北京市朝阳区2017届高三二模数学试卷（理）含答案

12999 数学网 12999 数学网 北京市朝阳区高三年级第 二 次综合练习 数学 学科测试 （理工类） 2017 5 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题 ： 本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 已知 i 为虚数单位， 则 复数 z i(1 2i) 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值是 A 23 B 31 C 32 D 63 3 “ 0, 0”是“2”的 A充分 而 不必要条件 B必要 而 不充分条件 C充 分必 要条件 D既不充分也不必要条件 4已知函数 ( ) s i n ( ) ( 0 )6f x x 的最小正周期为 4 ，则 A 函数 ()B 函数 ()3x对称 C 函数 ()3个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D 函数 ()0,) 上单调递增 5 现将 5 张连号的电影票分给甲、乙等 5 个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为 A 12 B 24 C 36 D 48 6某三棱锥的三 视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为 开始 1结束 输出 S 是 20S ？否 0k , 0S 2 12999 数学网 12999 数学网 A 5 B 22 C 3 D 32 7 已知函数 l o g , 0 ,()3 , 4 0a (0a 且 1)a 若函数 ()且只 有两个点 关于 y 轴对称 ，则 a 的取值范围是 A (0,1) B (1,4) C (0,1) (1, )U D (0,1) (1, 4)U 8 中国 古代儒家要求学生掌握 六种基本才 艺 ：礼、乐、射、御、书、数 ，简称“六艺”某 中学为弘扬“六艺”的传统文化， 分别进行了主 题为“ 礼、乐、射、御、书、数 ”六场 传统文化知识的竞赛现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐规定：每场 知识竞赛前三名的得分都分别为 , , ( ,a b c a b c且 , , ) ；选手最后得分为各场 得分之和 在六场比赛后， 已知甲最后得分 为 26 分，乙和丙最后得分都为 11 分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是 A每场比赛第一名得分 a 为 4 B甲可能有一场比赛获得第二名 C乙有四场比赛获得第三名 D丙可能有一场比赛获得第一名 第 二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 9 双曲线 22136的渐近线方程是 ，离心率是 10若平面 向量 (c o s , s a= ， (1, 1)b= ，且 ，则 的值是 11等比 数列 前 n 项 和为知142 , 2 ， 则 通项公式 1 2 俯视图 正视图 侧视图 1 2 12999 数学网 12999 数学网 9S 12 在极坐标系中， 圆 2 被直线 1所截得 的弦长为 13 已知, 4,y k 若 2z x y 有最大值 8，则实数 k 的值为 14 已知两个集 合 ,满足 若对任意的 存在 ,a )使得 12a a=+（12, 1, 0 , 1?），则称 B 为 A 的一个基集若 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 A ，则其基集 B 元素个数的最小值是 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题满分 13 分） 在 , 角 ,对边分别为 , ， 2 s i n 3 s i （ ）求 值； （ ）若 2a ，求 面积 16 （本小题满分 13 分） 从 某市 的中学生中 随机 调查 了 部分 男生 ， 获得了他们的身高数据，整理 得到 如下 频率分布直方图 （ ）求 a 的值； （ ） 假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替， 估计 该市中学生中的全体男生 的平均身高 ； （ ）从该市的中学生中随机抽取一名男生， 根据直方图中的信息， 估计其身高在 180 上的概率若 从全市 中学的 男生 （人数众多） 中 随机抽取 3 人，用 X 表示 身高在 180 上的 男生人数， 求随机变量 X 的分布列和数学期望 组距 频率 40 150 160 170 180 a 190 高 (O 200 12999 数学网 12999 数学网 17 （本小题满分 14 分） 如图 1，在 ， 90C ， 4 , 2A C B C， 分别为 边 ,B 的中点，点 ,E 的中点 将 起到 11 60A D C 点 Q 为线段1图 2 （ ） 求证：1A F （ ） 线段1 Q， 使得 面1存在，求出1若不存在，请说明理由； （ ） 当1134A Q A B时，求直线 平面1 18 （本小题满分 13 分） 已知椭圆 W ： 221( 0)的上下顶点分别为 ,且 点 B (0, 1) 12, 的左、右焦点，且12120F B F （ ） 求椭圆 W 的标准方程； （ ） 点 M 是椭圆上异于 A ， B 的任意一点，过点 M 作 MN y 轴于 N ， E 为线段 的中点 直线 直线 1y 交于点 C ， G 为线段 中点， O 为坐标原点 求 的大小 19 （本小题满分 14 分） 图 1 图 2 B C E D Q G A B C D E F G 12999 数学网 12999 数学网 已知函数 2( ) e xf x x x ， 2( ) ,g x x a x b , （ ） 当 1a 时， 求 函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x的单调区间； （ ） 若 曲线 ()y f x 在点 (0,1) 处 的切线 l 与曲线 ()y g x 切于点 (1, )c ，求 , （） 若 ( ) ( )f x g x 恒成立 ， 求 的最大值 20 （本小题满分 13 分） 各项均为非负整数的 数列 1 ()* ； 1 ( 2)n ； n 是 12 na a a 的因数 （ 1n ） （ ） 当 5m 时，写出数列 项； （ ） 若数列 项互不相等，且 3n 时， ， 求 m 的值 ； （ ） 求证： 对任意正整数 m ，存在正整数 M ， 使得 时， 北京市朝阳区高三年级第 二 次综合练习 数学 学科测试答案 （理工类） 、选择题 ： 本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 题号 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7） （ 8） 答案 B B A C D C D C 二、填空题： 本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 . 题号 （ 9） （ 10） （ 11） （ 12） （ 13） （ 14） 答案 2 3 1 12 ( 1)n 2 3 4 4 三、解答题： （ 15） （本小题满分 13 分） 解：（ ）因为 2 s i n 3 s i ，所以 23 所以 23 12999 数学网 12999 数学网 所以2 2 22 2 22()33c o c b 7 分 （ ）因为 2a ，所以 3 又因为 3，所以 6 所以 1 1 6s i n 2 3 22 2 3a c B 13 分 （ 16） （本小题满分 13 分） 解： （） 根据题意 得： ( 0 . 0 0 5 2 0 . 0 2 0 2 0 . 0 4 0 ) 1 0 1a 解得 3 分 （ ） 设样本中 男 生身高的平均值为 x ，则 1 4 5 0 . 0 5 1 5 5 0 . 1 1 6 5 0 . 2 1 7 5 0 . 4 1 8 5 0 . 2 1 9 5 0 . 0 5x ( 1 4 5 1 9 5 ) 0 . 0 5 1 5 5 0 . 1 ( 1 6 5 1 8 5 ) 0 . 2 1 7 5 0 . 4 1 7 1 5 0 7 0 1 7 2 . 5 所以 估计该市 中学 全体男生的平均身高为 172.5 7 分 （ ）从全市 中学的 男生中任意抽取一人，其身高在 180 上的概率 约 为 14 由已知得，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3 所以 0 0 33 1 3 2 7( 0 ) ( ) ( )4 4 6 4P X C ； 1 1 23 1 3 2 7( 1 ) ( ) ( )4 4 6 4P X C ； 2 2 13 1 3 9( 2 ) ( ) ( )4 4 6 4P X C ； 3 3 03 1 3 1( 3 ) ( ) ( )4 4 6 4P X C 随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 12999 数学网 12999 数学网 F C E D Q G x y z 因为 X 1(3 )4B ，所以 13344 13 分 （ 17） （本小题满分 14 分） 解： （） 因为11, 6 0A D D C A D C ， 所以 1 又因为 点 F 为线段 中点， 所以1A F 由题可知1 ,E D A D E D D C， 所以 平面1 因为1面1以 又 E D D C D ，所以1面 所以1A F 5 分 （ ） 由 （） 知 1平面 C ，如图 建立空间直角坐标系 ，则 (0,0,0)F ， (0, 1, 0)D ， (0,1,0)C ， (1, 1,0)E ， 1(0, 0, 3)A ， (2,1,0)B 设平面 1 一个 法向量为 ( , , )x y zn ， 1 ( 0 , 1, 3 ) , (1, 0, 0)， 所以 1 0,即 3 0,令 1z ，所以 3y ，所以 (0 , 3 ,1).n 假设在线段 1 ， 使 面 1 设11A Q A B， 0,1 . 又1 ( 2 ,1, 3 )，所以1 ( 2 , , 3 ) 所以 ( 2 , , 3 3 )Q 2 , , 3 3 ) . B C E D Q G 12999 数学网 12999 数学网 所以 3 3 3 0 n . 解得， 12. 则 在线段 1 ， 使 面 1 且1 10 分 （ ） 因为1134A Q A B，又1 ( 2 ,1, 3 )，所以13 3 3 3( , , )2 4 4 所以 3 3 3( , , )2 4 4Q 又因为 3( ,0,0)2G， 所以 33( 0 , , )44 因为 ( 0 , 3 ,1),n 设 直线 平面1 ， 则3 3 30144s i n Q 与平面10 . 1 4 分 （ 18） （本小题满分 13 分） 解： ( )依题意，得 1b 又12120F B F ， 在1，1 60F B O ，所以 2a 所以 椭圆 W 的标准方程为 2 2 14x y 4 分 ( )设 , ) 0x ，则 , )y， E 00( , )2x y 因为点 M 在椭 圆 W 上， 所以 2 200 14x y 即 220044 又 A (0,1) ，所以直线 方程为002 ( 1 )1 令 1y ，得 , 1)1 x y 12999 数学网 12999 数学网 又 B (0, 1) ， G 为线段 中点，所以 , 1)2 (1 )x y 所以 00( , )2 y，00 00( , 1 )2 2 (1 ) 因为0 0 0 000( ) ( 1 )2 2 2 (1 )x x G E y 22 200 0004 4 ( 1 )xx 20004414 (1 )y 0011 0， 所以 E 90 13 分 （ 19） （本小题满分 14 分） 解： （ ） ( ) e 2xF x x b ，则 ( ) e 2. 令 ( ) e 2 0 , 得 ，所以 (), ) 上单调递增 . 令 ( ) e 2 0 , 得 ，所以 () ,) 上单调递减 . 4 分 （ ） 因为 ( ) e 2 1xf x x ，所以 (0) 0f ， 所以 l 的方程为 1y . 依题意， 12a， 1c . 于是 l 与抛 物线 2( ) 2g x x x b 切于点 (1,1) ， 由 21 2 1b 得 2b . 所以 2 , 2 , 1 .a b c 8 分 （）设 ( ) ( ) ( ) e ( 1 )xh x f x g x a x b ,则 ( ) 0恒成立 . 易得 ( ) e ( 1 ) x a （ 1） 当 10a 时， 因为 ( ) 0 ， 所以此时 () , ) 上 单调递增 . 若 10a ，则当 0b 时满足条件，此时 1 ； 12999 数学网 12999 数学网 若 10a ，取0 0x 且0 1 ,1bx a 此时000 1( ) e ( 1 ) 1 ( 1 ) 01x bh x a x b a ，所以 ( ) 0不 恒成立 不满足条件； （ 2） 当 10a 时， 令 ( ) 0 ，得 1)由 ( ) 0 ，得 1)； 由 ( ) 0 ，得 1) 所以 () , 1)a 上 单调递减， 在 (1), )a 上 单调递增 . 要使得“ ( ) e ( 1 ) 0xh x a x b 恒成立 ”，必须有 “ 当 1)时，m i n( ) ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 ) 0h x a a a b ”成立 . 所以 ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 )b a a a ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 ) 1 .a b a a a 令 ( ) 2 l n 1 , 0 ,G x x x x x 则 ( ) 1 G x x 令 ( ) 0 ，得 由 ( ) 0 ，得 0； 由 ( ) 0 ，