2014年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用精品训练 理（含解析）（打包14套）新人教B版
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2014年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用精品训练 理（含解析）（打包14套）新人教B版,年高,数学,一轮,复习,温习,函数,导数,及其,应用,利用,运用,精品,训练,解析,打包,14,新人
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1 2014 年高考数学一轮复习 第 2 章 函数、导数及其应用 10 精品训练 理（含解析）新人教 B 版 命题报告 教师用书独具 考查知识点及角度 题号及难度 基础 中档 稍难 一次、二次函数模型 1、 2 4、 7、 10 分段函数模型 3 5、 11 指数函数模型 6 8、 9 12 一、选择题 1 (2013 年沈阳模拟 )某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为 该人整个行程的平均速度是 ( ) C.3 D. 31设整个行程为 3S，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为 个行程的平均速度为 3331 D. 答案： D 2 (2013 年武汉调研 )某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费 每月车存货物的运费 仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站10 建仓库，这两项费用 万元， 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站 ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 解析： 设仓库建在离车站 x ，则 据已知数据可得 20， 项费用之和 y 20x 20x 0.8 x 8，当且仅当 x 5 时，等号成立，故 2 仓库应建在离车站 5 答案： A 3 (2013 年福州模拟 )如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a m(0a，x4， 解得 410(其中 n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差， f(n)的单位为元 )，而 k(n) 0， n10 ，100， 两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分 18 分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分 21 分则乙所得奖励比甲所得奖励多 ( ) A 600 元 B 900 元 C 1 600 元 D 1 700 元 解析： k(18) 200(元 )， f(18) 200(18 10) 1 600(元 ) 又 k(21) 300(元 )， f(21) 300(21 10) 3 300(元 )， f(21) f(18) 3 300 1 600 1 700(元 )故选 D. 答案： D 二、填空题 6由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔 5 年计算机的价格降低 13，则现在价格为 8 100 元的计算机经过 15 年的价格应降为 _ 解析： 设经过 3 个 5 年，产品价格为 y 元，则 y 8 100 1 13 3 8 100 827 2 400元 答案： 2 400 元 7一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x(x N*)件当 x20 时，年销售总收入为 (33x 元；当x20 时，年销售总收入为 260 万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元， 4 则 y(万元 )与 x(件 )的函数关系式为 _，该工厂的年产量为 _件时，所得年利润最大 (年利润年销售总收入年总投资 ) 解析： 当 020 时 y 260 100 x 160 x. 所以 y 32x 100， 020. (x N*) 当 020时， 160 x N* 16 8 (2013 年惠州模拟 )将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中， t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 y t 假设过 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m 分钟甲桶中的水只有 m _. 解析： 根据题意 12 18a t，即 18 en t，因为 12 18 得 t 15，故 m 15 5 10. 答案： 10 9 (2013 年汕头模拟 )鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票 张，票价有 3 元、 5 元和 8 元三种，且票价 3 元和 5 元的张数的积为 张 )2.设 x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，此次足球义赛的纯收入函数为 y x，则这三种门票分别为 _万张时为失学儿童募捐纯收入最大 解析： 函数模型 y 而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题 设 3 元、 5 元、 8 元门票的张数分别为 a、 b、 c， 则 a b c x 3a 5b 8c， 把 代入 得 x (5a 3b) 2 15元 )，当且仅当 5a 3b，时等号成立，解得 a b 1， c 由于 y 此时 y 也恰有最大值 5 故三种门票分别为 1、 张时为失学儿童募捐纯收入最大 答案： ,、解答题 10 (2013 年深圳模拟 )某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3 000 元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车辆每月需要维护费 50 元 (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解析： (1)租金增加了 600 元，所以未租出的车有 12 辆，一共租出了 88 辆 (2)设每辆车的月租金为 x 元 (x3 000) ，租赁公司的月收益为 y 元，则 yx 100 x 3 00050 x 3 00050 50 100 x 3 00050 150 162x 21 000 150(x 4 050)2 307 050， 当 x 4 050 时， 307 050. 所以每辆车的月租金定为 4 050 元时，租赁公司的月收益最大为 307 050 元 11 (2013 年龙岩一中月考 )某分公司经销某品牌产品，每件产品成本 3 元，且每件产品需向总公司交 a 元 (3 a5) 的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元 (9 x11) 时，一年的销售量为 (12 x)2万件 (1)求分公司一年的利润 L(万元 )与每件产品的售价 x(元 )的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 求出 Q(a) 解析： (1)根据题意可知， L(x) (x 3 a)(12 x)2， x 9， 11 (2)由 (1)知， L( x) (12 x)(18 2a 3x)，令 L( x) 0，解得 x 6 2 x 12(舍去 )， 3 a5 ， 86 2 283. 当 86 2 (2)由 y 0 t1 ，4t t1 ，12t 3 解得 116 t5. 因此服药一次后治疗有效的时间是 5 116 7916(小时 ) 因材施教 学生备选练习 (2012 年高考湖南卷 )某企业接到生产 3 000 台某产品的 A， B， C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为 2,2,1(单位：件 )已知每个工人每天可生产 A 部件 6件，或 B 部件 3 件，或 C 部件 2 件该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比，比例系数为 k(k 为正整数 ) 7 (1)设生产 A 部件的人数为 x，分别写出完成 A， B， C 三种部件生产需要的时间； (2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 k 的值，使 完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案 解析： (1)设完成 A， B， C 三种部件的生产任务需要的时间 (单位：天 )分别为 T1(x)， T2(x)，T3(x)，由题设有 T1(x) 23 0006x 1 000x ， T2(x) 2 000 T3(x) 1 500200 k x， 其中 x， 00 (1 k)x 均为 1 到 200 之间的正整数 (2)完成订单任务的时间为 f(x) 1(x)， x)， T3(x)，其定义域为x 02 时， T1(x)T2(x)，由于 k 为正整数， 故 k3 ，此时 1 500200 k x1 500200 x37550 x. 记 T(x) 37550 x， (x) 1(x)， T(x)， 易知 T(x)是增函数，则 f(x) 1(x)， T3(x)T1(x)， T(x) (x) 1 000x ， 37550 x . 由函数 T1(x)， T(x)的单调性知， 当 1 000x 37550 (x)取最小值， 解得 x 40011 625011 ， (37) T(37) 3751325011. 8 此时完成订单任务的最短时间大于 25011. 当 k2 时， T1(x)T2(x)， 由于 k 为正整数，故 k 1，此时 f(x) 2(x)， T3(x) 2 000x ， 750100 x . 由函数 T2(x)， T3(x)的单调性知，当 2 000x 750100 x时 f(x)取最小值，解得 x 80011 ，类似 (1)的讨论，此时完成订单任务的最短时间为 2509 ，大于 25011. 综上所述，当 k 2 时，完成订单任务的时间最短，此时，生产 A， B， C 三种部件的人数分别为 44,88,68. 1 2014 年高考数学一轮复习 第 2 章 函数、导数及其应用 11 精品训练 理（含解析）新人教 B 版 命题报告 教师用书独具 考查知识点及角度 题号及难度 基础 中档 稍难 导数的运算 1 导数的几何意义 2、 3 6、 7、 10 综合应用 4、 5、 8、 9 11、 12 一、选择题 1 y x 的导数是 ( ) x x x x 2 x x x x 2 x x x x x x x 2 解析： y x x x x 2 x x x x 2 . 答案： B 2已知 P(x， y)为函数 y x x 上的任意一点， f(x)为该函数在点 P 处切线的斜率，则 f(x)的部分图象是 ( ) 解析： f(x) y x，显然 f(x)为奇函数， 其图象关于原点成中心对称，排除 A、C，当 x 0， 2 时， f(x)0，排除 . 答案： B 3 (2013 年石家庄质检 )已知直线 y 曲线 y ln x 的切线，则 k 的值是 ( ) A e B e D 1e 解析： 依题意，设直线 y 曲线 y ln x 相切于点 (则有 ln x0，k 12 由此得 ln 1， e， k 1e，选 C. 答案： C 4 (2013 年南昌二校联考 )已知函数 f(x)的图象如图所示， f( x)是 f(x)的导函数，则 ( ) A 处的切线的倾斜角是均不小于 4 的锐角得，对于任意正数 x，均有 1x x (1 a)1 ，即 a 1x x.当 x0 时， 1x x2 1x x 2，当且仅当1x x，即 x 1 时取等号，因此实数 a 的取值范围是 ( ， 2 答案： ( ， 2 9 (2013 年长沙十二校联考 )设曲线 y 1(n N*)在点 (1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 12的值为 _ 解析： y (n 1) 曲线在点 (1,1)处的切线斜率 k n 1，切线方程为 y 1(n 1)(x 1)，即 y (n 1)x n，令 y 0 得 1， 121223342 0122 01312 013. 答案： 12 013 三、解答题 10设函数 f(x) 9x 1，当曲线 y f(x)斜率最小的切线与直线 12x y 6平行时，求 a 的值 解析： f( x) 329 3(x 9 当 x数 f( x)取得最小值 9 斜率最小的切线与 12x y 6 平行， 即该切线的斜率为 12，所以 9 12， 即 9， a 3. 4 11已知函数 f(x) x. (1)求曲线 y f(x)过点 (1,0)的切线方程； (2)若过 x 轴上的点 (a,0)可以作曲线 y f(x)的三条切线，求 a 的取值范围 解析： (1)由题意得 f( x) 3y f(x)在点 M(t， f(t)处的切线方程为 yf(t) f( t)(x t)，即 y (31) x 2点 (1,0)代入切线方程得 231 0，解得 t 1 或 12，代入 y (31) x 2y f(x)的过点 (1,0)的切线方程为 y 2x 2 或 y 14x 14. (2)由 (1)知若过点 (a,0)可作曲线 y f(x)的三条切线，则方程 23a 0 有三个相异的实数根 记 g(t) 23a， 则 g( t) 666t(t a) 当 a0 时，函数 g(t)的极大值是 g(0) a，极小值是 g(a) a，要使方程 g(t)0 有三个相异的实数根，需使 a0 且 10， 即 a1； 当 a 0 时，函数 g(t)单调递增，方程 g(t) 0 不可能有三个相异的实数根； 当 即 x1 ， ( x)0， 函数 (x)的单调递增区间为 (0,1)和 (1， ) (2) f( x) 1x， f( 1 5 切线 l 的方 程为 y ln 1x0(x 即 y 1ln 1， 设直线 l 与曲线 y g(x)相切于点 ( g( x) 1 ln 直线 l 的方程为 y 11x0(x ln 即 y 1ln 1 ，得 ln 1 ln 1 ln 11. 证明：在区间 (1， ) 上 由 (1)可知， (x) ln x x 1x 1在区间 (1， ) 上递增 又 (e) ln e e 1e 1 2e 10， 结合零点存在性定理，说明方程 (x) 0 必在区间 (e， 有唯一的根，这个根就是所 求的唯一的 因材施教 学生备选练习 1 (2011年高考重庆卷 )设 f(x) 1的导数 f( x)满足 f(1) 2a， f(2) b，其中常数 a， b R. (1)求曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程； (2)设 g(x) f( x)e x，求函数 g(x)的极值 解析： (1)因为 f(x) 1，故 f( x) 32b. 令 x 1，得 f(1) 3 2a b，由已知 f(1) 2a， 因此 3 2a b 2a，解得 b 3. 又令 x 2，得 f(2) 12 4a b，由已知 f(2) b， 因此 12 4a b b，解得 a 32. 因此 f(x) 323x 1，从而 f(1) 52. 6 又因为 f(1) 2 32 3，故曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 y 52 3(x 1)，即 6x 2y 1 0. (2)由 (1)知 g(x) (33x 3)e x， 从而有 g( x) ( 39x)e x. 令 g( x) 0，得 39x 0，解得 0， 3. 当 x ( ， 0)时， g( x)0，故 g(x)在 (0,3)上为增函数； 当 x (3， ) 时， g( x)0， f(x)在 (0， e上单调递增； 若 00，函数 f(x)在区间 (a， e上单调递增； 若 ae ，则 f( x)0 ，函数 f(x)在区间 (0， e上单调递减 (2) g(x) (ln x 1)x， x (0， ) ， g( x) (ln x 1)e x (ln x 1)( 1 (ln x 1)11x ln x 1 1， 由 (1)易知，当 a 1 时， f(x) 1x ln x 1 在 (0， ) 上的最小值 f(x)f(1) 0， 即 (0， ) 时， 1ln 10. 又 ， g( 1ln 1 110. 曲线 y g(x)在点 x y 轴垂直等价于 方程 g( 0 有实数解 而 g( 0，即方程 g( 0 无实数解故不存在 7 1 2014 年高考数学一轮复习 第 2 章 函数、导数及其应用 12 精品训练 理（含解析）新人教 B 版 命题报告 教师用书独具 考查知识点及角度 题号及难度 基础 中档 稍难 单调性 1、 8 4、 5、 6 9 极值 2 7、 10 综合应用 3 11 12 一、选择题 1 (2012 年高考辽宁卷 )函数 y 12ln x 的单调递减区间为 ( ) A ( 1,1 B (0,1 C 1， ) D (0， ) 解析： 根据函数的导数小于 0 的解集就是函数的单调减区 间求解 由题意知，函数的定义域为 (0， ) ，又由 y x 1x0 ，解得 00)， f( x) 21x. 由 f( x) 0 解得 x 2. 当 x (0,2)时， f( x)0， f(x)为增函数 x 2 为 f(x)的极小值点 答案： D 2 3已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f( x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 ( ) A f(b)f(c)f(d) B f(b)f(a)f(e) C f(c)f(b)f(a) D f(c)f(e)f(d) 解析： 依题意得，当 x ( ， c)时， f( x) 0；当 x (c， e)时， f( x)数 f(x)在 ( ， c)上是增函数，在 (c， e)上是减函数，在 (e， ) 上是增函数，又 af(b)f(a)，选 C. 答案： C 4若 f(x) 12(x 2)2 x 在 (1， ) 上是减函数，则 b 的取值范围是 ( ) A 1， ) B ( 1， ) C ( ， 1 D ( ， 1) 解析： 由题意可知 f( x) (x 2) 在 (1， ) 上恒成立，即 b x(x 2)在 x (1， ) 上恒成立，由于 (x) x(x 2) 2x(x (1， ) 的值域是 ( 1， ) ，故只要 b 1 即可正确选项为 C. 答案： C 5已知函数的图象如图所示，则其函数解析式可能是 ( ) A f(x) 2ln|x| B f(x) ln|x| C f(x) |x| 2ln|x| D f(x) |x| ln|x| 解析： 经分析知，函数正的极小值点的横坐标应小于 1，对四个选项求导可知选 B 项 答案： B 3 二、填空题 6 (2013 年扬州检测 )若函数 f(x) 1 是 R 上的单调增函数，则 m 的取值范围是 _ 解析： f( x) 32x m，由 f( x)0 ，得 m 32x，令 g(x) 32x，则g(x) 3 x 13 2 13 13. m 13. 答案： 13， 7 (2013 年济宁模拟 )若函数 f(x) 63b 在 (0,1)内有极小值，则实数 b 的取值范围是 _ 解析： f( x) 36b. 当 b0 时， f( x)0 恒成立，函数 f(x)无极值 当 b0 时，令 36b 0 得 x 2b. 由函数 f(x)在 (0,1)内有极小值，可得 00，得 x1e， f(x)的单调递增区间为 1e， . 答案： 1e， 9已知函数 f(x) 124x 3ln x 在 t， t 1上不单调，则 t 的取值范围是_ 解析： 由题意知 f( x) x 4 3x 4x 3x x xx ，由 f( x) 0 得函数 f(x)的两个极值点为 1,3，则只要这两个极值点有一个在区间 (t， t 1)内，函数 f(x)在区间 t， t 1上就不单调，由 当 x 23， 1 时， f( x)0. f(x)的单调递增区间为 1， 23 和 (1,2 11 (2013 年兰州调研 )已知实数 a0，函数 f(x) ax(x 2)2(x R)有 极大值 32. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)求实数 a 的值 解析： (1)f(x) 44 f( x) 384a. 令 f( x) 0，得 384a 0. a0 ， 38x 4 0， x 23或 x 2. a0， 当 x ， 23 或 x (2， ) 时， f( x)0. 函数 f(x)的单调递增区间为 ， 23 和 (2， ) ； 当 x 23， 2 时， f( x)0； 当 x 23， 2 时， f( x)0， f(x)在 x 23时取得极大值，即 a 23 23 2 2 32. 5 a 27. 12 (能力提升 )已知函数 f(x) 1x x 1) (1)当 a 2 时，求 f(x)的单调区间和极值； (2)若 f(x)在 2,4上为单调函数，求实数 a 的取值范围 解析： (1)由 x0 且 x 10 得函数 f(x)的定义域为 ( 1,0) (0， ) ，又 f( x) 12x 1 2x 1x2 x x xx2 x ，由 f( x)0 得 11，由f( x)0，f 12 a b 1 a 图，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为 ( 3， 4)， ( 1， 2)， ( 3,2)， ( 5,4)，经验证得：当 a 5， b4 时， z a 2b 取得最大值 3；当 a 3， b 4 时， z a 2b 取得最小值 za 2b 的取值范围是 ( 11,3)，故选 C. 答案： C 2 (2013 年广州模拟 )已知函数 f(x) 1) 2ax(a R) (1)若 x 2 为 f(x)的极值点，求实数 a 的值； (2)若 y f(x)在 3， ) 上为增函数，求实数 a 的取值范围； (3)当 a 12时，方程 f(1 x) 实数 b 的最大值 解析： (1)f( x) 21 2x 2a x2 4a x 1 . 因为 x 2 为 f(x)的极值点，所以 f(2) 0， 即 21 2a 0，解得 a 0. (2)因为函数 f(x)在区间 3， ) 上为增函数， 所以 f( x) x2 4a x 1 0 在区间 3， ) 上恒成立 当 a 0 时， f( x) x(x 2)0 在 3， ) 上恒成立，所以 f(x)在 3， ) 上为增函数，故 a 0 符合题意 当 a0 时，由函数 f(x)的定义域可知，必须有 210 对 x3 恒成立，故只能 a0， 所以 2(1 4a)x (42)0 在 3， ) 上恒成立 7 令函数 g(x) 2(1 4a)x (42)，其对称轴为 x 1 14a， 因为 a0，所以 1 14以 00)， 则 h( x) 1x 1 2x x 所以当 00，从而函数 h(x)在 (0,1)上为增函数，当 x1 时， h( x)0，所以 b x h(x)0 ， 因此当 x 1 时， b 取得最大值 0. 1 2014 年高考数学一轮复习 第 2 章 函数、导数及其应用 13 精品训练 理（含解析）新人教 B 版 命题报告 教师用书独具 考查知识点及角度 题号及难度 基础 中档 稍难 最值问题 1、 6 5、 7、 10 12 实际应用问题 3 8 不等式恒成立问题 2 4、 9 11 一、选择题 1 f(x) 231 在 12， 2 上的最大值、最小值分别是 ( ) A 21， 18 B 1， 18 C 21,0 D 0， 18 解析： 函数 f(x)在 12， 2 上有最大值和最小值 f( x) 86x 0， 解得 x 0 或 x 32 或 x 32 (舍去 )， f(x)f(2) 21， f(x)f 32 18. 答案： A 2 (2013 年淄博模拟 )已知 a 1 ln x 对任意 x 12， 2 恒成立，则 a 的最大值为( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析： 设 f(x) 1 ln x，则 f( x) x x 1 1x x 1当 x 12， 1)时，f( x)0，故函数 f(x)在 (1,2上单调递增， f(x)f(1) 0， a0 ，即 a 的最大值为 0. 答案： A 3做一个圆柱形锅炉，容积为 V，两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元，侧面的 2 材料每单位面积的价格为 b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为 ( ) 析： 如图，设圆柱的底面半径为 R，高为 h，则 V 设造价为 y 2 2 2 2 2 2 2 y 4 令 y 0，得 2 答案： C 4 函数 f(x) (x 3) ) A ( ， 2) B (0,3) C (1,4) D (2， ) 解析： f(x) (x 3) f( x) ex(x 2)0， x2. f(x)的单调递增区间为 (2， ) 答案： D 5 (2013 年珠海摸底 )若函数 f(x) 23x ，x 在 2,2上的最大值为 2，则 a 的取值范围是 ( ) A. 12， B. 0， 12 C ( ， 0 D. ， 12 解析： 当 x0 时， f( x) 66x，易知函数 f(x)在 ( ， 0上的极大值点是 x 1，且 f( 1) 2，故只要在 (0,2上， 即可，即 ax 在 (0,2上恒成立，即 a 0,2上恒成立，故 a 12. 答案： D 二、填空题 3 6函数 f(x) 12ln x 的最小值为 _ 解析： 由 f x x 1x0，x0得 x1， 由 f x ，x0， 得 00， l 2 2令 l 0，解得 x S. 易知，当 x 周长最小 答案： S 9 已知函数 f(x) x， 对任意的 m 2,2， f(2) f(x)0 恒成立 ， f(x)在 R 上是增函数 又 f( x) f(x)， y f(x)为奇函数 由 f(2) f(x)0，试判断 f(x)在定义域内的单调性； (2)若 f(x)在 1， e上的 最小值为 32，求 a 的值； 解析： (1)由题意 f(x)的定义域为 (0， ) ， 且 f( x) 1x x a0， f( x)0， 故 f(x)在 (0， ) 上是单调递增的 (2)由 (1)可知， f( x) x 若 a 1，则 x a0 ，即 f( x)0 在 1， e上恒成立，此时 f(x)在 1， e上为增加的， f(x)f(1) a 32， a 32(舍去 ) 若 a e，则 x a0 ，即 f( x)0 在 1， e上恒成立，此时 f(x)在 1， e上为减少的， f(x)f(e) 1 32， a 去 ) 若 f(x)在 ( a， e)上是增加的 f(x)f( a) a) 1 32， a e. 综上所述， a e. 11设函数 f(x) x a 0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求所有的实数 a，使 e 1 f(x)e 2对 x 1， e恒成立 (注： e 为自然对数的底 5 数 ) 解析： (1)因为 f(x) x 中 x 0， 所以 f( x) 2x ax a x 由于 a 0，所以 f(x)的增区间为 (0， a)，减区间为 (a， ) (2)由 (1)知 f(x)在 1， e内单调递增， 要使 e 1 f(x)e 2对 x 1， e恒成立 只要 f a 1e 1，f aee 2， 解得 a e. 12 (能力提升 )已知函数 f(x) x x(a0) (1)若 f(x)是单调函数，求 a 的取值范围； (2)若 f(x)有两个极值点 明： f( f(3 2. 解析： (1)由 f(x) x ln x x 得， f( x) 1x 21 2x 1x . 令 g(x) 2x 1， ( 1) 2 42 a1 1 8a. 当 a 18时， 0 ， g(x)0 ， f( x)0 ， f(x)在 (0， ) 上单调递减 当 00 ，方程 2x 1 0 有两个不相等的正根 妨设 f( x)f(x)不是单调函数 综上， a 的取值范围是 18， . (2)由 (1)知，当且仅当 a 0， 18 时， f(x)有极小值点 12a，12a. f( f( ln ln (ln ln 12(1) 12(1) ( ln 12( 1 a 14a 1. 6 令 g(a) a 14a 1， a 0， 18 ， 则当 a 0， 18 时， g( a) 1a 144a 14a2 g 18 3 2，即 f( f(3 2. 因材施教 学生备选练习 1 (2013 年北京东城模拟 )已知函数 f(x) x， g(x) 3，其中 a 为实数 (1)求函数 f(x)在 t， t 2上的最小值； (2)对一切 x (0， ) ， 2f(x) g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围 解析： (1)由题知函数 f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) ln x 1， 当 x 0， 1e 时， f( x)0，故 f(x)在 1e， 上单调递增 当 00)，则 h( x) x x 当 x (0,1)时， h( x)0，故 h(x)在 (1， ) 上单调递增 所以 h(x)在 (0， ) 上有唯一极小值 h(1)，即为最小值，所以 h(x)h(1) 4，因为对一切 x (0， ) ， a h(x)恒成立，所以 a4. 2 (2013 年沈阳模拟 )已知 f(x) x. (1)求 g(x) f x k R)的单调区间； 7 (2)证明：当 x1 时， 2x e f(x)恒成立 解析： (1)g(x) ln x 令 g( x) x 0 得 x k. x0， 当 k0 时， g( x)0. 函数 g(x)的增区间为 (0， ) ，无减区间； 当 k0 时 g( x)0 得 xk； g( x)0 得 0xk， 增区间为 (k， ) ，减区间为 (0， k) (2)证明：设 h(x) x 2x e(x1) ， 令 h( x) ln x 1 0 得 x e， 列表 分析函数 h(x)的单调性如下： x 1 (1， e) e (e， ) h( x) 1 0 h(x) e 2 0 h(x)0. 即 f(x)2 x e. 1 2014 年高考数学一轮复习 第 2 章 函数、导数及其应用 14 精品训练 理（含解析）新人教 B 版 命题报告 教师用书独具 考查知识点及角度 题号及难度 基础 中档 稍难 定积分计算 1 2、 6、 9 求曲边梯形面积 3 4、 8、 10 12 定积分在物理中的应用 5 7、 11 一、选择题 1与定积分 30 1 等的是 ( ) A. 2 30 B. 2 30 x2 . 2 30 D以上结论都不对 解析： 1 x 2 30 1 30 2 2 30 答案： B 2 (2013 年汉口模拟 )设函数 f(x) 导函数 f( x) 2x 1，则 12f( x) ) 析： 由于 f(x) 导函数 f( x) 2x 1，所以 f(x) x，于是 21f( x) 21(x) 1312 21 56. 答案： A 2 3 (2013 年武汉模拟 )函数 f(x) x 2 x ，2x 0 x 2 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( ) B 2 C 3 D 4 解析： 画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 1222 2 022 2x| 20 4. 答案： D 4 (2013 年大同模拟 )由直线 y 2x 及曲线 y 3 ) A 2 3 B 9 2 3 析： 注意到直线 y 2x 与曲线 y 3 ， B 的坐标分别是 ( 3， 6)， (1,2)，因此结合图形可知，由直线 y 2x 与曲线 y 3 成的封闭图形的面积为 31 (3 x) 3x 13 1 3 31 13 1 3 12 13 3 2 323 ，选 D. 答案： D 5 (2013年长春质检 )以初速度 40 m/v 40 103 则此物体达到最高时的高度为 ( ) m m m m 解析： v 40 100， t 2， 20(40 10t2) 40t 103 20 402 103 8 1603(m) 答案： A 二、填空题 6 (2013 年深圳模拟 ) 4 0_. 解析： 因为 4 0x 40 22 ，所以 4 022 . 答案： 22 7 (2013 年唐山模拟 )设变力 F(x)作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x 1 运动到 x 10，已知 F(x) 1 且方向和 x 轴正向相同，则变力 F(x)对质点 M 所做的功为_J (x 的单位： m，力的单位： N) 解析： 变力 F(x) 1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x 1 运动到 x 10 所做的功为 W 101 F(x) 101 (1) 13x 101 342(J) 答案： 342 8由曲线 y 2线 y 4x 2，直线 x 1 围成的封闭图形的面积为 _ 解析： 由 y 2x2，y 4x 2， 解得 x 1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为 11 (24x 2) 2322x 1 1 231 3 21 2 21 23 3 2 163. 答案： 163 4 9设 f(x) lg x， x0，x x0 ， 若 f(f(1) 1，则 a _. 解析： 显然 f(1) 0， f(0) 0 1，得 a 1. 答案： 1 三、解答题 10.(2013 年大庆模拟 )如图求由两条曲线 y y 14y 1 所围成的图形的面积 解析： 由 y x2，y 1， 得交点 A( 1， 1)， B(1， 1) 由 y 14x2，y 1，得交点 C( 2， 1)， D(2， 1) 所求面积 S 2 10 14x2 12 141 43. 11一质点在直线上从时刻 t 0(s)开始以速度 v 4t 3(单位： m/s)运动求： (1)在 t 4 s 的位置； (2)在 t 4 s 内运动的路程 解析： (1)在时刻 t 4 时该点的位置为 04(4t 3)1323t 40 43(m)， 即在 t 4 s 时刻该质点距出发点 43 m. (2)因为 v(t) 4t 3 (t 1)(t 3)， 所以在区间 0,1及 3,4上的 v(t)0 ， 在区间 1,3上， v(t)0 ，所以 t 4 s 时的路程为 S 01(4t 3)| | 31 4t t 34(4t 3) 1323t 10 1323t |31 5 1323t 43 43 43 43 4(m) 即质点在 4 s 内运动的路程为 4 m. 12 (能力提升 )求曲线 y x， y 2 x， y 13x 所围成图形的面积 解析： 由 y x，y 2 x， 得交点 A(1,1)； 由 y 2 x，y 13x， 得交点 B(3， 1) 故所求面积 S 01x 13x 132 x 13x 2316 10 2x 13 31 23 16 43 136. 因材施教 学生备选练习 1 (2013年郑州模拟 )已知函数 y 3x，直线 x t和 x t 1(其中 0 t2 ，t 为常数 )若直线 x 轴与函数 y f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为 S，则 ) A 2 D 3 解析： 依题意得， S t 1t ( 3x) 1332 t 1t (t 1)2 136 ，因 为 t 0, 2，所以当 t 1 时， S 取得最大值，且最大值是 136 ， 6 选 C. 答案： C 2 (2012 年高考湖南卷 )函数 f(x) x )的导函数 y f( x)的部分图象如图所示，其中， P 为图象与 y 轴的交点， A， C 为图象与 x 轴的两个交点， B 为图象的最低点 (1)若 6 ，点 P 的坐标为 0， 3 32 ，则 _； (2)若在曲线段 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 的概率为_ 解析： (1)求出 y x )的导数后，利用导数的图象求出 ， 的值后求解 f(x) x )， f( x) x ) 当 6 时， f( x) x 6 . 又该函数过点 P 0， 3 32 ，故 3 32 . 3. (2)设 A()，则 x 0 2 ， 2 . 又 y x )的周期为 2 ， | ， C 2 ， 0 . 依题意曲线段 x 轴围成的面积为 S 2 2 x )2. | ， | ， S 2. 满足条件的概率为 4. 答案： (1)3 (2) 4 7 3 (2013 年南昌模拟 )设 a 0 (x x)二项式a x 1展开式中含 _ 解析： 依题意得 a 0 (x x)(x x) 0 a x 1r 1 a x)6 r 1r( 1) r 2 得 r 1，因此二项式 a x 1x 6 的展开式中含 的系数等于 1( 1)1 6 62 5 192. 答案： 192 1 2014 年高考数学一轮复习 第 2 章 函数、导数及其应用 1 精品训练 理（含解析）新人教 B 版 命题报告 教师用书独具 考查知识点及角度 题号及难度 基础 中档 稍难 函数的基本概念 1、 3 6 函数解析式求法 4 8、 10 分段函数求值 2、 9 5、 7、 11 12 一、选择题 1现向一个半径为 R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度 h 随时间 t 变化的函数关系的是 ( ) 解析： 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又 越来越快 答案： C 2已知 f(x) x 2， x 1， 10， 则 f(3)的值为 ( ) A 1 B 2 C 2 D 3 解析： 依题意得 f(3) f(2) f(1) f(1) f(0) f(1) f(0)
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