高中数学 同步教学（课件+课下作业）：第二章 函数 二次函数性质的再研究（打包4套）北师大版必修1
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高中数学 同步教学（课件+课下作业）：第二章 函数 二次函数性质的再研究（打包4套）北师大版必修1,高中数学,同步,教学,课件,作业,功课,第二,函数,二次,性质,研究,钻研,打包,北师大,必修
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1 次函数的图象 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！ ) 一、选择题 (每小题 5分，共 20分 ) y c 的图象如图所示，则点 (a， c) 在 ( ) 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 【答案】 y 2y 2(x 4)2 1 ( ) 向左平移 4 个单位，再向上平移 1个单位 向左平移 4 个单位，再向下平移 1个单位 向右平移 4 个单位，再向上平移 1个单位 向右平移 4 个单位，再向下平移 1个单位 【解析】 要得到 y 2(x 4)2 1 的图象，只需将 y 2 个单位，再向下平移 1个单位 . 【答案】 x 轴交于点 ( 1,0)， (1,0)，并且与 y 轴交于点 (0,1)，则抛物线的解析式为 ( ) 1 1 【解析】由题意抛物线对称轴是 点 (0,1)，故抛物线为 y 1. 【答案】 y b，若 a b 0，则它的图象必经过点 ( ) 1， ， 1) 1,1) 【解析】 a b 0， 当 x 1时， y 1 a b 1， 过点 (1,1). 【答案】 2 二、填空题 (每小题 5分，共 10分 ) y (a 2)x 3(axb) 的图象关于直线 x 1对称，则 b . 【解析】 对称轴 x a 22 1， a 4. 又 a、 x 1 对称， a 1， b 6. 【答案】 6 3,1)及 (1,3)为二次函数 f(x) 2 f(x)的解析式为 . 【解析】 将点 (3,1)及 (1,3)分别代入 f(x) 2 有 9a 6a b 1a 2a b 3 ，解得 a 12b 52， 【答案】 f(x) 12x 52. 三、解答题 (每小题 10分，共 20 分 ) y c 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的二次函数为 y 2x 1，求该二次函数的解析式 . 【解析】 将 y c 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得解析式为 y (x 2)2 b(x 2) c 3 (b 4)x 2b c 7. 令 (b 4)x 2b c 7 2x 1， 比较对应项系数可得 b 4 2，2b c 7 1， 解得 b 6，c 6. 所求函数解析式为 y 6x 6. y 2x 3的图象，并根据图象回答： (1)方程 2x 3 0的根是什么？ (2)数值大于 0？函数值小于 0？ 【解析】 由 y= 得 y=(显然开口向上，顶点 (1， 与 为 (3,0)( 1,0)，与 0，3)， 3 图象如图 . (1)由图象知 2x 3 0的根为 x 1或 x 3. (2)当 y 0时，就是图中在 时 x 3或 x 1； 当 y 0时，即抛物线在 时 1 x 3. 9.(10分 )已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a 0，方程 f(x) 2x 0的两根是 1和 3，若 f(x) 6a 0有两个相等的实根，求 f(x)的解析式 . 【解析】 设 f(x) 2x a(x 1)(x 3)， 则 f(x) a(x 1)(x 3) 2x (2 4a)x 3a. 由方程 f(x) 6a 0，得 (2 4a)x 9a 0， 由 0，得 54a 1 a 15或 a 1(舍 )， f(x) 1565x 35. 4 二次函数性质的再研究 次函数的图象 y 2x 1的图象与 ，其单调性为 . y 2x 1的开口方向向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，单调增区间为 ，单调减区间为 . (0,1) 在 ( ， )上是增函数 上 (1,0) x 1 1， ) ( ， 1 二次函数图象间的变换 (1)y y a0)间的变换 纵坐标 a 左 h 上 k 右 下 y a(x h)2 k(a0)的图象变换中，参数 “ a， h， k”的作用分别是什么？ 【 提示 】 平移，而且“ 平移，而且“ . 二次函数的图象的平移 画出函数 y 12 6x 21 的图象，并指出由函数 y x 2 如何平移得到 y 12 6x 21 ？ 【 解析 】 y 6x 21 (x 6)2 3. 顶点坐标是（ 6， 3）对称轴为 x=6. 利用二次函数的对称性列表： x 4 5 6 7 8 y 5 描点连线得到函数 y=1 的图象如图 . 平移过程如下： 把 y=到函数 y=把 y=个单位，得到函数 y=(的图象，最后把 y=(的图象向上平移 3个单位，得到函数 y=(+3的图象 . 在作二次函数图象时，通过配方直接选出关键点，即顶点 少了选点的盲目性，二次函数图象的开口方向、对称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用 . 二次函数图象平移规律： y 平移 个单位长度，得到函数 y (x 2)2的图象，再 平移 个单位长度，得到函数 y (x 2)2 1的图象 需 平移 个单位长度，再 平移 个单位长度 . 【 答案 】 向左 2 向下 1 向上 1 向右 2 求二次函数的解析式 二次函数的顶点坐标是 (2,3)，且经过点 (3,1)，求这个二次函数的解析式 . 【 思路点拨 】 二次函数的一般式是 y c，其中 a、 b、 当根据三个条件，列出三个方程，进而求出待定的系数，写出函数解析式，本题给出的顶点坐标 (2,3)还隐含着图象的对称轴 x 2这样一个条件，即 . 22【解析】 方法一 ： 设所求二次函数为 y c. 由已知函数图象经过点 (2,3) 和点 (3,1) ， 函数图象的对称轴是2. 得方程组9a 3b c 1 ，4a 2b c 3 ， a 2 ， b 8 ， c 5. 二次函数解析式为 y 28x 5. 方法二： 二次函数的顶点式是 y a(x h)2 k，而顶点坐标是 (2,3)，故有 y a(x 2)2 3，这样只需确定 因为图象经过点 (3,1)，所以 x 3， y 1满足于关系式 y a(x 2)2 3，从而有 1 a(3 2)2 3，解得 a 2. 函数解析式为 y 2(x 2)2 3， 即 y 28x 5. 方法二： 二次函数的顶点式是 y a(x h)2 k，而顶点坐标是 (2,3)，故有 y a(x 2)2 3，这样只需确定 因为图象经过点 (3,1)，所以 x 3， y 1满足于关系式 y a(x 2)2 3，从而有 1 a(3 2)2 3，解得 a 2. 函数解析式为 y 2(x 2)2 3， 即 y 28x 5. 运用待定系数法求二次函数的解析式时，一般可设出二次函数的一般式 y c(a0) ，但如果已知函数的对称轴、顶点坐标或最值，则将解析式设为 y (x h)2 具体来说： (1)已知顶点坐标为 (m， n)，可设 y a(x m)2 n，再借助于其他条件求 a； (2)已知对称轴方程 x m，可设 y a(x m)2 k，再借助于其他条件求 a和 k； (3)已知最大值或最小值为 n，可设 y a(x h)2 n，再借助于其他条件求 a和 h； (4)二次函数的图象与 设 y a(x h)2，再借助于其他条件求 a和 h. y f(x)满足以下条件，求该函数的解析式： (1)图象过 A(0,1)， B(1,2)， C(2， 1)三点； (2)图象顶点是 ( 2,3)，且过点 ( 1,5). 【解析】 (1) 设二次函数的解析式为 y c (a 0) ，由已知函数的图象经过 (0,1) ， (1,2) ， (2 ， 1) 三点， 得c 1a b c 24a 2b c 1，解得a 2b 3c 1， 函数的解析式为 y 23x 1. (2) 设二次函数的解析式为 y a (x h)2 k(a 0) ，其顶点的坐标是 (h ，k). 顶点的坐标是 ( 2,3) ， y a (x 2)2 3. 又 图象过点 ( 1,5) ， 5 a( 1 2)2 3. a 2 ， y 2(x 2)2 3 28x 1 1. 即函数的解析式为 y 28x 1 1. 确定顶点坐标，画出对称轴； 找出关于对称轴对称的四个点； 用平滑曲线连接五个点 . 如何平移抛物线 y 2y 2(x 4)2 k？ 【 错解 】 要得到 y 2(x 4)2 需将 y 2 【 错因 】 没有对 下是不同的 . 【 正解 】 要得到 y 2(x 4)2 需将 y 2个单位，当 k 0时，向上平移 k 0时，不作平移，当 k 0时，向下平移 |k|个单位 . y 倍，得到的新图象的二次函数是 ( ) A. y 2 B. y 2. y D. y 2 【 答案 】 B y 5x 1的对称轴和顶点坐标分别是 ( ) A. x 5， B. x 5， C. x 5， D. x 5， 【 答案 】 A 12235,2235,2235,2235,22， 1)，且过点 (3,1)，则解析式为 . 【 答案 】 y 28x 7 y 4x 3， (1)指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标 . (2)说明其图象是由 y 【 解析 】 y (x 2)2 7， (1)开口向下；对称轴方程为 x 2；顶点坐标为 (2,7)； (2)先将 y 个单位，然后再向上平移 7个单位，即可得到 y 4x 3的图象 . 1 2. 次函数的性质 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！ ) 一、选择题 (每小题 5分，共 20分 ) 1.若 函数 y 3x 5的最小值为 ( ) 294 5 不存在 【解析】 由于 以 x0. 因为 y 3x 5在 0， ) 上为增函数， 当 x 0时， 5. 【答案】 f(x) 11 x(1 x)的最大值是 ( ) 45 54 34 43 【解析】 f(x) 11 x(1 x) 1x 1，由复合函数的单调性知，函数在 ( ， 12上单调递增，在 (12， ) 上单调递减， x 1取最小值时， f(x)取最大值， 故 f(x)f(12) 43. 【答案】 y 3,1)，则 b、 ( ) 6， c 6， c 8 6， c 6， c 8 【解析】 由题意2324 14 b 6 c 8 【答案】 2 y f(x)在区间 ( ， 5上单调递减，在区间 5， ) 上单调递增，则下列各式成立的是 ( ) 2) f(6) f(6) f( 2) f(11) f( f( 2) f(6) 【解析】 由二次函数的两个单调区间知，该二次函数的对称轴为 x 5，离对称轴越近函数值越小 【答案】 二、填空题 (每小题 5分，共 10分 ) f(x) 6x 8， x 1， a，并且 f(x)的最小值为 f(a)，则实数 . 【解析】 由题意知 f(x)在 1， a内是单调递减的 . 又 f(x) 的单调递减区间为 ( ， 3， 1 a3. 【答案】 (1,3 6. 已知二次函数 y=x+m 的部分图象如图所示，则关于 x+m=0 的根为 . 【解析】 由图知拋物线的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点坐标是 (3,0)，所以拋物线与 )，所以关于 x+m=0的根为 1， . 【答案】 三、解答题 (每小题 10分，共 20 分 ) 2， 3)，它与 1和 3. (1)求抛物线的解析式； (2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标； (3)画出草图； (4)观察图象， 数值 x 取何值时， y随 【解析】 (1)设抛物线的解析式为 y=a(x+1)( 由于抛物线经过点 (2， -3=a(2+1)(2 a=1. 抛物线的解析式为 y=(x+1)( 3 即 y=(2) y= 抛物线的对称轴为 x=1，顶点坐标为 (1， (3)抛物线的图象如右图所示 . (4)由图象可知，当 x 3时，函数值 y 0； 当 x (-， 1时， y随 f(x) 21在区间 2,3上的最大值为 6，求 【解析】 当 a 0 时， f(x) 1，不合题意，当 a0 时， f(x) 21 a(x1)2 1 a， 对称轴 x 1， 当 a 0时，图象开口向上，在 2,3上的最大值为 f(3) 9a 6a 1 6，所以 a 13， 当 a 0时，图象开口向下，在 2,3上的最大值为 f( 1) a 2a 1 6，所以 a 5. a 的值为 13或 5. 【答案】 13或 5 9.(10分 )已知函数 f(x) 22， x 5,5 . (1)当 a 1时，求函数 f(x)的最大值和最小值； (2)求实数 y f(x)在 5,5上是单调函数 . 【解析】 (1)当 a 1时， f(x) 2x 2 (x 1)2 1. x 5,5， 当 x 1时， f(x)的最小值为 1. 当 x 5时， f(x)的最大值为 37. (2)函数 f(x) (x a)2 2 对称轴为 x a. f(x) 在 5,5上是单调函数， a 5，或 a5 ， 故 a 5，或 a5. 次函数的性质 a0)的图象 二次函数 y a0)的图象可由 y 倍得到，其中 和在同一直角坐标系中的 . a(x h)2 k(a0)的图象 一般地，二次函数 y a(x h)2 k(a0)， 平移，而且 “ 移， 移 ” ； 平移，而且 “ 移， 移 ” . a 开口方向 开口大小 左右 左 右 上下 上 下二次函数 y c(a0)的性质 函数 二次函数 y c(a， b， a 0) 图 象 a 0 a 0 性 质 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸 (2)对称轴是 ， 顶点坐标是 (2)对称轴是 ， 顶点坐标是 (3)在区间 上是减函数， 在区间 上是增函数 (3)在区间 上是增函数， 在区间 上是减函数 (4)抛物线有最低点， 当 时， (4)抛物线有最高点， 当 时， 2 224( , )24b a c 24( , )24b a c , 2 , 2 ,2 ,2 22244a c 44a c 次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗？ 【 提示 】 y c(a0) ，在其对称轴两侧的单调性一定相反，可以借助于二次函数的图象进行说明 . 二次函数图象的对称性 已知函数 f(x) 23x 1， (1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)求这个函数的最小值； (3)不直接计算函数值，试比较 f( 1)和 f(1)的大小 . 【 思路点拨 】 首先把 f(x)配方得顶点式，从而得出 (1)(2)的结果 f( 1)和 f(1)的大小，只比较 1和 1与对称轴哪一个最近 . 【解析】 ( 1 ) 将函数配方化为顶点式 y 2 3 x 1 2x 34218. 则顶点坐标为34，18，对称轴为 x 34； ( 2 ) 当 x 34时， ym i n18； ( 3 ) 函数 y 2 3 x 1 的对称轴为 x 34， f34 x f34 x . f ( 1 ) f3474 f3474 f52. 而函数在34， 上是增函数，52 1 ， f52 f ( 1 ) f ( 1 ) f ( 1 ) 讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象，为了方便，通常画草图，有时可以省去 用单调性比较两个数值的大小，关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上，这里体现了数形结合及化归等重要思想方法 . 1. 已知函数 y f ( x ) 12x 2 3 x 52. ( 1 ) 求这个函数的顶点坐标和对称轴 ； ( 2 ) 已知 f72158， 不直接计算函数值 ， 求 f52. 【解析】 将函数解析式配方，找出对称轴，根据对称性求值，将f14转化到与 f154在对称轴的同侧，利用二次函数的单调性比较两个数的大小 y f ( x ) 123 x 5212( x 3 )2 2. ( 1 ) 顶点坐标为 ( 3 , 2 ) ，对称轴为 x 3 ； ( 2 ) 已知 f72 f ( f ( 3 f ( 3 f52158. 二次函数的值域（最值） 求 f(x) 21在区间 0,2上的最大值和最小值 . 【 思路点拨 】 二次函数的对称轴 x 致函数最值变化 . 当 a 0时，由图 可知， f(x) f(0) 1， f(x) f(2) 3 4a. 当 0a 1时，由图 可知， f(x) f(a) 1 f(x) f(2) 3 4a. 当 1a2时，由图 可知， f(x) f(a) 1 f(x) f(0) 1. 当 a 2时，由图 可知， f(x) f(2) 3 4a， f(x) f(0) 1. 【 解析 】 f(x) (x a)2 1 称轴为 x a. (1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间的单调性 . (2)求二次函数的最值时，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合 . f(x) 2x 3， (1)当 x 2,0时，求 f(x)的最值； (2)当 x 2,3)时，求 f(x)的最值； (3)当 x t， t 1时，求 f(x)的最小值 g(t). 【 解析 】 f(x) 2x 3 (x 1)2 2，其对称轴为 x 1，开口向上 . (1)当 x 2,0时， f(x)在 2,0上是单调递减的，故当 x 2时，f(x)有最大值 f( 2) 11； 当 x 0时， f(x)有最小值 f(0) 3. (2)当 x 2,3)时， f(x)在 2,3)上是先减后增的，故当 x 1时， f(x)有最小值 f(1) 2， 又 | 2 1| |3 1|， f(x)的最大值为 f( 2) 11. (3) 当 t 1 时， f(x) 在 t ， t 1 上单调递增，所以当 x t 时， f(x) 取得最小值， 此时 g (t ) f(t ) 2t 3. 当 t 1 t 1 ， 即 0 t 1 时， f(x) 在区间 t ， t 1 上先减再增， 故当 x 1 时， f(x) 取得最小值， 此时 g (t ) f(1) 2. 当 t 1 1 ，即 t 0 时， f(t ) 在 t ， t 1 上单调递减，所以当 x t 1 时， f(x) 取得最小值， 此时 g (t ) f(t 1) 2 ， 综上得 g (t ) 2t 322( t 1 )( 0 t 1 )( t 0 ). 二次函数的单调性及应用 (1)若 f(x) 2 ， 2)上是增函数，求实数 (2)已知函数 f(x) 2 ， 2)，求实数 【 思路点拨 】 解答本题应对 (1)(2)两问中的题设条件进行分析， (1)中区间 ( ， 2)应为 f(x)增区间的子区间； (2)中 ( ， 2)中的“ 2” 是增减的分界点，即 x 2是对称轴 . 【 解析 】 f(x) (x a)2 函数图象开口向下，对称轴为 x a. (1) f(x)的增区间为 ( ， a， 由题意 ( ， a ( ， 2)， a2. (2)由题意， f(x)的对称轴为 x a 2，即 a 2. 二次函数的对称轴是其单调区间的分界线，解答此类问题的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系，得出参数的取值范围 . 3.若 f(x) 2区间 0,1上是增函数，在区间 2,3上是减函数，求实数 【 解析 】 f(x) 2 (x a)2 f(x)的单调增区间为 ( ， a， 单调减区间为 a， ). 又 f(x)在 0,1上是增函数，在 2,
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