2014高考数学必考点解题方法秘籍（打包56套）
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56
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- 1 - 2014高考理科数学必考点解题方法秘籍： 待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式 f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的 有 f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。（ 表示恒等于） 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是 看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用 (一 )求直线和曲线的方程 例 1 过直线 与直线 2的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为 5，求此直线的方程 【解】 设所求的直线方程为 (2x 0，整理，得 依题意，列方程得 于是所求的直线方程为 820=0或 2 【解说】 (1)本解法用到过两直线交点的直线系方程， 是待定系数 (2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法 例 2 如图 2 9，直线 交于点 M， 点 N A、 上的任一点到 的距离相等若 系，求曲线 【解】 如图 2 9，以 立直角坐标系由已知，得曲线 C 是以点 N 为焦点、 准线的抛物线的一段，其中点 A、 的端点 设曲线 p 0(x1x y 0)其中， x1、 p=|从而 M、 N - 2 - 解之，得 p=4， 故曲线 x (1x4 ， y 0) (二 )探讨二元 二次方程 (或高次方程 )表示的直线的性质 例 3 已知方程 表示两条不重合的直线 2求： (1)直线 2 交角的两条角平分线方程； (2)直线 2的夹角的大小 【解】 设 、 ，则 (mx+qx+ 从而由待定系数法，得 a b c= (1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为 即 (=(q2+， 化简、整理，得 (mp)2(mp)0 两条不重合的直线 (mp+ 0即 从而 (mp)2(nq+mp) 把 mq=a， mp+nq=b， np= (0 即为所求的两条角平分线方程 (2)显然当 ，即 a+c=0时，直线 夹角为 90 当 即 a c0 时，设 2的夹角为 ，则 【解说】 一般地说，研究二元二次 (或高次 )方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便 (三 )探讨二次曲线的性质 1证明曲线系过定点 例 4 求证：不论参数 线系 (4t 1)t 1)4t(t 1)0921t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标 【证明】 把原方程整理成参数 (44x2+t+ t 是任意实数上式都成立， - 3 - 【解说】 由本例可总结出，证明含有一个参数 (x， y， t)=0过定点的步骤是： (1)把 F(x， y， t)=0整理成 (2)因 t 是任意实数，所以 包括常数项 )都等于零，得 x、 (3)解这个方程组，即得定点坐标 2求圆系的公切线或公切圆 例 5 求圆系 m 1)44m 1=0(m0) 的公切线方程 【解】 将圆系方程整理为 m+1)2 (=m2(m0) 显然 ，平行于 设它的公切线方程为 y=b，则由圆心 (2m 1， m)到切线的距离等于半径 |m|，得 从而 (1m-(k b)2 整理成 (3k+b)m+(k+b)2=0 m 取零以外的任意实数上式都成立， 【解说】 由本例可总结出求圆系 F(x， y， m)=0的公切线方程的步骤是： (1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径； (2)当公切线的斜率存在时，设其方程为 y=b， 利用圆心到切线的距离等于半径，求出 k、b、 f(k， b， m)=0； (3)把 f(k， b， m)=0 整理成参数 m 的方程 G(m)=0由于 mR ，从而可得 m 的各项系数 (包括常数项 )都等于零，得 k、 (4)解这个方程组，求出 k、 (5)用同样的方法，可求出 x= 3化简二元二次方程 例 6 求曲线 9418的焦点和准线 【分析】 把平移公式 x=x h， y=y k，代入原方程化简 【解】 (略 ) 已知函数 ymx x 1 的最大值为 7，最小 值为 1，求此函数式。 【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数 m、 n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到 “ 判别式法 ” 。 【解】 函数式变形为： (y m)43x (y n) 0， xR, 由已知得 y m0 - 4 - ( 43)2 4(y m)(y n)0 即： (m n)y (12)0 不等式 的解集为 ()，则 1、 7是方程 (m n)y (12) 0的两根， 代入两根得：1 12 049 7 12 0 ( )( )m n n m51或n15 y 5 4 3 1122x 或者 y此题也可由解集 ()而设 (y 1)(y 7)0, 即 6y 70 ，然后与不等式 比较系数而得：m 612 7，解出 m、 y。 【注】 在所求函数式中有两个系数 m、 先用 “ 判别式法 ” 处理函数值域问题，得到了含参数 m、 知道了它的解集，求参数 m、 n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出 m、 是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出 m、 题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解 求函数值域的 “ 判别式法 ” ：将 数式化成含参数 知其有解，利用 0, 建立了关于参数 y 的不等式，解出 y 的范围就是值域，使用 “ 判别式法 ” 的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。 例 8. 设椭圆中心在 (2,它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是105，求椭圆的方程。 【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据 a、 b、 题就全部解决了。设 a、b、 c 后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为 a 【解】 设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c，则 | a a b ca a 22 2 2210 5 ( )解得：105 所求椭圆方程是：1 也可有垂直关系推证出等腰 BF 后，由其性质推证出等腰 OF ，再进行如下列式： b b c 10 52 2 2，更容易求出 a、 b 的值。 【注】 圆锥曲线中，参数（ a、 b、 c、 e、 p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定， - 5 - 要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（ a、 b、 c、 e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于 a 一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据） 几何条件转换成方程 求解 已知系数代入。 例 9. 是否存在常数 a、 b、 c，使得等式 122 232 n(n 1)2)112(c)对一切自然数 证明你的结论。 （ 89 年全国高考题） 【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数 特殊值 n 1、 2、3 列出关于 a、 b、 方程组求出 a、 b、 c 的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数 【解】假设存在 a、 b、 ： n 1，得 416(a b c)； n 2，得 221(4a 2b c)； n 3，得 70 9a 3b c。整理得： a b ca b ca b C 244 2 449 3 70,解得b31110， 于是对 n 1、 2、 3，等式 122 232 n(n 1)2n( )112(311n 10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数 n，该等式都成立： 假设对 n 12 232 k(k 1)2)112(311k 10)； 当 n k 1 时， 122 23 k(k 1)2 (k 1)(k 2)2)112(311k 10) (k 1)(k 2)2)112(k 2)（ 3k 5） (k 1)(k 2)2( )( )k k 1 212（ 35k 12k 24）( )( )k k 1 2123(k 1)2 11(k 1) 10， 也就是说，等式对 n k 1也成立。 综上所述，当 a 8、 b 11、 c 10时，题设的等式对一切自然数 【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列 13 2 12 2 可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由 n(n 1) 2n 122 232 n(n 1)2 (13 2 2(12 2 (1 2 - 6 - n)n 14( ) 2n n n( )( ) 1 2 16n )2n( )112(311n 10)，综上所述，当 a 8、 b 11、 c 10时，题设的等式对一切自然数 例 10. 有矩形的铁皮，其长为 30为 14从四角上剪掉边长为 剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问 形盒子容积最大，最大容积是多少？ 【分析】 实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。 【解】 依题意，矩形盒子底边边长为 (30 2x)边宽为 (14 2x)为 盒子容积 V (30 2x)(14 2x)x 4(15 x)(7 x)x ， 显然 :15 x0， 7 x0， x0。 设 V45a 7b bx)x (a0,b0） 要使用均值不等式，则 a ba ax b bx 15 7解得： a14， b4， x 3 。 从而 V643(4x)(2143x)x643(1542143)364327 576。 所以当 x 3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是 576 【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用 “ 待定系数法 ” 求。本题解答中也可以令 V45a 7 x) 45 x)(7a ax)由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“ 凑配法 ” 和 “ 函数思想 ” 。 【巩固练习】： 用待定系数法解证下列各题： 设 f(x)2 m， f(x)的反函数 f1(x) 5，那么 m、 _。 A. 52, 2 B. 52， 2 C. 52, 2 D. 52， 2 - 7 - 二次不等式 20的解集是 (12,3)，则 a _。 A. 10 B. 10 C. 14 D. 14 在 (1 1 x） 的展开式中， _。 A. 297 B. 252 C. 297 D. 207 函数 y a 12,3)，则 a _。 A. 10 B. 10 C. 14 D. 14 在 (1 1 x） 的展开式中， _。 A. 297 B. 252 C. 297 D. 207 - 10 - 函数 y a 7 x0， x0。 设 V45a 7b bx)x (a0,b0） 要使用均值不等式，则 a ba ax b bx 15 7解得： a14， b34， x 3 。 从而 V643(4x)(2143x)x643(1542143)3643 27 576。 所以当 x 3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是 576 【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令 V45a 7 x) 45 x)(7a ax)由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配 法”和“函数思想”。 、巩固性题组： 函数 y x 2,+ )上恒有 |y|1，则 _。 A. 2a12且 a 1 B. 02或 0a12方程 x q 0与 p 0只有一个公共根 ， 则其余两个不同根之和为 _。 A. 1 B. 1 C. p q D. 无法确定 如果函数 y a 于直线 x8对称，那么 a _。 A. 2B. 2C. 1 D. 1 满足 1 2 n 00的最大正整数是 _。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 无穷等比数列 前 n a12n, 则所有项的和等于 _。 - 14 - A. 12B. 1 C. 12D.与 (1 1，则 k _。 经过两直线 11x 3y 9 0 与 12x y 19 0 的交点，且过点 (3,直线方程为_。 8. 正三棱锥底面边长为 2，侧棱和底面所成角为 60，过底面一边作截面，使其与底面成 30角，则截面面积为 _。 9. 设 y f(x)是一次函数，已知 f(8) 15,且 f(2)、 f(5)、 (等比数列，求 f(1) f(2) f(m)的值。 10. 设抛物线经过两点 ()和 (2)，对称轴与 x 轴平行，开口向右，直线 y 2x 7 和抛物线截得的线段长是 410, 求抛物线的方程。 1引言 在数学解题过程中，有时候无法直接求的题目的答案如：对4 3 24 3 5x x x x 因式分解，将325 6 3表示为1x的方幂的形式这个时候引进待定系数法，建立等式关系，能够达到解决问题的结果待定系数法是一种基本的数学方法，是一种很好的解决问题的手段 2待定系数法的定义 待定系数法是根据 已知条件 ， 建立起给定的算式和 所求的结果 之间的恒等式，得到以 需要 待定 的 系数为 未知数 的方程或方程组，解 方程或方程 组得到待定的系数的一种数学方法 3待定系数法的步骤 （ 1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式 （ 2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程或方程组 （ 3）解方程或方程组以确定待定的系数 4应用待定系数法解题的常用题型 - 15 - （ 1）用待定系数法进行因式分解，如：对4 3 24 3 5x x x x 因式分解 （ 2）用待定系数法求函数解析式，如：已知函数 si nf x A x，其中0A，0，0 2）的图像与邻两个交点之间的距离为2，且图像上一个最低点为2 ,23M ，求其解析式（ 2009年陕西高考） （ 3）用待定系数法求数列通项式 ，如：已知等差数列 7，2010年山东高考） （ 4）用待定系数法求解的其它类型如：不等式问题、三角函数问题、向量问题、求部分分式和等等 5待定系数法求解实例 5 1 待定系数法进行因式分解 例 1 分解因式： 4 3 24 3 5x x x x 分析：这是一个关于于次数相对过高，不能使用十字相乘分组分解法又有困难经过验证由没有有理根但是次数是确定的，我们能够根据次数大概猜测其因式分解以后的形式，这个时候我们可以引进待定系数法进行因式分解 解：设 4 3 24 3 5x x x x =22( ) ( )x ax b x cx d =4 3 2( ) ( ) ( )x a c x b ac d x ad bc x ， 比较等式两边的多项式对应项的系数，列出方程组，得 1435ac ， 解该方程，得到 1125 ， 所以 4 3 2 2 24 3 3 ( 1 ) ( 2 5 )x x x x x x x x - 16 - 评析：与这个类型题相似解题的还有解方程、解不等式如把题目改成解方程4 3 24 3 5 0x x x x ，或者解不等式4 3 24 3 5 0x x x x 这两种类型的题型的做法跟本题因式分解方法相同 5 2用待定系数法求部分分式和 例 2将522( 1) ( 1)化为部分分式之和 分析：这类型的问题思路基本上跟因式分解类似，首先用未知数表示化为部分分式和以后的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，代入所设的部分和即可得 结果 解：由于5 3 22 2 2 22 2 3 22( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x x x x x ，则可设 322 2 2 22 2 3 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1x x x A B C x Dx x x x x ，则3 2 2 2 22 2 3 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )x x x A x B x x C x D x 32( ) ( 2 )B C x A B C D x ( 2 ) ( )B C D x A B D , 由相等的多项式各项系数相等可列出方程组 222232 C D , 解以上方程组得 122012,故 522( 1) ( 1)=221 2 12 2( 1 ) 1 2( 1 )x x x x 5 3用待定系数法求函数解析式 - 17 - 例 3 已知椭圆22221( 0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F，2为顶点的三角形的周长为4( 2 1)一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设线1和C，D求椭圆和双曲线的标准方程（ 2010年山东高考） 分析：要用待定系数法求解解析式，首先要知道函数解析式的形式，然后用字母表示出解析式然后 根据题目中给出的已知条件解出未知数，最后写出解析式 解：设椭圆的半焦距为 c，由题意可得： 椭圆的离心率为 22 根据几何关系，可得到关系式 2 2 4( 2 1) ， 联立上两式解方程组，得 22a，2c， 又根据关系式2 2a b c，可得2b 故椭圆的标准方程为 184 由题意可设等轴双曲线的标准方程为1( 0)m，又由于等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以有2m 评析：用待定系数法求方程的解析式，不仅可以求椭圆、双曲线，一次函数、二次函数等简单能估计其解析式形式的题型 例 4是否分别存在满足下列条件的函数() （ 1）()(0) 3f ，(0) 0f ，(1) 3f ，(2) 0f ； （ 2）是一次函数，且2 ( ) ( 2 1 ) ( ) 1x f x x f x 如存在，求出 的表达式；若不存在，说明理由 分析：首先假设函数存在，用字母设出函数的解析式，利用已知的条件建立方程或方程组，解方程组，求出未知数，写出函数解析式 - 18 - 解：（ 1）设32()f x ax bx cx d ( 0)a，则2( ) 3 2f x ax bx c 由题意可建立方程式，得 303 2 312 4 0b ca b c ， 解以上方程组，得 1303 ， 故存在满足条件的的函数()达式为32( ) 3 3f x x x （ 2 ） 假 设 存在，由是 一 次 函 数 可 知() 次 函 数 ， 故 可 设2f x ax bx c ( 0)a，则( ) 2f x ax b 将()入已知条件，得 22( 2 ) ( 2 1 ) ( ) 1x ax b x ax bx c ， 整理得 2( ) ( 2 ) 1a b x b c x c ， 由等式两边各项系数相等，可建立方程组 0201 ， 解以上方程组可得 221， 所以满足条 件的()达式为2( ) 2 2 1f x x x 评析：利用待定系数法求解函数解析式，可以使问题简化 5 4用待定系数法求数列通项式 例 5 已知数列 1，11n ，设52c，1 2n nb a ，求数列 19 - 公式（ 2010高考全国卷一） 分析：利用待定系数法求数列的解析式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式，比如等差数列、等比数列等，用字母表示，然后根据数列的性质，解出未知数，即可得结果 解：12512222nn ，则1 1214 2222nn n n a a a ， 即1 42（ 1） 则可设1 4( ) ，即1 43通过与（ 1）式比较，可解得23 则1 224( )33 又有1 1a，故1 11 12b a 故23是首项为13，公比为 4的等比数列，即1214 则1 评析：对1 ()ca b n ，当1c时，若()1a ，则只需要要用叠加法即可求解 对1a ca b n，当1c且0时，若 为等差数列，则可设()b n xn y，那么可设 1( ) 1n c a n ，即 1(1 ) (1 )a c a c n c c ， 通过所设的式子与原式的对比可设方程组 (1 )(1 )c c ， 解方程组得 21(1 )yc ， - 20 - 故数列 为等差数列 最后可以根据等差数列的性质及题目给出的条件求出数列的通项式 用待定系数法求其它问题 例 6 已知二次函数 2f x ax ，且满足 1 1 2f ， 2 1 4f，求 2f 的取值范围 分析：如果直接把1和 1 代入二次函数的解析式，求出通过2f ，这样不仅在求解的操作上增加了难度，而且有可能扩 大解集所以这个时候用待定系数法，用 1f、12f ，建立者之间的关系，这样解题比较快捷，范围也比较准确 解：设 2 1 1f cf ，则有 4 2 ( ) ( ) ( ) ( )a b c a b d a b c d a c d b ， 比较等式两边列出
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