2014高考数学必考点解题方法秘籍（打包56套）
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高考
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56
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2014高考数学必考点解题方法秘籍（打包56套）,高考,数学,考点,解题,方法,法子,秘籍,打包,56
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- 1 - 2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍：递推数列 1 一阶递推数列 我们首先回顾递推数列的定义，参见文献 1。 定义 1 对于任意递推关系),( ,21 确定的数列递归数列），称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列。 本节通过分析几种一阶递推数列类型，给出其的求通项公式方法，并分析两种常见方法的区别和联系。 阶线性递推数列 本节主要讨论下面两种一阶线性递推数列。等差数列、等比数列 2作为最基本的一阶线性递推数列由于篇幅所限，在这里不再赘述。 )(1 类 这类递推数列的解题方法与等差数列求通项公式的方法一样，都是叠加法，下面就以高考题为例来说明其解题方法和过程。 例（ 2007 北京高考理第 15 题） 数列 2，1a （，且1 2 3a a， ，成公比不为 的等比数列 （ I）求 （ 解（ I）由题知：1 2a，2 2，3 23，因为1a，2，3以 2(2 ) 2( 2 3 ) ， 解得0c或2 当 时，1 2 3a a a，不符合题意舍去，故2c （ 2n时，由于21a c，322a a c，1 ( 1)a n c ，所以 1( 1 ) 1 2 ( 1 ) 2a n c c 又1 2a，c，故 - 2 - 22 ( 1 ) 2( 2 3 )na n n n n n ， ， 当1n时，上式也成立，所 以2 2( 1 2 )na n n n ， ， )0)1(,1 此类递推数列是高考最常见的一种，可以用两种方法进行解答，下面我们先来解出他的通项公式，然后通过典型例题运用两种方法来解析。 定理 知递推数列)0)1(, 11 则通项公式为 )1()( 1 证明：由)1(1 )2(1 从而 )2)( 11 故而数列 nn a1是首项为)1(、公比为等比数列通项公式可证。 造法 构造法是利用初等代数的思想，通过待定系数法构造一个新的等比数列并求出系数，从而利用等比数列的性质求出原来递推数列的通项公式。 例 （ 2007 全国高考理第 22 题） 已知数列)2)(12(1 nn 求解：由题知： 1( 2 1)( 2) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 1 ) ( 2 ) 2 即 12 ( 2 1 ) ( 2 ) 所以数列 2是首项为，公比为21的等比数列故2 2 ( 2 1) ，即2 ( 2 1) 1 特征方程法（不动点法） 特征方程法是构造法的简化，省去了繁琐的推导计算过程，在节约宝贵的考试时间的同 - 3 - 时，也有效避免了在繁琐计算中出现错误的可能性。 定理 已知, 11 其中0)1( 方程 为数列特征方程的根为x（称为不动点），则 （ 1）当1a时，数列 （ 2）当1x时，数列 是公比为 通项公式为： )1()( 1 构造法知：存在等比数列 ，又比较系数得， 即x是方程的根解得，代入可证： （ 1）当1a时，数列 （ 2）当1x时，数列 是公比为 故得通项公式为： )1()( 1 一阶非线性递推数列 一阶非线性递推数列主要有三种类型，下面我们通过典型题例对这三种类型进行解法说明。 nn )(1类 例 已知311a，nn 2 121 )2( ，求 解：由于 12353523232121212122111 故12 112 31 (1 且 )(,0)1(类 )(,0(),0( 2 。 例 已知132,1 11 - 4 - 解： 构造等比数列 得 )(2)1(1 对应系数相等可解得：2,3 . 故 2325 1 na 例 4 已知 211 23,2,求 解： 构造等比数列 ，使得 )(3)1()1( 221 5,23,1 . 故 45233413 21 例 已知2,5 11 ,求 解： 两边同除13 3133211 可得 31321 nn 132 得 3 . - 5 - ,0)1(, 11 例 已知311 4,1 nn ，求 解：显然0n，两边同去对数得 令nn ab 则nn 4转化为一阶线性递推数列 . 解得 12 13 2 二阶递推数列 著名的斐波那契数列 5就是二阶递推数列，常见的二阶递推数列往往也是线性递推数列，非线性的可以参照一阶递推数列转化思想转化为二阶线性递推数列，从而求出通项公式。 本节分别用构造法和特征方程法求解斐波那契数列，分析两种方法的区别和联系。 斐波那契数列 1221 ,1。 造法 二阶线性递推数列的构造法往往是构造等比数列 nn 1，通过等比数列的性质来解答。 解 由 12可构造等比数列 nn 1， 满足 )( 112 对比系数可得1. 解得251,251 或251,251 . 故 11211121)251)(251(251)251)(251(251 - 6 - 征方程法 特征方程法在构造法的基础上省去了待定系数求解的过程，避免了繁琐的计算过程，节约了考生宝贵的考试时间，解答更迅速、更准确。 定理 二阶线性递推数列 12，02。 证明 见构造法解题过程。 解 12的特征方程为12 得2 51,2 51 21 设211，又,121 112222112211 解得55,55 21 故 5125155. 别和联系 构造法是高考考纲内解答递推数列基本方法，特征方程法是竞赛数学常见方法，通过以上题例我们可以看出，特征方程法的特征方程正是构造法求对应系数计算简化后的结果，与构造法相比，特征方程法更 简便、直接，大量减少了计算过程，提高做题效率和准确率。 3 分式线性递推数列 本节通过分析基本的分式线性递推数列，初步探讨分式递推数列求通项公式的方法， 而分式非线性递推数列常出现在全国数学联赛中，方法灵活多变，受篇幅和能力所限，在这里就不再赘述。 分式线性递推数列主要分两种类型，对应方法也不一样。 0,1 这类分式线性递推数列分式的分子不含有常数项，最体方法比较简单，下面就以高考题为例来进行说明。 例（ 08 年陕西卷 22 题）已知数列a，1231 n nn 求其通项公式 . 解 显然 0，两边同去倒数可得 - 7 - 3213111 nn 令nn 得32311 nn 而解得132 故 233，可利用两边同取倒数的方法化为一阶线性递推数列，进而求出通项公式。 ,1 本节通过两种方法解决 7一书中的习题来探讨这类分式线性递推数列通项公式求法，分析两种方法区别和联系。 已知12,11 nn a造法 这类分式线性递推数列的构造法有两种构造方式，下面我们选用一种最常见的方法来进行构造。 解：借鉴上一节解题方法，转化121 的形式。 对比系数 得21，解得 21或12当2时，12212121 边去倒数得 211212121211 nn 112，其中2121时，易得结果同上。 - 8 - 征方程法 分式线性递推数列的特征方程法简化了构造法求对应系数过程，并巧妙运用，大大简化了计算过程。 定理 分式线性递推数列0,1 征 方 程 为。 证明 见构造法解题过程。 解 9 由解得 21221212212)21(212)21(211 两式相除得 2221212211 22的等比数列 . 解得 11，其中2121 n
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