圆柱容球问题探究活动方案

正方体容球问题的探究活动方案正方体容球问题的探究活动方案 红河乡九年制学校红河乡九年制学校 刘磊刘磊 正方体容球问题的探究活动方案正方体容球问题的探究活动方案 红河乡九年制学校 刘磊 一、探究目的：一、探究目的： 通过对已有知识的构建，加深学生对长方体、正方体、圆柱、和球 的特征认识，提升中小学生对已知问题的深入探究意识，使学生能够在 数学学习活动当中建立数学与生活的内在紧密联系，从而达到培养学生 的空间思维能力和问题探究意识。 二、探究内容：二、探究内容： 如图1，将一个球放在一个正方体容 器中，盖上容器上盖后，球恰好与正方 体的六个面紧密接触。假设球体的半径 为 r ，则正方体的棱长为 2r，那么球 的体积是正方体体积的几分之几，球体 表面积是正方体表面积的几分之几？ 三、探究对象：三、探究对象： 小学六年级学生及初中生已经学习了有关圆柱、正方体的相关知识， 为本内容的探究奠定了一定的基础，因此可作为主要探究对象。 四、探究原理：四、探究原理： 古希腊著名数学家阿基米德是历史上最杰出的数学家之一。按照他 的生前遗愿，人们在他的墓碑上刻了一个“圆柱容球”的几何图形。他 认为这是他在众多科学发现中，最为满意的定理发现，即在一个圆柱形 容器中，盖上盖子后，球恰好与圆柱的上、下底面及侧面紧密接触，这 图 2图 2 图 2 时球体的体积正好是圆柱体体积的三分之二，球体表面积也是圆柱表面 积的三分之二。 五、探究要素：五、探究要素： 了解阿基米德“圆柱容球”定理，具有正方体、圆柱表面积及体积 计算的知识储备。 阿基米德定理阿基米德定理: :（如图2）圆柱容球就是把一个球放在一个圆柱形容 器中，盖上容器上盖后球恰好与圆柱的 上、下底面及侧面紧密接触。当圆柱容 球时，球的直径与圆柱的高和底面直径 相等。假设圆柱的底面半径为 r r，那么 圆柱的体积V柱 柱=rh= r2r =2r3 ，阿 基米德发现并证明了球的体积公式是V球 球 = r3 ，所以V球 球= V柱柱 ，即当圆柱容球 4 3 2 2 3 3 时，球的体积正好是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积 的三分之二。 根据阿基米德圆柱容球定理我们可得出：S柱 柱 = 2r（ （r+h)=2r(r+2r) =6r2 ，S球 球=S柱柱 =4r2 。 2 2 3 3 六、探究方法：六、探究方法： 1、小学六年级学生可以以3.143.14 取值进行数学运算；初中学生 可以直接以代替数字进行数学运算，但在实际运算过程中须利用阿基 米德定理。 图 2 2、探究过程学生既可独立完成也可以小组协作完成。 3、如果条件允许的情况下，学生还可以通过模拟实验的方法加以验 证和检验。 七、预期目标：七、预期目标： 1、通过以上问题的研究和探讨，激发学生的数学学习兴趣以及问题 探究意识。 2、通过探究活动的开展使学生能够在数学学习活动过程当中发现更 多的数学问题，学会利用已有的知识和经验进行数学研究活动。 3、培养学生的科学实践精神，提高学生搜