2017年临沂市中考数学二轮专题复习材料(十)全等三角形

九年级二轮专题复习材料 专题 四 ： 全等三角形、相似三角形 【 近 3 年临沂市中考试题 】 1.（ 2016临沂 如图 1，在正方形 ，点 E， F 分别是边 的点，且 F连接 点 E 作 E，连接 （ 1）请判断： 数量关系是 ，位置关系是 ； （ 2）如图 2，若点 E， F 分别是边 长线上的点，其它条件不变，（ 1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； （ 3）如图 3，若点 E， F 分别是边 长线上的点，其它条件不 变，（ 1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断 2（ 2015临沂 如图， 在 ， 别是边 的中线， 交于点 O，则 _ O B C D E A 3.（ 2015临沂 25（本小题满分 11 分） 如图 1，在正方形 外侧，作两个等边三角形 接 （ 1）请判断： 数量关系是 ，位置关系是 ； （ 2） 如图 2，若将条 件“两个等边三角 形 为“两 个等腰三角形 D=C” ，第（ 1）问中的结论是否仍然成立 ?请作出判断并给予证明； （ 3）若三角形 一般三角形，且 F， C，第（ 1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断 . 4.（ 2014临沂 问题情境： 如图 1，四边形 正方形， M 是 上的一点， E 是 的中点， 分 . 探究展示： （ 1）证明： A M A D M C； （ 2） E 是否成立？ 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 . 拓展延伸： （ 3）若四边形 长与宽不相等的矩形， 其他条件不变，如图 2，探究展示（ 1）、（ 2）中的结 论是否成立？请分别作出判断，不需要证明 . 【 知识 点 】 全等图形的性质： 全等多边形的对应边、对应角分别相等。全等三角形对应边上的高，中线相等，对应 角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 1. 一般三角形全等的判定 （ 1）边边 边公理：三边对应相等的两个三角形全等（ “边边边 ”或 “。 （ 2）边角公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (“边角边 ”或 “。 D A E M C B A B M 图 2 D E C （第 25 题图） 图 1 （ 3）角边角公理： 两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等 (“角边角 ”或 “。 （ 4）角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (“角角边 ”或 “。 （ 1） 利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等 （ 2） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (“斜边、直角边 ”或 “ 相似三角形的性质 对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 相似三角形的判定方法有： 或两边的延长线 )和其他两边相交 ,所构成的三角形与原三角形相似。 那么这两个三角形相似。 相等 ,并且相应的夹角相等 ,那么这两个三角形相似。 那么这两个三角形相似。 直角三角形相似判定定理 1斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 2直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 【规律方法】 证明两三角形全等或 相似 基本方法步骤： 1 括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2 证明三角形全等首先找边，然后再看三角形满足怎样的 条件，还需要证明什么条件； 3 从题目中分析每个条件能导出什么新的条件，或者能组合成什么有帮助的条件。 4 从问题倒着思考，考虑回答这个问题需要什么条件，而这个条件是否在题目中出现，或者是否可以重新推理出来、或者是否运用到什么定理、推论、 公理 、规律等。 常构造相似三角形得 出对应边之比； 图形时，要考虑三角形相似和三角形全等； 7当出现“中点 +中点”时，要联想到三角形中位线 . 【中考集锦】 一、选择题 1.（ 2013 贵州安顺， 5,3 分）如图，已知 F， 么添加下列一个条件后，仍无法判定 是：（ ） A A= C B B C F D D E C A 第 3 题 A B C M B A C D P E 2. （ 2013河北， 11， ,3分 ） 如图 4，菱形 点 M， 若 2， 3，则 A 3 B 4 C 5 D 6 3. （ 2013 湖南湘潭， 8， 3 分） 如图，在 ， C，点 D、 E 在 ，连结 添加的条件 不能 为 A E B E C E D D 4.（ 2013 山东东营 ， 10， 3 分） 如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3、 4 及 x，那么 x 的值 （ ） 5.（ 2013 西宁市， 6， 3 分） 使两个直角三角形全等的条件是 （ ） A 一锐角对应相等 B 两锐角对应相等 C 一条边对应相等 D 两条边对应相等 6.（ 2013 贵州贵阳， 8， 3 分） 如 右 图， M 是 斜边 异 于 B、 C 的一定点，过点 M 作直线截 截得的三角形与 似， 这样的直线共有（ ） A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 7.（ 2013 浙江台州 ,10,3 分） 已知 周长相等 ,现有两个判断： 若 2 若 则 于上述的连个判断 ,下列说法正确的是（ ） A. 正确 错误 B. . 错误 正确 C. . , 都错误 D. . , 都正确 8.（ 2013 重庆 A 卷， 9， 3 分 ） 如图，在平行四边形 ，点 E 在 ， 连接 延长与 延长线交于点 F，若 长 为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8. （ 2013 哈尔滨 ， 9， 3 分） 如图，在 ， M、 N 分别是边 中点，则 面积与四边形 面积比为 ( ) A 12 B 13 C 14 D 23 10 （ 2013 广西桂林， 12， 3 分 ）如图，已知边长为 4 的正方形 P 是 上一动点（与 B、 第 11 题题图 C E D C 不重合），连结 外角平分线于 E，设 BP=x， 积为 y，则y 与 x 的函数关系式是 （ ） A y=2x+1 B y=21x 2 C y=2x21 D y=2 x 二、填空题 1. （ 2013 湖南娄底， 12， 3 分 ） 如图， C，要使 添加的条件是 _.（添加一个条件即可） 第 1 题 第 2 题 2. （ 2013 天津， 14， 3 分） 如图，已知 C= D, C 与 交于点 O，请写出图中一组相等的线段 . 3. （ 2013 黑龙江绥化 ， 3， 3 分） 如图， A、 B、 C 三点在同一条直线上， A C 90， 添加一个适当的条件 ，使得 4 . （ 2013 黑龙江农垦 牡丹江 ， 13， 3 分）如图，在 ， D 是 上的一点，连接 添加一个适当的条件 使 只填一个即可） 5. （ 2013浙江台州 ,8,4分） 如图 ,在 点 D,B,且21 1 边形:的值为（ ） 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 第 4 题 第 5 题 6. （ 2013 宁夏回族自治区宁 ， 14， 3 分） ， D、 E 分别是边 中点 ， 4，下面 四 个结论： 2； 面积与 面积之比为 1 4； 长 与 周长 之比为 1 4；其中正确的有 .（只填序号） 7 （ 2013 浙江宁波 ， 18， 3 分） 如图，等腰直角三角形 点 A， C 在 x 轴上， 0，C= 22 ，反比例函数 )0(3 B， , 时，点 E 的坐标为 8. （ 2011 山西， 11， 2 分）如图， ， D、 E 分别是边 中点，点 G、F 在 上，四边形 正方形若 2 ，则 长为（ ） 9.（ 2011 贵州遵义， 10， 3 分）如图，在直角三角形 （ C900） ,放置边长分别 3,4,x 的三个正方形，则 x 的值为 （） 10.(2013 山东菏泽， 14， 3 分 )如图所示，在 ， 6， E、 B、 中点，动点 P 在射线 ， D， E 于 Q，当 13， _ 三、解答题 1. （ 2013 吉林， 20， 7 分）如图，在 ， 0 B 至点 D，使 B，连接 直角作等腰三角形 中 0，连接 （ 1）求证： （ 2）若 2. 如图，在等腰直角三角形 ， 0， D 为 上中点，过 D 点 ，交 F，若 ， ，求 3 （ 2011 陕西， 18， 6 分）如图，在正方形 ，点 G 为 任意一点， 连接 B、 E 足分别为 E、 F 两点求证： 4 （ 2011 山东烟台， 24， 10 分） A B D A B C D E 已知：如图，在四边形 ， 90， 2 （ 1）求证： （ 2）当 E 时，试证明： 5. （ 2013 贵州铜仁， 24， 12 分） 如图， O 的直径， P 是 O 外一点，连结 O 于 B，连结 满足 0， 0， 8. （ 1）求证： （ 2）求证： O 的切线 . 【 特别 提醒】 （ 1）根据相似三角形找对应边时，出现失误找错对应边，因此在写比例式时出错，导致解题错误信息； （ 2）在定理的实际应用中，常常忽视 “夹角相等 ”这个重条件，错误认为有两边对应比相等，再有一组角相等，就能得到两个三角形相似。 （ 3） 两边一对角 (三角 (应相等的两个三角形不一定全等。 答案： 1、【答案】 B 【考点解剖】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形常见判定方法是解题的关键。 【解题思路】已知 F，可知 E；又 即知道一组对应边相等，一组对应角相等，因此添加的条件可以是任意一组对应角，或是加一组对应边且保证已知的对应角是夹角。 2、【答案】 B. 【考点解剖】本题考查了菱形的性质和相似三角形的判定和性质，找出与所求线段有关的相似三角形是解答本题的关键 【解题思路】由菱形对角线平分一组对角可得到 由 “ 两角对应相等的两个三角形相似 ” 可得 t由 “ 相似三角形对应边成比例 ” 列出含有 之即可 . 3、【答案】 C 【考点解剖】本题考查全等三角形的判定 .，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 . 【解题思路】本题主要是转化为证明 因为 C，所以 B C ，此时对四个选项逐一判断，能否证明得到 可 . 4、【答案】 B 【考点解剖】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理、正确运用相似三角形的性质对应边成比例式是解题的关键 5、【答案】 D 【考点解剖】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解答本题的关键 6、【答案】 C 【考点解剖】本题考查相似三角形判断，熟练运用两对角对应相等的两个三角形相似这一判断方法是解答此题的关键 【解题思路】分两种可能，（ 1）过点 C，以 A=90 或等于 B ，（ 2）过点 M 作直线截 M 为顶点的角等于 A=90 或等于 C ，因为过一点只有一条直线垂直于已知直线，所以以 A=90 时的两直线重合 【解答过程】如图，分别过点 M 作 边的垂线 证此时分别形成的三角形均与原三角形相似，所以共 3条 7、【答案】 D 【考点解剖】考察全等三角形的判定，相似三角形的判定及性质，关键是根据等量减等量差相等，证边相等，及相似比等于周长比灵活应用 . 【解题思路】由周长相等， 12出第三边也相等，从而得出三角形全等。由两角对应相等，证明三角形相似，由三角形的相似比等于周长比，得出相似比为 1:1，证出三角形全等 . 【解答过程】 12 122 ; 由 周 长 相 等 ， 得 相 似 比 为 1 ，故 8、【答案】 B. 【考点解剖】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到与已知线段和所求线段有关的相似三角形 【解题思路】由平行四边形的性质可知 D ，由此可证得 利用相似三角形对应边成比例即可求解 . 9、【答案】 B 【 考点解剖】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定，充分利用中位线的性质是解题的关键 . 【解题思路】先由 M、 B、 定出 中位线，从而得到 B ，因此 再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，从而求出 面积比，再根据比例性质可求得 面积与四边形 面积比 . 10、 【答案】 C 【考点解剖】本题是一道立足正方形的动点问题，综合考查了相似三角形判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是 “ 动 中取静 ” 、抓住相似三角形的不变性建立 面积为 P 长度的函数关系式 【解题思路】过点 E 作 C ，垂足为 F，结合正方形的性质可证 0 ，0 ，得 又 B=可证 得关系式，由于 C ，得 等腰直角三角形， F， C+C+ x +以，得 x，从而得 积为 y=2x 二、填空题 1、【答案】答案不唯一 ，如： C=BC=B 或 E=E=考点解剖】本题考查了一般三角形全等的判定方法： 【解题思路】根据已知可知两个三角形已经具备 S、 以根据全等三角形的判定方法，可以添加一边或一角都可以全等 . 2、【答案】 C=D=A=【考点解剖】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握全等的判定与性质是解决问题的关键 【解题思路】先推 根据全等的性质得 D、 推 B， D. 3、【答案】 90 或 E ） 【考点解剖】本题是一个条件开放性的问题，考查的是全等三角形的判定和分类的数学思想掌握全等三角形的判定方法是解题关键 【解题思路】按 加缺少的边和角即可 4、【答案】本题答案不唯一，如 B 或 【考点解剖】本题主要考查相似三角形的判定方法，两个相似三角形的判定方法有：（ 1）有个 角相等的三角形；（ 2）两边对应成比例，夹角相等；（ 3）三边对应成比例 【解题思路】从图形可知， 公共角 A ，因此运用判定方法（ 1）（ 2），即只要在添加一对角相等或者添加两夹边对应成比例即可 5、【答案】 13 【考点解剖】本题考查了相似三角形的判断定理及相似三角形的性质，解答本题的关键是证相似以及相似比与面积比的关系。 【解题思路】根据比例式判定三角形哪两组边对应成比例，观察夹角是否相等？证出两三角形相似，再由相似三角形面积比等于相似比的平方算出两三角形的面积比，继而推出三角形和四边形 的比 . 6、【答案】 . 【考点解剖】本题既考查了三角形的中位线，又考查了相似三角形，关键是要从三角形的中位线入手 . 【解题思路】由 D、 B 与 道 C ，且 而有 7、【答案】（，） 【考点解剖】本题将一次函数与反比例函数和相似结合在一起考查，属于综合题，难度适中 【解题思路】由相似三角形的对应角相等推知 等腰直角三角形；根据反比例函数图象上点的坐标特征可设 E（ a，）， D（ b，），由双曲线的对称性可以求得 ；最后，将其代入直线 解析式即可求得 【解答过程】解：如图， 0 ， C=2，反比例函数 y=（ x 0）的图象分别与 于点 D， E， 5 ，且可设 E（ a，）， D（ b，）， C （ a， 0）， B（ a， 2）， A（ 2 a， 0）， 易求直线 y=x+2 a 又 0 ， 直线 y=E 垂直， 点 D、 y= =，即 又 点 D