河北省保定市2017届高三二模文科数学试题含答案

2017 年高三第二次模拟考试 文科数学试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 23, a， ,Q a b ，若 0则 ） A 3,0 B 3,0,2 C 3,0,1 D 3,0,1,2 2若复数 2 23 z x x 3实数 x 的值为（ ） A 3 B 1 C 3 或 1 D 1 或 3 3角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在直线 2 （ ） A 2 B 4 C 34D 434已知某三棱锥的三视图（单位： 如图所示，那么该三棱锥的体积等于（ ） A 3332 C 33 D 395在区间 3,3 内随机取出一个数 a ，使得 212x x 2 0a 的概率为（ ） A 310B 23C 35D 126设 V 内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且6C， 12则 V ） A 8 B 9 C 16 D 21 7某地区打的士收费办法如下：不超过 2 公里收 7 元，超过 2 公里时，每车收燃油附加费1 元，并且超过的里程每公里收 （其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则处应填（ ） A 2 B 0 2 D 2 已知一个球的表面上有 A 、 B 、 C 三点，且 C 23若球心到平面 ，则该球的表面积为（ ） A 20 B 15 C 10 D 2 9已知双曲线 221的一条渐近线的方程为 20则该双曲线的离心率为（ ） A 5 B 52C 3 D 2 10已知数列 n 项和为 231最大值为（ ） A 3 B 1 C 3 D 1 11若点 ,P x y 的坐标满足 1点 P 的轨迹大致是（ ） A B C D 12在平面直角坐标系中，定义 12, d P Q x x 12 11,P x y， 22,Q x 线距离” 若 1,3A ， 1,0B ，则有 ,5d A B . 到原点的“折线距离”等于 1 的所有点的集合是一个圆 . 若 C 点在线段 ，则有 , , ,d A C d C B d A B. 到 1,0M ， 1,0N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线 0x . 真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第 卷（共 90 分） 二、填空题 （每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知 ，若 3 4 6C ，则 14某所学校计划招聘男教师 x 名，女教师 y 名， x 和 y 须满足约束条件 2 5,2,5. 名 15设 两个向量，则“ r r r ra b a b ”是“ 0的 条件 16设函数 3 23x b x 13x 处取得极值为 0，则 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知数列 1a，2a（12别为方程 2 6 5 0 二根 . （ 1）求数列 n 项和 （ 2）在（ 1）中，设 b 证：当 12列 18为了检验学习情况，某培训机构于近期举办一场竞赛活动，分别从甲、乙两班各抽取10 名学员的成绩进行统计分析，其成绩的茎叶图如图所示（单位：分），假设成绩不低于 90分者命名为“优秀学员” . （ 1）分别求甲、乙两班学员成绩的平均分（结果保留一位小数）； （ 2）从甲班 4 名优秀学员中抽取两人，从乙班 2 名 80 分以下的学员中抽取一人，求三人平均分不低于 90 分的概率 . 19如图， 边长为 2 的正三角形， D ，且 面 22D . （ 1）求证：平面 面 （ 2）求三棱锥 D 高 . 20在平面直角坐标系 ，设圆 2240 x y x 的圆心为 Q . （ 1）求过点 0, 4P 且与圆 Q 相切的直线的方程； （ 2）若过点 0, 4P 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A ， B ，以 邻边做 问是否存在常数 k ，使得 矩形？请说明理由 . 21已知函数 l n 1 f x x a x， xg x e . （ 1）求证： 1g x x （ Rx ）； （ 2）设 1 h x f x g x，若 0x 时， 1求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4标系与参数方程 已知圆 C 的参数方程为 co s , 为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 1s i n c o s. （ 1）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）求直线 l 被圆 C 所截得的弦长 . 23选修 4等式选讲 已知函数 1f x x 12 x . （ 1）求不等式 1解集； （ 2）若关于 x 的不等式 2 2 f x a a 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围 . 2017 年高三数学二模文科答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 13 14 7 15充分必要 16 79三、解答题 17. 解： （ 1） 解方程 2 6 5 0 其二根分别为 1 和 5 1a ， 2 1 2()a a 6 5 0 的二根 所以1 1a，2 5a，所以 1142 2 2） 当21b 1) 2 2 2 为首项，公差为 2 的等差数列 18. 解：（ 1） 甲组的平均分为 组的平均分为 2）抽取情况为： 92， 94， 78； 92， 94， 79； 92， 106， 78； 92， 106， 79； 92， 108， 78； 92， 108， 79； 94， 106， 78； 94， 106， 79； 94， 108， 78； 94， 108， 79； 106， 108， 78； 106， 108， 79 总共有 12 种 这 12 种平均分不 低于 90 分的情况有 10 种 所以三 人平均分不 低于 90 分 的概率为 56 (1)如下图所示：取 的中点 F ， 中点为 G ，连接 由题意可知， 的中位线 所以 E 且 E ，即四边形 平行四边形， 所以 F 由 平面 知， 平面 又 面 故平面 面 （ 2）过 B 做 C ，垂足为 K ，因为 面 所以 面 且 3232 四 棱 锥 B A C D 11232（ ） 2 3 3 三 棱 锥 E 1232 331 3所以 三 棱 锥 D 四 棱 锥 B 三 棱 锥 E 2 33 33因为 2C ， 1所以 5 E ，又 2所以 1 22 1 2设所求的高为 h ，则由等体积法得 1 23h 233所以 3h 1）由题意知，圆心 Q 坐标为 20， ，半径为 2，设切线方程为： 4y 所以，由2|2 4 | 21 4 G B C D E A 所以，所求的切线方程为 3 440x （ 2）假设存在满足条件的实数 k ，则设 11,A x y ， 22,B x y ，联立22440 y y 221 8 4 k x k 21 6 ( 2 1)k 26 4 (1 ) 0 k ， 34k（或由（ 1）知 34k） ,1 48 221 且 8)( 2121 ,1 48 221 且 1 2 1 2() y y k x x 2488 1 k k ， = O C O A O B 1 2 1 2( , ) x x y y， 2212| | = (）O C x x 212 280) 1 （ yy k， 又 22( 2 4 )| | 2 414341形，则 2280| | = 1 OC k 2243| | 1 6 ( )1 k 所以 2k 存在常数 2k ，使得 矩形 21.（ 1） 证明： 令 ( ) ( 1 ) xu x e x ，则 ( ) 1 xu x e ， 所以 0x 时 ( ) 0 ， 0x 时 ( ) 0 ， 所以 ( ) (0 ) 0u x u，即 1 （ 2）解 ： ( ) ( 1 ) ( ) h x f x g xl n ( 1 ) xx a x e， 1()1xh x e 因为21() ( 1 ) xh x e x 22( 1 ) 1 0( 1 ) 所以 ()在 0, 上递增 当 2a 时， ( 0 ) 2 0 ， 又 ( l n )l n 1 ah a e l 10, 使得0( ) 0 所以 (), )0( , )x 上递增，又0( ) ( 0 ) 1h x h， 所以 ( ) 1不恒成立，不合题意 当 2a 时， 因为 ( 0 ) 2 0 ，所以 ( ) 0 在 0, 上恒成立 即 () 0, 上为增函数，所以 ( ) (0 ) 1h x h恒成立，符合题意 综合 可知，所求实数 a 的取值范围是 ,2 22. 解：（ 1） 圆 C 的参数方程化为普通方程为 22( 2 ) 1 直线 l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为 1， （ 2）圆心到直线的距离 | 0 2 1 | 222d，