（安徽专用）2014届高考数学 第六章课件 文（打包6套）新人教A版
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（安徽专用）2014届高考数学 第六章课件 文（打包6套）新人教A版,安徽,专用,高考,数学,第六,课件,打包,新人
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第六节 直接证明与间接证明 1 直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论_ 从要 _出发，逐步寻求使它成立的 _，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 推理论证 成立 证明的结论 充分条件 实质 由因导果 执果索因 框图表示 P Q 1 Q 1 Q 2 Q n Q Q P 1 P 1 P 2反证法：假设原命题 _(即在原命题的条件下 ， 结论不成立 )， 经过正确的推理 ， 最后得出 _ 因此说明假设错误 ， 从而证明了原命题成立 ， 这样的证明方法叫做反证法 不成立 矛盾 1 综合法和分析法的区别和联系是什么 ？ 【 提示 】 综合法的特点是：从 “ 已知 ” 看 “ 可知 ” ，逐步推向 “ 未知 ” ， 其逐步推理实际上是寻找它的必要条件 分析法的特点：从 “ 未知 ” 看 “ 需知 ” ， 逐步靠拢 “ 已知 ” 其逐步推理实际上是寻求它的充分条件 在解决问题时 ， 经常把综合法和分析法结合起来使用 2 反证法的关键是推出矛盾 ， 所谓矛盾主要是指什么 ？ 【 提示 】 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 ，这个矛盾可以是与已知条件矛盾 ， 或与假设矛盾 ， 或与定义 、 公理 、 定理 、 事实矛盾等 1 (人教 用反证法证明命题 “ 三角形三个内角至少有一个不大于 60 ” 时 ， 应假设 ( ) A 三个内角都不大于 60 B 三个内角都大于 60 C 三个内角至多有一个大于 60 D 三个内角至多有两个大于 60 【 答案 】 B 【 答案 】 C 2 若 a b 0 ，则下列不等式中成立的是 ( ) a 1b b 1 b 1a a b 1a 1【解析】 a b 0 ， 1a1b， 又 b a ， b 1a a 1b. 【 答案 】 D 3 ( 20 13 潍坊模拟 ) 设 a ， b ， c 都是正数，则 a 1b， b 1c， c 1 ) A 都大于 2 B 都小于 2 C 至少有一个不大于 2 D 至少有一个不小于 2 【解析】 ( a 1b) ( b 1c) ( c 1a) ( a 1a) ( b 1b) ( c 1c) 6 ， 当且仅当 a b c 时取等号， 三个数中至少有一个不小于 2. 【 答案 】 b 4 ( 2 0 1 3 青岛模拟 ) 已知函数 f ( x ) 1 x，若 f ( a ) b ，则 f ( a ) _ ( 用 b 表示 ) 【解析】 f ( x ) x x f ( x ) ， f ( x ) 为奇函数， f ( a ) f ( a ) b . 5 定义一种运算 “ *” ：对于自然数 1*1 1， (n 1)*1 n*1 1， 则 n*1 _ 【 解析 】 由 (n 1)*1 n*1 1， 得 n*1 (n 1)*1 1 (n 2)*1 2 1*1 (n 1) 1 n 1 n. 【 答案 】 n 定义在 x 0， 1上的函数 f(x) 若 ， 且 x1， 都有 f(f( f(立 ， 则称函数 f(x)为理想函数 g(x) 2x 1(x 0， 1)是否为理想函数 ， 如果是 ， 请予证明；如果不是 ， 请说明理由 【 思路点拨 】 根据理想函数的定义加以判定证明 【 尝试解答 】 g(x) 2x 1(x 0， 1)是理想函数 当 ， ， 且 时 ， f( 21， f( f( 222， f( f( f( 2221 21) (21) (21)(21)， ， ， 210， 210， f( f( f(0， 则 f(f( f( 故函数 g(x) 2x 1(x 0， 1)是理想函数 1 综合法是 “ 由因导果 ” 的证明方法 ， 它是一种从已知到未知 (从题设到结论 )的逻辑推理方法 ， 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 (命题 )出发 ， 经过一系列的中间推理 ， 最后导出所要求证结论的真实性 2 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 (2012湖南高考改编 )已知函数 f(x) (1 r)， 其中 x 0， (1)若 0 r 1， 求函数 f(x)的最小值 (2)试用 (1)的结论证明命题： 设 0， 0， 若 1， 则【 解 】 (1)f(x) r 1 r(1 1)， 令 f(x) 0， 得 x 1， 当 0 x 1 时， f ( x ) 0 ；当 x 1 时， f ( x ) 0 ， f ( x ) 在 x 1 处取得最小值 f ( 1 ) 0. ( 2) 证明 由 ( 1 ) 知，当 x 0 时， f ( x ) f ( 1 ) 0 ， 即 (1 r ) ( * ) 由 1 ，且 1 于是在 ( *) 中，令 x 0 ， r (0 ， 1) (b1(1 ， 则 ， 故 【 思路点拨 】 从条件难以向结论转化 转换角度从结论出发 ， 寻找使结论成立的充分条件 已知 a 0 ， 1b 1a 1 ，求证： 1 a 11 b . 【尝试解答】 由已知1b1a1 及 a 0 可知 011 b， 只需证 1 a 1 b 1 ， 只需证 1 a b 1 ， 只需证 a b 0 即a ，即1b1a 1. 这是已知条件，所以原不等式得证 1 对于无理不等式 ， 常用分析法证明 通过反推 ， 逐步寻找结论成立的充分条件 ， 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 对于较复杂的不等式 ， 通常用分析法探索证明途径 ， 然后用综合法加以证明 ， 分析法的特点是：从 “ 未知 ”看 “ 需知 ” ， 逐步靠拢 “ 已知 ” ， 优点是利于思考 ， 因为它的方向明确 ， 思路自然 ， 而综合法的优点是易于表述 ， 条理清晰 ， 形式简洁 【 证明 】 m 0， 1 m 0， 所以要证原不等式成立 ， 只需证明 ， (a (1 m)( 即证 m(20， 即证 (a b)20， ( 20 13 南通模拟 ) 已知 m 0 ， a ， b R ，求证 (a m)2 m. 而 (a b)20显然成立 ， 故原不等式得证 . (2011安徽高考 )设直线 y 1， y 1， 其中实数 2 0. (1)证明： (2)证明： 1上 【 思路点拨 】 第 (1)问采用反证法； (2)求直线 代入椭圆方程验证 【尝试解答】 ( 1 ) 假设 则 代入 2 0 ，得 2 0. 这与 矛盾 从而 ( 2) 由方程组y 1 ，y 1 ，解得交点 P 的坐标 ( x ， y ) 为x 2k1，y 2(2k 2 k 1)2 (k 2 k 1k 2 k 1)28 2 k 1 k 2 2 k 1 k 2 4 4 1 ， 此即表明交点 P ( x ， y ) 在椭圆 2 1 上 1 当一个命题的结论是以 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 、 “ 唯一 ” 或以否定形式出现时 ， 直用反证法来证 ， 反证法关键是在正确的推理下得出矛盾 ， 矛盾可以是与已知条件矛盾 ， 与假设矛盾 ， 与定义 、 公理 、 定理矛盾 ， 与事实矛盾等 2 用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须否定结论； (2)必须从否定结论进行推理； (3)推导出的矛盾必须是明显的 已知数列 前 n， 且满足 2. (1)求数列 通项公式； (2)求证：数列 不存在三项按原来顺序成等差数列 【解】 ( 1) 当 n 1 时， a 1 S 1 2 a 1 2 ，则 a 1 1. 又 a n S n 2 ，所以 a n 1 S n 1 2 ，两式相减得 a n 1 12a n ，所以 a n 是首项为 1 ，公比为12的等比数列，所以 a n 12n 1 . ( 2) 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 a p 1 ， a q 1 ， a r 1 ( p q r ，且 p ， q ， r N*) ， 则 212q 12p 12r ，所以 2 2r q 2r p 1. 又因为 p q r ，所以 r q ， r p N*. 所以 式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立 所以假设不成立，原命题得证 综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成 ， 对较复杂的问题 ， 常常先从结论进行分析 ， 寻求结论与条件的关系 ， 找到解题思路 ， 再运用综合法证明；或两种方法交叉使用 要注意书写格式的规范性 ， 常 常用 “ 要证 (欲证 ) ”“ 即要证 ”“ 就要证 ” 等分析到一个明显成立的结论 2 利用反证法证明数学问题时 ， 要假设结论错误 ， 并用假设命题进行推理 ， 没有用假设命题推理而推出矛盾结果 ， 其推理过程是错误的 反证法证明的关键： (1)准确反设； (2)从否定的结论正确推理； (3)得出矛盾 从近两年高考试题看 ， 综合法 、 分析法是高考考查的热点 ， 主要考查考生的观察 、 抽象概括 、 联想等思维能力 ， 同时也考查考生运用综合 分析法分析问题 、 解决问题的能力 多在知识的交汇处命题 ， 如数列 、 立体几何中的平行垂直 、 不等式 、 函数 、 解析几何等都可能考查 在具体求解时 ， 应注意运用转化与化归思想寻求解题思路 【 解析 】 中 ， (a b)(a b) 1， a， 若 a b1， 则必有 a b1， 不合题意 ， 故 正确 思想方法之十二 转化与化归思想在解题中的应用 ( 2012 四川高考 ) 设 a ， b 为正实数现有下列命题： 若 1 ，则 a b 1 ，故 错 中， a ， b 为正实数，所以 a b | a b | 1 ，且 | a b | |( a b )( a b )| | a b | 1, 故 错 中， | |( a b )( | a b |( 1. 若 | a b | 1 ，不妨取 a b 1 ，则必有 ，不合题意，故 正确 易错提示： (1)解题时不注意分析题目中条件与结论的差异之处 ， 不能化异为同 ， 从而导致无从下手或无的放矢 (2)忽视命题真假不定 ， 而一味地证明其为真 ， 导致事倍功半 ， 甚至出现错误 防范措施： (1)注意培养观察能力 ， 即观察条件 、 结论 ， 且能从数学的角度揭示其差异 ， 如 “ 高次 低次 ” 、“ 分式 (根式 ) 整式 ” 、 “ 多元 一元 ” 等 ， 从而为我们的化归转化指明方向 ， 奠定基础 (2)注意这类判断命题真假的题目 ， 其解法上既要规范 ， 又要灵活 当判断为真时 ， 需严格地推理证明；而判断为假时 ， 只需举一反例即可 1 (2012江西高考改编 )下列命题中 ， 假命题为 ( ) A 存在四边相等的四边形不是正方形 B C， C 若 x， y R， 且 x y2， 则 x， D 对于任意 n N*， C C 【 解析 】 选项 若 则保证 并不需要 如 1 i， 2 不对 【 答案 】 B 2 ( 201 3 青岛模拟 ) 设数列 a n 满足 a 1 0 ，且11 a n 111 a
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