河北省保定市2017届高三二模理科数学试题含答案

2017 年高三第二次模拟考试 理科数学试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 23, a， ,Q a b ，若 0则 ） A 3,0 B 3,0,2 C 3,0,1 D 3,0,1,2 2若复数 2 23 z x x 3实数 x 的值为（ ） A 3 B 1 C 3 或 1 D 1 或 3 3角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在直线 2 （ ） A 2 B 4 C 34D 434已知某三棱锥的三视图（单位： 如图所示，那么该三棱锥的体积等于（ ） A 3332 C 33 D 395在区间 3,3 内随机取出一个数 a ，使得 212x x 2 0a 的概率为（ ） A 310B 23C 35D 126设 V 内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且6C， 12则 V ） A 8 B 9 C 16 D 21 7某地区打的士收费办法如下：不超过 2 公里收 7 元，超过 2 公里时，每车收燃油附加费1 元，并且超过的里程每公里收 （其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则处应填（ ） A 2 B 0 2 D 2 已知一个球的表面上有 A 、 B 、 C 三点，且 C 23若球心到平面 ，则该球的表面积为（ ） A 20 B 15 C 10 D 2 9当双曲线 222 18 6 2渐近线的方程为（ ） A B 23C. 13D 12知数列 n 项和为 231最大值为（ ） A 3 B 1 C 3 D 1 11若点 ,P x y 的坐标满足 1点 P 的轨迹大致是（ ） A B C D 12在平面直角坐标系中，定义 12, d P Q x x 12 11,P x y， 22,Q x 线距离” 若 C 点在线段 ，则有 , , ,d A C d C B d A B. 若点 A ， A ， A 是三角形的三个顶点，则有 , , ,d A C d C B d A B . 到 1,0M ， 1,0N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线 0x . 若 A 为坐标原点 ,B 在直线 2 5 0 上，则 ,d 最小值为 25. 真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知 ，若 3 4 6C ，则 14某所学校计划招聘男教师 x 名，女教师 y 名， x 和 y 须满足约束条件 2 5,2,5. 名 15若直线 10x 与 2 4 3 0 平行，则 51的展开式中 x 的系数为 0, 上的函数 是连续不断的，若方程 0 无解，且 0,x ， 2015l o g 2 0 1 7f f x x，设 4 ，则 ,大小关系是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知数列 1a，2a（12别为方程 2 6 5 0 二根 . （ 1）求数列 n 项和 （ 2）在（ 1）中，设 b 证：当 12列 18为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员 12 人，女队员 18 人，测试结果如茎叶图所示（单位：分） 75 分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号 . （ 1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取 10 人，然后再从这10 人中选 4 人，那么至少有 1 人是“优秀警员”的概率是多少？ （ 2）若所有“优秀警员” 中选 3 名代表，用 表示所选女“优秀警员”的人数，试求 的分布列和数学期望 . 19如图， 边长为 2 的正三角形， D ，且 面 22D . （ 1）求证：平面 面 （ 2）求二面角 D 的高 . 20已知椭圆 C ： 221 a b 2， ,0 0, ,0 面积为 23. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）如图，设 ,x 在第二象限的部分上的一点，且直线 y 轴交于点M ，直线 x 轴交于点 N ，求四边形 面积 . 21已知函数 l n 1 f x x a x （ 1）求函数 （ 2）当 0a 时，过原点分别做曲线 y f x 与 的切线1l，2l，若两切线的斜率互为倒数，求证： 1 2 a . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4标系与参数方程 已知圆 C 的参数方程为 co s , 为参数）， 以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 1s i n c o s. （ 1）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）求直线 l 被圆 C 所截得的弦长 . 23 选修 4等式选讲 已知函数 1f x x 12 x . （ 1）求不等式 1解集； （ 2）若关于 x 的不等式 2 2 f x a a 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围 . 2017 年高 三数学二模理科答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 13 14 7 15 210 16 a c b 三、解答题 17 解： （ 1） 解方程 2 6 5 0 其二根分别为 1 和 5 1a ， 2 1 2()a a 6 5 0 的二根 所以1 1a，2 5a，所以 1142 2 2） 当21b 1) 2 2 2 为首项，公差为 2 的等差数列 18 解：（ 1）根据茎叶图，有“优秀警员 ” 12 人，“优秀陪练员 ” 18 人 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 10 130 3所以选中的“优秀警员”有 4 人，“优秀陪练员 ”有 6 人 用事件 A 表示 “至少有 1 名“优秀警员”被选中 ”， 则 464101 15 131 210 14 因此，至少有 1 人是“优秀警员”的概率是 1314（）依题意， 的取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 3831214( 0 )55 124831228( 1 )55 , 214831212( 2 )55 ， 343121( 3 )55 ， 因此， 的分布列如下： 0 1 2 3 p 14552855 1255 155 1 4 2 8015 5 5 5 E 1 2 12315 5 5 5 19 解： (1)(1)如下图所示：取 的中点 F ， 中点为 G ，连接 由题意可知， 的中位线 所以 E 且 E ，即四边形 平行四边形， 所以 F 由 平面 知， 平面 又 面 故平面 面 (2)由 2 1知， 5，同理 5 又 2C， 公共边， 知 B E C D E 做 C ，垂足为 M ，连接 则M F G B C D E A C ， 所以 为所求二面角的平面角 在等腰三角形 5B E E C， 2. 由面积相等可知： 455 455 22 根据余弦定理 2 2 2c o M D M B B B M D M 以二面角 D 正弦值为 15420 解：（ 1）由题意得 2 2 21212 2 32 b a ， 3b . 所以椭圆 C 的方程为 22143（ 2）由（ 1）知， 2,0A ， 0, 3B ，由题意可得 12四 边 形 A B N N B , )P x y，020 x,003y， 22003 4 1 2所以直线 方程为00( 2 )2令 0x ，得002 2 x y 00232直线 方程为003 3令 0y ，得0033 x 00323 所以 0 0 0 00 0 0 03 4 4 3 1 2 8 3 1 23 2 2 3 x y x y x yx y x 0 00 0 0 04 3 1 8 3 2 43 2 2 3 x y x yx y x . 12 四 边 形 A B N N B 21. 解 ： （ 1） 1()f x 若 0a 时 ， 1()f x 0 所以函数 () 0, 单调递增，故无极大值和极小值 若 0a ，由 1( ) 0 f x 所以 1(0, )1() ，数 ()故函数 ()极小值 . （ 2）设切线2k x，切点为22( , ) 22 2 222x ，所以2 1x ，2则 22 xk e e 由题意知，切线111k ， 1l 的方程为 1 1y k x 设1)y f x 的切点为11( , )11 11() k f x 11 所以 1111xy ，111a 又因为1 1 1l n ( 1 )y x a x ，消去1y和 a 后，整理得1 111l n 1 0x 令 11( ) l n 1m x ，则22111)( ， 所 以 ()0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增 又0)以 若1 (0,1)x ，因为 11( ) 2 0 ， 1(1) 0 ，所以1 1( ,1)x e， 因为1 111l n 1 0x 所以111a 1 x ，所以 12a 若1 (1, )x ，因为 ()1, ) 上单调递增，且 ( ) 0则1 所以11 去） 综上可知， 12a 22 解：（ 1） 圆 C 的参数方程化为普通方程为 22( 2 ) 1 直线 l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为 1， （ 2）圆心 到直线的距离 | 0 2 1