语 A 组 一、选择题 1 (哈尔滨质检 )设全集 U R， A x|x(x 2) 0， B x|y x)，则下图中阴影部分表示的集合为 ( ) A x|x1 B x|1 x 2 C x|0 x1 D x|x1 答案： B 命题立意：本题考查集合的概念、运算及韦恩图知识的综合应用，难度较小 解题思路： 分别化简两集合可得 A x|0 x 2， B x|x 1，故 A B x|0 x1，故阴影部分所示集合为 x|1 x 2 易错点拨：本题要注意集合 B 表示函数的定义域，阴影部分可视为集合 A， B 的交集在集合 A 下的补集，结合数轴解答，注意等号能否取到 2 (2013 广东深圳调研考试 )已知集合 A 0,1，则满足条件 A B 0,1,2,3的集合 B 共有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案： D 命题立意：本题考查集合间的运算、集合间的关系，难度较小 解题思路： 由题知 ,3，可以是 2,3， 0,2,3， 1,2,3， 0,1,2,3，共 4 个，故选 D. 易错点拨：本题容易忽视集合本身 0,1,2,3的情况，需要强化集合也是其本身的子集的意识 3 (2013 山东济南高三四次诊断 )设 A， B 是两个非空集合，定义运算 A B x|x A B 且 xA B已知 A x|y 2x B y|y 2x， x 0，则 A B ( ) A 0,1 (2， ) B 0,1) 2， ) C 0,1 D 0,2 答案： A 命题立意：本题属于创新型的集合问题，准确理解运算的新定义是解决问题的 关键对于此类新定义的集合问题，求解时要准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算 解题思路： 由题意得 A x|2x x|0 x2 ， B y|y 1，所以 A B 0， 2 ) ， A B (1,2，所以 A B 0,1 (2， ) 4 (2013 东北三省四市第一次联考 )已知集合 P x|x 20 ， Q x|x1)1 ，则 ( Q ( ) A 2,3 B ( ， 1 3， ) C (2,3 D ( ， 1 (3， ) 答案： C 解题思路： 因为 P x| 1 x2 ， Q x|1 x3 ，则 ( Q (2,3，故选 C. 5 (2013 合肥高一第三次质量检测 )已知集合 M 1,2,3,4,5， Nx 2x 11 ，则 M N ( ) A 4,5 B 1,4,5 C 3,4,5 D 1,3,4,5 答案： C 命题立意：本题考查不 等式的解法与交集的意义，难度中等 解题思路： 由 2x 11 得 x 3x 10 ， x 1或 x3 ，即 N x|x 1或 x3 ， M N 3,4,5，故选 C. 6 (2013 重庆模拟考试 )对于数集 A， B，定义 A B x|x a b， a A， b B， A Bx x a A， b B 1,2，则集合 (A A) A 中所 有元素之和为 ( ) 案： D 命题立意：本题考查考生接受新知识的能力与集合间的运算，难度中等 解题思路： 依题意得 A A 2,3,4， (A A) A 2,3,41,2 1， 32， 2， 3， 4 ，因此集合 (A A) A 中所有元素的和等于 1 32 2 3 4 232 ，故选 D. 7 (2013 杭州第二次检测 )已知集合 A k Z| ) ， 0， 2 ， B k ) ， 0， 2 ，则 ( B ( ) A k|k 2n， n Z B k|k 2n 1， n Z C k|k 4n， n Z D k|k 4n 1， n Z 答案： A 命题立意：本题考查诱导公式及集合的运算，根据诱导公式对 k 的奇偶性进 3 行讨论是解答本题的关键，难度较小 解题思路： 由诱导公式得 A k Z|k 2n 1， n Z， B k Z|k 2n， n Z，故 ( B k Z|k 2n， n Z，故选 A. 8 (2013 高考提高卷 )已知 M x|x 1| x 1， N x|y 2x 则 M N 等于 ( ) A x|1 x2 B x|0 x 1 C x|1 x2 D x|x 0 答案： B 解题思路： (解法一 )直接法：可解得 M x|x 1， N x|0 x2 ，所以 M N x|0 x 1，故选 B. (解法二 )排除法：把 x 0 代入不等式，可以得到 0 M， 0 N，则 0 M N，所以排除A， C， . 9 (2013 郑州一次质量预测 )已知集合 A 2,3， B x|6 0，若 BA，则实数 m ( ) A 3 B 2 C 2 或 3 D 0 或 2 或 3 答案： D 命题立意：本题考查了集合的运算及子集的概念，体现了分类讨论思想的灵活应用 解题思路： 当 m 0 时， B A；当 m0 时，由 B 6m 2,3，可得 6m 2 或 6m 3，解得 m 3 或 m 数 m 0 或 2 或 3，故选 D. 二、填空题 10 (2013 济南 4 月模拟题 )已知集合 A x|x 1| 2， B x|2，则 A B _. x|0 x 3 命题立意：本题考查绝对值不等式及对数不等式的解法及集合的运算，解对数不等式要注意定义域的限制是解答本题的关键，难度较小 解题思路： 将两集合化简得 A x| 1 x 3， B x|0 x 4，故结合数轴得 A B x| 1 x 3 x|0 x 4 x|0 x 3 11 (2013 四川南充质检 )同时满足 M1,2,3,4,5， a M，则 (6 a) M 的非空集合 M 有 _个 7 命题立意：本题考查集合中元素的特性，难度中等 解题思路： 非空集合 M1,2,3,4,5，且若 a M，则必有 6 a M，那么满足上述条件的集合 M 有 3， 1,5， 2,4， 1,3,5， 2,3,4， 1,2,4,5， 1,2,3,4,5，共 7个 4 12 (2013 哈尔滨市 5 月月考 )设集合 Ax 1 ， B y|y 则 A _ x|0 x2 解题思路： Ax 1 x| 2 x2 ， B y|y y|y0 ， A B x|0 x2 13 (2013 高考模拟卷 )设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k A，如果 k 1A 且 k 1A，那么称 k 是集合 A 的一个 “ 好元素 ” 给定集合 S 1,2,3,4,5,6,7,8，由 S 的 3个元素构成的所有集合中，不含 “ 好元素 ” 的集合共有 _个 6 命题立意 ：本题主要考查集合的新定义，正确理解新定义，得出构成的不含 “ 好元素 ” 的集合均为 3 个元素紧邻的集合，是解决本题的关键 解题思路： 依题意可知，若由 S 的 3 个元素构成的集合不含 “ 好元素 ” ，则这 3 个元素一定是紧邻的 3 个数，故这样的集合共有 6 个 14 (2013 辽 宁 五 校 高 三 年 级 考 试 ) 已知集合 A x， y 2x y 20 ，x 2y 10 ，x y 20， B (x， y)|(y 1)2 m，若 AB，则 _ 2， ) 命题立意：本题主要考查线性规划知识，意在综合考查圆的方程、点和圆的位置关系以及数形结合思想 解题思路： 作出可行域，如图中阴影部分所示，三个顶点到圆心 (0,1)的距离分别是 1,1，2，由 AB 得三角形所有点都在圆的内部，故 m 2，解得 m2. 15 (2013 云南第 一次毕业班统一检测 )已知 R 是实数集，集合 A y|y 2x 2，x R， 1 x2 ，集合 Bx R 2x 7x 3 1 ，任取 x A，则 x A B 的概率等于 5 _ 34 命题立意：本题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法、几何概型的意义等基础知识，意在考查考生的运算能力 解题思路： 依题意得，函数 y 2x 2 (x 1)2 1， 当 1 x2 时，函数的值域是 1,5，即 A 1,5；由 2x 7x 3 1，得 x 4x 3 0， x 3 或 x 4，即 B ( ， 3) (4，) ， A B 1,3) (4,5，因此所求的概率等于 5 1 34. 16 (2013 高考命题专家原创卷 )已知集合 M (x， y)|y f(x)，若对于任意 ( M，存在 ( M，使得 0 成立，则称集合 M 是 “ 垂直对点集 ” 给出下列四个集合： Mx， y y 1x ； M (x， y)|y 2； M (x， y)|y x； M (x， y)|y ln x其中是 “ 垂直对点集 ” 的序号是 _ 解题思路： 对于 ，注意到 10 无实数解，因此 不是 “ 垂直对点集 ” ；对于 ，注意到过原点任意作一条直线与曲线 y 2 相交，过 原点与该直线垂直的直线必与曲线 y 2 相交，因此 是 “ 垂直对点集 ” ；对于 ，与 同理；对于 ，注意到对于点 (1,0)不存在 ( M，使得 1 0ln 0，因为 0 与 0 矛盾，因此 不是 “ 垂直对点集 ” 综上所述，故填 . B 组 一、选择题 1 (沈阳质量监测 )命题： x， y R，若 0，则 x 0 或 y 0 的逆否命题是 ( ) A x， y R，若 x0 或 y0 ，则 B x， y R，若 x0 且 y0 ，则 C x， y R，若 x0 或 y0 ，则 D x， y R，若 x0 且 y0 ，则 D 命题立意：本题考查命题的四种形式，属于对基本概念层面的考查，难度较小 解题思路： 对于原命题：如果 p，则 q，将条件和结论既 “ 换质 ” 又 “ 换位 ” 得如果非q，则非 p，这称为原命题的逆否命题据此可得原命题的逆否命题为 D 选项 易错点拨：本题有两处高频易错点，一是易错选 B，忽视了 “ x， y R” 是公共的前提条件；二是错选 C，错因是没有将逻辑联结词 “ 或 ” 进行否定改为 “ 且 ” 2 (2013 东北三省四市第二次质检 )已知命题 p： “ 直线 l 平面 内的无数条直线 ”的充要条件是 “ l ” ；命题 q：若平面 平面 ，直线 a ，则 “ a ” 是 “ a ” 6 的充分不必要条件则正确命题是 ( ) A p q B p 綈 q C綈 p 綈 q D綈 p q D 解题思路： 由题意可知， p 为假命题， q 为真命题，因此綈 p q 为真命题，故选 D. 3 (2013 合肥第二次质检 )已知命题 p：若 (x 1)(x 2)0 ，则 x1 且 x2 ；命题q：存在实数 2 ) A綈 p B q C綈 p q D綈 q p D 命题立意：本题考查复合命题的真假性判 定规则，难度中等 解题思路： 依题意，命题 p 是真命题，命题 q 是假命题，因此綈 p 是假命题，綈 q p q 是假命题，故选 D. 4 (2013 贵阳高考模拟 )已知命题 数 y 12 x 12 上为减函数； 数y 12 x 12 上为增函数则在命题 (綈 (綈 ，真命题是 ( ) A B C D 命题立意：本题考查含有逻辑联结词的命题的真假，难度中等 解题思路： 先判断命题 真假，再判断复合命题的真假因为函数 y 12 x 2 上的减函数，所以命题 因为 x 1 和 x 1 时，都有 y 12 2 52，所以函数 y 12 x 2 上的增函数，故 以 綈 (綈 真命题，所以真命题是 选 C. 5 (2013 天津十二区县高三毕业联考 )下列有关命题的说法正确的是 ( ) A命题 “ 若 x y，则 x y” 的逆否命题为真命题 B函数 f(x) x 的定义域为 x|x k Z C命题 “ x R，使得 x 1 0” 的否定是： “ x R，均有 x 1 0” D “ a 2” 是 “ 直线 y 2 与 y 1 垂直 ” 的必要不充分条件 A 命题立意：本题考查常用逻辑用语的有关知识，难度较小 解题思路： A 正确，因为原命题为真，故其等价命题逆否命题为真； B 错误，定义域应为x x 2 ， k Z ； C 错误，否定是： x R，均有 x 10 ； D 错误，因为 7 两直线垂直充要条件为 ( a) 1a 2 ，故 “ a 2” 是 “ 直线 y 2 与 y 1 垂直 ” 的充分不必要条件，故选 A. 6 (2013 北京海淀区模拟 )在四边形 ， “ R，使得 ， ”是 “ 四 边形 平行四边形 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 C 命题立意：本题考查向量共线与充要条件的意义，难度中等 解题思路： 由 R，使得 ， ，得 边形 过来，由四边形 平行四边形得 1 ， 1 四边形 ， “ R，使得 ， ” 是 “ 四边形 平行四边形 ” 的充要条件，故选 C. 7 (2013 山东烟台诊断测试 )下列说法错误的是 ( ) A命题 “ 若 4x 3 0，则 x 3” 的逆否命题是 “ 若 x3 ，则 4x 30” B “ x 1” 是 “| x| 0” 的充分不必要条件 C若 p q 为假命题，则 p， q 均为假命题 D命题 p： “ x R，使得 x 1 0” ，则綈 p： “ x R，使得 x 10” C 命题立意：本题主要考查常用逻辑用语的相关知识，考查考生分析问题、解决问题的能力 解题思路： 根据逆否命题的构成，选项 A 中的说法正确； x 1 一定可得 |x| 0，但反之不成立，故选项 B 中的说法正确；且命题只要 p， q 中一个为假即为假命题，故选项 C 中的说法不正确； 特称命题的否定是全称命题，选项 D 中的说法正确 8 (2013 湖北省七市高三 4 月联考 )下列说法中不正确的个数是 ( ) 命题 “ x R， 10” 的否定是 “ R， 1 0” ； 若 “ p q” 为假命题，则 p， q 均为假命题； “ 三个数 a， b， c 成等比数列 ” 是 “ b 的既不充分也不必要条件 A 0 B 1 C 2 D 3 B 命题立意：本题主要考查简易逻辑知识，难度较小 解题思路： 对于 ， 全称命题的否定是特称命题，故 正确；对于 ，若 p q 为假，则 p， q 中至少有一个为假，不需要均为假，故 不正确；对于 ，若 a， b， c 成等比数列，则 b 0 时， b b 可能 a 0， b 0， c 0，则 a， b， c 不成等比数列，故 正确综上，故选 B. 8 知识拓展：在判定命题真假时，可以试图寻找反例，若能找到反例，则命题为假 9 (2013 贵阳市高三监测考试 )已知 f(x) 3x x，命题 p： x 0， 2 ， f(x) 0，则 ( ) A p 是真命题，綈 p： x 0， 2 ， f(x) 0 B p 是真命题，綈 p： 0， 2 ， f(0 C p 是假命题，綈 p： x 0， 2 ， f(x)0 D p 是假命题，綈 p： 0， 2 ， f(0 B 命题立意：本题主要考查函数的性质与命题的否定的意义等基础知识，意在考查考生的运算求解能力 解题思路： 依题意得，当 x 0， 2 时， f( x) 3x 3 0，函数 f(x)是减函数，此时 f(x) f(0) 3 0 0，即有 f(x) 0 恒成立，因此命题 p 是真命题，綈 p 应是 “ 0， 2 ， f(0” 故选 B. 10 (2013 沈阳高二质检二 )“ a 1” 是 “(1 的展开式的各项系数之和为 64”的 ( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 B 命题立意：本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识，考查考生的计算能力及逆向思维能力，难度中等 解题思路： 若 a 1，则 (1 (1 x)6，其二项展开式的通项为 1 各项的系数之和为 26 64，充分性成立；若 (1 的各项的系数和为 64，当 x 1 时， (1 a)6 64，故 1 a 2 ，从而 a 1 或 a 3，必要性不成立，故选 B. 二、填空题 11 (2013 杭州一中期中考试 )命题 p： x R，使 33a 32；命题 q： x (0， ) ， 210. 若命题 p q 为真，则实数 a 的取值范围是 _ ( 3， 1 解题思路： 命题 p： 33 32 x 32 3 32 x 32 3 32 x 12x 32 3 x 3 9 32 3，32 3 ，故该命题正确的条件是32 a32 3，即 a 3. 命题 q ， 因 为 x 0 ， 故 不 等 式 等 价 于 a 12 x 1x ， 因 为 x 1x2 当且仅当 x 1x，即 x 1时取等号 ，所以不等式成立的条件是 a1. 综上，命题 p q 为真，即 p 真 q 真时， a 的取值范围是 ( 3， 1 12设等比数列 前 n 项和为 “ 0” 是 “ 的 _条件 充要 命题立意：本题考查了等比数列的公式应用及充要条件的判断，难度中等 解题思路： 若 0，则 0，故有 3 0，即得 0，得 0， “ 0” 是 “ 的充要条件 13已知 c 0，且 c1. 设命题 p：函数 f(x) x 为减函数命题 q：当 x 12， 2时，函数 g(x) x 1x 1果 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，则实数 c 的取值范围为 _ 0， 12 (1， ) 命题立意：本题主要考查命题真假的判断，在解答本题的过程中，要考虑有 p 真 q 假或 p 假 q 真两种情况 解题思路： 由 f(x) x 为减函数得 0 c 1.当 x 12， 2 时，因为 g( x) 1 1函数 g(x)在 12， 1 上为减函数，在 (1,2上为增函数所以 g(x) x 1x在 x 12， 2 上的最小值为 g(1) 2，当 x 12， 2 时，由函数 g(x) x 1x 1 2 1c，解得 c p 真 q 假，则 0 c 12；如果 p 假 q 真，则 c 1，所以实数 c 的取值范围为 0， 12 ( )1， . 14 (2013 吉林四平一模 )给出下列四个结论： 命题 “ x R， x 0” 的否定是 “ x R， x0” ； 函数 f(x) x x(x R)有 3 个零点； 对于任意实数 x，有 f( x) f(x)， g( x) g(x)，且 x 0 时， f( x) 0， g( x) 0，则 x 0 时， f( x) g( x) 其中正确结论的序号是 _ (请写出所有正确结论的序号 ) 解题思路： 显然正确；由 y x 与 y x 的图象可知，函数 f(x) x x(x R)有 1 个零点， 不正确；对于 ，由题设知 f(x)为奇函数， g(x)为偶函数，又奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对 称区间上单调性相反， x 0 时， f( x) 0， g( x) 10 0， f( x) g( x)， 正确 15 (2013 北京海淀测试 )给出下列命题： 是 的既不充分也不必要条件； “ p 为真 ” 是 “ p 且 q 为真 ” 的必要不充分条件； 数列 等比数列是数列 1为等比数列的充分不必要条件； a 2 是 f(x) |x a|在 2， ) 上为增函数的充要条件 其中真命题的序号是 _ 命题立意：本题考查充分条件、必要条件的判断，难度中等 解题思 路： 对于 ，当 2 时，不能推出 ，反之也不成立，故 成立；对于 ，易得 “ p 为真 ” 是 “ p 且 q 为真 ” 的必要不充分条件，故 成立；对于 ，当数列 1是等比数列时不能得出数列 等比数列，故 成立；对于 ， a 2 是 f(x) |x a|在 2， ) 上为增函数的充分不必要条件，故填写 . 1 提能专训 (十 ) 空间图形的位置关系 一、选择题 1 (河北承德月考 )若点 P 是两条异面直线 l， m 外的任意一点，则 ( ) A过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都平行 B过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都垂直 C过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都相交 D过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都异面 B 命题立意：本题考查异面直线的几何性质，难度较小 解题思路： 因为点 P 是两条异面直线 l， m 外的任意一点，则过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都垂直，故选 B. 2 (2013 广东汕头一模 )如图， P 是正方形 一点，且 平面 平面平面 面 位置关系是 ( ) A平面 平面 面 垂直 B它们两两垂直 C平面 平面 直，与平面 垂直 D平面 平面 面 不垂直 A 思路点拨： A， 平面 面 平面 平面 理可证平面 在长方体中，并把平面 全为 平面 平面 全为平面 知 为两个平面所成二面角的一个平面角， 90 ，故平面 平面 垂直 3设 ， 分别为两个不同的平面，直线 l ，则 “ l ” 是 “ ” 成立的( ) A充分不必要条件 2 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 命题立意：本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判断，意在考查考生的逻辑推理能力 解题思路： 依题意，由 l ， l 可以推出 ；反过来，由 ， l 不能推出 l l ” 是 “ ” 成立的充分不必要条件，选 A. 4 (2013 吉林普通中学摸底 )若 m， n 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面，则下列结论正确的是 ( ) A若 m， n 都平行于平面 ，则 m， n 一定不是相交直线 B若 m， n 都垂直于平面 ，则 m， n 一定是平行直线 C已知 ， 互相垂直， m， n 互相垂直，若 m ，则 n D m， n 在平面 内的射影互相垂直，则 m， n 互相垂直 B 解题思路： 本题考查了空间中线面的平行及垂直关系在 A 中：因为平行于同一平面的两直线可以 平行，相交，异面，故 A 为假命题；在 B 中：因为垂直于同一平面的两直线平行，故 B 为真命题；在 C 中： n 可以平行于 ，也可以在 内，也可以与 相交，故 D 中， m， n 也可以不互相垂直，故 D 为假命题故选 B. 5 (2013 浙江余姚中学质检 )如图所示，已知正方体 ，长为2 的线段 一个端点 M 在棱 一端点 N 在正方形 运动，则 中点的轨迹的面积为 ( ) A 4 B 2 C 3 D 解题思路： 本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系如图可知，端点 N 在正方形 运动，连接点 N 与点 D，由 成一个直角三角形，设 P 为 中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，不论 何变化，点 P 到点 D 的距离始终等于 的轨迹是一个以 D 为中心，半径为 1 的球的 18球面，其面积为2. 技巧点拨：探求以空间图形为背景的轨 迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡 6 (2013 辽宁沈阳二中期中考试 )如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 E， F 分别为 中点，在此几何体中，给出下面四个结论： 直线 直线 异面直线； 直线 直线 异面直线； 直线 平面 平面 平面 其中正确结论的序号是 ( ) A B C D 4 B 解题思路： 本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系画出几何体的图形，如图，由题意可知， 直线 直线 异面直线，不正确，因为 E， F 分别是 知 以 线 直线 共面直线； 直线 直线 足异面直线的定义，正确； 直线 平面 E， F 是 中点，可知 以 为 面 平面 以 判断是正确的； 由题中条件不能判定平面 平面 不正确故选 B. 技巧点拨：翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常见问题：垂直、角度、距离、应用等问题此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考查学生空间想象能力解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的 二、填空题 7 (2013 山西大学附中期中测试 )如图，四边形 菱形，四边形 正方形，平面 平面 1， 30 ，则异面直线 成角的大小为 _ 45 解题思路： 因为 以 是异面直线 成的角因为平面平面 以 平面 在 ， 1， 1，故 12 12 2. 在 ， 30 ， 1，由正弦定理可得 201 22 . 又因为 (0 ， 90) ，所以 45. 5 故异面直线 成的角为 45. 8 (2013 广东惠州调研 )给出命题： 异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线； 两异面直线 a， b，如果 a 平行于平面 ，那么 b 不平行于平面 ； 两异面直线 a， b，如果 a 平面 ，那么 b 不垂直于平面 ； 两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直 线 上述命题中，真命题的序号是 _ 解题思路： 本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系根据异面直线的定义知：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线，故命题 为真命题；两条异面直线可以平行于同一个平面，故命题 为假命题；若 b ，则 a b，即 a， b 共面，这与 a， 命题 为真命题； 两条异面直线在同一个平面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线，故命题 为假命题 9如图所示，已知三棱柱 平面 D 是 直线 平面 成的角 的正弦值为 _ 45 解题思路： 不妨设三棱柱 ，建立如图所示空间直角坐标系， C(0,0,0)， A( 3， 1,0)， 3， 1,2)， D 32 ， 12， 2 ， 6 则 32 ， 12， 2 ， ( 3， 1,2) 设平面 法向量为 n (x， y,1)，由 n 0，n 0，解得 n ( 3， 1,1) 又 32 ， 12， 2 ， |， n | 45. 三、解答题 10 (北京海淀期中 )在四棱锥 P ， 4， 2 2， 2，平面 4. (1)设平面 平面 m，求证： m； (2)求证： 平面 解析： 证明： (1)因为 面 平面 以 平面 因为 面 面 平面 m， 所以 m. 7 (2)因为 平面 以以 A 为坐标原点， 在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 则 B(4,0,0)， P(0,0,4)， D(0， 2 2， 0)， C(2,2 2， 0) 所以 ( 4,2 2， 0)， (2,2 2， 0)， (0,0,4)， 所以 ( 4)2 2 22 2 00 0， ( 4)0 2 20 04 0. 所以 因为 A， 平面 平面 所以 平面 11 (山西适应训练 )如图，在四棱锥 P ，底面 边长为 1 的正方形， 平面 M， N 分别是线段 的动点，且不与端点重合， (1)求证： 平面 (2)当 长最小时，求二面角 A B 的余弦值 8 解析： (1)证明：过 M， N 分别作 平行线，交 E， F 两点，连接 a. 因为 所以 在 ，因为 所以 22 a， 在 ，因为 所以 22 a，所以 22 a， 所以，四边形 平行四边形 所以 又因为 平面 面 所以 平面 (2)由 (1)，知 ，设 x， 则可求得 1 x. 所以 (1 x)2 12， 当且仅当 x 12时取 “ ” ，此时 M， N 分别为 中点 9 如图，以 A 为坐 标原点，射线 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 A A(0,0,0)， M 12， 0， 12 ， N 12， 12， 0 ， B(1,0,0)， 所以 12， 0， 12 ， 12， 12， 0 ， 12， 0， 12 ， 12， 12， 0 . 设平面 法向量为 m (x， y， z)， 则 m 0，m 0，即 12x 12z 0，12x12y m (1， 1， 1) 设平面 法向量为 n， 则 n 0，n 0，可取 n (1,1,1) 所以 m， n mn|m|n| 13， 故二面角 A B 的余弦值为 13. 10 图 1 12 (2013 北京西城区第二次模拟 )如图 1，四棱锥 P ， 底面 面直角梯形， M 为侧棱 一点该四棱锥的俯视图和侧 (左 )视图如图 2 所示 图 2 (1)证明： 平面 (2)证明： 平面 (3)线段 是否存在点 N，使 成角的余弦值为 34 ？若存在，找到所有符合要求的点 N，并求 长；若不存在，请说明理由 解析： 解法一： (1)证明：由俯视图可得 2， 2 3， 4，则 所以 又因为 平面 所以 又因为 D， 所以 平面 (2)证明：取 一点 Q，使 1 4，连接 由侧 (左 )视图知 1 4， 11 所以 14在 ，易得 60 ，所以 30. 又 2，所以 1， 3. 又因为 14以 所以四边形 平行四边形，所以 因为 面 面 所以直线 平面 (3)线段 存在点 N，使 成角的余弦值为 34 . 由 平面 立如图所示的空间直角坐标系 D 所以 D(0,0,0)， A( 3， 0,0)， B( )3， 1， 0 ， C(0,4,0)， M(0,0,3) 设 N(0， t,0)，其中 0 t4 ， 所以 ( 3， 0,3)， ( 3， t 1,0) 要使 成角的余弦值为 34 ， 则有 | | 34 ， 所以 |3|2 3 3 t 2 34 ， 解得 t 0 或 2，均适合 0 t4. 故点 N 位于点 D 处，此时 4；或点 N 位于 中点处，此时 2，有 2 所成角的余弦值为 34 . 解法二： (1)证明：由 平面 立如图所示的空间直角坐标系 D 在 ，易得 60 ，所以 30. 因为 2，所以 1， 3. 由俯视图和侧 (左 )视图可得 D(0,0,0)， A( 3， 0,0)， B( 3， 1,0)， C(0,4,0)， M(0,0,3)，P(0,0,4)， 所以 ( 3， 3,0)， ( 3， 1,0) 因为 3 3 31 00 0， 所以 因为 平面 以 又因为 D， 所以 平面 (2)证明：设平面 法向量为 n (x， y， z)，则有 n 0，n C ( 3， 3,0)， (0,4， 4)， 所以 4y 4z 0， 3x 3y 0. 取 y 1，得 n ( 3， 1,1) 因为 ( 3， 0,3)， 所以 n 3( 3) 10 13 0. 因为 面 以直线 平面 13 (3)线段 存在点 N，使 成角的余弦值为 34 . 设 N(0， t,0)，其中 0 t4 ， 所以 ( 3， 0,3)， ( 3， t 1,0) 要使 成角的余弦值为 34 ， 则有 | | 34 ， 所以 |3|2 3 3 t 2 34 ， 解得 t 0 或 2，均适合 0 t4. 故点 N 位于点 D 处，此时 4；或点 N 位于 中点处，此时 2，有 4 . 13 (2013 山东东营一模 )如图，四边形 ， 6， 4，2，点 E， F 分别在 ，且 E 为 中点， 起，使二面角 A D 等于 60. (1)设 P 为 中点，求证： 平面 (2)求直线 平面 成角的正弦值 14 解析： (1)证明：取 中点 Q，连接 则 F 4， 2，且 所以 四边形 平行四边形， 所以 E平面 面 故 平面 (2)由题知折叠后仍有 平面 二面角 A D 的一个平面角， 即 60. 过 A 作 O，又 平面 作 G，则 分别以 在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 O 在 ， 2， 60 ，则 1， 3， F(0， 1,0)， A(0,0， 3)， D(0,3,0)， C(2,1,0) (0， 1， 3)， (0,3， 3)， ( 2,2,0)， 15 设平面 一个法向量 n (x， y， z)，则 n 0，n 0，即 3y 3z 0， 2x 2y 0. 令 z 3，得 y 1， x 1， n (1,1， 3) 则 |n， | | 1 3|2 5 25 5， 直线 平面 成角的正弦值为 25 5. 1 提能专训 (十一 ) 用空间向量的方法解决立体几何问题 一、选择题 1 (济南抽优测验 )平行六面体 2 3，则 x y z ( ) A 1 解题思路： 在平行六面体 2 3 2 3，可得 x 1， y 12， z 13，则 x y z 76. 2已知四棱锥 S 所有棱长都相等， E 是 中点，则 成的角的正弦值为 ( ) B. 63 C. 33 解题思路： 建立如图所示的空间直角坐标系，令四棱锥的棱长为 2， 则 A(1， 1,0)， D( 1， 1,0)， S(0,0， 2)， E 12， 12， 22 ， 12， 32， 22 ， ( 1， 1， 2)， ， | 33 ， 成的角的正弦值为 63 . 3设正方体 ，则点 1距离是 ( ) 2 A. 32 B. 22 3 3 D 解题思路： 如图，建立空间直角坐标系， 则 ,0,2)， ,0,2)， D(0,0,0)， B(2,2,0)， (2,0,0)， (2,0,2)， (2,2,0)， 设平面 法向量 n (x， y， z)， 则 n 2x 2z 0，n 2x 2y 0.令 x 1，则 n (1， 1， 1)， 点 1距离 d | n|n| 232 33 . 4 (2013 河北冀州中学质检一 )在正方体 E 是棱 F 是侧面 平面 平面 是 ( ) A. t 2 55 t2 3 B. t 2 55 t2 C t|2 t2 3 D t|2 t2 2 D 解题思路： 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴建立直角坐标系，设边长为 1，则 A(1,0,0)， E 0， 1， 12 ， ,0,1)， ,0,1)，设 F(x,1， z)， (x 1,1， z 1) 求得平面 一个法向量为 m 1， 12， 1 ，由 m 0，得 x z 320 12 x1 ， 12 z1 ， 1F 上的点 F 的最小距离为 12 2，最大距离为 12， 平面 12,2 2，所以选 D. 二、填空题 5已知正方体 E， F 分别是底面 0，则 _. 12 解题思路： 连接 12 12，故 12. 4 6如图，在直三棱柱 ， 2 ， 2，点 G 与 E 分别为线段 1C 的中点，点 D 与 F 分别为线段 的动点若 线段 度的最小值是 _ 2 55 解题思路： 本题考查空间线段长以点 A 为坐标原点，以 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系，则 D(0， y,0)， F(x,0,0)， E(0,2,1)， G(1,0,2)，所以 ( 1， y， 2)， (x， 2， 1)，因为 以 (x， 2， 1)( 1，y， 2) 2y x 2 0，所以 2y x 2，其中 0 x2,0 y2 ，画出 x， y 满足的可行域如图中直线 l 在第一象限内的部分， 长为 M 在可行域内，由图知， l 时， 值最小，长度 为 2 55 . 三、解答题 7 (2013 哈尔滨高考复习检测 )如图，已知四棱锥 P 底面 边长为 1的正方形， 底面 2. 5 (1)若点 E， F 分别在棱 ，且 4， 4，求证： 平面 (2)若点 G 在线段 ，且三棱锥 G 体积为 14，试求线段 长 解析： (1)证明：以点 D 为坐标原点， x 轴正方向， y 轴正方向， z 轴正方向，建立空间直角坐标系 则 D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,
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