2017年中考数学备考《锐角三角函数》专题复习(含答案解析)

2017年中考备考专题复习：锐角三角函数 一、单选题（共 15题；共 30分） 1、（ 2016巴中）一个公共房门前的台阶高出地面 ，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ） A、斜坡 坡度是 10 B、斜坡 坡度是 C、 D、 米 2、（ 2016金华）一座楼梯的示意图如图所示， 铅垂线， 水平线， 夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，已知 米，楼梯宽度 1 米，则地毯的面积至少需要（ ） A、 米 2 B、 米 2 C、（ 4+ ）米 2 D、（ 4+4 2 3、（ 2016泰安）如图，轮船沿正南方向以 30 海里 /时的速度匀速航行，在 M 处观测到灯塔 P 在西偏南 68方向上，航行 2 小时后到达 N 处，观测灯塔 P 在西偏南 46方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到 ） A、 、 、 、 、（ 2016重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 办公楼顶端 的俯角 是 45，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 20 米，梯坎坡长 2 米，梯坎坡度 i=1： ，则大楼 高度约为（ ）（精确到 ，参考数据： A、 、 、 、 、（ 2016聊城）聊城 “水城之眼 ”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点 O 是摩天轮的圆心，长为 110 米的 其垂直地面的直径，小莹在地面 C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点 A 的仰角为 33，测得圆心 O 的仰角为 21，则小莹所在 第 3 页 共 30 页 第 4 页 共 30 页 C 点到直径 在直线的距离约为（ ） A、 169 米 B、 204 米 C、 240 米 D、 407 米 6、（ 2016娄底）如图，已知在 ， 0，点 D 沿 B 向 C 运动（点 D 与点B、 C 不重合），作 E， F，则 F 的值（ ） A、不变 B、增大 C、减 小 D、先变大再变小 7、（ 2016攀枝花）如图，点 D（ 0， 3）， O（ 0， 0）， C（ 4， 0）在 A 上， A 的一条弦，则 ） A、 B、 C、 D、 8、（ 2016安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A， B， C 都在格点上，则 ） A、 2 B、 C、 D、 9、（ 2016西宁）如图，在 ， B=90， C= ， 点 P 从点 A 开始沿边点 B 以 1cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 点 C 以 2cm/s 的速度移动若 P，Q 两点分别从 A， B 两点同时出发，在运动过程中， 最大面积是（ ） A、 18、 12、 9、 30、（ 2016陕西）如图， O 的半径为 4， O 的内接三角形，连接 补，则弦 长为（ ） A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 11、（ 2016陕西）已知抛物线 y= 2x+3 与 x 轴交于 A、 B 两点，将这条抛物线的顶点记为 C，连接 值为（ ） A、 B、 C、 D、 2 12、（ 2016义乌）如图，在 ， B=90， A=30，以点 A 为圆心， 为半径画弧交 点 D，分别以点 A、 D 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点 E，连接 ） A、 B、 C、 D、 13、（ 2016内蒙古）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面 3000m 的高空 C 处时， 测得 A 处渔政船的俯角为 45，测得 B 处发生险情渔船的俯角为 30，此时渔政船和渔船的距离 （ ） A、 3000 m B、 3000（ +1） m C、 3000（ m D、 1500 m 14、（ 2016济南）济南大明湖畔的 “超然楼 ”被称作 “江北第一楼 ”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往楼的方向前进 60m 至 得仰角为 60，若学生的身高忽略不计， 果精确到 1m，则该楼的高度 （ ） A、 47m B、 51m C、 53m D、 54m 15、（ 2016益阳）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆 高度与拉绳 长度相等小明将 到 位置，测得 =（ B测角仪 B 米，则旗杆 高度为（ ） A、 B、 C、 D、 二、填空题（共 5题；共 6分） 16、（ 2016陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分 A一个多边形的一个外角为 45，则这个正多边形的边数是 _ B运用科学计算 器计算： 3 2_（结果精确到 第 7 页 共 30 页 第 8 页 共 30 页 17、（ 2016潍坊）已知 0，点 P 是 平分线 的动点，点 M 在边 ，且，则点 P 到点 M 与到边 距离之和的最小值是 _ 18、（ 2016舟山）如图，在直角坐标系中，点 A， B 分别在 x 轴， y 轴上，点 A 的坐标为（ 1，0）， 0，线段 端点 P 从点 O 出发，沿 边按 OBAO 运动一周，同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动，如果 ，那么当 点 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为 _ 19、（ 2016孝感）如图示我国汉代数学家赵爽在注解周脾算经时给出的 “赵爽弦图 ”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形 面积是小正方形 积的 13 倍，那么值为 _ 20、（ 2016曲靖）如图，在矩形 ， 0， ， E 是 上一点，沿 叠 点 D 恰好落在 上的 F 处， M 是 中点，连接 _ 三、计算题（共 1题；共 5分） 21、（ 2016自贡）计算：（ ） 1+（ 1） 0 2| 1| 四、综合题（共 5题；共 61分） 22、（ 2016南充）如图，在 ， 0， 平分线交 点 O， ，以点 O 为圆心 半径作半圆 (1)求证： O 的切线； (2)如果 ，求 值 23、（ 2016宁波）如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为（ 5， 0），菱形 ， ，将菱形绕点 （ 0 到菱形 O 的对应点为点 F）， 于点 G，连结 (1)求点 B 的坐标 (2)当 时，求 长 (3)求证： 分 (4)连结 延长交 x 轴于点 P，当点 P 的坐标为（ 12， 0）时，求点 G 的坐标 24、（ 2016达州）如图，已知 半圆 O 的直径， C 为半圆 O 上一点，连接 点 D 点 D，过点 A 作半圆 O 的切线交 延长线于点 E， 连接 延长交 点 F (1)求证： C=B； (2)若半圆 O 的直径为 10， ，求 长 25、（ 2016梅州）如图，点 D 在 O 的直径 延长线上，点 C 在 O 上， D， 20 (1)求证： O 的切线； (2)若 O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积 26、（ 2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=bx+c 的图象经过点 A（ 1， 0），B（ 0， ）， C（ 2， 0），其对称轴与 x 轴交于点 D (1)求二次函数的表达式及其顶点坐标； (2)若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 D 的最小值为 _； (3)M（ x， t）为抛物线对称轴上一动点 若平面内存在点 N，使得以 A， B， M， N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有 个； 连接 小于 60，求 t 的取值范围 第 11 页 共 30 页 第 12 页 共 30 页 答案解析部分 一、单选题 【答案】 B 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：斜坡 坡度是 ，故 B 正确； 故选： B 【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键 【答案】 D 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：在 ， C）， C=4+4）， 地毯的面积至少需要 1（ 4+4=4+ 2）； 故选： D 【分析】由三角函数表示出 出 C 的长度，由矩形的面积即可得出结果本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出 解决问题的关键 【答案】 B 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：如图，过点 P 作 点 A， 02=60（海里）， 0， 6， 36， 8， 0 2， 80 2， N=60（海里）， 6， 4， N0里） 故选： B 【分析】过点 P 作 点 A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为 长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键 【答案】 D 【考点】 解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：延长 H，作 G，如图所示： 则 E=15 米， H， 梯坎坡度 i=1： ， ： ，设 BH=x 米，则 x 米， 在 ， 2 米， 由勾股定理得： x） 2=122 ， 解得： x=6， 米， 米， H 5 6=9（米）， H=D=6 +20（米）， =45， 0 45=45， 等腰直角三角形， G=6 +20（米）， G+ +20+9）； 故选： D 【分析】延长 ，作 ，则 E=15米， H，设 BH= 2米，由勾股定理得出方程，解方程求出 米， 米，得出 长度，证明 等腰直角三角形，得出 G=6 +20（米），即可得出大楼 高度本题考查了解直角三角形的应用坡度、俯角问题 ；通过作辅助线运用勾股定理求出 出 解决问题的关键 【答案】 B 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解： 过 C 作 D， 在 ， DD 在 ， DD 10m， 5m， D D CD55m， = 204m， 答：小莹所在 C 点到直径 在直线的距离约为 204m 故选 B 【分析】过 C 作 D，在 ，求得 DD在 得 DD列方程即可得到结论此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键 【答案】 C 【考点】锐角三角函数的定义，锐角三角函数的增减性 【解析】【解答】解： E， F， CD=a， DB=b， ， CB F=（ C） C 0， O 90， 当点 D 从 BD 运动时， 是逐渐增大的， F=BC 故选 C 【分析】设 CD=a， DB=b， ，易知 F=BC据 0 90，由此即可作出判断本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到F=BC住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型 【答案】 D 【考点】勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解： D（ 0， 3）， C（ 4， 0）， ， ， 0， =5， 连接 图所示： 故选： D 【分析】连接 得出 据点 D（ 0， 3）， C（ 4， 0），得 ， ，由勾股定理得出 ，再在直角三角形中得出利用三角函数求出 可本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键 【答案】 D 【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图： ， 由勾股 定理，得 第 15 页 共 30 页 第 16 页 共 30 页 ， ， ， 直角三角形， B= = ， 故选： D 【分析】根据勾股定理，可得 长，根据正切函数的定义，可得答案本题考查了锐角三角函数的定义，先求出 长，再求正切函数 【答案】 C 【考点】二次函数的最值，解直角三角形 【解析】【解答】解： C= ， = = ， ， 由题意得： AP=t， t， t， 设 面积为 S， 则 S= Q= 2t（ 6 t）， S= t=（ 6t+9 9） =（ t 3） 2+9， P： 0t6， Q： 0t4， 当 t=3 时， S 有最大值为 9， 即当 t=3 时， 最大面积为 9 故选 C 【分析】先根据已知求边长 根据点 P 和 Q 的速度表示 长，设 面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于 S 与 t 的函数关系式，并求最值即可本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二次函数的最 值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程 =时间 速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围 【答案】 B 【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形 【解析】【解答】解：过点 O 作 D， 则 接于 O， 补， A， A=180， 20， C， （ 180 =30， O 的半径为 4， B =2 ， 故选： B 【分析】首先过点 O 作 D，由垂径定理可得 由圆周角定理，可求得 后根据等腰三角形的性质，求得 度数，利用余弦函数，即可求得答案此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识注意掌握辅助线的作 法，注意数形结合思想的应用 【答案】 D 【考点】抛物线与 x 轴的交点，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：令 y=0，则 2x+3=0，解得 x= 3 或 1，不妨设 A（ 3， 0）， B（ 1，0）， y= 2x+3=（ x+1） 2+4， 顶点 C（ 1， 4）， 如图所示，作 D 在 ， = =2， 故答案为 D 【分析】先求出 A、 B、 C 坐标，作 D，根据 即可计算本题考查二次函数与 x 轴交点坐标，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握求抛物线与 x 轴交点坐标的方法，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型 【答案】 B 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：如图所示：设 BC=x， 在 ， B=90， A=30， x， x， 根据题意得： C=x， E=x， 作 M，则 x， 在 ， = = ； 故选： B 【分析】本题考查了解直角三角形、含 30角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；通过作辅助线求出 解决问题的关键设 BC=x，由含 30角的直角三角形的性质得出x，求出 x，根据题意得出 C=x， E=x，作 ，由等腰三角形的性质得出 x，在 ，由三角函数的定义即可得出结果 【答案】 C 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解： 如图，由题意可知 0， 5，且 000m， 在 ， D=3000m， 在 ， = =3000 m， D 000 3000=3000（ 1）（ m）， 故选 C 【分析】根据平行线的性质可求得 0， 5，在 R 可求得 D，则可求得 题主要考查解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键 【答案】 B 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：根据题意得： A=30， 0， A=30， A=30， B=60m， D60 =30 51（ m） 故选 B 【分析】由题意易得： A=30， 0， 可证得 等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题注意证得 等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键 【答案】 A 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：设 B=x， 在 ， ， = x= 故选 A 【分析】设 B=x，在 ，根据 ，列出 方程即可解决问题本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型 二、填空题 第 19 页 共 30 页 第 20 页 共 30 页 【答案】 8； 【考点】计算器 数的开方，多边形内角与外角，计算器 三角函数 【解析】【解答】解：（ 1） 正多边形的外角和为 360 这个正多边形的边数为： 36045=8 2） 3 2答案为： 8， 分析】（ 1）根据多边形内角和为 360进 行计算即可；（ 2）先分别求得 3 和 2的近似值，再相乘求得计算结果本题主要考查了多边形的外角和以及近似数，解决问题的关键是掌握多边形的外角和定理以及近似数的概念在取近似值时，需要需要运用四舍五入法求解 【答案】 【考点】轴对称 直角三角形 【解析】【解答】解：过 M 作 N，交 P， 则 长度等于 N 的最小值， 即 长度等于点 P 到点 M 与到边 距离之和的最小值， =90， ， OM2 ， 点 P 到点 M 与到边 距离之和的最小值为 2 【分析】过 M 作 N，交 P，即 长度等于点 P 到点 M 与到边 距离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论本题考查了轴对称最短路线问题，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键 【答案】 4 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：在 ， 0， ， ， = ， 当点 P 从 OB 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的路程为 ， 当点 P 从 BC 时，如图 3 所示，这时 0 0 0 0 60=30 =2 1=1 则点 Q 运动的路程为 ， 当点 P 从 CA 时，如图 3 所示，点 Q 运动的路程为 2 ， 当点 P 从 AO 时，点 Q 运动的路程为 ， 点 Q 运动的总路程为： +1+2 +1=4 故答案为： 4 【分析】本题主要是应用三角函 数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题 【答案】 【考点】全等三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：设小正方形 积是 ， 则大正方形 面积是 13， 小正方形 长是 a，则大正方形 面积是 a， 图中的四个直角三角形是全等的， H， 设 H=x， 在 ， ， 即 13a2= x+a） 2 解得： a， 3a（舍去）， a， a， ，故答案为： 【分析】小正方形 积是 ， 则大正方形 面积是 13， 则小正方形 a，则大正方形 面积是 a，设 H=x，利用勾股定理求出 x，最后利用熟记函数即可解答此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解 【答案】 【考点】矩形的性质，翻折变换（折叠问 题），解直角三角形 【解析】【解答】解： 在矩形 ， 0， ，沿 叠 点 D 恰好落在上的 F 处， F=10， =8， 则 = = 故答案为： 【分析】直接利用翻折变换的性质得出 长，再利用勾股定理得出 长，再利用锐角三角函数关系得出答案此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和翻折变换的性质，得出 长是解题关键 三、计算题 【答案】解：原式 =2+1 + 1 =2 【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值 【解析】【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的定义化简即可本题考查负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解决问题的关键，记住 a p= （ a0）， （ a0）， |a|= ，属于中考常考题型 四、综合题 【答案】 （ 1）解：如图作 M， 分 M， O 的切线， （ 2）解：设 BM=x， OB=y，则 ， ， ， x=y2+y ， 由 可以得到： y=3x 1， （ 3x 1） 2 ， x= ， y= ， = 【考点】切线的判定，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】（ 1）如图作 M，根据角平分线性质定理，可以证明 C，由此即可证明（ 2）设 BM=x， OB=y，列方程组即可解决问题本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线，学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型 【答案】 （ 1）解：如图 1，过点 B 作 x 轴于点 H， 四边形 菱形， ， 又 在直角 ， ， ， ， A+3=8， 第 23 页 共 30 页 第 24 页 共 30 页 点 B 的坐标为（ 8， 4） （ 2）解：如图 1， 过点 A 作 点 M， 在直角 ， ， ， ， ， ， G 3=1， = = （ 3）证明：如图 1， 过点 A 作 点 N， 在 ， ， N， 分 4）解：如图 2， 过点 G 作 x 轴于点 Q， 由旋转可知： D， ， F， ， 又 ， 4= ， = ， G（ ， ） 【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】【分析】（ 1）如图 1，过点 B 作 x 轴于点 H，构建直角 以利用菱形的四条边相等的性质和解该直角 三角形得到 长度，则易求点 B 的坐标；（ 2）如图 1，过点A 作 点 M，构建直角 直角 过解直角 得直角边 长度，然后结合图形和勾股定理来求 长度；（ 3）如图 1，过点 A 作 点 M，构建全等三角形： 利用该全等三角形的对应边相等得到 N，最后结合角平分线的性质证得结论；（ 4）如图 2，过点 G 作 x 轴于点 Q，构建相似三角形： 据该相似三角形的对应边成比例得到求得 长度结合已知条件，来求边 长度，即可得到点 G 的坐标本题考查了四边形综合题解题过程中，涉及到了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形以及勾股定理等知识点，解答该题的难点在于作出辅助线，构建相关的图形的性质 【答案】 （ 1）证明： 半圆 O 的直径， C=90， 0， C=90， 切线， E+ 0， E= D： C=B （ 2）解： 作 M， 半圆 O 的直径为 10， ， B， =8， ， ， = ， ， = = ， B ， ， 【考点】勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 【 解析】【分析】（ 1）只要证明 可解决问题（ 2）作 M，利用 求出 可解决问题本题考查切线的性质、勾股定理、三角函数、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 【答案】 （ 1）证明：连接 D， 20， A= D=30 C， 2