2017年中考数学热身训练《二次函数》含答案解析

二次函数 1如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 时，达到最大高度 ，然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为 （ 1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （ 2）该运动员身高 ，在这次跳投中，球在头顶上方 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2某商场购进一批单价为 16 元的日用品，经试验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件， 若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖 210 件，假定每月销售件数y（件）是价格 x（元 /件）的一次函数 （ 1）试求 y 与 x 之间的关系式； （ 2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处 A 点的坐标（ 0， 2），铅球路线的最高处 B 点的坐标为（ 6， 5） （ 1）求这个二次函数的解析式； （ 2）该男同学把铅球推出去多远？（精确 到 ， = 4某商场以每件 42 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量 t（件），与每件的销售价 x（元 /件）可看成是一次函数关系： t= 3x+204 （ 1）写出商场卖这种服装每天的销售利润 y（元）与每件的销售价 x（元）之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； （ 2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润 ，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练，身体（将运动员看成一点）在空中运动的路线是如图所示坐标系经过原点 O 的抛物线（图中标出的数据为已知数据）在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面 米，入水处距池边 4 米同时，运动员在距水面高度 5 米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误 （ 1）求这条抛物线的关系式； （ 2）某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（ 1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为 米，问此次跳水会不会失误？通过计算说明理由 6某服装经销商甲，库存有进价每套 400 元的 A 品牌服装 1200 套，正常销售时每套600 元，每月可卖出 100 套，一年内刚好卖完，现在市场上流行 B 品牌服装，此品牌服装进价每套 200 元，售出价每套 500 元，每月可买出 120 套（两套服装的市场行情互不影响）目前有一可进 B 品牌的机会，若这一机会错过 ，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让 A 品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元 /套）与转让数量（套）有如下关系： 转让数量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 价格（元 /套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 方案 1：不转让 A 品牌服装，也不经销 B 品牌服装； 方案 2：全部转让 A 品牌服装，用转让来的资金购 B 品牌服装后，经销 B 品牌服 装； 方案 3：部分转让 A 品牌服装，用转让来的资金购 B 品牌服装后，经销 B 品牌服装，同时经销 A 品牌服装 问： 经销商甲选择方案 1 与方案 2 一年内分别获得利润各多少元？ 经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案 3，请问他转让给经销商乙的 A 品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？ 7某商店以每件 30 元的价格购进一种衣服，试销中发现，这种衣服每天的销售量 m（件）与每件的销售价 x（元）满足一次函数 m=210 3x （ 1）写出商店卖这种衣服每天的利润 y（元）与每件的销 售价 x（元）之间的函数关系式（不考虑房租、人工等因素）； （ 2）如果商场要每天获得最大利润，每件衣服的售价应定为多少？并求出这最大利润 8如图，一边靠学校院墙，其它三边用 40 米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形 B=x 米，面积为 S 平方米 （ 1）求： S 与 x 之间的函数关系式，并求当 S=200 米 2时， x 的值； （ 2）设矩形的边 BC=y 米，如果 x， y 满足关系式 x： y=y：（ x+y）即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽 9某地要建造一个圆 形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 任一平面上，抛物线的形状如图（ 1）和（ 2）所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系式是 y= x+ ，请回答下列问题 （ 1）柱子 高度为多少米？ （ 2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ （ 3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不 至于落在池外？ 二次函数 参考答案与试题解析 1如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 时，达到最大高度 ，然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为 （ 1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （ 2）该运动员身高 ，在这次跳投中，球在头顶上方 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【考点】 次函数的应用 【分析】（ 1）设抛物线的表达式为 y=题意可知图象经过的坐标，由此可得a 的值 （ 2）设球出手时，他跳离地面的高度为 可得 h+ （ 2+ 【解答】解：（ 1） 当球运行的水平距离为 时，达到最大高度 ， 抛物线的顶点坐标为（ 0， 设抛物线的表达式为 y= 由图知图象过以下点：（ 解得： a= 抛物线的表达式为 y= （ 2）设球出手时，他跳离地面的高度为 因为（ 1）中求得 y= 则球出手时，球的高度为 h+ h+m， h+ （ 2+ h=m） 答：球出手时，他跳离地面的高度为 【点评】这是一道典型的函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性 2某商场购进一批单价为 16 元的日用品，经试验发现，若按每件 20 元的价格销售 时，每月能卖 360 件，若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖 210 件，假定每月销售件数y（件）是价格 x（元 /件）的一次函数 （ 1）试求 y 与 x 之间的关系式； （ 2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 【考点】 次函数的应用 【分析】（ 1）设出一次函数解析式 y=kx+b，用待定系数法求解即可 （ 2）按照等量关系 “每月获得的利润 =（销售价格进价） 销售件数 ”列出二次函数，并求得最值 【解答】解：（ 1）依题意设 y=kx+b， 则 有 解得 所以 y= 30x+960（ 16 x 32） （ 2）每月获得利润 P=（ 30x+960）（ x 16） =30（ x+32）（ x 16） =30（ 8x 512） = 30（ x 24） 2+1920 所以当 x=24 时， P 有最大值，最大值为 1920 答：当价格为 24 元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为 1920 元 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的 问题 注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值 3在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处 A 点的坐标（ 0， 2），铅球路线的最高处 B 点的坐标为（ 6， 5） （ 1）求这个二次函数的解析式； （ 2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到 ， = 【考点】 次函数的应用 【分析】（ 1）由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将（ 0， 2）代入即可求解 （ 2）由（ 1）求得的函数解析式，令 y=0，求得的 x 的正值即为铅球推出的距离 【解答】解：（ 1）设二次函数的解析式为 y=a（ x h） 2+k， 由于顶点坐标为（ 6， 5）， y=a（ x 6） 2+5 又 A（ 0， 2）在抛物线上， 2=62a+5， 解得： a= 二次 函数的解析式为 y= （ x 6） 2+5， 整理得： y= x2+x+2 （ 2）当 y=0 时， x2+x+2=0 x=6+2 ， x=6 2 （不合题意，舍去） x=6+2 ） 答：该同学把铅球抛出 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是函数解析式的求法 4某商场以每件 42 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量 t（件），与每件的销售价 x（元 /件）可看成是一次函数关系： t= 3x+204 （ 1）写出商场卖这种服装每天的销售利润 y（元）与每件的销售价 x（元）之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； （ 2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为 多少最为合适；最大销售利润为多少？ 【考点】 次函数的应用 【分析】（ 1）商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定在这个问题中，每件服装的利润为（ x 42），而销售的件数是（ 3x+204），由销售利润 y=（售价成本） 销售量，那么就能得到一个 y 与 x 之间的函数关系，这个函数是二次函数 （ 2）要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值 【解答】解：（ 1）由题意，销售利润 y（元）与每件的销售价 x（元）之间的函数关系为 y=（ x 42）（ 3x+204）， 即 y= 330x 8568 故商场卖这种服装每天的销售利润 y（元）与每件的销售价 x（元）之间的函数关系式为 y= 330x 8568； （ 2）配方，得 y= 3（ x 55） 2+507 故当每件的销售价为 55 元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为 507 元 【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题注意利用二次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数 y 随 x 的变化，结合自变量的取值范围确定最值 5某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练，身体（将运动员看成一点）在空中 运动的路线是如图所示坐标系经过原点 O 的抛物线（图中标出的数据为已知数据）在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面 米，入水处距池边 4 米同时，运动员在距水面高度 5 米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误 （ 1）求这条抛物线的关系式； （ 2）某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（ 1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为 米，问 此次跳水会不会失误？通过计算说明理由 【考点】 次函数的应用 【专题】 16 ：压轴题 【分析】（ 1）根据题意可求起跳点，入水处的坐标及顶点的纵坐标，结合对称轴的位置可求出解析式； （ 2）距池边的水平距离为 3 米处的横坐标是 1 ，可求出纵坐标，再根据实际求出距水面的距离，与 5 进行比较，得出结论 【解答】解： （ 1）如答图所示，在给定 的直角坐标系中，设最高点为 A，入水点为 B A 点距水面 米，跳台支柱 10 米， A 点的纵坐标为 由题意可得 O（ 0， 0）， B（ 2， 10） 设该抛物线的关系式为 y=bx+c， 把 O（ 0， 0）， B（ 2， 10）代入上式， 得 ， 解得 或 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧， 0， 又 抛物线开口向下， a 0， b 0， a= ， b= ， c=0， 所求抛物线的关系式为 y= （ 2）试跳会出现失误，当 x= 时， y= 此时，运动员距水面的高为 ， 试跳会出现失误 【点评】本题重在考查认真读题，仔细观察图象，得出特殊点的坐标是关键 6某服装经销商甲，库存有进价每套 400 元的 A 品牌服装 1200 套，正常销售时每套600 元，每月可卖出 100 套，一年内刚好卖完，现在市场上流行 B 品牌服装，此品牌服装进价每套 200 元，售出价每套 500 元，每月可买出 120 套（两套服装的市场行情互不影响） 目前有一可进 B 品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让 A 品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元 /套）与转让数量（套）有如下关系： 转让数量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 价格（元 /套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 方案 1：不转让 A 品牌服装，也不经销 B 品牌服装； 方案 2：全部转让 A 品牌服装，用 转让来的资金购 B 品牌服装后，经销 B 品牌服装； 方案 3：部分转让 A 品牌服装，用转让来的资金购 B 品牌服装后，经销 B 品牌服装，同时经销 A 品牌服装 问： 经销商甲选择方案 1 与方案 2 一年内分别获得利润各多少元？ 经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案 3，请问他转让给经销商乙的 A 品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？ 【考点】 次函数的应用 【专题】 21 ：阅读型； 22 ：方案型 【分析】（ 1）根据利润 =（售价成本） 销售量，分别求出两方案一年内的利润 （ 2）设转让 A 品牌服装 x 套，则转让价格是每套 360 元，可进购 B 品牌服装套，列出利润与 x 之间的函数关系式，求其最大值 【解答】解：经销商甲的进货成本是 =1200 400=480000（元） 若选方案 1， 则获利 1200 600 480000=240000（元） 若选方案 2， 得转让款 1200 240=288000 元，可进购 B 品牌服装 =1440 套，一年内刚好卖空可获利 1440 500 480000=240000（元） 设转让 A 品牌服装 x 套， 则转让价格是每套 360 元，可进购 B 品牌服装 套，全部售出 B 品牌服装后得款 元， 此时还剩 A 品牌服装（ 1200 x）套，全部售出 A 品牌服装后得款 600（ 1200 x）元， 共获利 w= +600（ 1200 x） 480000= +330000（ 0 x 1200） 故当 x=600 套时，可得最大利润为 330000 元 答：经销商甲选择方案 3 可以使自己一年内获得最大利润若选用方案 3，请问他转让给经销商乙的 A 品牌服装的数量是 600（精确到百套），此时他在一年内共得利润 330000元 【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据利润 =（售价成本） 销售量，列出函数关系式，求出最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单 7某商店以每 件 30 元的价格购进一种衣服，试销中发现，这种衣服每天的销售量 m（件）与每件的销售价 x（元）满足一次函数 m=210 3x （ 1）写出商店卖这种衣服每天的利润 y（元）与每件的销售价 x（元）之间的函数关系式（不考虑房租、人工等因素）； （ 2）如果商场要每天获得最大利润，每件衣服的售价应定为多少？并求出这最大利润 【考点】 次函数的应用 【分析】（ 1）每件商品的利润为（ x 30），销售量为（ 210 3x），根据利润 =每件利润 销售量，列函数式； （ 2）根据顶点坐标公式求最大利润及最大利润时，每件衣服的售 价 【解答】解：（ 1） 每件商品的利润为（ x 30）， y=（ x 30）（ 210 3x） = 300x 6300； （ 2）当 x= =50 时， y 最大 = =1200 答：当每件衣服定为 50 元时，每天有最大利润，最大利润是 1200 元 【点评】根据自变量 x 表示的实际意思，表示每件利润及销售量，根据销售问题中的基本等量关系列函数式 8如图，一边靠学校院墙，其它三边用 40 米长的篱笆围成一 个矩形花圃，设矩形 B=x 米，面积为 S 平方米 （ 1）求： S 与 x 之间的函数关系式，并求当 S=200 米 2时， x 的值； （ 2）设矩形的边 BC=y 米，如果 x， y 满足关系式 x： y=y：（ x+y）即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽 【