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高中数学 空间 向量 立体几何 课件 打包 新人 选修

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高中数学 空间向量与立体几何课件（打包9套） 新人教版选修2-1,高中数学,空间,向量,立体几何,课件,打包,新人,选修

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空间向量及其加减与数乘运算 复习回顾：平面向量 1、 定义 ： 既有大小又有方向的量。 几何表示法 :用有向线段表示 字母表示法 ： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量 ：长度相等且方向相同的向量 A B C D 2、平面向量的加法、减法与数乘运算 向量加法的三角形法则 a b 向量加法的平行四边形法则 b a 向量减法的三角形法则 a b a (k0) k a (k a (k0) k 空间向量的数乘 空间向量的加减法 a b O A B b a 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。 平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 定义 表示法 相等向量 减法 :三角形法则 加法 :三角形法则或 平行四边形法则 空间向量及其加减与数乘运算 空间向量 具有大小和方向的量 数乘 :ka,负数 ,零 )()()( 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 加法交换律 )(数乘分配律 加法 :三角形法则或 平行四边形法则 减法 :三角形法则 数乘 :ka,负数 ,零 加法结合律 成立吗？ 加法结合律： )()( a b c O A B C a b c O A B C b c + 推广 : （ 1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； 1433221 （ 2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 01433221 n例 1：已知平行六面体 化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。 (如图 ) A B C D 1 1 11121)4()(31)3()2()1(A B C D 1 1 A B C D a 平行六面体：平行四边形 到 a 记做 1：已知平行六面体 化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。 (如图 ) A B C D 1 1 G 11121)4()(31)3()2()1(;)1( 解： 1111)2( M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 2 0N 5N 5N 2：已知平行六面体 求满足下列各式的 A B C D 1 1 111111)3(2 )2( 1111 )1(例 2：已知平行六面体 求满足下列各式的 A B C D 1 1 111 )1( (2 )2( 1111 )1(例 2：已知平行六面体 求满足下列各式的 A B C D 1 1 112 )2( 111 )( 111 111 1112 )2( )3( 例 2：已知平行六面体 求满足下列各式的 A B C D 1 1 11 )3( )()()( 11 )(2 112 11 )3( M C G D )(21)2()(21)1(练习 1 在空间四边形 点 M、 C、 化简 A B M C G D )(21)2()(21)1(原式)1()(21 (2)原式 )(21 练习 1 在空间四边形 点 M、 C、 化简 A B C D D C B A ) ( )1( )2(练习 2 在立方体 点 C 的中心 ,求下列各式中的 x,y. E A B C D D C B A ) ( )1( )2(练习 2 E 在立方体 点 C 的中心 ,求下列各式中的 x,y. A B C D D C B A )2(练习 2 E 在立方体 点 C 的中心 ,求下列各式中的 x,y. 平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 定义 表示法 相等向量 减法 :三角形法则 加法 :三角形法则或 平行四边形法则 空间向量 具有大小和方向的量 数乘 :ka,负数 ,零 )()()( 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 小结 加法交换律 )(数乘分配律 )()( 加法结合律 类比思想 数形结合思想 数乘 :ka,负数 ,零 作业 .,b, b C D，来表示试用，中，空间四边形 思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件 . a b O A B 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。 思考：它们确定的平面是否唯一？ 思考：空间任意两个向量是否可能异面？ 一、共线向量 : 零向量与任意向量共线 . 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合 ,则这些向量叫做共线向量 (或平行向量 ),记作 ),(, 推论 :如果 为经过已知点 的直线 ,那么对任一点 O,点 上的充要条件是存在实数 t,满足等式 A+t 其中向量叫做直线的方向向量 . B P a 若 , 则 12O P O A O 已知 A、 B、 意一点，且 ，求 的值 . O P O A O B例 2 用向量的方法证明：顺次连结空间四边形各边中点所得的四边形为平行四边形。 线 ，下列命题正确的是： ，则 P、 A、 ，则 ，则 P、 A、 ，则 P、 A、 O P O A t A O P O A A BO P O A t A B O P O A A ，且 ， 则 x+y=1是 P、 A、 O P x O A y A B( 1 ) A P P 在直线 ， 证： 1O A O 共面向量 : 平行于同一平面的向量 ,叫做共面向量 . O A 空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。 如果两个向量 不共线 ,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使 ,P x a y bp,p 推论 :空间一点 x,或对空间任一点 O,有 M P x M A y M B O P O M x M A y M 对空间任意一点 A、 B、 C，试问满足向量关系式 （其中 ）的四点 P、 A、 B、 O P x O A y O B z O x y 已知 A、 B、 于平面 ，确定在下列各条件下， 点 、 B、 ( 1 ) 3O B O M O P O A ( 2 ) 4O P O A O B O M 注意： 空间四点 P、 M、 A、 存 在 唯 一 实数对 ,x y M P x M A y M B（ ） 使 得( 1 )O P x O M y O A z O B x y z 其 中 ，例 5 如图，已知平行四边形 平 面 引向量 , , , ,求证： 四点 E、 F、 G、 平面 平面 O E k O A O F k O BO G k O C O H k O BC ( 1 ) p x a y b p a b 与 、 共 面 ;( 2 ) p a b p x a y b 与 、 共 面 ；( 3 ) M P x M A y M B P M A B 、 、 、 共 面 ；( 4 ) P M A B M P x M A y M B 、 、 、 共 面 ； 它们一定是： 2M A M B M A M B、 、 在平面 且对空间任 意一点 O， ,则 x 的值为： O M x O A O B O C11 331. 1 . 0 . 3 C 、 B、 平面外一点 O，在下列条件下，点 、 B、 2 1 2( 1 ) ;5 5 5O P O A O B O C ( 2 ) 2 2O P O A O B O C ；5. 课本第 31页 练习 1、 2。 三、课堂小结： 教学过程 一、几个概念 1） 两个向量的夹角的定义 ,0被唯一确定了，并且量的夹角就在这个规定下，两个向范围： 互相垂直，并记作：与则称如果 ,2, O A B 个向量的数量积 注意： 两个向量的数量积是数量，而不是向量 . 零向量与任意向量的数量积等于零。 c o s,c o s,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设3）射影 ,c o s,111111射影。方向上的正射影，简称或在上的在轴叫做向量，则上的射影在作点上的射影在点同方向的单位向量。作上与是，和轴已知向量B A 1 注意： 是轴 1 它的符号代表向量 与 小代表 在 间向量的数量积性质 2)30)2,c o s)1注意： 性质 2）是证明两向量垂直的依据； 性质 3）是求向量的长度（模）的依据； 对于非零向量 ，有： ,间向量的数量积满足的运算律 注意： 分配律）交换律）()(3()2)()()1 数量积不满足结合律 )() （二、 课堂练习 _ _ _ _ _ _,2,22,)()4)()()3)()()()2)(0,0, 则若）判断真假：A D F C B E )4()3()2(计算：的中点。、分别是、，点等于的每条边和对角线长都如图：已知空间四边形三 、 典型例题 例 1：已知 m,内的两条相交直线，直线 的交点为 B，且 l m， l n，求证： l 分析：由定义可知，只需证 n m g g m n l l 要证 l与 需证 lg 0 而 m， 共面向量定理知，存在唯一的有序实数对 (x,y)使得 g=xm+ 要证 lg 0,只需 l g= xlm+yln=0 而 lm 0 ， ln 0 故 lg 0 三 、 典型例题 例 1：已知 m,内的两条相交直线，直线 的交点为 B，且l m， l n，求证： l n m g g m n l l 证明：在 内作不与 m、 g,在 l、 m、 n、 量 l、 m、 n、 g，因 m与 向量m、 共面向量定理 可知，存在唯一的有序实数对（ x， y），使 g=xm+lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg lg 这就证明了直线 内的任一条直线，所以 l 例 2：已知：在空间四边形 证： ，证明：由已知A B C O 0)(0)(0,0所以00)(0所以巩固练习： 利用向量知识证明三垂线定理 a A O P .,0,0,0,即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,例 3 如图，已知线段 在平面 内，线段 ，线段 ，线段 ， ，如 果 ，求 、 之间的距离。 B D A B 30D B D ,A B a A C B D b C 解：由 ，可知 . 由 知 . A C A B30D B D , 1 2 0C A B D 222 2 22 2 2 222| | ( )| | | | | | 2222 c o s 1 2 0C D C D C D C A A B B A B B D C A A B D A B B Db a b 22C D a b A 例 4 已知在平行六面体 中， , , 求对角线 的长。 A B C D A B C D 43 , 5 , 9 0 , 6 0A D A A B A D B A A D A A CB： A C A B A D A A 222 2 22 2 2| | ( )| | | | | |2 ( )4 3 5 2 ( 0 1 0 7 . 5 )85A C A B A D A A D A A D A B A A A D A A | | 8 5 、 在平面 内， ，线段 ，如果 ，求 、 之间的距离 . D B ,A B a B D b A C c C A 222 2 22 2 2| | ( )| | | | | |C D C A A B B A B B Da b c 2 2 2C D a b c 的每条边和对角线的长都等于 ，点 分别是边 的中点。 求证： 。 N、 D、,M N A B M N C D为 M N M A A D D N 所以 222()1 1 10244A B M N A B M A A D D M A A B A D A B D M N A B同理， M N C D ，求证： 。 ,O A B C O B O C A O B A O C O A B C ()| | | | c o s | | | | c o s| | | | c o s | | | | c o B C O A O C O O C O A O O C O A O O B O A O B O A B C知正方体 ， 和 相交于 点 ，连结 ，求证： 。 A B C D A B C D O C D BA已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 , 点 分别是 的中点，求下列向量的 数量积： G、 、 A B A D D C、 、( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) A B A C A D D B G F A C； ； ；( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) B C F G B A G E G F； ； 课堂小结 1正确分清楚空间向量的夹角。 作业： 4， 2两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。 间向量的正交分解及其坐标表示 一、空间直角坐标系 单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为 1，则这个基底叫做单位正交基底，常用来 I , j , k 表示 空间直角坐标系： 在空间选定一点 i、 j、 k 。以点 别以 i、 j、 x轴、们都叫做坐标轴 量 I、 j、 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。 二、向量的直角坐标系 a a 1 , 2, 3) 给定一个空间坐标系和向量 ,且设 i、 j、 空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ( 1, 2, 3)使 = 1i+ 2j+ 3k 有序数组 ( 1, 2, 3)叫做 在空间直角坐标系 作 . aa x y z O A(x,y,z) i j k a 在空间直角坐标系 空间任一点，A,对应一个向量 是存在唯一的有序实数组 x,y,z，使 OA=xi+yj+单位正交基底 i, j, x,y,z)，叫做点 作 A(x,y,z)，其中 的横坐标，的纵坐标， 的竖坐标 . 三、向量的直角坐标运算 . ),(),( 321321 设 则 );,( 332211 );,( 332211 );)(,( 321 ;332211 )(,/ 332211 (x1,y1,B(x2,y2, 则 y2,(x1,y1,=( 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 . 空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。 四、练习与例题： 1、练习：课本 1、 2、 3； 2、例题：课本 例 4 3、练习：课本 3 作业：课本 题 4 一、向量的直角坐标运算 则设 ),(),( 321321 ; a;. 2 2 3 3( , , ) a b a b a 2 2 3 3( , , ) a b a b a 3( , , ) , ( ) a a a 2 2 3 3a b a b a 2 2 3 3, , ( ) a b a b a b 2 2 2 2/ / /a b a b a 2 2 3 3 0 a b a b a 离与夹角 2 2 2 21 2 3| a a a a a 2 21 2 3| b b b b b （ 1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。 | A B A 2 1 2 1( , , ) x x y y z 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) x x y y z 2, 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) x x y y z 知 、 ，则 1 1 1( , , )A x y 2( , , )B x y z（ 2）空间两点间的距离公式 c o s ,| | | | 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3; a b a b a ba a a b b 注意： （ 1）当 时， 同向； （ 2）当 时， 反向； （ 3）当 时， 。 c o s , 1 o s , 1 o s , 0 及 时， 的夹角在什么范围内？ 1c o s ,0 10c o s ( 1 ) ( 2 , 3 , 3 ) , ( 1 , 0 , 0 ) ; 2 ) ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 ) ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 ) ;2 ) ( 3 , 1 , 5 ) , ( 0 , 2 , 3 ) .用举例 例 1 已知 、 ，求： （ 1）线段 的中点坐标和长度； ( 3 , 3 , 1 )A (1 , 0 , 5 ) 是 的中点，则 ( , , )M x y z 1 1 3( ) ( 3 , 3 , 1 ) 1 , 0 , 5 2 , , 3 ,2 2 2 O M O A O B 点 的坐标是 . M 32 , , 322 2 2, ( 1 3 ) ( 0 3 ) ( 5 1 ) 2 9 . 2）到 两点距离相等的点 的 坐标 满足的条件。 、 , , )P x y z,x y 到 的距离相等，则 ( , , )P x y z 、 2 2 2 2( 3 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 5 ) , x y z x y 4 6 8 7 0 x y 两点距离相等的点的坐标 满 足的条件是 、 , , )x y 8 7 0 x y 如图，在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值。 1 1 1 1A B C D A B C D 11正方体的棱长为 1，如图建 立空间直角坐标系 ，则 O 1 , 1 , 0 ) , 1 , , 1 ,40 , 0 , 0 ) , 0 , 1 ， , 1 ( 1 , 1 , 0 ) 0 , , 1 ,44 例 2 如图，在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值。 1 1 1 1A B C D A B C D 11 1 ( 0 , 0 , 0 ) 0 , 1 ， ， 1 50 0 1 1 ,4 4 1 6 B E D 1 7| | , | | B E D o s , | | | 1 7 1 744 B E D D D 用向量方法）的距离。到直线求点求的中点，分别是、，正方体(,1) C 。求证：的值；求的长；求的中点，、分别为、，棱，中，底面：直三棱柱如图B,c C, 11111111 。的面积方法求用向量（、（已知 C),5,1,1(),6,1,2B)3,2,0A 堂小结： （ 1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （ 2）两个向量的夹角公式。 向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。 1 线线角 复习 线面角 二面角 小结 引入 线线角 复习 线面角 二面角 小结 引入 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决 空间角 问题。 1 2 3( , , )a a a a1. 若 ，1 2 3( , , ) ,b b b b 则 ：数量积： 1 2 2 3 3a b a b a b 夹角公式： c o s 1 1 1 2 2 2( , , ) , ( , , )A x y z B x y 若 ， 则 ：2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z 线线角 复习 线面角 二面角 小结 引入 | | | |1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3a b a b a ba a a b b b | | | | c o s ,a b a b 异面直线所成角的范围： 0,2 1D,C D A B 与 的 关 系 ？思考： ,D C A B 与 的 关 系 ？结论： c o s c o s ,C D A B | |题型一：线线角 线线角 复习 线面角 二面角 小结 引入 例一： 09 0 ,R t A B C B C A A B C中 ， 现 将 沿 着1 1 1A B C A B C平 面 的 法 向 量 平 移 到 位 置 ， 已 知1B C C A C C ， 1 1 1 1 1 1A B A C D 的 中 点 、 ，11B D A 所 成 的 角 的 余 弦 值 线角 线线角 复习 线面角 二面角 小结 引入 解：以点 如图所示，设 则： C x y z( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , 1( , 0 , ) , ( , , 1 )2 2 2F a 11( , 0 , 1 ) ,2111( , , 1 )2211c o s ,A F B D 1111| | | |A F B B D113041053421 与 所成角的余弦值为 3010题型一：线线角 练习： 题型一：线线角 在长方体 中， 1 1 1 1A B C D A B C D 5 8 ,A B A D =，1 4, 1 1 1 2,M B C B M 为 上 的 一 点 , 且 1N A 线 段 上 ，1 A N 1 A M(1) 求 证 ：0 , 0 , 0 ) ,A( 5 , 2 , 4 ) , 1 ( 0 , 8 , 4 ) ,1 0A M A D 1 A MA D A N M（ 2 ） 求 与 平 面 所 成 的 角 0 , 0 , 4 ) ,A ( 0 , 8 , 0 ) ,D ( 5 , 2 , 4 )面角 直线与平面所成角的范围： 0 , 2 ,n B A 与 的 关 系 ？思考： n结论： s c o s ,n A B | |题型二：线面角 线线角 复习 线面角 二面角 小结 引入 例二： 题型二：线面角 在长方体 中， 1 1 1 1A B C D A B C D 5 8 ,A B A D =，1 4, 11 2,M B C B M 为 上 的 一 点 , 且 1N A 线 段 上 ，1 A N 1 A M(1) 求 证 ：0 , 0 , 0 ) ,A( 0 , 8 , 0 ) , 1 ( 0 , 8 , 4 ) ,A D A M（ 2 ） 求 与 平 面 所 成 的 角 0 , 0 , 4 ) ,A ( 0 , 8 , 0 ) ,D线线角 复习 线面角 二面角 小结 引入 1c o s ,A D A D 255A D A N 面 所 成 角 的 正 弦 值 是255练习： 1 1 1 1A B C D A B C D的棱长为 1. 1 1 1 A B 面 所 成 的 角题型二：线面角 正方体 线角 复习 线面角 二面角 小结 引入 题型三：二面角 二面角的范围 ： 0 , 12o s 12| c o s , | c o s 12| c o s , |察二面角的范围 线线角 复习 线面角 二面角 小结 引入 题型三：二面角 ,1, 1 , , B C D S A A B B C A D S C D S B A 0例 三 如 所 示 ， A B C D 是 一 直 角 梯 形 ， A B C = 9 0 求 面 与 面所 成 二 面 角 的 余 弦 值, 1 , , B C D S A A B B C A D S C D S B A 0例 三 如 所 示 ， A B C D 是 一 直 角 梯 形 ， A B C = 9 0 求 面 与 面所 成 二 面 角 的 余 弦 值 建 立 空 直 角 坐 系 A - x y z 如 所 示 ,A (0 ,0 ,0 ),11( 1 , , 0 ) , ( 0 , , 1 )22C D S D C (- 1 ,1 ,0 ), 1 , 0 ) ,2D (0 , ( 0 , 0 , 1 )0 , , 0 )2S B A n A D易 知 面 的 法 向 量设平面 2 ( , , ) ,S C D n x y z的 法 向 量 22 ,n C D n S D由 得 ：0202 22 2 ( 1 , 2 , 1 )n 任 取1212126c o s ,3| | | | 63即 所 求 二 面 角 得 余 弦 值 是小结： c o s c o s ,C D A B| | s c o s ,n A B| | c o s 12| c o s , | c o s 12| c o s , |关键：观察二面角的范围 1Dn1空间向量在 立几中应用 空间向量在 立几中应用 利用向量判断位置关系 利用向量可证明四点共面、线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问题，其方法是通过向量的运算来判断，这是数形结合的典型问题 空间向量在 立几中应用 例 1、在正方体 E、 证：面 面 B C D 1 1 E F X Y Z 空间向量在 立几中应用 评述： 此题用综合推理的方法不易入手。用向量代数的方法则先证明线线垂直，再由线线垂直来证明线面垂直，从而证得面面垂直 不过是证明的手段不同 利用向量解几何题的一般方法是：把线段或角转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，通过向量运算去计算或证明 空间向量在 立几中应用 利用向量求空间角 利用向量可以进行求线线角、线面角、面面角，关键是进行向量的计算 空间向量在 立几中应用 例 2、空间四边形 C=B 00角，求空间向量在 立几中应用 注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角的关系：相等或互补 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示，本题正遵循了这一规律 本题多次运用了封闭回路 评述： 空间向量在 立几中应用 利用向量求空间距离 空间距离是一种重要的几何量，利用常规方法求距离，需要较强的转化能力，而用向量法则相对简单 空间向量在 立几中应用 例 3、正方体 ，求平面 11 1 A B C D X Y Z 空间向量在 立几中应用 评述： 此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解决立体几何问题的优越性 平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离 空间向量在 立几中应用 A C B A B B D A B 0已 知 二 面 角 120 ， ， ，且 ， ， C= ，(1)、求 (2)、 练习： 空间向量在 立几中应用 练习： A B C D 1 1 正方体 P 为 2,1面面 心 （ 1）求证： 3 P X Y Z 1 空间向量在 立几中应用 练习： A B C D 1 1 正方体 P 为 2,1面面 X Y Z （ 2） 求异面直线 11 空间向量在 立几中应用 小 结 本堂课的学习重点是用向量代数的方法解决立体几何问题，但在学习中应把几何综合推理与向量代数运算推理有机结合起来 向量代数推理是更加精练，严密的推理，每一步都要根据运算法则进行 学习过程中应善于 “ 前思后想 ” ，提炼方法，开拓思路 空间向量在 立几中应用 复习回顾：平面向量 1、 定义 ： 既有大小又有方向的量。 几何表示法 : 相等向量 ：长度相等且方向相同的向量 A B 用小写字母 表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 a C D 用有向线段表示 字母表示法 ： 2、平面向量的加法、减法与数乘运算 向量加法的三角形法则 a b 向量加法的平行四边形法则 b a 向量减法的三角形法则 a b a (k0) k a (k a (k0) k 空间向量的数乘 空间向量的加减法 a b O A B b a 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。 平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 定义 表示法 相等向量 减法 :三角形法则 加法 :三角形法则或 平行四边形法则 空间向量及其加减与数乘运算 空间向量 具有大小和方向的量 数乘 :ka,负数 ,零 )()()( 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 加法交换律 )(数乘分配律 加法 :三角形法则或 平行四边形法则 减法 :三角形法则 数乘 :ka,负数 ,零 加法结合律 成立吗？ 加法结合律： )()( a b c O A B C a b c O A B C b c + 推广 : （ 1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； 1433221 （ 2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 01433221 n例 1：已知平行六面体 化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。 (如图 ) A B C D 1 1 11121)4()(31)3()2()1(A B C D 1 1 A B C D a 平行六面体：平行四边形 到 a 记做 1：已知平行六面体 化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。 (如图 ) A B C D 1 1 G 11121)4()(31)3()2()1(;)1( 解： 1111)2( M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 例 2：已知平行六面体 求满足下列各式的 A B C D 1 1 111111)3(2 )2( 1111 )1(例 2：已知平行六面体 求满足下列各式的 A B C D 1 1 111 )1( (2 )2(