2014高考数学必考点解题方法秘籍（打包56套）
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- 1 - 2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：三角函数 1 一复习目标： 1熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等 2熟悉三角变换常用的方法 化弦法，降幂法，角的变换法等并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明 3掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题 4熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质 5熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 6理解图象平 移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化 二考试要求： 1 理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。 2 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。 3 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 5 了解正弦函数、余弦函 数、正切函数的图象和性质，会用 “ 五点法 ” 画正弦函数、余弦函数和函数 y=x+) 的简图，理解 A、 、 的物理意义。 6 会由已知三角函数值求角，并会用符号 x, x, 7 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。 三教学过程： （）基础知识详析 （ 一 ） 三角变换公式的使用特点 1同角三角函数关系式 (1)理解公式中“同角”的含义 (2)明确公式成立的条件。 例如， 1=且仅当 k (3)掌握公式的变形特别需要指出的是 使得“弦”可以用“切”来表示 (4)使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法 (5)几个常用关系式 (三式之间可以互相表示 ) - 2 - 同理可以由 21 si n 1 si 当0,2x 时，有x x 2诱导公式 (1)诱导公 式中的角是使公式成立的任意角 (2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定 (3) )=(-1) )=(-1)k Z) 熟记关系式si n c os c 4x x x ；c os si 3两角和与差的三角函数 (1)公式不但要会正用，还要会逆用 (2)公式的变形应用要熟悉 熟记： + )(1，它体现了两个角正切的和与积的关系 (3)角的变换要能灵活应用，如 =( + ) = -( ， 2 =( + )+( 等 4倍角公式，半角公式 (2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确 如已知 分别选择 1 (3)余弦的二倍角公式的变形 升幂公式、降幂公式必须熟练掌握要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法 对 (4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法正 - 3 - 在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的 区别，因此在化简、证明题中， 5和差化积、积化和差公式， 这两组公式现在不要求记忆，但要会使用 (1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式 (3)对下列关系式要熟记： 6三角变换： 三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换 三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础 三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决 7 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点 (1)角的变换 因为在 ， A+B+C=，所以 +B)=+B)=+B)= (2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理 r 为三角形内切圆半径， 在非直角 ， (4)在 记并会证明： A ， B， 件是 B=60 正三角形的充分必要条件是 A， B， a， b， 8三角形的面积公式： （ 1）211a、 b、 - 4 - （ 2）2111 （ 3）) （ 4） 2 （ （ 5） （ 6）)()( ； )(21 （ 7） r s 9直角三角形中各元素间的关系： 如图，在 C 90， c， b， a （ 1）三边之间的关系： 勾股定理） （ 2）锐角之间的关系： A B 90； （ 3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） 10斜三角形中各元素间的关系 : 如图 6 A、 B、 a、 b、 c 分别表示 A、 B、 （ 1）三角形内角和： A B C （ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 . （ （ 3）余弦定理：三 角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 （ 4）射影定理： a b c b a c c a c 11解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径 、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是 - 5 - 斜三角形，则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是： 设 a、 b、 c，对应的三个角为 A、 B、 C （ 1）角与角关系： A+B+C = ， （ 2）边与边关系： a + b c， b + c a， c + a b， a b b （ 3）边与角关系： 正弦定理 （ 余弦定理 a2+2 a2+2 b2+2 它们的变形形式有： a = 2R bc （ 4）面积公式： 解斜三角形的常规思维方法是： （ 1）已知两角和一边（如 A、 B、 C），由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求 a、 b （ 2）已知两边和夹角（如 a、 b、 c），应用余弦定理求 应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = ，求另一角 （ 3）已知两边和其中一边的对角（如 a、 b、 A），应用正弦定理求 B，由 A+B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 要注意解可能有多种情况 （ 4）已知三边 a、 b、 c，应余弦定理求 A、 B，再由 A+B+C = ，求角 C （二） 三角函数性质的分析 1三角函数的定义域 这两种表示法都需要掌握即角 函数 y=x或 ( )(k Z)，这两种表示法都需要掌握即角 (2)函数 y=y=y=y=同 2三角函数的值域 (1)由 | 1、 | 1得函数 y=y=值域是 | 1、 | 1 (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域 常用的一些函数的值域要熟记 - 6 - y= (- ， 2， + ) 3三角函数的周期性 (1)对周期函数的定义，要抓住两个要点： 周期性是函数的整体性质，因此 f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个 零常数 f(x)的周期 周期是使函数值重复出现的自变量 因为 x)=以 2k Z， k 0)是 y=周期，最小正周期是 2 同理 2k Z， k 0)是 y=小正周期是 2 因为 x)=定义域中任一个 x 成立，所以 k Z， k 0)是 y=周期，最小正周期是 同理 k Z， k 0)是 y=小正周期是 (3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用 函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些 递增区间互不连接，递减区间也互不连接 函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化 因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可 4三角函数的奇偶性，单调性 研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间 5三角函数的图象 (1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象 (2)函数 y=y=y=y=图象的对称中心分别为 - 7 - Z) 的直线 （三）思想方法 （ 1） 常值代换：特别是用“ 1”的代换，如 1=。 （ 2）项的分拆与角的配凑。如分拆项： +凑角： =（ +）， =等。 （ 3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 （ 4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 （ 5）引入辅助角。 22 +)，这里辅助角所在象限由 a、 角的值由 （ 6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成 有理式。 （ 1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （ 2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 （ 1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （ 2）寻找联系：运用相关公式 ，找出差异之间的内在联系。 （ 3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 （四）注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面： 1三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值 2三角变换的一般思维与常用方法 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 22122)()( 也要注意题目中所给的各角之间的关系 注意函数关系，尽量异名 化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等 熟悉常数“ 1”的各种三角代换： 6222 等 注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为2代数式，把三角式转化为代数式但 - 8 - 往往代数运算比较繁 熟悉公式的各种变形及公式的范围，如 = ，2 ，2等 利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如2 ，22 ，22 等从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化 3几个重要的三角变换： 可凑倍角公式； 1 可用升次公式； 1 可化为 2用升次公式； 中 一公式应用广泛，熟练掌握 4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数 y = x、 y = x、y = x、 y = x 的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题 5. 三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图 的基本原理以及快速、准确地作图 “函数 y = x ) （ R）不可能是偶函数”是否正确 分析：当2时， ，这个函数显然是偶函数因此，这个判断是错误的我们容易得到如下结论： 函数 y = x ) 是奇函数 k Zk 函数 y = x ) 是偶函数 Z 函数 y =x ) 是奇函数 函数 y = x ) 是偶函数 Z “正切函数 f (x) = x，2Z是否正确 - 9 - 分析 ：我们按照函数单调性的定义来检验一下： 任取 201 ，x， ，22x，显然 f ( 0 f (，与增函数的定义相违背，因此这种说法是不正确的 观察图象可知：在每一个区间 22 Zf (x ) = x 都是增函数，但不能说 f (x ) = （） 2004年高考数学三角问题综合题选 （ 2004年湖北卷理科（ 17） 已知)32,2,02 求的值 . 解法一：由已知得：0) 0co 或由已知条件可知).,2(,2,0 于是3 代入上式得将 32.2(1)32(123)32(1)32()3222即为所求解法二：由已知条件可知所以原式可化为则 ,2,0 - 10 - .,2(202说明：本题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能。 2（ 2004年高考天津卷理科 17） 已知21)4， （ 1）求 2）求 2的值 . （ 1）解： . 由21)4，有21 . 解得31. （ 2）解法一：122 65213121 . 解法二：由（ 1），31，得 22 22 . 109. 于是541 ， - 11 - 53 . 代入得65541109532 . 说明：本题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力。 3（ 2004年全国卷（ 17）已知锐角三角形 51)53) ）求证：BA ； （）设 ，求 上的高 . （）证明：,51)53) 23A （）解： ,43)53) A，将BA 代入上式并整理得 2 B，舍去负值得2 62B， B 边上的高为 则 D+623 B=3，得 +6. 所以 +6. - 12 - 说明：本题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力。 4（ 2004年高考浙江卷 18） 在 ，角 A、 B、 a、 b、 c，且31A. （ ）求 的值； （ ）若3a，求 最 大值 . 解 : () =)1121 2 11 2 192()311(21 = 91() 31 222 23 , 又 3ab=c=23时 ,故 说明：本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理及均值不等式等基础知识，考查运算能力。 5（ 2003 年高考江苏卷 18）已知函数)0,0)( 上的偶函数，其图象关于点)0,4( 在区间2,0 上是单调函数，求和的值 . - 13 - 解：由),()(,)( ,2,0)2(,310,0;2,0)22(,2,1;2,0)232(,32,0.,2,1,0),12(32,3,2,1,243,0,04334343(,434343(,0),43()43(,)(或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又得取得对称的图象关于点由所以解得依题设说明：在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和 推理计算能力。 （）范例分析 例 1、已知2，求（ 1） ；（ 2） 22 的值 . 解：（ 1）2232121； (2) 222222. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。 - 14 - 例 2、已知函数 f(x)=（ 1）求 f(x)的定义域和值域； （ 2）在（，）中，求 f(x)的单调区间； （ 3）判定方程 f(x)=，）上解的个数。 解：（ 1） 1 1 3 。又函数 y= x=2(k Z)处无定义， 且 （2， ） 3, （ , ）， 令32，则 2解之得： x=(k Z) f(x)的定义域是 A=x|x R，且 x ， k Z 2， ）内的值域为（， +），而当 x 数 y=13满足 （2， ） B f(x)的值域是（， +）。 （ 2）由 f(x)的定义域知， f(x)在 0， 中的 x=3和 x=32处无定义。 设 t=3当 x 0, 3)（ ，32）（32，）时， t 0, 2) ( ,3，且以 y=0，2），（ ，3上分别单调递增。 又当 x 0，3时，函数 t=3 t 0, 2) - 15 - 当 x（3，2时，函数 t=3 t（2, 3当 x 2，32)时，函数 t=3 t（2, 3当 x（32，）时，函数 t=3 t（ 0，2） f(x)=3区间 0，3),（3,2上分别是单调递增函数；在),32(),32,2 上是单调递减函数。 又 f(x)是 奇函数，所以区间（3， 0， 2，3)也是 f(x)的单调递增区间2,32(),32, 是 f(x)的递减区间。 故在区间（，）中 ,f(x)的单调递增区间为： 2，3)，（3， ），（3，2单调递减区间为),32(),32,32(),32, 。 （ 3）由 f(x)= 2 )33 （ k Z） (k Z) 又 1 1，3 233 23 k k=0或 k= 1 当 k=0时，从得方程 6 - 16 - 当 k=1时，从得方程 3+6显然方程 6,3+6，在（ , ）上各有 2个解，故 f(x)=，）上共有 4个解。 说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（ 1）求 f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=3值域与 y=定义域的交集；（ 2）求 f(x)的单调区间，必须先搞清 f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。 例 3 、已知函数 2 20 ，值域为 5， 1 ，求常数 a、 解： 22 232 20 x， 32323 ， 1 321 x 当 a 0时， b f ( x ) 3a + b， 3 解得 当 a f(2 21 证明 :1211221 xx =)212121 x1, 0，2），且 2x1+0,0)2121 xx =21 证：以上是采用化弦，放缩后利用公式 以证明的，也可以利用正切的和差角公式加以证明。 左边右边 =21 1 211 xx+1 =212 21 x) (1+ 1 + - 19 - 2 21 (1+1 =211 (1+1 1 1 x) =211 xx1 ，2 21 (0, ) 1 x0 又 1 x1为正，在 综上211 xx1 (0，即1f(f(f(2 21 x) 说明：在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中，常采用化弦法。本题解法一是化弦，了解决把两个分数的单角转化为和角，同时又使函数值适当缩小。 例 7、如图， A、 B 是一矩 界上不同的两点，且5 ,， 设 . （ 1）写出 f( ); （ 2）写出函数 f(x)的取值范围。 解：（ 1） ， 0 当 0， 15 时， 两顶点 A、 、 AE=BE=5 + ) f( )=S 15 + ) =)455=2)4522当 a（ 15 ,45 时， F 上， G 上，且 45)(f=S 1=)45 =2)246 - 20 - 综上得： f( )= 4,12(2)42612,02)422（ 2）由（ 1）得：当 0，12时 f( )= 2)422 21,3 1 且当 =0时， f( )1； =12时， f( ) 1； 当4,12( 时 , 2 4， f（） =2)426 63,23 且当 =8时， f( ) 3；当 =4时， f( ) 3所以 f(x) 2,23。 说明：三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。练习时注意三角函数的综合应用。 例 8、 已知函数 y=213 （ x R） , （ 1）当函数 自变量 （ 2）该函数的图像可由 y=x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（ 1） y=213=41(21)+ 41+43（ 2+1 =413=21(+45=21x+6)+45 - 21 - 所以 需 2x+6=2+2（ k Z），即 x=6+（ k Z）。 所以当函数 变量 x|x=6+k Z （ 2）将函数 y= （ i）把函数 y=得到函数 y=x+6)的图像； （ 得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标 不变），得到函数 y=x+6)的图像； （ 得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21x+6)的图像； （ 得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数 y=21x+6)+45的图像。 综上得到 y=213的图像。 说明：本题是 2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于 齐次式，降幂后最终化成 y=22 x+)+是化成某一 个三角函数的二次三项式。本题（ 1）还可以解法如下：当时， y=1；当 0时， y=+1=+1 化简得： 2(y 1)y 3=0 R， =3 8(y 1)(2y 3) 0,解之得：43 y7 7，此时对应自变量 x|x=6,k Z - 22 - 例 9、 2 （）将 f(x)写成) 求其图象对称中心的横坐标； （）如果 a、 b、 b2=边 x，试求 f(x)的值域 . 23)332 332322 332 32x=0即 2 13)(32 得即对称中心的横坐标为 ，2 13（）由已知 b2=，231)3321)33295|23|953323301)(31,3( . 综上所述，3,0( x， )(31,3( . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。 例 10 、 设 二 次 函 数),()( 2 ，已知不论,为 何 实 数 恒 有 0)0)( 求证：1 求证：3c； 若函数)(，求值 . (1) 1,1， 3,1， 0)(又， 0)f 恒 - 23 - 成立 . 0)1(f ， 0)1(f ， 即 0恒成立 . 0， 即 1. （ 2）0)3(f ， 0， 0c)9 ， 3. （ 3）由题意可知： 上为减函数，在 11)x(f ， (， 1 ， 由 ， 可得 b = 4,c = 3 . 说明：赋值法在解决有关恒成立问题时经常用到，利用函数的单调性往往能使问题得以顺利解决。 例 11、已知函数)(1 求函数 求此时 该函数的图象可由)(的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（ 1） 45)6211 476 当 ； （ 2）将函数xy 图象依次进行如下变换： 把函数xy 得到函数)6 ； 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数 )62 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数 )621 - 24 - D C B A 1.2 m 2 m 1 m D C B A 1.2 m 2 m 1 m 把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数)621 5的图象； 综上得函数1 说明：图象变换是否熟练、准确是解决三角函数问题的关键，要求学生要熟练掌握。 例 12、化工厂的主控制表盘高 1 米，表盘底边距地面 2 米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面 . 解：如图，则 1， ， ， 当即2.1 是锐角， 也最大， 说明：欲在表盘看得清楚，人眼距表盘水平距离 理利用角的关系，建立目标函数，是本题的关键。 例 13、平面直角坐标系有点4,4),1,( 余弦用 求的最值 . - 25 - 解：（ 1） 即 )44( x（ 2）xx ， 又 2 23,2 1,3 22 ， 0， 3 22x . 说明：三角函数与 向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。 例 14、已知：定义在4,(上的减函数)(得)2 对一切实数实数 解：由题意可得 4 即 恒成立对 又 21)21( 3 x， 32121 2121 21m， 或 23m. - 26 - 说明：利用三角函数的值域来求解变量的取值范围，是较为常见的解题思路，在利用单调性列出不等式时，不能忘记函数的定义域。 四、强化训练 1 （ 2003 江 苏 ） 已 知 x(2,0),4, 则 ) A. 247B. 247C. （ 2003北京春季）在 ，已知 A、 B、 2的值 . 3（ 2003北京）已知函数4 求 f(x)的最小正周期 ; 若 x0, 2,求 f(x)的最大值，最小值 . 4、（ 2002江苏）在)2,0( 内，使xx 成立的 ） （ A）)45,()2,4( （ B） ),( （ C） )454(（ D）)23,4(),( 5、（ 2002 上海）函数,|,| ） y y y y o x o x o x o x (A) (B) (C) (D) 6、（ 2002北京）已知)(,3上的奇函数，当30 ( 那 么 不 等 式0 集 是 ） - 27 - (A) )3,2()1,0()2,3( y (B) )3,2()1,0()1,2( (C) )3,1()1,0()1,3( 0 1 2 3 x (D) )3,1()1,0()2,3( 7、已知 么下列命题成立的是（ ） 是第一象限角，则 是第二象限，则 是第三象限角，则 是第四象限角，则 8、下列命题中正确的是（ ） A.y= B.y= D.y=y=、函数 y=x+3)的图象是由函数 y= ） 位 位 位 位 10、要得到函数 42以将函数 y = 3 ) A. 沿 x 轴向左平移8单位 B. 沿 位 C. 沿 x 轴向左平移4单位 D. 沿 位 11、图 04 是函数 y =2 x ) （02 ，）的图象则 、 的值是（ ） A1110，6B1110，6 - 28 - C2，6D2，6 12、 A， B， _ 13、51 236 ，x， 求 14、（ 1）已知 + ) )=61, (2, )，求 （ 2）已知 x+4)=53,5 ，此时 答案选 D。 8、 y=每一个定义区间上都是增函数，但在其定义域内并不是增函数； y=第一象限的每个区间上都是增函数，但在第一象限上并不是增函数； y=y=x2, 的反函数；令 f(x)= 2 f( x)= 2 x)= f(x)所以 y=2 答案选 C。 9、 y=位后得 :y=x+3)=x+32);y=右平移6单位后得 y=x6)=x3);y=象向左平移65单位后得：y=x+65)=x+35)=x3);y=像向右平移65单位后得： y=x65)=x35)=x+3)， 故答案选 D。 - 30 - 10、分析：我们知道，当 a 0 时，把函数 y = f (x)的图象沿 x 轴向右移 a 个单位，便得到函数 y = f (x a) 的图象，把函数 f (x)的图象沿 x 轴向左平移 得到函数 y = f (x a) 的图象本题中 42y = 3 当把它们变为“ y = f (x)与 y = f (x a)”的形式后，再讨论平移关系因为我们关心的是对函数 y = 3 x 的图象平移，所以要把 - 1 - 2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：三角函数 2 摘要：近年来 ,三角函数试题在高考中所占的比例基本稳定在 12%左右 ,并且大部分试题为基础题和中档题 年各地区高考题为例，三角函数一般会作为一道客观题和一道主观题。本文主要总结三角函数的各种考查题型和解题思路以及它的考试趋势。 关于三角函数的求值，一般是先运用它的公式化简再求值，公式包括二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，和差化积公式，积化和差公式，正弦定理和余弦定理等。 例 1 、 B、 边分别为 a、 b、 c己知 0， a+c=2b，求 C（ 2011年高考理科数学全国卷） 解：由2a c b及正弦定理可得 si n si n 2 si n B又由于90 , 180 ( ) ,A C B A C 故c os si n 2 si n( )C C A C 2 si n( 90 2 )C 2C22c os si n c ,C C Cc 45 ) c 因为0 90C ， 所以2 45 ,15C例 2 在，已知23A （）求 （）求 6B 的值 - 2 - 解（）在，22 43si n 1 c 55 ，由正弦定理，得 所以2 3 2si n si n 3 5 5 （）因为4A，所以角而角是 22 2 21c si n 155 ， 2 21 17c 2 c 2 15 25 si n 2 si n 2 c os c si 6B B B 4 21 3 17 125 2 25 2 12 7 1750 解析： 本种类型题主要考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、等基础知识，考查基本运算能力。所以，在对于这种直接运算化简的题目，必须记住有关于三角函数的有关公式，主要有： 二倍角公式 ： si n( 2 ) 2 si n c ; 2 2 2 2c 2 ) c os si n 2 c 1 2 si n ; 2ta n( 2 ) 2 ta n / (1 ta n ) ; 2c ) ( c ) ( 2 c ;两角和与差的三角函数公式 : c ) c os c os si n si n ; ) c os c os si n si n ; si n( ) si n c os c os si n ; - 3 - t a n( ) ( t a n t a n ) / ( 1 t a n t a n ) ; t t t / t t ; 和差化积公式： si n si n 2 si n + / 2 c 2 ; 2 c 2 si n / 2 ; c os c c 2 c 2 ; 2 si n / 2 si n / 2 ; 积化和差公式： 1si n c os si n( ) si n( ) ;2 1os si n si n( ) si n( ) ;2 1c c c ) c ) ;2 1si n si n c ) c ) ;2 正 弦 定 理 ： 在 ， 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c. 则有 :2si n si n si na b c C （ （ 1）已知三角形的两角与一边，解三角形。 （ 2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （ 3）运用 a： b： c=。 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。 余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为 a， b， c 三角为 A， B， C ，则满足性质 2 2 2 2 c b c 2 2 2 ;b a 2 2 2 2 c c b 2 2 2 ) / ( 2 ) ;C a b c 2 2 2c / ) ;B c b 2 ) / ( 2 ) ;A c b a - 4 - 主要包括三角函数的图象及其性质、函数 ax b、 ax )y A 键是理解并掌握三角函数的图象及其性质、三角函数图象的变换。 1三角函数的图象及性质 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象 函数 性质 像 定义域 x x k k Z 值域 1,1 ,1当2 ( )2x k k Z 时，y ； 当2 2m ) 1k Z y 时 ，当2 ( )x k k Z时， ；当 2 ，y 既无最大值也无最小值 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 - 5 - 单调性 在2 , 222()是增函数；在 32 , 2上是减函数 在 2 , 2 ( )k k k Z 上是增函数；在 , 2 ( )k k k 上是减函数 在,()是增函数 对称性 对称中心( ,0)( )k k Z 对称轴, ( )2x k k Z 对称中心2（ k + ,0）对称轴称中 心( ,0)( )2k 无对称轴 2 理解函数)y A x图像中是由函数么变换来的，当,A取不同值的时候，对图像的影响。 由函数图像到)图像的步骤。 沿 平行移动 横坐标 伸长或缩短 纵 坐标 伸长或缩短 沿 扩展 )y A x中未知数的求值，要记得几个公式。 2T , 步骤 1 画出在 0,2 的简图 步骤 2 步骤 3 步骤 4 步 骤 5 得到 在某周期内的简图 得到 s 在某周期的简图 得到 s x在某周期内的简图 得到 s x在 R 上的图像 - 6 - 例 3：右图是函数 si x x R 在区间5,66上的图像，为了得到这个函数的图象，只要将 x x R的图象上所有的点（） (A)向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变； (B) 向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变； (C) 向左平移6个 单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变； (D) 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变。 解析：从图中可以得出1, , 6 。所以根据函数 图像到)y A x图像的步骤便可知选择答案A. 例 4：已知函数( ) 2 si n( ) ,f x x x R ，其中0 , , ( ) 若的最小正周期为6，且当2x 时，()（ ） A()在区间 ,0上是增函数 ; B 在区间 3 , 上是增函数 ; C ,5 上是减函数 ; D()在区间4 ,6 上是减函数 ; 解析：本种类型题主要考察有关 x的图像及图的 画法。熟记间的关系2T 和的取值对于图像的影响。一般地，函数 - 7 - x, 00x R A 其 中 ，的图像，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当0时）或向右 (当时 )平行移动个单位长度而得到，再把所得各点的横坐标缩短（当1）或伸长（当01时）的原来的1（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当1A时）或缩短 （当 时）到原来的坐标不变）。同时会利用周期用五点法作图，以及给了图像可以从中找出,的值。 三角形中的三角函数关系式历年高考的重点内容之 一，本节主要帮助考生更加深刻理解正弦和余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧。 例 5在，角.a,b,c 已知 si n si n si n ,A C p B p R 且24ac b （）当5,14时，求, （）若角 （ I）解：由题设并利用正弦定理，得5,41,4 解得1, 1 ,41 ,ac c或（ ：由余弦定理，2 2 2 2 c a c - 8 - 22 2 2 22( ) 2 2 c 2231c 22a c ac p b b b 即因为2 30 c , ( , 2)2 得， 由题设知60 , 2 所 以例 6 如图， A， B 是海面上位于东西方向相距 5 3 3海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45， B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 点 的救援船立即即前往营救，其航行速度为 30 海里 /小时，该救援船到达 解：由题意知3)(3+海里， 90 60 30 , 45 ,D 105 在，由正弦定理得si n si B si n 5 ( 3 3 ) si n 45 5 ( 3 3 ) si n 45si n si n 105 si n 45 c 0 si n 60 c 5 D B =5 3 (1 3 ) 10 3(1 3 )2 （海里）， 又30 ( 90 60 ) 60 , 20 3D B C 海里， 在，由余弦定理得 2 2 2 2 c C C D = 1300 1200 2 10 3 20 3 9002 30（海里），则需要的时间30 130t（小时）。 - 9 - 答：救援船到达 小时。 解析：本种类型题主要考察的内容为三角函数中的正弦余余弦定理，在这类题中要考虑角的取值范围，以及边的取值范围。对于解斜三角形，已知三个已知量要会运用正弦和余弦定理，求出其他三个未知量的值。 在 解三角函数的时候，同学们或多或少的都会出现一些错误 对高中生来说，这部分内容虽然公式较多，但规律性较强，因而学生容易掌握。同时，我们可以充分利用单位圆和三角函数图象来学习三角函数性质，并解决与三角函数相关的问题，体现数形结合思想现在就三角函数及其相关问题中易错现象进行归纳和分析，以纠正学生对于三角函数中的误区。 误区主要包括几个方面。 第一，对于三角函数的定义认识不清晰，容易忽视定义域。 例 n si n 的值域。 错解：设si n c si n 4t x x x ，2, 2t ， 则2 1，故 2 112 1 2。 因为22t ，所以2 1 2 1,22 。 剖析：上面解法中忽略了对定义域及变量 1 si n ，得1t，进而y，故所求函数的值域应为2 1 2 1, 1 1 , 。 第二，忽视相位变换所针对的对象。 例 c c c 求 错解：由题设条件得 1 c 3si n si n ,1c c 又13则2241si n c ,33 解得2 3015 剖析：上面解法是在, 的前提下而求的，事实上，已知条件中含有 - 10 - , 的情况，此时也满足题意，三角变换应注意等价性，不能随意扩大或缩小角的范围。 第三，忽视周期性。 例 6 求函数22x 的最小正周期 错解 22 t a n t a n 2 ,1 t a n 2xy x ,即函数的最小正周期为2。 辨析 若22 是 y=有意义，根据周期函数的定义只应有 002f 成立。 然而0 22 根本无意义，故不是其周期，错解是由于忽视对周期函数的定义的准确的理解产生的 第四，忽视题目中的隐含条件。 例 si n 2 si n 2 si n ，求取值范围。 错解： 22 2 21 1 1si n c os si n si n si n 12 2 2 ， 又 ,1，所以1n si n 0 , 2 。 剖析：上面解题时忽略了条件中隐含的角的范围限制， 2 si n 2 si n 3 si n 0 , 2 ，解得20, 3 ， 所以 ,1是错误的，故4si n si n 0 , 考中三角函数的考试趋势 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查 , 而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查 , 对基础知识和基本技能的考查上来 . 在考查三角公式进行恒等变形的同时 , 也直接考查了三角函 数的性质及图象的变换 , 降低了对三角函数恒等变形的要求 , 加强了对三角函数性质和图象的考查力度。在 2011年的高考题中大多不在单一的考察关于三角函数的公式，而是与三角形结合起来考察，运用正弦和余弦定理找寻三角函数与三角形之间的关系，一般求解围三角形的面积或者是其中某个未知数的值，在考虑三角形中的三角函数要考虑三角函数中的角在三角形中的取值范围，懂得舍角。同样的，在其他省份高考题中有关于三角函数的题目主要有求最值和利用图像解三角函数。 最值 - 11 - 求三角函数的最值是研究三角函数性质的重要手段之一 ，也是高考的常考点。求三角函数的最值，常用方法如下： n c a x b x c 型，利用三角辅助角公式 22 si na b x c 来完成。 例 3 t a n ) c 0 )2y x x x ，则 f(x)的最大值为 ( ) A、 1 B、 2 C、 31D、32分析：将切化弦，化简成si n c a x b x c 型。 解： 313 si n c si n c si 6f x x x x x 因为0 2x ，所以2 ,6 6 3 6 2 当时， f(x)取最大值 2，故选B. 2. 形如22si n si n c os c a x b x x c x 型，通过二倍角公式转化成 si n 2 c y A x B x型，再利用三角辅助角公式来完成。 例 n 2 si n c c x x x x 的最小值、最大值及最小值、最大值时 解法 1： 2 2 2si n c si n c c si n 2 1 c 2 si n 2 c 2 2 si n 24y x x x x 解法 2： - 12 - 2 222si n c c si n 2 c c 1 c 22 si n 2 c 2 2 si n 24y x x 评注：两种解法分别
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