（全国通用）2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形（打包9套）
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（全国通用）2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形（打包9套）,全国,通用,高考,数学,复习,温习,考点,引领,技巧,技能,点拨,第三,三角函数,三角,恒等,变换,三角形,打包
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1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 1 课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数 考情分析 考点新知 了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义 . 了解弧度的意义 ， 并能进行弧度与角度的互化 . 理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义；初步了解有向线段的概念 ， 会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦 、正切 能准确进行角度与弧度的互化 . 准确理解 任意角三角函数的定义 ， 并能准确判断三角函数的符号 . 1. (必修 4 改编 )若角 同时满足 ，)， 当 为多少弧度时 ， 该扇形有最大面积？ 解： (1) 设弧长为 l， 弓形面积为 S 弓 60 3 ， R 10， l 103 ( S 弓 S 扇 S 12 103 10 12 102 50 3 32 (2) 扇形周长 C 2R l 2R R ， R ， S 扇 12 12 2 4 4 24 4 当且仅当 4 ， 即 2( 2 舍去 )时 ，扇形面积有最大值 备选变式（教师专享） 已知 2圆心角所对的弦长为 2， 求这个圆心角所对的弧长 解：如图 ， 2过 O 点作 B 于 C， 并延长 于 D. 1且 12t ， 1从而弧 长为 l | r 21. 若 角与 85 角终边相同 ， 则在 0， 2 内终边与 4 角终边相同的角是 _ 答案： 25 ， 910 ， 75 ， 1910 解析：由题意 ， 得 85 2k Z)， 4 25 k Z)又 4 0， 2 ， 所以 k 0， 1， 2， 3， 4 25 ， 910 ， 75 ， 1910 . 5 2. 已知角 (02 )的终边过点 P 则 _ 答案： 116 解析：将点 P 的坐标化简得 32 ， 12 ， 它是第四象限的点 ， r | 1， 2 2， 所以 116 . 3. 已知扇形的周长为 8 则该扇形面积的最大值为 _答案： 4 解析：设扇形半径为 r 弧长为 l 则 2r l 8， S 1212r (8 2r) 4r (r 2)2 4， 所以 4( 4. 若角 的终边与直线 y 3x 重合且 0， 又 P(m， n)是角 终边上一点 ， 且| 10， 则 m n _ 答案： 2 解析：依题意知n 3m，10. 解得 m 1， n 3 或 m 1， n 3. 又 0， 的终边在第三象限 ， n 0， m 1， n 3， m n 2. 1. 设集合 M 3 ， k Z ， N | ， 则 MN _ 答案： 56 ， 3 ， 6 ， 23 解析：由 3 ， 得 43 k 83. k Z， k 1， 0， 1， 2， 故 MN 56 ， 3 ， 6 ， 23 . 2. 已知 3 ， 回答下列问题 (1) 写出所有与 终边相同的角； (2) 写出在 ( 4 ， 2 )内与终边相同的角； (3) 若角 与 终边相同 ， 则 2 是第几象限的角？ 解： (1) 所有与 终边相同的角可表示为 2 3 ， k Z . (2) 由 (1) 令 4 2 3 2(k Z)， 6 则有 2 16 k 1 16. k Z， 取 k 2、 1、 0. 故在 ( 4 ， 2) 内与 终边相同的角是 113 、 53 、 3. (3) 由 (1) 有 2 3 (k Z)， 则 2 6 (k Z) 2 是第一、三象限的角 3. 已知角 的终边经过点 P(x， 2)， 且 求 和 . 解：因为 r | 2） 2， 所以由 得 2） 2 解得 x 0 或 x 5. 当 x 0 时 ， 1， 不存在；当 x 5时 ， 23， 2 55 ；当 x 5时 ， 23， 2 55 . 4. 已知在半径为 10 的圆 O 中 ， 弦 长为 10. (1) 求弦 对的圆心角 的大小； (2) 求 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. 解： (1) 由圆 O 的半径 r 10 知 等边三角形 ， 3. (2) 由 (1)可知 3 ， r 10， 弧长 l r 3 10 103 ， S 扇形 1212103 10503 ， 而 S 2 0 32 12 1010 32 50 32 ， S S 扇形 S 0 3 32 . 1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同 ， 其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式 ， 再根据条件解方程或不等式 (2) 已知角 的终边所在的直线方程 ， 则可先设出终边上一点的坐标 ， 求出此点到原点的距离 ， 然后用三角函数的定义来求相关问 题若直线的倾斜角为特殊角 ， 也可直接写出角 2. 已知角 终边上一点 P 的坐标 ， 则可先求出点 P 到原点的距离 r， 然后用三角函数的定义求解 的三角函数值 3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 ， 比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多 ， 用起来也方便得多因此 ， 我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式 4. 利用单位圆解三角不等式 (组 )的一般步骤 (1) 用边界值定出角的终边位置 (2) 根据不等式 (组 )定出角的范围 (3) 求交集 ， 找单位圆中公共的部分 (4) 写出角的表达式 7 请使用课时训练（ B）第 1课时（见活页） . 备课札记 1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 2 课时 同角三角函数的基本关系式 页 ) 考情分析 考点新知 会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 . 能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数 ， 会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 理解同角三角函数的基本关系式： 1， 理解正弦、余弦、正切的诱导公式 2(k Z)， ， 2 . 1. (必修 4 改编 ) 是第二 象限角， 815， 则 _ 答案： 817 解析：由 1，815，解得 817. 为第二象限角 ， 0， 817. 2. 523 _ 答案： 12 解析： 523 7 3) 12. 3. ) ) ) 1 _ 答案： 2 解析：原式 ( 2 ( 1 1 2. 4. (必修 4 改编 )已知 512 13， 且 2 ， 则 12 _ 答案： 2 23 2 解析： 12 2 512 512 2 ， 所以 712 512 512 2 23 ， 所以 12 2 23 . 5. (必修 4题 9(1)改编 )已知 2， 则 2 ) 2 ）_ 答案： 2 解析： 2 ） 2 ） （ 2 21 21 2 2. 1. 同角三角函数的基本关系 (1) 平方关系： 1 (2) 商数关系： 2. 诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2(k Z) 2 2 正弦 弦 正切 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象 限 记忆规律： 奇变偶不变 ， 符号看象限 备课札记 3 题型 1 同角三角函数的基本关系式 例 1 (必修 48 题改编 )已知 是三角形的内角 ， 且 15. (1) 求 值； (2) 将 1 示出来 ， 并求其值 解： (1) (解法 1)联立方程 15 ， 1 ，由 得 15 将其代入 ， 整理 ， 得 25 5 12 0. 是三角形内角 ， 45， 35， 43. (解法 2) 15， ( 2 152， 即 1 2 125， 2 2425， ( 2 1 2 1 2425 4925. 12250， ， 75. 由 15， 75，得 45， 35， 43. (2) 1 11 43， 1 11 4 432 11 432257. 变式训练 已知关于 x 的方程 2( 3 1)x m 0 的两根为 且 (0 ， 2 ) (1) 求 值； (2) 求 m 的值； (3) 求方程的两根及此时 的值 解： (1) 由韦达定理可知 3 12 ， ，而 3 12 . (2) 由 两边平方得 1 2 2 32 ， 将 代入得 m 32 . (3) 当 m 32 时 ， 原方程变为 2(1 3)x 32 0， 解得 32 ， 12， 32 12或 12， 32 . (0， 2 )， 6 或 3. 例 2 (必修 40(2)题 改编 )化简： ( 1 1 ( 1 1 解：原式 ( （ 1 2（ 1 2(（ 1 2（ 1 2 (1 1 )(1 1 )22 4， 在第一、三象限时 ， 4， 在第二、四象限时 . 备选变式（教师专享） 已知 化简： 5 1 1 1 1 _ 答案： 2 2 4 解析： 为第四象限角 ， 2 为第二或四象限角 原式 1 1 2 为第二象限角 ， 2 为 第四象限角 ， 原式 2 2 4 . 题型 2 利用诱导公式进行化简求值 例 3 已知 3 ) 2 4 )， 求 ） 52 ）2 32 ）的值 解： 3 ) 2 4 )， ) 2 ) ， 2且 0. 原式 52 2 52 2 34 34. 备选变式（教师专享） 已知 ) 12， 且角 在第四象限 ， 计算： (1) )； (2) （ 2n 1） ） ） 2 (n Z) 解 ： ) 12， 12， 12. 又角 在第四象限 ， 1 32 . (1) ) ( ) ) 32 . 6 (2) （ 2n 1） ） ） 2 2 ） ） 22 4. 1. (2013 广东文 )已知 52 15， 那么 _ 答案： 15 解析： 52 2 15. 2. 已知 等差数列 ， 若 ， 则 _ 答案： 12 解析：由条件 ， 知 3 3 ， 12. 3. 已知 13， 且 2 ， ， 则 _ 答案： 24 解析：因为 13， 2 ， ， 所以 1 19 2 23 ， 从而 24 . 4. 已知 2 3， 2 0， 则 6) _ 答案： 0 解析：依题意得 2 3， 即 2 3 2 0， 解得 12或 2(舍去 ) 又 2 0， 因此 3 ， 故 6 3 6 0. 7 1. 已知 00， 2 24250， 1 2 75. (2) 17， 11 17， 43. 2. 已知 3 x) 5 2 x 1， 求 643 x)的值 解：由已知得 351， 即 352 0， 解得 13或 (舍去 )这时 1 132 89， 8， 故 643 x) 6 13 4 18 3 89 256 . 3. 已知在 ， 15. (1) 求 (2) 判断 锐角三角形还是钝角三角形； (3) 求 值 解： (1) 因为 15 ， 两边平方得 1 2125， 所以 1225. (2) 由 (1) 12250， 所以 75 ， 所以由 ， 可得 45， 35， 8 则 5 35 43. 4. 已知 ) 13 ， 求 ） ） 1 2 ） 32 ） 32 的值 解 ： 因为 ) 13， 所以 13. 原式 1） 2 ） 32 ） 11 11 11 21 22 132 18. 1. 利用平方关系解决问题时 ， 要注意开方运算结果的符号 ， 需要根据角 的范围进行确定 2. 应熟练应用诱导公式诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了诱导公式的应用是求任意角的三角函数值 ， 其一般步骤： 负角变正角 ， 再写成 2(k Z)， 0 2 ； 转化为锐角 3. 在应用诱导公式时需先将角变形 ， 有一定技巧 ， 如化 32 为 2 或 2 2 . 请使用课时训练（ A）第 2课时（见活页） . 备课札记 1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 3 课时 三角函数的图象和性质 考情分析 考点新知 知道三角函数 y x ) ， yx ) 的周期为 T 2| |. 能根据图象理解正弦函数、余弦函数在0， 2 ， 正切 函数在 2 ， 2 上的性质 (如单 调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等 ). 会画出 y x ) 的简图 ， 能由正弦曲线 y 过平移、伸缩变换得到 y x ) 的图象 了解三角函数的周期性 . 能画出 y y y 图象 ， 并能根据图象理解 正弦函数、余弦函数在 0， 2 ， 正切函数在 2 ， 2 上的性质 . 了解三角函数 y x ) 的实际意义及其参数 A、 、 对函数图象变 化的影响 . 1. (必修 4 改编 )函数 f(x) 3 4 ， x R 的最小正周期为 _ 答 案： 4 解析：函数 f(x) 3 4 的最小正周期为 T 212 4 . 2. (必修 4题改编 )将函数 y 10个单位长度 ， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )，所得图象的函数解析式是_ 答案： y 12x 10 解析： 向右平移 10个单位 ， 用 x 10代替 y 的 x； 各点横坐标伸长到原来的 2 倍 ， 用 12x 代替 y x 10 中的 x， y 12x 10 . 2 3. (必修 4 题改编 )如图 ， 它表示电流 I t )(A0 ， 0)在一个周期内的图象 ， 则 I t ) 的解析式为 _ 答案： I 3 1003 t 3 解析：由图可知 A 3， 1003 150， 0 和 120， 0 ， 解得 3 ， 于是 I 3 1003 t 3 . 4. (必修 4 改编 )函数 y 2x 4 的单调递增区间是 _ 答案： 38 8 k Z) 解析： 2 2x 4 2即 38 x 8 k Z)， 所求单调递增区间是 38 8 k Z) 5. (必修 4 题改编 )函数 y 2 6 x 23 的值域是 _ 答案： 1， 2 解析：根据正弦函数图象 ， 可知 x 6 时 ， 函数取到最小值 1； x 2 时 ， 函数取到最大值 2. 1. 周期函数的定义 周期函数 的概念： 对于函数 y f(x)， 如果存在一个不为零的常数 T， 使得当 x 取定义域内的每一个值时 ， f(x T) f(x)都成立 ， 则称 y f(x)为周期函数 ；函数 y x ) 和 y x ) 的周期均为 T 2| ； 函数 y x ) 的周期为 T | 3 2. 三角函数的图象和性质 三角函数 y y y 象 定义域 R R 错误 ! 值域 和最值 1， 1 最大值： 1 最小值： 1 1， 1 最大值： 1 最小值： 1 R 无最值 周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 关于 x 2(k Z)对称 关于 x k Z)对称 对称中心是 0(k Z) 单调 区间 在 2 2 ， 22 (k Z) 上单调递增在 2 2 ， 2 2 (k Z)上单调递减 2 ， 2 2 (k Z)单调递增22 (k Z)单调递减 在 ( 2 ， 2 )(k Z)上单调递增 3. “ 五点法 ” 作图 “ 五点法 ” 作图原理：在 确定正弦函数 y 0， 2 上的图象形状时 ， 起关键作用的五个点是 (0， 0)、 2 ， 1 、 ( ， 0)、 32 ， 1 、 (2 ， 0) 余弦函数呢？ 4. 函数 y x ) 的特征 若函数 y x ) (A 0， 0， x ( ， ) 表示一个振动量时 ， 则 T 2 叫做周期 ， f 1 x 叫做相位 ， 叫做初相 备课札记 4 题型 1 依据三角函数的图象求解析式 例 1 (2013 南京三模 )已知函数 f(x) 2x )( 0)的部分图象如图所示 ，则 _ 答案： 23 解析：由图象可知函数的四分之三周期为 158 38 34T， T 3， 23 23. 变式训练 已知函数 y x )(A 0， 0， | | 2)的部分图象如图所示 ， 则 _ 答案： 3 解析：由图知 ， A 2， 将 (0， 2)、 12， 2 代入函数 ， 得212w 2，2 2， 4 ， 三角函数的图象变换 例 2 为了得到函数 y 2 6 (x R)的图象 ， 只需把函数 y 2x R)的图象上所有的点经过怎样的变换得到？ 解： y 26x p+代替 x，左移 6y 2 x 6 再用3x，各点横坐标伸长到原来的 3 倍。 y 2 6 . 5 备选变式（教师专享） 已知函数 f(x) 2 3 4 4 x ) (1) 求 f(x)的最小正周期； (2) 若将 f(x)的图象向右平移 6 个单位 ， 得到函数 g(x)的图象 ， 求函数 g(x)在区间 0， 上的最大值和最小值 解： (1) 因为 f(x) 3 x 2 32 32 122 x 3 ， 所以 f(x)的最小正周期为 2 . (2) 将 f(x)的图象向右平移 6 个单位 ， 得到函数 g(x)的图象 ， g(x) f x 6 2 x 6 3 2 x 6 . x 0， ， x 6 6 ， 76 ， 当 x 6 2 ， 即 x 3 时 ， x 6 1， g(x)取得最大值 2. 当 x 6 76 ， 即 x 时 ， x 6 12， g(x)取得最小值 1. 题型 3 五点法作图 例 3 已知 a (2 b ( 3)， f(x) a b. (1) 求 f(x)的振幅、周期 ， 并画出它在一个周期内的图象； (2) 说明它可以由函数 y 图象经过怎样的变换得到 解： (1) f(x) a b 32 2x 3 ， 周期 T ， 振幅 A 图象如下： (2) f(x)可以由 y 图象上各点右移 3 个单位后 ， 再将纵坐标伸长到原来的 2倍 ， 横坐标缩短到原来的 12而得到 备选变式（教师专享） 已知 f(x) x ) 0 ， 2 22 ， 求 x 的取值范围 6 解： (1) 周期 T 2 ， 2， f 4 2 4 2 32 ， 2 22 ， 2 40 ， 20 ， 函数 f(x) x 4 在 2 ， 上单调递 减，则的取值范围是 _ 答案： 12， 54 9 解析：由 2 2 2 4 0， 12 54. 4. (2013 苏北四市期末 )已知角 的终边经过点 P(1， 1)， 点 A( B(函数 f(x) x )( 0)图象上的 任意两点若 |f( f( 2 时 ， |最小值为 3 ， 则 f 2 _ 答案： 22 解析：结合三角函数图象 ， 知道函数的最小正周期为 23 ， 3， 角 的终边经过点P(1， 1)， 取 4 ， f(x) 3x 4 ， f 2 22 . 1. 已知函数 y x )(A0 ， 0， 0 )的两个相邻最值点为 6 ， 2 、23 ， 2 ， 则这个函数的解析式为 _ 答 案： y 2 2x 6 解析： A 2， 相邻最值点相距半个周期 ， 即 23 6 2 ， T ， 即 2，则函数解析式为 y 2x ) ， 点 6 ， 2 在函数图象上 ， 2 2 3 ， 即 3 2 2 ， 得 2 6 ， k Z， 函数的解析式为 y 2 2x 6 . 2. (2014 泰州期末 )已知函数 f(x) 2 2x 4 . (1) 求函数 y f(x)的 最小正周期及单调递增区间； (2) 若 f 8 65， 求 f(值 解： (1) T 22 ， 增区间为 38 18 k Z. (2) f 8 65， 即 35， 所以 45， f( 224 2( 25 或 7 25 . 3. 已知 a 0， 函数 f(x) 2 2x 6 2a b， 当 x 0， 2 时 ， 5f(x)1. 10 (1) 求常数 a、 b 的值； (2) 设 g(x) f x 2 且 x) 0， 求 g(x)的单调区间 解： (1) x 0， 2 ， 2x 6 6 ， 76 . 2x 6 12， 1 ， 2 2x 6 2a， a， f(x)b ， 3a b 又 5f(x)1 ， b 5， 3a b 1， 因此 a 2， b 5. (2) 由 (1)知 a 2， b 5， f(x) 4 2x 6 1， g(x) f x 2 4 2x 76 1 4 2x 6 1. 又由 x) 0， 得 g(x) 1， 4 2x 6 1 1， 2x 6 12， 2 6 2x 6 2 56 ， k Z. 由 2 6 2x 6 2 2 (k Z)， 得 g(x)的单调增区间为 6(k Z) 由 2 2 2x 6 2 56 ， 得 g(x)的单调减区间 为 6 ， 3(k Z) 4. 设 a 2 b (4 f(x) ab . (1) 求函数 f(x)的解析式； (2) 已知常数 0， 若 y f(x) 在区间 2 ， 23 上是增函数 ， 求 的取值范围； (3) 设集合 A x 6 x 23 ， B x|f(x) m| 2， 若 A B， 求实数 m 的取值范围 解： (1) f(x) 2 4( 4 2 2 1 221， 所以所求解析式为 f(x) 21. (2) f(x) 2 1， 0， 由 2 2 x 2 2 ， 11 得 f(x) 的增区间是 2 2 ， 2 2 ， k Z. f(x) 在 2 ， 23 上是增函数 ， 2 ， 23 2 ， 2 . 2 2 且 23 2 ， 0， 34 . (3) 由 |f(x) m| 2， 得 2 f(x) m 2， 即 f(x) 2 m f(x) 2. A B， 当 6 x 23 时 ， 不等式 f(x) 2 m f(x) 2 恒成立 f(x)2 m f(x)2， f(x)f 2 3， f(x)f 6 2， m (1， 4) 1. 求形如 y x ) k 的单调区间时 ， 只需把 x 看作一个整体代入 y 注意先把 化为正数求 y x ) 和 y x ) 的单调区间类似 2. 求函数 y x )(A 0， 0)的解析式 ， 常用的解题方法是待定系数法 ，由最高 (低 )点的纵坐标确定 A， 由周期确定 ， 由适合解析式的点的坐 标来确定，但由条件求得 y x )(A 0， 0)的解析式一般不唯一 ， 只有限定 的取值范围 ，才能得出唯一解 3. 由 y 图 象变换到 y x ) 的图象 ， 两种变换的区别：先相位变换再周期变换 (伸缩变换 )， 平移的量是 | 个单位；而先周期变换 (伸缩变换 )再相位变换 ， 平移的量是 | ( 0)个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言 ， 即 x 本身加减多少值 ， 而不是依赖于 x 加减多少值 请使用课时训练（ B）第 3课时（见活页） . 备课札记 1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领 +技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 4 课时 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 考情分析 考点新知 掌握两角和与差的三角函数公式 ， 能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程 . 能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式 ， 体会化归思想的应用 . 1. (必修 4 题改编 ) _ 答案： 22 解析： 5 30 ) 22 . 2. (必修 4 改编 )已知 6 37， 6 25， 则 ) _ 答案： 1 解析： ) 6 ) ( 6 ) 6 6 1 6 6 37251 37 25 1. 3. (必修 4题 2(1)改编 )若 35， 2 ， 2 ， 则 54 _ 答案： 210 解析：由 2 ， 2 ， 35， 得 45， 由两角和与差的余弦公式得 2 54 22 ( 210. 4. (必修 40 题改编 )计算： 2 _ 答案： 3 解析：原式 230 20 ） 2（ ） 2 32 12 3. 5. (必修 4 题改编 )计算： _ 答案： 2 3 解析： 5 8 ) 5 8 ) 原式 5 30 )1 2 3. 1. 两角差的余弦公式推导过程 2. 公式之间的关系及导出过程 3. 公式 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 4. ) ， 其中 3 终边所在象限由 a、 b 的符号来确定 . 题型 1 化简求值 例 1 化简： 8 x)2 x) 38 x) 2 x)_ 答案： 1 解析： 18 x) (12 x) 18 x） 12 x）1 18 x） 12 x） 33 ， 8 x) 2 x) 33 1 8 x) 2 x)， 于是原式 8 x)2 x) 3 33 1 8 x) 2 x) 1. 变式训练 求值 ： 3. 解 ： 0 40 ) 3， 3 3 3 3. 题型 2 给值求角 例 2 若 55 ， 1010 ， 且 、 为锐角 ， 则 的值为 _ 答案： 4 解析： (解法 1)依题意有 1 552 2 55 ， 1 10102 3 1010 ， ) 2 55 3 1010 55 1010 22 0. 、 都是锐角 ， 0 ， 4. (解法 2) 、 都是锐角 ， 且 55 22 ， 1010 22 ， 0 ， 4 ， 0 2 ， 1 552 2 55 ， 1 10102 3 1010 ， 4 ) 55 3 1010 1010 2 55 22 . 4. 备选变式（教师专享） 已知 17， ) 1314， 且 0 2 ， 求 . 解： 0 2 ， 0 2.又 ) 1314， ) 1 ） 3 314 ， ( ) ) ) 17 13144 37 3 314 2 ， 3. 题型 3 给值求值 例 3 已知 0 4 34， 4 35， 4 ) 513， 求 ) 的值 解： 4 34 ， 34 4 ， 2 4 0. 又 4 35， 4 45. 0 4 ， 34 34 . 又 34 513， 34 1213. ) 2 （ ） 34 ) ( 4 ) 34 4 4 ) 4 1213 35 513 45 366520655665. 备选变式（教师专享） 已知 、 0， 2 ， 45， ) 13， 求 值 解： 、 0， 2 ， 2 2. 又 ) 13 0， 2 0. 1 ） 1 ) 109. ) 3 1010 ， ) 1010 . 5 又 45， 35. ( ) ) ) 35 3 1010 45 1010 1010 . 例 4 (2013 常州期末 )已知、均为锐角，且 35， ) 13. (1) 求 ) 的值； (2) 求 值 解： (1) 、 0， 2 ， 2 2.又 ) 13 0， 2 0. ) 1010 . (2) 由 (1)可得 ， ) 3 1010 . 为锐角 ， 35， 45. ( ) ) ) 45 3 1010 35 1010 9 1050 . 备选变式（教师专享） 已知 13， ) 13， 且 、 0， 2 ， 求 ) 的值 解： 0， 2 ， 2 (0， ) 13， 2 1 79， 1 4 29 ， 而 、 0， 2 ， (0 ， )， ) 1 ） 2 23 ， ) ( ) ) ) 79 13 4 29 2 23 2327. 1. 已知角 的终边经过点 P(1， 2)， 函数 f(x) x )( 0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 3 ， 则 f 12 _ 6 答案： 1010 解析：由题意知 55 ， 2 55 3 ， 得 3 ，即 T 23 ， 2 23 ， 3. f(x) x ) f 12 4 22 55 22 2 55 1010 . 2. 函数 f(x) 2 ， 2 上的单调递增区间为_ 答案： 512 ， 12 解析： f(x) x 6)当2 2x 6 2k Z)， 即 512 x 12(k Z)时 ， 函数 f(x)单调递增取 k 0 得 512 x 12， 函数 f(x)在 2 ， 2 上的单调增区间为 512 ， 12 . 3. 已知 3 4 35 ， 2 0， 则 _ 答案： 3 3 410 解析：由 3 4 35 ， 得 4 35 ， 32 12 45， 6 45. 2 0， 3 6 6 ， 6 35. 6 6 6 6 35 32 45 12 3 3 410 . 4. (2013 贵州 )设 为第二象限角 ， 若 4 12， 则 _ 7 答案： 105 解析：由 4 1 12， 得 为第二象限角 ， 利用 1 可求得 1010 ， 3 1010 ， 所以 105 . 1. 已知 、 均为锐角 ， 且 则 ) _ 答案： 1 解析： 1 4 . 又 、 均为锐角 ， 4 ， 即 4 ， ) 1. 2. 已知 6 45 3， 则 76 的值为 _ 答案： 45 解析： 6 32 32 45 3， 12 32 45， 76 6 32 12 45. 3. 如图 ， 在平面直角坐标系 ， 以 为始边作两个锐角 、 ， 它们的终边分别与单位圆相交于 A、 B 两点已知 A、 B 的横坐标分别为 210、 2 55 (1) ) 的值； (2) 2 的值 8 解： (1) 由已知条件及三角函数的定义可知 210， 2 55 为锐角 ，故 0， 从而 1 7 210 ， 同理可得 55 7， 12. 所以 ) 7 121 7 12 3. (2) 2) ) 3 121（ 3） 12 1. 又 0 2 ， 0 2 ， 故 0 2 32 . 从而由 2) 1， 得 2 34 . 4. 已知函数 f(x) x 74 x 34 ， x R. (1) 求 f(x)的最小正周期和最小值； (2) 已知 ) 45， ) 45， 0 2 ， 求证： f() 2 2 0. (1) 解： f(x) 222 x 4 ， 所以 T 2， f(x) 2. (2) 证明： ) 45， ) 45. ， 得 0， 于是由 0 2 0 2 . 故 f() 2 f() 2 2 0. 1. (1) 三角函数式的 化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征 (2) 对于给角求值问题 ， 往往所给角都是非特殊角 ， 解决这类问题的基本思路有： 化为特殊角的三角函数值； 化为正、负相消的项 ， 消去求值； 化分子、分母出现公约数进行约分求值 2. 三角函数的给值求值 ， 关键是把待求角用已知角表示 9 (1) 已知角为两个时 ， 待求角一般表示为已知角的和与差； (2) 已知角为一个时 ， 待求角一般与已知角成 “ 倍 ” 的关系或 “ 互余互补 ” 关系 3. 通过求角的某种三角函数值来求角 ， 在选取函数时 ， 遵照以下原 则： 已知正切函数值 ， 选正切函数； 已知正、余弦函数值 ， 选正弦或余弦函数；若角的范围是 0， 2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是 (0， )， 选余弦较好；若角的范围为 2 ， 2 ， 选正弦较好 请使用课时训练（ A）第 4课时（见活页） . 备课札记 1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 5 课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式 考情分析 考点新知 掌握二倍角公式 (正弦、余弦、正切 )， 能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 ， 体会化归思想的应用 . 1. (必修 4 改编 )已知 45， 2 ， 2 ， 则 _ 答案： 2425 解析： 45， 2 ， 2 ， 2 ， 0 ， 35. 2 2425. 2. (必修 4 5(2)题改编 )已知 为第二象限角 ， 33 ， 则 _ 答案： 53 解析： 33 ， ( 2 13， 2 23， 即 23. 为第二象限角且 33 0， 2 20， 所以 45， 35. 4 所以 2 3 45 12 35 32 4 3 310 . 备选变式（教师专享） 已知 34 ， 则 2 _ 答案： 12 解析：原式 1 1 2 1 12( 2 1 ) ) 22 ) ) 1 22 ) 22 22 22 ) 12. 题型 3 给值求角 例 3 已知 、 (0 ， )，且 ) 12， 17， 求 2 的值 解： ) ） ） 12171 12 17 130， 00， 00， 求 . 5 解： 为第三象限角 ， | m， 2 为第二或四象限角 ， m. 0， 2 为第二象限角 ， 1 1 题型 4 二倍角公式的应用 例 4 (2013 盐城二模 )已知函数 f(x) 4x 3) 3. (1) 求 f(x)的最小正周期； (2) 求 f(x)在区间 4 ， 6 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值 解： (1) f(x) 4 ) 3 22 33 32 2x 3 . 所以 T 22 . (2) 因为 4 x 6 ， 所以 6 2x 3 23 ， 所以 12 2x 3 1， 所以 1f(x)2 ， 当 2x 3 6 ， 即 x 4 时 ， f(x) 1， 当 2x 3 2 ， 即 x 12时 ， f(x)2. 备选变式（教师专享） 已知函数 f(x) 22 31. (1) 求 f(x)的最小正周期及对称中心； (2) 若 x 6 ， 3 ， 求 f(x)的最大值 和最小值 审题视点 逆用二倍角公式 ， 化为正弦型函数再求解 解： (1) f(x) 32 2x 6 ， 所以 f(x)的最小正周期为 T 22 .令 2x 6 0， 则 x 12(k Z)， 所以 f(x)的对称中心为 12， 0 (k Z) (2) 因为 x 6 ， 3 ， 所以 6 2x 6 56 12 2x 6 1， 所以1f(x)2. 所以当 x 6 时 ， f(x)的最小值为 1；当 x 6 时 ， f(x)的最大值为 2. 6 1. (2013 四川 )设 2 ， ， 则 _ 答案： 3 解析：由 得 2 又 2 ， ， 故 0， 于是 12， 进而 32 ， 于是 3， 2 2 （ 3）1 3 3. 2. 已知向量 a (， b (3， 4)， 若 ab ， 则 _ 答案： 247 解析： ab ， 4 30， 34， 从而 22 341 342247. 3. 设 为锐角 ， 若 6 45， 则 12) _ 答案： 17 250 解析：设 6 ， 45， 35， 2 2425， 2 1 725， 2 12 2 4 17 250 . 4. (2013 贵州 )已知 23， 则 4 _ 答案 ： 16 解析 ： 因为 23， 所以 4 12 1 4 12(1 16. 1. 已知 15， 且 2 34 ， 则 _ 答案： 725 7 解析：将 15两边平方 ， 得 1225， 所以 ( 2 1 2 4925， 则 75. 又 2 34 ， 所以 0， 0， 所以 75， 故 ( 725. 2. 已知 6 13， 则 23 2 _ 答案： 79 解析：由 6 13， 得 6 1 2 6 79， 即 3 2 79， 所以 23 2 3 2 79. 3. 若 4 x 35， 1712 x 74， 求 2值 解：由 1712 x 74 ， 得 53 x 4 2. 又 4 x 35， 4 x 45. 4 x 4 4 x 4 x 210， 从而 7 210 ， 7. 故原式 222 7 210 210 2 7 21021 7 2875. 4. 已知函数 f(x) x 3 x 2 ( 0)的最小正周期为 2. 8 (1) 写出函数 f(x)的单调递增区间； (2) 求 函数 f(x)在区间 0， 3 上的取值范围 解： (1) f(x) 1 32 x 32 x 12x 12 2x 6 2 ， 所以 22 2 ( 0)， 所以 2， f(x) 4x 6 2 4x 6 2 2 ， 解得 12 x 6 (k Z) 所以 f(x)的增区间为 12， 6 (k Z) (2) 因为 x 0， 3 ， 所以 4x 6 6 ， 76 ， 所以 4x 6 12， 1 ， 所以 f(x) 0， 32 . 故 f(x)在区间 0， 3 上的取值范围是 0， 32 . 1. 已知三角函数式的值 ， 求其他三角函数式的值 ， 一般思路为： (1) 先化简所求式子； (2) 观察已知条件与所求式子之间的联系 (从三角函数名及角入手 )； (3) 将已知条件代入 所求式子 ， 化简求值 2. 应用倍角公式 ， 一是要选择合适的公式 ， 二是要注意正用和逆用 3. 降幂公式是解决含有 子的问 题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧 请使用课时训练 (B)第 5 课时 (见活页 ) 备课札记 1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 6 课时 简单的三角恒等变换 考情分析 考点新知 灵活掌握公式间的关系 ， 能运用它们进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明 能运用三角函数各种公式进行恒等变换以及解决综合性问题 . 1. (必修 4(2)改编 )函数 y 3最 小正周期为 _ 答案： 2 解析： y 32( 32 12 2 2 4x 6 ， 故 T 24 2. 2. 在 ， 若 45， 513， 则 _. 答案： 1665 解析：在 ， 0 A ， 0 B ， 45 0， 513 0， 得 0 A 2 ， 0 B 2 ， 从而 35， 1213， 所以 (A B) B) 35 1213 45 513 1665. 3. (必修 4习 3(2)改编 )已知 45， 且 270 360， 则 _， _ 答案： 1010 3 1010 解析： 270 360， 135 2 180 . 1 1 452 1010 ； 2 1 1 452 3 1010 . 4. (必修 4 改编 )已知 35， 是第二象限角 ， 且 ) 1，则 _ 答案： 724 解析：由 35且 是第二象限角 ， 得 34， ( ) ， ) ） ） 7. 2 724. 5. (必修 4(1)改编 )已知 55 ， 且 0， 4 ， 则 _ 答案： 2 55 解析： 1 2 55 . 三角函数的最值问题 (1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 y x ) ， 其中 y 先降次 ， 整理转化为上一种形式 y d 或 y d 可转化为只有分母含 函 数式或 f(y)(f(y)的形式 ， 由正、余弦函数的有界性求解 (2) 用代数方法 求三角函数的最值常见的函数形式 y c 可转化为 二次函数式 y a、 b、 c0)， 令 t， 则转化为求 y 1t1) 的最值 ， 一般可用基本不等式或单调性求解 备课札记 3 题型 1 三角形中的恒等变换 例 1 已知 ， 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 且 22，求角 C 的大小 解 ： 由 22， 得 2 1 2， 整理得 21 0. 因为在 ， 0C， 所以 0 2. 所以 22 舍去 0 ， 从而 4 ， 即 C 2. 备选变式（教师专享） 在锐角 ， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 23b 的大小 解：由已知 ， 得 23且 B 0， 2 ， 0， 32 ， 且 A 0， 2 ， A 3. 题型 2 角的构造技巧与公式的灵活运用 例 2 求 的值 解： (解法 1)因为 40 30 10， 于是原式 0 10 )0 10 ) 32 12 ( 32 12) 34( ) 34. (解法 2)设 x y .则 x y 1 1 2 2 x y 12 12 x 32， 故 x 34. 变式训练 求 3的值 4 解 ： 3 12(1 ) 12(1 ) 30 20 ) 1 12 12( ) 3( ) 1 12 14 34 34 32 1 34 34(1 ) 14. 题型 3 三角函数的综合问题 例 3 函数 f(x) 4 x 4 x 3x R) (1) 求 f 6 的值； (2) 在 ， 若 f 1， 求 最大值 解 ： (1) f(x) 4 x 4 x 3 122 2x 6 ， 所以 f 6 1. (2) 因为 f 1， 所以 A 6 1. 因为 0 A ， 所以 A 6 2 ，即 A 3. 23 B 3232 3 B 6 . 因为 0 B 23 ， 所以 6 B 6 56 ， 所以 12 B 6 1， 所以 最大值为 3. 备选变式（教师专享） 已知 a ( b (2 设 f(x) ab . (1) 求函数 f(x)的最小正周期； (2) 当 x 0， 2 时 ， 求函数 f(x)的最大值和最小值 解： (1) f(x) ab ( 5 2 2 22 22 2 2x 4 . f(x)的最小正周期 T . (2) 0x 2 ， 4 2x 4 54 ，
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