大学物理第四版下册课后题答案要学的

习题习题 1111 11-1直角三角形ABC的A点上，有电荷 C108 . 1 9 1 q ，B点上有电 荷 C108 . 4 9 2 q ，试求C点的电场强度(设0.04mBC ，0.03mAC )。 解：1 q 在 C 点产生的场强： 1 1 2 0 4 AC q Ei r ， 2 q 在 C 点产生的场强： 2 2 2 0 4 BC q Ej r ， C点的电场强度： 44 12 2.7 101.8 10EEEij ； C点的合场强： 224 12 3.24 10 V EEE m ， 方向如图： 1.8 arctan33.733 42 2.7 。 11-2用细的塑料棒弯成半径为cm50的圆环，两端间空隙为cm2， 电量为C1012 . 3 9 的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大 小和方向。 解：棒长为 23.12lrdm ， 电荷线密度： 91 1.0 10 q C m l 可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强 为 0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去 md02 . 0 长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口 处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。 解法 1：利用微元积分： 2 0 1 cos 4 Ox Rd dE R ， 2 000 cos2sin2 444 O d Ed RRR 1 0.72V m ； 解法 2：直接利用点电荷场强公式： 由于dr，该小段可看成点电荷： 11 2.0 10qdC ， 则圆心处场强： 11 91 22 0 2.0 10 9.0 100.72 4(0.5) O q EV m R 。 方向由圆心指向缝隙处。 11-3将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布， 电荷线密度为，四分之一圆弧AB的半径为R，试 求圆心O点的场强。 j i 2cm O R x 解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。 对于半无限长导线A在O点的场强： 有： 0 0 (coscos) 42 (sinsin) 42 Ax Ay E R E R 对于半无限长导线B在O点的场强： 有： 0 0 (sinsin) 42 (coscos) 42 Bx B y E R E R 对于AB圆弧在O点的场强：有： 2 0 00 2 0 00 cos(sinsin) 442 sin(coscos) 442 ABx AB y Ed RR Ed RR 总场强：0 4 Ox E R ，0 4 O y E R ，得：0 () 4 O Eij R 。 或写成场强： 22 0 2 4 OxO y EEE R ，方向45。 11-4一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷 的线密度为，求环心处O点的场强 E。 解：电荷元 dq 产生的场为： 2 0 4 d q d E R ； 根据对称性有： 0 y dE ，则： 2 0 0 sin sin 4 x Rd EdEdE R 0 2R ， 方向沿x轴正向。即：0 2 Ei R 。 11-5带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度 为 0sin ，式中 0 为一常数，为半径R与x轴 所成的夹角，如图所示试求环心O处的电场强度。 解：如图， 0 2 00 sin 44 d dl dE RR ， cos sin x y dEdE dEdE 考虑到对称性，有： 0 x E ； o RX Y d dq Ed x y E 2 000 00 000 sin (1 cos2 ) sin 4428 y d d EdEdE RRR ， 方向沿y轴负向。 11-6一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求 球心O处的电场强度。 解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l Rd ，所带 电荷： 2dqr d l 。 利用例 11-3 结论，有： 33 2222 22 00 2 4()4() xdqrxdl dE xrxr 3 22 2 0 2cossin 4( sin)(cos) RRRd dE RR ， 化简计算得： 2 0 00 1 sin2 224 Ed ，0 4 Ei 。 11-7图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷 体密度为。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标 x变化的图线，即xE 图线(设原点在带电平板的中央平 面上，Ox轴垂直于平板)。 解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1 S 为高 斯面， 当2 d x 时，由 1 2 S E dSES A 和 2qxS ， 有：0 x E ； 当2 d x 时，由 2 2 S E dSES A 和 2qdS ， 有：0 2 d E 。图像见右。 11-8在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如 图所示)， 平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量. 解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。 【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r，有 22 Rdr ， 球冠面一条微元同心圆带面积为：2sindSrrd 球冠面的面积： 20 0 cos 2sin2cos d r Srrdr xO r 0 2 d x E 0 2 d 2 d 2 d O d x O rsinr 2 2(1) d r r 】 球面面积为： 2 4Sr 球面 ，通过闭合球面的电通量为： 0 q 闭合球面 ， 由： S S 球冠球面 球面球冠， 22 00 1 (1)(1) 22 dqqd r Rd 球冠 。 11-9在半径为 R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度 为 ，求圆柱体内、外的场强分布，并作 Er 关系曲线。 解：由高斯定律0 1 i S S E dSq A 内 ，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r， 长为l的高斯面。 （1）当rR时， 2 0 2 r l rl E ，有0 2 E r ； （2）当rR时， 2 0 2 R l rl E ，则： 2 0 2 R r E ； 即： 0 2 0 () 2 () 2 r rR E R rR r ； 图见右。 11-10半径为1 R 和2 R （21 RR ）的两无限长同轴圆柱面，单位长度 分别带有电量和，试求：（1）1 Rr ；（2）21 RrR ；（3） 2 Rr 处各点的场强。 解：利用高斯定律：0 1 i S S E dSq A 内 。 （1） 1 rR 时，高斯面内不包括电荷，所以： 1 0E ； （2） 12 RrR 时，利用高斯定律及对称性，有： 2 0 2 l rl E ，则： 2 0 2 E r ； （3） 2 rR 时，利用高斯定律及对称性，有： 3 20rlE ，则： 3 0E ； E r R 0 2 R o 即： 1 12 0 2 0 2 0 ErR ErRrR r ErR E 。 11-11一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷， 若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小 球体，球心为 O ，两球心间距离dOO ，如图所示。求： （1）在球形空腔内，球心 O 处的电场强度 0 E ； （2）在球体内 P 点处的电场强度E，设 O 、O、P三点在同一 直径上，且dOP 。 解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为的大球和带有 电荷体密度为 的小球的合成。 （1）以O为圆心，过 O 点作一个半径为d的高斯面，根据高斯 定理有： 1 3 0 4 3 S E dSd A 0 0 3 d E ，方向从O指向 O ； （2）过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯 定理有： 1 3 0 4 3 S E dSd A 1 0 3 P d E ，方向从O指向P， 过P点以 O 为圆心，作一个半径为d2的高斯面。根据高斯定 理有： 2 3 0 4 3 S E dSr A 3 2 2 0 3 P r E d ， 12 3 2 0 () 34 PP r EEEd d ，方向从O指向P。 11-12设真空中静电场E 的分布为E cxi ，式中c为常量，求空间 电荷的分布。 解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面， 有： 0 S E d ScxS A 由高斯定理：0 1 S S E d Sq A 内 ，y x z S o 0 x 设空间电荷的密度为 ( )x ，有： 0 0 0 0 ( ) x xSdx cxS 00 0 00 ( ) xx x dxcdx ，可见 ( )x 为常数 0c 。 11-13如图所示，一锥顶角为的圆台，上下底面半径分别为1 R 和 2 R ，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为，求顶点O的电 势(以无穷远处为电势零点) 解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x轴，在 侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为： tan 2 rx ，环面圆宽： cos 2 d x d l 22tan 2 cos 2 d x dSr d lx ， 利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上0 x 处电势的表达式： 22 0 0 1 4 q U rx 环 ， 有： 2200 2tan 2 cos 1 2 tan 422 ( tan) 2 d x x dUd x xx ， 考虑到圆台上底的坐标为： 11cot 2 xR ， 22cot 2 xR ， U 2 1 0 tan 22 x x d x 2 1 cot 2 cot 02 tan 22 R R d x 21 0 () 2 RR 。 11-14电荷量 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内，试求：离球心r处 （rR）P 点的电势。 解：利用高斯定律：0 1 S S E dSq A 内 可求电场的分布。 （1）rR时， 3 2 3 0 4 Qr r E R 内 ；有： 3 0 4 Q r E R 内 ； （2）rR时， 2 0 4 Q r E 外 ；有： 2 0 4 Q E r 外 ； 离球心r处（rR）的电势： R r rR UEdrEdr 外内 ，即： r x cos 2 dx dl P r R P o 32 00 44 R r rR QrQ Udrdr Rr 2 3 00 3 88 QQr RR 。 11-15图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表 面半径为1 R ，外表面半径为2 R 设无穷远处为电势零点，求空腔内 任一点的电势。 解：当 1 rR 时，因高斯面内不包围电荷，有： 1 0E ， 当 12 RrR 时，有： 2 0 3 1 3 2 0 3 1 3 2 3 )( 4 )( 3 4 r Rr r Rr E ， 当 2 rR 时，有： 2 0 3 1 3 2 2 0 3 1 3 2 3 3 )( 4 )( 3 4 r RR r RR E ， 以无穷远处为电势零点，有： 2 12 23 R RR UEd rE d r 2 R dr r RR dr r Rr R R 2 0 3 1 3 2 2 0 3 1 3 3 )( 3 )( 2 1 )( 2 2 1 2 2 0 RR 。 11-16电荷以相同的面密度分布在半径为 1 10rcm 和 2 20rcm 的两 个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为 V300 0 U 。 （1）求电荷面密度； （2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度为多少？ （ 21212 0 mNC1085 . 8 ） 解：（1）当 1 rr 时，因高斯面内不包围电荷，有： 1 0E ， 当 12 rrr 时，利用高斯定理可求得： 2 1 2 2 0 r E r ， 当 2 rr 时，可求得： 22 12 3 2 0 ()rr E r ， 2 12 023 r rr UEd rEd r 2 12 222 112 22 00 ()r rr rrr d rd r rr )( 21 0 rr 那么： 29 3 12 21 00 1085 . 8 1030 3001085 . 8 mC rr U （2）设外球面上放电后电荷密度，则有： 0120 ()/0Urr ， 1 2 2 r r 则应放掉电荷为： 22 22 3 4()4 2 qrr 12 4 3.14 8.85 10300 0.2 9 6.67 10 C 。 1 r O 2 r 11-17如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一 半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左 端离球心距离为0 r 。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试 求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷 远处的电势为零） 。 解：（1）以O点为坐标原点，有一均匀带电细线 的方向为x轴， 均匀带电球面在球面外的场强分布为： 2 0 4 q E r （rR） 。 取细线上的微元：dq dldr ，有：dF Edq ， 0 0 2 00 00 44() rl r qqlr Fdr xr rl （r 为r 方向上的单位矢量） （2）均匀带电球面在球面外的电势分布为：0 4 q U r （rR， 为电势零点） 。 对细线上的微元dq dr ，所具有的电势能为：0 4 q dWdr r ， 0 0 0 000 ln 44 rl r rlqdrq W rr 。 11-18. 一电偶极子的电矩为p，放在场强为E的匀强电场中，p与 E之间夹角为，如图所示若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p、 E平面的轴转 180，外力需作功多少？ 解：由功的表示式：d A Md 考虑到：M pE ，有： sin2cosApEdpE 。 11-19如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为 (0)今有一质量为m，电荷为 q 的粒子(q0)沿圆板轴线(x轴) 方向向圆板运动，已知在距圆心O（也是x轴原点）为b的位置上时， 粒子的速度为 0 v ，求粒子击中圆板时的速度(设圆板 带电的均匀性始终不变)。 解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上 0 x 处产生的 电势为： 22 00 0 () 2 URxx ，那么， 22 0 () 2 ObOb UUURbRb ， 由能量守恒定律， 22222 00 0 111 ()() 2222 Ob q m vmvqUmvRbRb ， 有： )( 22 0 2 0 bRbR m q vv 思考题 11 11-1两个点电荷分别带电q和 q2 ，相距l，试问将第三个点电荷放 在何处它所受合力为零? 答：由 22 00 2 44() qQqQ xlx ，解得： ( 21)xl ，即离点电荷q的距离 为 ( 21)l 。 11-2下列几个说法中哪一个是正确的？ （A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力 的方向； （B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处 相同； （C）场强方向可由 q/FE 定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、 可负，F为试验电荷所受的电场力； （D）以上说法都不正确。 答：（C） 11-3真空中一半径为R的的均匀带电球面,总电量为 q(q0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积 S(连 同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去S后 球心处的电场强度大小和方向. 答：题意可知： 2 0 4 q R ，利用补偿法，将挖去部分 看成点电荷， 有： 2 0 4 S E R ，方向指向小面积元。 11-4三个点电荷1 q 、2 q 和 3 q 在一直线上，相距均为R2，以1 q 与 2 q 的中心O作一半径为R2的球面，A为球面与直线的一个交点，如 图。求： (1)通过该球面的电通量 SE d ； (2)A点的场强A E 。 解：(1) 12 0 S qq E dS A ；(2) 2 0 3 2 0 2 2 0 1 44)3(4R q R q R q EA 。 11-5有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中 心O点2/a处， 有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面 的电场强度通量 为多少？ 解：设想一下再加 5 个相同的正方形平面将q围在正方体的中心， 通过此正方体闭合外表面的通量为： 0 /q 闭合 ，那么， 通过该平面的电场强度通量为：0 6 q 。 11-6对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？ (A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷； (B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷； (C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零； (D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。 答：(A) 11-7由真空中静电场的高斯定理0 1 S E dSq A 可知 (A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为 零； (B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都 不为零； (C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都 为零； (D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。 答：(C) 11-8图示为一具有球对称性分布的静电场的rE 关 系曲线请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。 (A)半径为R的均匀带电球面； (B)半径为R的均匀带电球体； (C)半径为R、电荷体密度 Ar (A为常数）的非均匀带电球体； (D)半径为R、电荷体密度 rA/ (A为常数)的非均匀带电球体。 答：(D) 11-9如图，在点电荷 q 的电场中，选取以 q 为中心、R 为半径的 球面上一点 P 处作电势零点，则与点电荷 q 距离为 r 的 P点的电势 为 (A) r q 0 4 (B) Rr q11 4 0 (C) Rr q 0 4 (D) rR q11 4 0 答：(B) 11-10密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡 而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生实验中，半径为r、 带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电 势差为12 U 当电势差增加到 412 U 时，半径为 2r的油滴保持静止， 则该油滴所带的电荷为多少？ 解： grq d U 312 3 4 ， grq d U 312 )2( 3 44 联立有： eqq42 。 11-11设无穷远处电势为零，则半径为R的均匀带电球体产生的电 场的电势分布规律为(图中的 0 U 和b皆为常量)： 答：(C) 11-12无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。见书中例 11-12。 大学物理第大学物理第 1414 章课后习题章课后习题 14-1如图所示的弓形线框中通有电流，求圆心处的磁感应强度。IOB 解：圆弧在 O 点的磁感应强度：，方向：； 00 1 46 II B RR A 直导线在 O 点的磁感应强度：，方向： 00 00 2 0 3 sin60sin( 60 ) 4cos602 II B RR ； 总场强：，方向。 0 31 () 23 I B R 14-2如图所示，两个半径均为 R 的线圈平行共轴放置，其圆心 O1、O2相距为 a，在两线 圈中通以电流强度均为 I 的同方向电流。 （1）以 O1O2连线的中点 O 为原点，求轴线上坐标为 x 的任意点 的磁感应强度大小； （2）试证明：当时，O 点处的磁场最为均匀。aR 解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：。 2 0 3 22 2 2() IR B Rz （1）左线圈在 x 处点产生的磁感应强度：，P 2 0 1 3 22 2 2() 2 P IR B a Rx 右线圈在 x 处点产生的磁感应强度：，P 2 0 2 3 22 2 2() 2 P IR B a Rx 和方向一致，均沿轴线水平向右， 1P B 2P B 点磁感应强度：；P 12PPP BBB 2 33 0 2222 22 () () 222 IR aa RxRx （2）因为随变化，变化率为，若此变化率在处的变化最缓慢，则 O 点处 P Bx dB dx 0x 的磁场最为均匀，下面讨论 O 点附近磁感应强度随变化情况，即对的各阶导数进行x P B 讨论。 对求一阶导数：B dB dx 2 55 0 2222 22 3 ()() ()() 22222 IR aaaa xRxxRx 当时，可见在 O 点，磁感应强度有极值。0x 0 dB dx B 对求二阶导数：B 2 2 () ddBd B dx dxdx 22 2 0 5757 22222222 2222 5()5() 3 11 22 2 () () () () 2222 aa xx IR aaaa RxRxRxRx 当时，0x 2 0 2 x d B dx 22 2 07 22 2 3 ( ) 2 aR IR a R 可见，当时，O 点的磁感应强度有极小值，aR 2 0 2 0 x d B dx B 当时，O 点的磁感应强度有极大值，aR 2 0 2 0 x d B dx B 当时，说明磁感应强度在 O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成aR 2 0 2 0 x d B dx B 匀强磁场。 【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的匝线圈，相对距离等于线圈N 半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实 验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】 14-3无限长细导线弯成如图所示的形状，其中部分是在cxoy 平面内半径为的半圆，试求通以电流时点的磁感应强度。RIO 解：a 段对 O 点的磁感应强度可用求得， 0 S B d lI A 有：， 0 4 a I B R 0 4 a I Bj R b 段的延长线过点，O0 b B c 段产生的磁感应强度为：， 00 44 c II B RR 0 4 c I Bk R 则：O 点的总场强：，方向如图。 00 44 O II Bjk RR + 14-4如图所示，半径为 R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线 圈均匀覆盖住半个球面。设线圈的总匝数为 N，通过线圈的电流为 I，求球心 O 的磁感强 度。 解：从 O 点引出一根半径线，与水平方向呈角，则有水平投影： ，圆环半径：，取微元，cosxRsinrRdlRd 有环形电流：， 2NI dId 利用：，有：B 2 0 22 3 2 2() IR Rx dB 2 0 22 3 2 2() r dI rx 22 0 22223 2 sin (sincos) N IRd RR ， 2 0 sinN Id R 。B 0 2 2 0 sin N I d R 0 2 0 1 cos2 2 N I d R 0 4 N I R 14-5无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示） ，空腔与导体的两轴线 平行，间距为，若导体内的电流密度均匀为，的方向平行于轴线。求腔内任意点的aj j 磁感应强度。B 解：采用补偿法，将空腔部分看成填满了的电流，那么，j 以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路，利用 ，有：， 0 S B d lI A 2 10 2 R Bj R ， 0 1 2 j BR 同理，还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路： ，有：， 2 20 2()r Bjr 0 2 2 j Br 由图示可知：()Rra 那么，。 12 BBB 00 22 jj Rr 0 1 2 ja 14-6在半径的无限长半圆柱形金属片中，有电流自下而上通过，如图所cm1RA5I 示。试求圆柱轴线上一点处的磁感应强度的大小。P 解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为的长直电流，dlRd 有：，利用。 dld dI R 0 S B d lI A 在 P 点处的磁感应强度为：， 00 2 22 dIId dB RR ，而因为对称性， 0 2 sinsin 2 x I dBdBd R 0 y B 那么，。 00 5 22 0 sin6.37 10 2 xx II BBdBdT RR 14-7如图所示，长直电缆由半径为 R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为 R2、R3的导体 圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度 I 都均匀地分布 在横截面上。求距轴线为 r 处的磁感应强度大小（） 。 r0 解：利用安培环路定理分段讨论。 0 S B d lI A O O O P O P a R r （1）当时，有： 1 0rR 2 10 2 1 2 r I Br R ； 0 1 2 1 2 Ir B R （2）当时，有：， 12 RrR 20 2BrI 0 2 2 I B r ； （3）当时，有：， 23 RrR 22 2 30 22 32 2() rR BrII RR ； 22 3 2 0 3 22 3 2 I B Rr Rr R （4）当时，有：，。 3 rR 40 2()BrII 4 0B 则： 0 2 1 0 1 12 22 3 23 22 32 3 0 (0) () () 0() 2 2 2 rR RrR B Rr RrR Ir R I r Rr r I R R 14-8一橡皮传输带以速度匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面v 密度为。 （1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度的B 大小； （2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度及它所产生的v 磁场和电场之间满足下述关系：（式中） 。B E 2 1 BvE c 00 1 c 解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路，考虑到橡皮带上等效电流abcda 密度为：，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根iv 据安培环路定理有： ， 0 abcd B dlLi A 0 2BLLv 磁感应强度的大小：；B 0 2 v B （2）非相对论情形下： 匀速运动的点电荷产生的磁场为：， 0 2 4 qvr B r 点电荷产生的电场为：， 2 0 1 4 q Er r ， 0 00 222 0 11 44 qqvr vEvrB crr a b c d L 即为结论：（式中） 。 2 1 BvE c 00 1 c 14-9一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为， 半径为。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为，R 求：（1）圆柱体内距轴线处的磁感应强度的大小；r （2）两端面中心的磁感应强度的大小。 解：（1）考察圆柱体内距轴线处到半径的圆环等效电流。rR ， 2dqrLdr dILrdr tT 22 1 () 2 R r IL rdrL Rr 选环路如图所示，abcd 由安培环路定理：， 0 S B d lI A 有： 22 0 1 () 2 B LL Rr 22 0 () 2 BRr （2）由上述结论，带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强 度的一半，所以端面中心处的磁感应强度：。 2 0 4 R B 端面中心 14-10如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流，电流在两个阴I 影所示的横截面的面积皆为，两圆柱轴线间的距离，试求两导体中部真空部SdOO 21 分的磁感应强度。 解：因为一个阴影的横截面积为，那么面电流密度为：S ，利用补偿法，将真空部分看成通有电流，设 I i S i 其中一个阴影在真空部分某点处产生的磁场为，距离P 1 B 为，另一个为、，有：。 1 r 2 B 2 r 12 rrd 利用安培环路定理可得： ， 2 01 01 1 1 22 I r I r S B rS 2 02 02 2 2 22 I r I r S B rS 则：， 01 11 2 I r Br S 02 22 2 I r Br S 。 00 121 12 2 () 22 II d BBBr rr rd SS 即空腔处磁感应强度大小为，方向向上。 0 2 I d B S 14-11无限长直线电流与直线电流共面，几何位置如图所示， 1 I 2 I 试求直线电流受到电流磁场的作用力。 2 I 1 I 解：在直线电流上任意取一个小电流元， 2 IdlI2 此电流元到长直线的距离为，无限长直线电流x 1 I 在小电流元处产生的磁感应强度为： r ab dc L L d P 1 O 2 O 2 r 1 r 2 r 1 r d ， 0 1 2 I B x 再利用，考虑到，有：，dFIBdl 0 cos60 dx dl 0 1 2 0 2cos60 I I dx dF x 。 0 1 20 1 2 0 ln 2cos60 b a I II I dxb F xa 14-12在电视显象管的电子束中，电子能量为，这个显像管的取向使电子沿水12000eV 平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下，大小为，问： 5 5.5 10BT （1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北 方向上通过时将偏转多远？20cm 解：（1）根据可判断出电子束将偏向东。fqvB （2）利用，有：， 2 2 1 mvE m E v 2 而，maqvBf 114 1028 . 6 2 sm m E m qB m qvB a （3）。 22 11 ( )3 22 L yatamm v 14-13一半径为的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的R 长直导线的电流等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长I 直导线单位长度所受的磁力。 解：设半圆柱面导体的线电流分布为， 1 I i R 如图，由安培环路定理， 电流在点处产生的磁感应强度为：iO ， 0 2 i dBRd R 可求得：； 001 2 0 sin 2 Oy iRI BdBd RR 又，dFIdlB 故， 0 1 2 2 2 O I I dFB I dldl R 有：，而， 0 1 2 2 I I dF f dlR 21 II 所以：。 2 0 2 I dF f dlR 14-14如图 14-55 所示，一个带有电荷()的粒子，q0q 以速度平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷v 密度为（） ，并载有传导电流。试问粒子要以多大0I 的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为的平行线上？d 解：由安培环路定律知： 0 l B d lI A B 电子束方向 A 南北 O y dB 电流在处产生的磁感应强度为：，方向；Iq 0 2 I B d 运动电荷受到的洛仑兹力方向向左，大小：，q 0 2 q vI FqvB d 洛 同时由于导线带有线电荷密度为，在处产生的电场强度可用高斯定律求得为：q ，受到的静电场力方向向右，大小：； 0 2 E d q 0 2 q F d 电 欲使粒子保持在一条与导线距离为的平行线，需，dFF 洛电 即：，可得。 0 2 qvI d 0 2 q d 00 v I 14-15截面积为、密度为的铜导线被弯成正方形的三边，S 可以绕水平轴转动，如图 14-53 所示。导线放在方向竖O O 直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为时，导线离开原来I 的竖直位置偏转一个角度而平衡，求磁感应强度。 解：设正方形的边长为，质量为，。amaSm 平衡时重力矩等于磁力矩： 由，磁力矩的大小：； m MpB 202 sin(90)cosMBIaBIa 重力矩为：sin2sin2sin 2 a Mmgamgmga 平衡时：，。 2cos 2sinBIamga 22 tantan mggS B IaI 14-16有一个形导线，质量为，两端浸没在水银槽中，Um 导线水平部分的长度为 ，处在磁感应强度大小为的均匀lB 磁场中，如图所示。当接通电源时，导线就会从水银槽中U 跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略， 试由导线跳起所达到的高度计算电流脉冲的电荷量。hq 解：接通电流时有，而，FBIl dv mBIl dt dq I dt 则：，积分有：；mdvBldq 0 vm mv qdv BlBl 又由机械能守恒：，有：，。mghmv 2 2 1 ghv22 mvm qgh BlBl 14-17半径为的半圆形闭合线圈，载有电流，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面RI 平行，如图所示。求： （1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴） ； （2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩做功为多少？ 解：（1）线圈的磁矩为：， m pI Sn 2 2 I R n 由，此时线圈所受力矩的大小为： m MpB B R I ； 2 1 sin 22 m Mp BR IB 磁力矩的方向由确定，为垂直于 B 的方向向上，如图；Bpm （2）线圈旋转时，磁力矩作功为： 。 21mmm AII 2 2 1 (0) 22 B R I I BR 【或：】 22 0 1 sin 2 AMdR IBd 2 1 2 R IB 思考题 14-1在图（）和（）中各有一半径相同的圆形回路、，圆周内有电流、ab 1 L 2 L 1 I ，其分布相同，且均在真空中，但在（）图中回路外有电流，、为两圆形 2 Ib 2 L 3 I 1 P 2 P 回路上的对应点，则： ； 12 12 ( )dd PP LL A BlBl BB AA ， 12 12 ( )dd PP LL B BlBl BB AA ， ；。 12 12 ( )dd PP LL C BlBl BB AA ， 12 12 ()dd PP LL D BlBl BB AA ， 答：的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强B 度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以（C）对。 14-2哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的随的变化关系？Bx （坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心）xO 答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度 2 3 22 2 0 )(2xR IR B 时，（） ，。0x R I B 2 0 xR 2 0 3 2 IR B x 根据上述两式可判断（C）图对。 14-3取一闭合积分回路，使三根载流导线穿过它所围成的面现改变三根导线之间的L 相互间隔，但不越出积分回路，则： (A)回路内的不变，上各点的不变；L I LB B S M o (B)回路内的不变，上各点的改变；L I LB (C)回路内的改变，上各点的不变；L I LB (D)回路内的 改变，上各点的改变.L I LB 答：（B）对。 14-4一载有电流的细导线分别均匀密绕在半径为和的长直圆筒上形成两个螺线管(IRr )，两螺线管单位长度上的匝数相等两螺线管中的磁感应强度大小和应满rR2 R B r B 足： ；.( )2 Rr A BB( ) Rr B BB( ) 2 Rr CBB()4 Rr D BB 答：对于长直螺线管：，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管nIB 0 磁感应强度相等。 （B）对。 14-5均匀磁场的磁感应强度垂直于半径为的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面Br ，则通过面的磁通量的大小为多少？SS 答：。 2 Br 14-6如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行， 在磁场作用下，线圈向什么方向转动？ 答：受力方向垂直纸面向里，受力外，在力偶矩的作用下，abcd 垂直纸面向里运动，垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时abcd 针旋转。 14-7一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁 场中的运动轨迹如图所示，则 （A） 两粒子的电荷必然同号； （B） 粒子的电荷可以同号也可以异号； （C） 两粒子的动量大小必然不同； （D） 两粒子的运动周期必然不同。 答：选（B） 大学物理第大学物理第 1616 章课后习题章课后习题 16-1如图所示，金属圆环半径为 R，位于磁感应强度为的均匀磁场中，B 圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度在环所在平面内运动时，求v 环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端 a、b 间的电势差。 解：（1）由法拉第电磁感应定律，考虑到圆环内的磁通量不变， i d dt 所以，环中的感