2017年河北省保定市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017年河北省保定市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 P=3， Q=a， b，若 P Q=0，则 P Q=（ ） A 3， 0 B 3， 0， 1 C 3， 0， 2 D 3， 0， 1， 2 2若复数 z=（ x 3） +（ x+3） 实数 ） A 3 B 1 C 3或 1 D 1或 3 3角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在直 线 y=2x 上，则 ） A 2 B 4 C D 4已知某三棱锥的三视图（单位： 图所示，那么该三棱锥的体积等于（ ） A 2 3 9在区间内随机取出一个数 a，使得 1 x|2x2+0的概率为（ ） A B C D 6设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 ， a+b=12，则 ） A 8 B 9 C 16 D 21 7某地区打的士收费办法如下：不超 过 2 公里收 7元，超过 2 公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收 他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则 处应填（ ） A y= y= y= y=已知一个球的表面上有 A、 B、 C= ，若球心到平面 距离为 1，则该球的表面积为（ ） A 20 B 15 C 10 D 2 9已知双曲线 的一条渐近线的方程为 x 2y=0，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 2 10已知数列 ，前 n，且 ，则 的最大值为（ ） A 3 B 1 C 3 D 1 11若点 P（ x， y）坐标满足 |=|x 1|，则点 ） A B C D 12在平面直角坐标系中，定义 d（ P， Q） =|两点 P（ Q（ 间的 “ 折线距离 ” 则下列命题中： 若 A（ 1， 3）， B（ 1， 0），则有 d（ A， B） =5 到原点的 “ 折线距离 ” 等于 1的所有点的集合是一个圆 若 有 d（ A， C） +d（ C， B） =d（ A， B） 到 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）两点的 “ 折线距离 ” 相等的点的轨迹是直线 x=0 真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（每题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13已知 ， ， ，则 14某所学校计划招聘男教师 教师 x和 该校招聘的教师人数最多是 名 15设 ， 是两个向量，则 “ ” 是 “ ” 的 条件 16设函数 f（ x） = 在 x=1处取得极值为 0，则 a+b= 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知数列 等差数列，且 别为方程 6x+5=0的二根 （ 1）求数列 前 n； （ 2）在（ 1）中，设 ，求证：当 c= 时，数列 等差数列 18为了检验学习情况，某培训机构于近期举办一场竞赛活动，分别从甲、乙两班各抽取10名学员的成绩进行统计分析，其成绩的茎叶图如图所示（单位：分），假设成绩不低于 90分者 命名为 “ 优秀学员 ” （ 1）分别求甲、乙两班学员成绩的平均分（结果保留一位小数）； （ 2）从甲班 4名优秀学员中抽取两人，从乙班 2名 80 分以下的学员中抽取一人，求三人平均分不低于 90分的概率 19如图， 的正三角形， 平面 2D=2 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求三棱锥 D 高 20在平面直角坐标系 ，设圆 x2+4x=0 的圆心为 Q （ 1）求过点 P（ 0， 4）且与圆 （ 2）若过点 P（ 0， 4）且斜率为 相交于不同的两点 A， B，以 邻边做平行四边形 是否存在常数 k，使得 说明理由 21已知函数 f（ x） =a（ x 1）， g（ x） = （ 1）求证： g（ x） x+1（ x R）； （ 2）设 h（ x） =f（ x+1） +g（ x），若 x 0时， h（ x） 1，求实数 选修 4标系与参数方程 22已知圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 （ 1） 求圆 （ 2）求直线 所截得的弦长 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 1|+|x+1| 2 （ 1）求不等式 f（ x） 1的解集； （ 2）若关于 f（ x） a 2在 实数 2017年河北省保定市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 P=3， Q=a， b，若 P Q=0，则 P Q=（ ） A 3， 0 B 3， 0， 1 C 3， 0， 2 D 3， 0， 1， 2 【考点】 1D：并集及其运算 【分析】根据集合 P=3， Q=a， b，若 P Q=0，则 ， b=0，从而求得 P Q 【解答】解： P Q=0， a=1 从而 b=0， P Q=3， 0， 1， 故选 B 2若复数 z=（ x 3） +（ x+3） 实数 ） A 3 B 1 C 3或 1 D 1或 3 【考点 】 数的基本概念 【分析】根据复数 z=（ x 3） +（ x+3） 得 x 3=0， x+3 0，解得 x 【解答】解： 复数 z=（ x 3） +（ x+3） x 3=0， x+3 0，解得 x=1 故选： B 3角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 ） A 2 B 4 C D 【考点】 意角的三角函数的定义 【分析】利用直线斜率的定义、二倍角的正切公式，进行计算即可 【解答】解： 角 的始边与 边在直线 y=2 ； = ， 故选 D 4已知某三棱锥的三视图（单位： 图所示，那么该三棱锥的体积等于（ ） A 2 3 9考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】该三棱锥高为 3，底面为直角三角形 【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直， V= 3 1 3= 故选 A 5在区间内随机取出一个数 a，使得 1 x|2x2+0的概率为（ ） A B C D 【考点】 何概型 【分析】由 1 x|2x2+0代入得出关于参数 之求得 a 的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率 【解答】解：由题意 1 x|2x2+0，故有 2+a 0，解得 1 a 2， 由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为 6，随机地取出一个数 a，使得 1x|2x2+0这个事件的测度为 3， 故区间内随机地取出一个数 a，使得 1 x|2x2+0的概率为 ， 故选： D 6设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 ， a+b=12，则 ） A 8 B 9 C 16 D 21 【考点】 角形中的几何计算 【分析】根据基本不等式求得 范围，进而利用三角形面积公式求得 【解答】解： （ ） 2=36，当且仅当 a=b=6 时，等号成立， S 36 =9， 故选： B 7某地区打的士收费办法如下：不超过 2 公里收 7元，超过 2 公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过 的里程每公里收 他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则 处应填（ ） A y= y= y= y=考点】 序框图 【分析】由题意可得：当满足条件 x 2 时，即里程超过 2 公里，应按超过 2 公里的里程每公里收 每车次超过 2公里收燃油附加费 1元收费，进而可得函数的解析式 【解答】解：当满足条件 x 2时，即里程超过 2公里， 超过 2公里时，每车收燃油附加费 1元，并且超过的里程每公里收 y=x 2） +7+1=8+x 2），即整理可得： y= 故选： D 8已知一个球的表面上有 A、 B、 C= ，若球心到平面 距离为 1，则该球的表面积为（ ） A 20 B 15 C 10 D 2 【考点】 的体积和表面积 【分析】由正弦定理可得截面圆的半径，进而由勾股定理可得球的半径和截面圆半径的关系，解方程代入球的表面积公式可得 【解答】解：由题意可得平面 ， 设截面圆 O 的 半径为 r，由正弦定理可得 2r= ，解得 r=2， 设球 ， 球心到平面 ， 由勾股定理可得 2=得 ， 球 =4R 2=20 ， 故选： A 9已知双曲线 的一条渐近线的方程为 x 2y=0，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 2 【考点】 曲线的简单性质 【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为 y= x，结合题意可得 = ，又由离心率公式 = =1+ 计算可得 可得答案 【解答】解：根据题 意，双曲线的方程为 ，其焦点在 其渐近线方程为y= x， 又由题意，该双曲线的一条渐近线的方程为 x 2y=0，即 y= x， 则有 = ， 则 = =1+ = ，则有 e= ， 故选： B 10已知数列 ，前 n，且 ，则 的最大值为（ ） A 3 B 1 C 3 D 1 【考点】 8H：数列递推式 【分析】利用递推关系可得 = =1+ ，再利用数列的单调性即可得出 【解答】解： ， n 2 时， n 1= 1，化为： = =1+ ， 由 于数列 单调递减，可得： n=2时， 取得最大值 2 的最大值为 3 故选： C 11若点 P（ x， y）坐标满足 |=|x 1|，则点 ） A B C D 【考点】 线与方程 【分析】取特殊点代入进行验证即可 【解答】解：由题意， x=1时， y=1，故排除 C， D；令 x=2，则 y= ，排除 A 故选 B 12在平面直角坐标系中，定义 d（ P， Q） =|两点 P（ Q（ 间的 “ 折线距离 ” 则下列命题中： 若 A（ 1， 3）， B（ 1， 0），则有 d（ A， B） =5 到原点的 “ 折线距离 ” 等于 1的所有点的集合是一个圆 若 有 d（ A， C） +d（ C， B） =d（ A， B） 到 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）两点的 “ 折线距离 ” 相等的点的轨迹是直线 x=0 真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 点间距离公式的应用； 2K：命题的真假判断与应用 【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可 【解答】解：若 A（ 1， 3）， B（ 1， 0），则有 d（ A， B） =| 1 1|+|3 0|=5，故 正确； 到原点的 “ 折线距离 ” 等于 1的点的集合 （ x， y） |x|+|y|=1，是一个正方形，故 错误； 若点 B 上，设 则 d（ A， C） +d（ C， B） =|d（ A， B）成立，故 成立； 到 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）两点的 “ 折线距离 ” 相等点的集 合是 （ x， y） |x+1|+|y|=|x1|+|y|， 由 |x+1|=|x 1|，解得 x=0， 到 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）两点的 “ 折线距离 ” 相等的点的轨迹方程是 x=0，即 正确； 综上知，正确的命题为 ，共 3个 故选： C 二、填空题（每题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13已知 ， ， ，则 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】先根据向量的数量积公式可得 =| | |，再根据余弦定理即可求出 【解答】解 ： ， ， ， =| | |， 由余弦定理可得 2+16 12=13， ， 故答案为： 14某所学校计划招聘男教师 教师 x和 该校招聘的教师人数最多是 7 名 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师 教师 x和 不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令 z=x+y，则题意求解在可行域内使得 【 解答】解：由于某所学校计划招聘男教师 x 名，女教师 y 名，且 x 和 y 须满足约束条件，画出可行域为： 对于需要求该校招聘的教师人数最多， 令 z=x+yy= x+z 则题意转化为，在可行域内任意去 x， y 且为整数使得目标函数代表的斜率为定值 1， 截距最大时的直线为过 （ 4， 3）时使得目标函数取得最大值为： z=7 故答案为： 7 15设 ， 是两个向量，则 “ ” 是 “ ” 的 充要 条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】利用数量积运算性质展开即可得出结论 【解答】解： “ ” 4 0“ ” ， “ ” 是 “ ” 的充要条件 故答案为：充要 16设函数 f（ x） = 在 x=1处取得极值为 0，则 a+b= 【考点】 6D：利用导数研究函数的极值 【分析】求出导函数，根据定义可知 f（ 1） =a 2b+， f（ 1） =0，得出 a=1或 a= ，由极值概念可知 a=1不成立，故 a= ， b= ，得出答案 【解答】解： f（ x） = ， f（ x） =2bx+ 在 x=1处取得极值为 0， f（ 1） =a 2b+， f（ 1） =0， a=1或 a= ， 函数有极值， a=1不成立 a= ， b= ， 故答案为 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知数列 等差数列，且 别为方程 6x+5=0的二根 （ 1）求数列 前 n； （ 2）在（ 1）中，设 ，求证：当 c= 时，数列 等差数列 【考点】 8E：数列的求和； 8C：等差关系的确定 【分析】（ 1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求 通项公式； （ 2）先化 简 利用定义证明即可 【解答】解：（ 1）解方程 6x+5=0得其二根分别为 1和 5， 别为方程 6x+5=0的二根 以 ， ， 差数列的公差为 4， =2n； （ 2）证明：当 时， = ， （ n+1） 2n=2， 以 2为首项，公差为 2的等差数列 18为了检验学习情况，某培训机构于近期举办一场竞赛活动，分别从甲、乙两班各抽取10名学员的成绩进行统计分析，其成绩的茎叶图如图所示（单位：分），假设 成绩不低于 90分者命名为 “ 优秀学员 ” （ 1）分别求甲、乙两班学员成绩的平均分（结果保留一位小数）； （ 2）从甲班 4名优秀学员中抽取两人，从乙班 2名 80 分以下的学员中抽取一人，求三人平均分不低于 90分的概率 【考点】 举法计算基本事件数及事件发生的概率； 叶图 【分析】（ 1）由茎叶图能求出甲、乙两班学员成绩的平均分 （ 2）列举法确定基本事件，即可求三人平均分不低于 90分的概率 【解答】解：（ 1）甲组的平均分为 组的平均分为 2）抽取情况为： 92， 94， 78； 92， 94， 79； 92， 106， 78； 92， 106， 79； 92， 108， 78； 92， 108， 79； 94， 106， 78； 94， 106， 79； 94， 108， 78； 94， 108， 79； 106， 108， 78； 106， 108， 79 总共有 12种 这 12种平均分不低于 90分的情况有 10种 所以三人平均分不低于 90分的概率为 19如图， 的正三角形， 平面 2D=2 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求三棱 锥 D 高 【考点】 面与平面垂直的判定； 锥的结构特征 【分析】（ 1）取 ， 中点为 G，连接 明 平面 平面 可证明平面 平面 （ 2）利用等体积方法，即可求三棱锥 D 【解答】（ 1）证明：取 ， ，连接 由题意可知， 所以 E，即四边形 所以 平面 平面 故平面 平面 （ 2）解：过 K 足为 K，因为 平面 所以 平面 所以 V 四棱锥 B V 三棱锥 E 所以 V 三棱锥 D 四棱锥 B V 三棱锥 E 因为 C=2， ，所以 ，又 所以 设所求的高为 h，则由等体积法得 = 所以 20在平面直角坐标系 ，设圆 x2+4x=0 的圆心为 Q （ 1）求过点 P（ 0， 4）且与圆 线的方程； （ 2）若过点 P（ 0， 4）且斜率为 相交于不同的两点 A， B，以 邻边做平行四边形 是否存在常数 k，使得 说明理由 【考点】 线与圆的位置关系 【分析】（ 1）设切线方程为： y=4，利用圆心到直线的距离等于半径求出 k，即可求过点 P（ 0， 4）且与圆 （ 2）联立 得（ 1+ 8k+4） x+16=0，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论 【解答】解：（ 1）由题意知，圆心 2， 0），半径为 2，设 切线方程为： y=4， 所以，由 解得 所以，所求的切线方程为 ，或 x=0； （ 2）假设存在满足条件的实数 k，则设 A（ B（ 联立 得（ 1+ 8k+4） x+16=0 =16（ 2k+1） 2 64（ 1+ 0， ， ，且 y1+y2=k（ x1+， =（ x1+y1+ ， 又 = ， 要使平行四边形 形，则 = ， 所以 k=2， 存在常数 k=2，使得平行四边形 21已知函数 f（ x） =a（ x 1）， g（ x） = （