南昌市2017届高考第二次模拟冲刺数学理科试题(十)含答案

南昌十中高三交流卷 数学试卷（理科） 第 择题共 60分） 一、选择题（本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60分 有一项是符合题目要求的 .） 1. 已知集合 )52( 10,3 x ，则 （ ） A B 325 C 325 D 32. 已知 a 是实数， 是纯虚数，则 7值为 ( ) A. 12B. D. 323. 为了得到函数 xy 的图像，只需把函数 )4 ) A向左平行移动4个单位长度 B向右平行移动4个单位长度 C向上平行移动4个单位长度 D向下平行移动4个单位长度 4. 已知 : 0 , 1xp x e a x 成立 , :q 函数 1 xf x a 是减函数 , 则 p 是 ) 5. 张丘建算经卷上 有一道 “ 女子织布 ” 问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同 知女子第一天织布 4 尺， 50 天共织布900 尺，则该女子织布每天增 加 ( ) 尺 1649C. 35D. 9146. 如图是一个算法的流程图，若输入 x 的值为 4，则输出 y 的值是 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 在 中， B 为锐角 , , 分别是内角 , 的对边，若5，47B，4 75 b 的值为 ( ) A. 5 B. 2 C. 7 D. 14 8. 已知 满足约束条件 yx，x y1，y 1，则 22 最 小 值为 （ ） A 3 B 0 C 1 D. 32 323 3 12 4 8f x x x x , 则 20161 2017的值为 （ ） A 0 B 504 C 1008 D 2016 10. 设 0 ， 且 满 足 0s o sc o s ，则)2s i n ()2s i n ( 的取值范围为 ( ) A 1,2 B 2,1 C 1,1 D 2,1 11. 已知点 ,4上不同的两点， F 为抛物线的焦点，且满足23M F N ，弦 中点 P 到直线 :l 116y 的距离记为 d ，若2 2M N d ，则 的最小值为 （ ） A. 3 B. 3 C. 13 D. 4 ，若 A 60， 4， O 为中线 一动点，则 ()O A O B O C的最小值是 ( ) A 6 B 23 C 4 D 8 第 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4小题，每题 5分，满分 20分） 13. 设 8822108)21( ， 若 685 则实数 a 的值为 14. 若直线 043 0,0( 的极值点，则1的最小值为 15. 如图，小正方形边长为 2，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 16. 已 知 函 数 与 函 数 xy 关 于 直 线 对称，则 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 俯视图左视图主视图17.（本小题满分 12 分） 已知 等差 数列 前 n 项和为 2121 , 2n n a a . （ 1） 求数列 前 n 项和为 （ 2）若 3,求1 4 7 3 2. nb b b b . 18.（本小题满分 12 分） 小王在某社交网络的朋友圈中 ， 向在线的甲、乙、丙随机发放红包 ， 每次发放 1个 (1)若小王发放 5元的红包 2个 ， 求甲得 到 红包的概率； (2)若小王发放 3个红包 ， 其中 5元的 2个 ， 10元的 1个记乙所得红包的总钱数为 X， 求 19.（本 小题满分12分） 如图，在多面体 ，四边形 菱形，,交于点 O ， /B ， 2F ，平面 平面 F ，点 G 为 中点 （ 1） 求证：直线 平面 （ 2）若 2F， 60，点 P 是上的一点，且 2P ，求二面角E 的余弦值。 20.（本小题满分 12 分）已知圆心为 H 的圆 2x 15 0 和定点 A(1,0)， 段 中垂线 l 和直线 交于点 M，当点 B 在圆上运动时，点 M 的轨迹为曲线 C。 （ 1） 求 C 的方程； （ 2） 过点 相交于 P， ， F， 求 取值范围。 21.（本小题满分 12 分） 设 ( 4 ) 31x a x ，曲线 ()y f x 在点 (1 (1)f， 处的切线与直线 10 垂直 . （ 1） 求 a 的值； （ 2） 若对于任意的 1 ) ( ) ( 1 )x f x m x ， ， 恒成立，求 m 的取值范围； （ 3） 求证：1l n ( 4 1 ) 1 6 ( )( 4 1 ) ( 4 3 ) *N. 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. （本小题满分 10 分）选修 4标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 2 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为t 为参数） . （ 1）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）设曲线 C 经过伸缩变换 1 2 得到曲线 C ，过点 )0,3(F 作倾斜角为 060的直线交曲线 C 于 两点，求 . 23. （本小题满分 10 分）选修 4等式选讲 已知函数 1 2 1x . （ 1）若 1a ，求不等式 2f x x的解集； （ 2）若不等式 ()2f x a x的解集为空集，求 a 的取值范围 数学试卷（理科） 参考答案 第 择题共 60分） 一、选择题（本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60分 有一项是符合题目要求的 .） 1. 已知集合 )52( 10,3 x ，则 （ ） A B 325 C 325 D 3【答案】 C 解 析 ： 由 已 知 可 得 325 31 325 故选 C。 2. 已知 a 是实数， 是纯虚数，则 7值为 ( ) A. 12B. D. 32答案 ： B 解析： i 1 1 1i1 i 2 2a i a a 是纯虚数，所以 1a ， 7 12。 3. 为了得到函数 xy 的图像，只需把函数 )4 ) A向左平行移动4个单位长度 B向右平行移动4个单位长度 C向上平行移动4个单位长度 D向下平行移动4个单位长度 解析： )4 左移4个单位长度c s 44s 答案 A 4. 已知 : 0 , 1xp x e a x 成立 , :q 函数 1 xf x a 是减函数 , 则 p 是 ) 解析： 2:,1: 真 【答案】 B 5. 张丘建算经卷上 有一道 “ 女子织布 ” 问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同 知女子第一天织布 4 尺， 50 天共织布900 尺，则该女子织布每天增加 ( ) 尺 1649C. 35D. 914解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为 d，则 4 50 50 492d 900，解得 d . 答案 A 6. 如图是一个算法的流程图，若输入 x 的值为 4，则输出 y 的值是 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析 由程序框图知， x 4， y 12 4 1 1， |1 4| 1； x 2， y 2 1 1， |1 2| 1， 继续循环 ； x 2， y 12 2 1 0， |0 2|=2 1， 继续循环 ； x 0， y 12 0 1 1， | 1 0|=1， 继续循环 ； x 2， y 12 ( 2) 1 2， | 2 2| 1满足条件，输出 2，结束程序 . 答案 B. 7. 在 中， , 分别是内角 , 的对边，且 B 为锐角 ,若5，47B，4 75 b 的值为 ( ) B. 2 C. 7 D. 14 解析：5525 代入 4 75s B 由47 为锐角知43B，由余弦定理 c o 14 b 答案 D 8. 已知 满足约束条件 yx，x y1，y 1，则 22 最 小 值为（ ） A 3 B 0 C 1 析：易知 )21,21(22 距离 为 区 域 内 到 直 线 的 最 短 距离 d 23Z 答案 D 323 3 12 4 8f x x x x , 则 20161 2017的值为 （ ） A 0 B 504 C 1008 D 2016 解析 : 323 3 12 4 8f x x x x 41)21( 3 x, 41)21()1( 3 ()( 0161 2017=212016 =1008 20161 2017=504【答案】 B 10. 设 0 ，且满足 0s o sc o s ，则)2s )2s 的取值范围为 ( ) A 1,2 B 2,1 C 1,1 D 2,1 解析 0，即 ) 0， 0 ， 2， 2+ ,0 ，则 2,0 ， ) 2 ) ) 2) 2 )4 ， 2,0 ， 43,44 ， 1 2 )4 1 ，即 所求取值范围为 1,1，故选 C。 答案 C 11. 已知点 ,4上不同的两点， F 为抛物线的焦点，且满足23M F N ，弦 中点 P 到直线 :l 116y 的距离记为 d ，若2 2M N d ，则 的最小值为 （ ） A. 3 B. 3 C. 13 D. 4 解析 :设 M 到直线161a ，设 N 到直线161b ，则2 4 )(34 )()()(22222 3,3 m 答案 A ，若 A 60， 4， O 为中线 一动点，则 ()O A O B O C的最小值是 ( ) A 6 B 23 C 4 D 8 答案： A 解析： 由题意知， C 2 设 | x，则 | | x，所以()O A O B O C 2(| x)x 212 )O A O B O C 的最小值，即求| 的最大值因为 A 60， 4，所以当 ， |23，所以 ()O A O B O C 6，选 A. 第 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4小题，每题 5分，满分 20分） 13. 设 8822108)21( ， 若 685 则实数 a 的值为 解析： 由二项展开式的通项公式可得 12a)3 7 a)0 6， 所以 71 6， 即 所以 a 1 14. 若直线 043 0,0( 的极值点，则1的最小值为 解析： )0(1 )(极值点为 )1,1(4304 3)1(1 284)223(34)23(34)21)(3421 b 时取到等号，此时 )22(43),12(43 15. 如图，小正方形边长为 2，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 . 解析： 通过观察可看出此棱锥可能由正方体1 1 1 1A B C D A B C D（棱长为 2）通过切割而成，所以先画出正方体，再根据三视图中的实线虚线判断如何切割，正视图中可看出正方体用前后面的 对角线所在平面将下方完全切掉，从左视图可看俯视图左视图主视图出正方体的右侧面（虚线）有切痕，俯视图体现出正方体的上底面有切痕。进而可得所求棱锥为一个四棱锥，底面是矩形11 2，长1 22因为 平面11以平面11A B 平面11锥的 表面 积为22312 2 2 ( 2 2 ) 3 2 4 2 2 3 642S 16. 已 知 函 数 与 函 数 xy 关 于 直 线 对称，则 解析： 因为函数 y y 为反函数 ， 其图象关于直线 y 又因为函数 y y 1， e)， 所以阴影部分的面积为 e 1 01e 10 e (e 1) 1. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17.（本小题满分 12 分） 已知 等差 数列 前 n 项和为 2121 , 2n n a a . （ 1） 求数列 前 n 项和为 （ 2）若 3,求1 4 7 3 2. nb b b b . 解析： （ 1）由 2121 , 2n n a a ，得 22 1 1 1 22S a a a a ，2a，公差 1d ，数列 通项故 1 ( 1)2nS n n （ 2） 33na ,所以数列 32是首项为 ,公比为的等比数列 , 1 4 7 3 2. nb b b b 3 27 126 n . 18.（本小题满分 12 分） 小王在某社交网络的朋友圈中 ， 向在线的甲、乙、丙随机发放红包 ， 每次发放 1个 (1)若小王发放 5元的红包 2个 ， 求甲得 到 红包的概率； (2)若小王发放 3个红包 ， 其中 5元的 2个 ， 10元的 1个记乙所得红包的总钱数为 X， 求 解： (1)设 “ 甲得 到 红包 ” 为事件 A， 则 P(A)32321 =95(2)， 5， 10， 15， 20. P(X 0) 232 23 827， P(X 5) 12C 13 232 827， P(X 10) 132 23 232 13 627， P(X 15) 12C 132 23 427， P(X 20) 133 127. X 0 5 10 15 20 P 827 827 627 427 127 E(X) 0 827 5 827 10 627 15 427 20 127 203. 19.（本小题满分12分） 如图，在多面体 ，四边形 菱形，,交于点 O ， /B ， 2F ，平面 平面 F，点 G 为 中点 （ 1） 求证：直线 平面 （ 2）若 2F， 60，点 P 是 上的一点，且 2P ，求二面角 E 的余弦值。 证明：（ 1） 连接 F ，点 G 为 中点， C . 平面 平面 平面 面 C ， 平面 C 平面 平面 C ， 1/ / ,2O G A B O G A B， 1/ / ,2E F A B E F A B， / / ,O G E F O G E F，四边形 平行四边形 , /O ， 3分 C ， /O ， O ， 四边形 菱形， O ， O ， O ， O O ， O、 在平面 ， 平面 6 分 （ 2） 如图建系 ，则 (0, 0, 3)E ，( 3, 0, 0)A ， (0,1,0)B ， ( 3, 0, 0)C ， 31( , , 0 )22G ，设 ( , , )P x y z ， 则 由 2P ，得 2 ( 3 , , ) ( , 1 , )x y z x y z ，得 21( 3 , , 0)33P， 21( 3 , , 3 )33，)0,61,367( 。设平 面 一个法向量为 ( , , )n x y z ，由 0,0n P 得0613670331332x ，得 (1, 7 3 , 3)n 。取 平 面 一个法向量为(0, 0,1)m ，由题意，22(1 , 7 3 , 3 ) ( 0 , 0 , 1 ) 3 1 5 7c o s ,1571 ( 7 3 ) 3 。由题意，所求二面角 E 为锐角，其余弦值为 3 157157 。 20.（本小题满分 12 分）已知圆心为 H 的圆 2x 15 0 和定点 A(1,0)， 段 中垂线 l 和直线 交于点 M，当点 B 在圆上运动时，点 M 的轨迹为曲线 C。 (1)求 C 的方程； (2)过点 相交于 P， ， F，求 取值范围。 解 (1)由 2x 15 0，得 (x 1)2 42，所以圆心为 H( 1,0)，半径为 4。 连接 l 是线段 中垂线，得 | | 所以 | | | | | 4，又 | 21，于是上式化简整理可得， 9t 14t 1 13t 1 63t 163494 1t122。 由 t1，得 01t1，所以 214 367 。 综合 可知， 的取值范围为 214 ， 367 。 21.（本小题满分 12 分 ） 设 ( 4 ) 31x a x ，曲线 ()y f x 在点 (1 (1)f， 处的切线与直线 10 垂直 . （ 1） 求 a 的值； （ 2） 若对于任意的 1 ) ( ) ( 1 )x f x m x ， ， 恒成立，求 m 的取值范围； （ 3） 求证：1l n ( 4 1 ) 1 6 ( )( 4 1 ) ( 4 3 ) *N . 【解析】 （ 1）24( 4 l n ) ( 3 1 ) 3 ( 4 ) l n() ( 3 1 )xa x x x a ， (1) 1f ， 解得 0a 3 分 （ 2） 对于任意的 1 ) ( ) ( 1 )x f x m x ， ， ，即 14 3 2 ) 0x m 恒成立， 设 1( ) 4 l n ( 3 2 ) 0g x x m 恒成立， 2224 1 3 4( ) ( 3 ) ( 1 ) 4 4m x x mg x m g mx x x ， 5 分 若 0 ( ) 0 ( )m g x g x ， ，单调递增， 0 (1) ( )g g x ， 这与 ( ) 0矛盾； 6 分 若 (0 1)m ， ，当 22 4 3( 1 ) ( ) 0 ( )3 mx g x g ， ， ，单调递增，0 (1 ) ( )g g x ， 这与 ( ) 0矛盾； 7 分 若 1 m ，当 (1 ) ( ) 0 ( )x g x g x ， ， ，单调递减， ( ) (1) 0g x g ， 即 ( ) 0成立 . 综上所述 1 )m ， . 8 分 （ 3） 由 （ 2） 知，当 11， 时 , 11 3 2 )4成立 . 不妨令 *41()43 N，所以 4 1 1 6 ( 4 1 ) ( 4 3 )i i ， 10 分 于是 4 1 1 1 6 1 3 ( 4 1 1 ) ( 4 1 3 ) ，4 2 1 1 6 2 2 3 ( 4 2 1 ) ( 4 2 3 ) ，4 3 1 1 6 3 3 ( 4 3 1 ) ( 4 3 3 ) ，4 1 1 6 3 ( 4 1 ) ( 4 3 )n n ，累加得1l n