中考数学模拟试卷（含解析）4

1 20162016 年河南省中考数学模拟试卷年河南省中考数学模拟试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 2424 分）分） 1计算（2）+（3）的结果是（ ） A5B1C1D5 2如图所示的几何体是由一个正方体切去一个小正方形成的，从左面看到的平面图形为（ ） A B C D 3移动互联网已经全面进入人们的日常生活，截至 2016 年 1 月，全国 4G 用户总数达到 3.86 亿，其中 3.86 亿用科学记数法表示为（ ） A3.86104B3.86106C3.86108D0.162109 4如图，直线 ab，一块含 60角的直角三角板 ABC（A=60）按如图所示放置若 1=55，则2 的度数为（ ） A105B110C115D120 5不等式组的整数解的个数为（ ） A1B2C3D4 6为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区 10 户居民进行了调查，下表是这 10 户居 民 2014 年 4 月份用电量的调查结果： 居民（户） 1324 月用电量（度/户） 40505560 那么关于这 10 户居民月用电量（单位：度） ，下列说法错误的是（ ） A中位数是 55B众数是 60 C方差是 29 D平均数是 54 7已知二次函数 y=x27x+，若自变量 x 分别取 x1，x2，x3，且 0x1x2x3，则对应 的函数值 y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ） Ay1y2y3By1y2y3Cy2y3y1Dy2y3y1 8如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，O 是ABC 的内切圆，现将矩形 ABCD 按如图所示的 方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG点 F，G 分别在边 AD，BC 上，连结 OG，DG若 OGDG，且O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是（ ） 2 ACD+DF=4BCDDF=23CBC+AB=2+4DBCAB=2 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分，共分，共 2121 分）分） 9计算+（1）2017= 10如图，根据阴影面积的两种不同的计算方法，验证了初中数学的哪个公式答： 11有大小、形状、颜色完全相同的 5 个乒乓球，每个球上分别标有数字 1，2，3，4，5 中的一个，将这 5 个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则 这两个球上的数字之和为偶数的概率是 12在ABC 中，AB=AC，A=52，分别以 A、C 为圆心，大于AC 长为半径画弧，两弧交 于 M、N 两点，作直线 MN 交 AB 于 D、交 AC 于 E，则DCB 的度数为 度 13在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点 P（1，t）在反比例函数 y=的图象上，过 点 P 作直线 l 与 x 轴平行，点 Q 在直线 l 上，满足 QP=OP若反比例函数 y=的图象经过点 Q，则 k= 14如图，在ABC 中，AB=6，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 60后得到DBE，点 A 经过的 路径为弧 AD，则图中阴影部分的面积是 15实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高） ，底面半径之比为 1：2：1，用两个相同的管子在容器的 5cm 高度处连通（即管子底端离容器底 5cm） 现三 个容器中，只有甲中有水，水位高 1cm，如图所示若每分钟同时向乙和丙注入相同量的 水，开始注水 1 分钟，乙的水位上升cm，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高 度之差是 0.5cm 三、解答题（共三、解答题（共 7575 分）分） 16在学习分式计算时有这样一道题：先化简，再选取一个你喜欢且合适的数代入求 值张明同学化简过程如下： 3 解： =（ ） = （ ） = （ ） （1）在括号中直接填入每一步的主要依据或知识点； （2）如果你是张明同学，那么在选取你喜欢且合适的数进行求值时，你不能选取的数有 17唐诗是我国古代文化中的隗宝，某市教育主管部门为了解本市初中生对唐诗的学习情 况，进行了一次唐诗背诵大赛，随机抽取了部分同学的成就（x 为整数，总分 100 分） ，绘 制了如下尚不完整的统计表 组别 成绩分组 （单位：分） 频数频率 A 50x60 40 0.10 B 60x70 60 c C 70x80 a 0.20 D 80x90 160 0.40 E 90x100 60 0.15 合计 b 1 根据以上信息解答下列问题： （1）统计表中 a= ，b ，c= ； （2）扇形统计图中，m 的值为 ， “D”所对应的圆心角的度数是 （度） ； （3）若参加本次背诵大赛的同学共有 8000 人，请你估计成绩在 90 分及以上的学生大约有 多少人？ 18如图，AB 是O 的直径，割线 DA，DB 分别交O 于点 E，C，且 AD=AB，DAB 是锐角， 连接 EC、OE、OC （1）求证：OBCOEC （2）填空： 若 AB=2，则AOE 的最大面积为 ； 4 当ABD 的度数为 时，四边形 OBCE 是菱形 19如图，我南海某海域 A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政 搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的 B 处，该渔政船收到 渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调 整方向，先向北偏东 60方向以每小时 30 海里的速度航行半小时到达 C 处，同时捕鱼船 低速航行到 A 点的正北 1.5 海里 D 处，渔政船航行到点 C 处时测得点 D 在南偏东 53方向 上 （1）求 CD 两点的距离； （2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点 E 处相会合，求 ECD 的正弦值 （参考数据：sin53，cos53，tan53） 20已知关于 x 的一元二次方程：x2（m3）xm=0 （1）试判断原方程根的情况； （2）若抛物线 y=x2（m3）xm 与 x 轴交于 A（x1，0） ，B（x2，0）两点，则 A，B 两 点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由 （友情提示：AB=|x2x1|） 21我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在 “五一”小黄金周期间到该景点游玩两团队游客人数之和为 120 人，乙团队人数不超过 50 人，设甲团队人数为 x 人如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为 W 元 （1）求 W 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若甲团队人数不超过 100 人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约 多少钱； （3） “五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过 50 人时，门 票价格不变；人数超过 50 人但不超过 100 人时，每张门票降价 a 元；人数超过 100 人时， 每张门票降价 2a 元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去 游玩，最多可节约 3400 元，求 a 的值 5 22阅读并完成下面的数学探究： （1） 【发现证明】如图（1） ，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，EAF=45，小 颖把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上 述结论 （2） 【类比延伸】如图（2） ，四边形 ABCD 中，BAD90，AB=AD，B+D=180，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，则当EAF 与BAD 满足关系 时，仍有 EF=BE+FD （3） 【结论应用】如图（3） ，四边形 ABCD 中，AB=AD=80，B=60，ADC=120， BAD=150，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且 AEAD，DF=40（） ，连 E、F，求 EF 的长 （结果保留根号） 23如图，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板 ABC 的直角顶点 A 在 y 轴上，坐 标为（0，1） ，另一顶点 B 坐标为（2，0） ，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过 B、C 两点现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边 ADy 轴且经过点 B，直尺沿 x 轴正方向平移，当 AD与 y 轴重合时运动停止 （1）求点 C 的坐标及二次函数的关系式； （2）若运动过程中直尺的边 AD交边 BC 于点 M，交抛物线于点 N，求线段 MN 长度的最 大值； （3）如图，设点 P 为直尺的边 AD上的任一点，连接 PA、PB、PC，Q 为 BC 的中点， 试探究：在直尺平移的过程中，当 PQ=时，线段 PA、PB、PC 之间的数量关系请直接写出 结论，并指出相应的点 P 与抛物线的位置关系 （说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图中，点 A 在抛物线内，点 C 在抛 物线上，点 D在抛物线外 ） 6 20162016 年河南省中考数学模拟试卷年河南省中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 2424 分）分） 1计算（2）+（3）的结果是（ ） A5B1C1D5 【考点】有理数的加法 【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果 【解答】解：原式=（2+3）=5 故选：A 2如图所示的几何体是由一个正方体切去一个小正方形成的，从左面看到的平面图形为（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图；截一个几何体 【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左面看是一个大正方形，大正方形的右上角是一个小正方形，因为是在对 面，故小正方形应该是虚线， 故 D 符合题意， 故选：D 3移动互联网已经全面进入人们的日常生活，截至 2016 年 1 月，全国 4G 用户总数达到 3.86 亿，其中 3.86 亿用科学记数法表示为（ ） A3.86104B3.86106C3.86108D0.162109 【考点】科学记数法表示较大的数 【分析】利用科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 7 【解答】解：3.86 亿用科学记数法表示为：3.86108 故选：C 4如图，直线 ab，一块含 60角的直角三角板 ABC（A=60）按如图所示放置若 1=55，则2 的度数为（ ） A105B110C115D120 【考点】平行线的性质 【分析】如图，首先证明AMO=2；然后运用对顶角的性质求出ANM=55，借助三角形 外角的性质求出AMO 即可解决问题 【解答】解：如图，直线 ab， AMO=2； ANM=1，而1=55， ANM=55， AMO=A+ANM=60+55=115， 2=AMO=115 故选 C 5不等式组的整数解的个数为（ ） A1B2C3D4 【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出所有的整数解即可求出个 数 【解答】解：， 解不等式得，x， 解不等式得，x1， 所以，不等式组的解集是x1， 所以，不等式组的整数解有1、0、1 共 3 个 故选 C 8 6为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区 10 户居民进行了调查，下表是这 10 户居 民 2014 年 4 月份用电量的调查结果： 居民（户） 1324 月用电量（度/户） 40505560 那么关于这 10 户居民月用电量（单位：度） ，下列说法错误的是（ ） A中位数是 55B众数是 60 C方差是 29 D平均数是 54 【考点】方差；加权平均数；中位数；众数 【分析】根据中位数、众数、平均数和方差的概念分别求得这组数据的中位数、众数、平 均数和方差，即可判断四个选项的正确与否 【解答】解：用电量从大到小排列顺序为：60，60，60，60，55，55，50，50，50，40 A、月用电量的中位数是 55 度，故 A 正确； B、用电量的众数是 60 度，故 B 正确； C、用电量的方差是 39 度，故 C 错误； D、用电量的平均数是 54 度，故 D 正确 故选：C 7已知二次函数 y=x27x+，若自变量 x 分别取 x1，x2，x3，且 0x1x2x3，则对应 的函数值 y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ） Ay1y2y3By1y2y3Cy2y3y1Dy2y3y1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据 x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断 y1、y2、y3的大小关系 【解答】解：二次函数 y=x27x+， 此函数的对称轴为：x=7， 0x1x2x3，三点都在对称轴右侧，a0， 对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小， y1y2y3 故选：A 8如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，O 是ABC 的内切圆，现将矩形 ABCD 按如图所示的 9 方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG点 F，G 分别在边 AD，BC 上，连结 OG，DG若 OGDG，且O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是（ ） ACD+DF=4BCDDF=23CBC+AB=2+4DBCAB=2 【考点】三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题） 【分析】设O 与 BC 的切点为 M，连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N，证明OMGGCD，得 到 OM=GC=1，CD=GM=BCBMGC=BC2设 AB=a，BC=b，AC=c，O 的半径为 r，O 是 RtABC 的内切圆可得 r=（a+bc） ，所以 c=a+b2在 RtABC 中，利用勾股定理求得 （舍去） ，从而求出 a，b 的值，所以 BC+AB=2+4再设 DF=x，在 RtONF 中， FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得 x=4，从而得到 CDDF=，CD+DF=即可解答 【解答】解：如图， 设O 与 BC 的切点为 M，连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N， 将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG， OG=DG， OGDG， MGO+DGC=90， MOG+MGO=90， MOG=DGC， 在OMG 和GCD 中， OMGGCD， OM=GC=1，CD=GM=BCBMGC=BC2 AB=CD， BCAB=2 设 AB=a，BC=b，AC=c，O 的半径为 r， O 是 RtABC 的内切圆可得 r=（a+bc） ， c=a+b2 在 RtABC 中，由勾股定理可得 a2+b2=（a+b2）2， 整理得 2ab4a4b+4=0， 10 又BCAB=2 即 b=2+a，代入可得 2a（2+a）4a4（2+a）+4=0， 解得（舍去） ， ， BC+AB=2+4 再设 DF=x，在 RtONF 中，FN=，OF=x，ON=， 由勾股定理可得， 解得 x=4， CDDF=，CD+DF= 综上只有选项 A 错误， 故选 A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分，共分，共 2121 分）分） 9计算+（1）2017= 2 【考点】实数的运算 【分析】原式利用算术平方根定义，以及乘方的意义计算即可得到结果 【解答】解：原式=31=2， 故答案为：2 10如图，根据阴影面积的两种不同的计算方法，验证了初中数学的哪个公式答： a2b2=（a+b） （ab） 【考点】平方差公式的几何背景 【分析】首先用边长是 a 的正方形的面积减去边长是 b 的正方形的面积，求出左边图形的 面积是多少；然后根据长方形的面积=长宽，求出右边阴影部分的面积，判断出验证了初 中数学的哪个公式即可 【解答】解：左边图形的面积是：a2b2， 右边图形的面积是：（a+b） （ab） ， 根据阴影面积的两种不同的计算方法，验证了初中数学的平方差公式：a2b2=（a+b） （ab） 故答案为：a2b2=（a+b） （ab） 11 11有大小、形状、颜色完全相同的 5 个乒乓球，每个球上分别标有数字 1，2，3，4，5 中的一个，将这 5 个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则 这两个球上的数字之和为偶数的概率是 【考点】列表法与树状图法 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可 【解答】解：列表得： （1，5）（2，5）（3，5） （4，5） （1，4） （2，4） （3，4） （5，4） （1，3） （2，3） （4，3） （5，3） （1，2） （3，2） （4，2） （5，2） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） 一共有 20 种情况，这两个球上的数字之和为偶数的 8 种情况， 这两个球上的数字之和为偶数的概率是= 12在ABC 中，AB=AC，A=52，分别以 A、C 为圆心，大于AC 长为半径画弧，两弧交 于 M、N 两点，作直线 MN 交 AB 于 D、交 AC 于 E，则DCB 的度数为 12 度 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图基本作图 【分析】首先根据题意可得 MN 是 AC 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得 AD=DC， 进而得到A=ACD=52，然后再根据等腰三角形的性质计算出ACB 的度数，进而得到 答案 【解答】解：由题意得：MN 是 AC 的垂直平分线， MN 是 AC 的垂直平分线 AD=DC， A=ACD=52， AB=AC， ACB=2=64， DCB=6452=12， 故答案为：12 12 13在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点 P（1，t）在反比例函数 y=的图象上，过 点 P 作直线 l 与 x 轴平行，点 Q 在直线 l 上，满足 QP=OP若反比例函数 y=的图象经过点 Q，则 k= 2+2或 22 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理 【分析】把 P 点代入 y=求得 P 的坐标，进而求得 OP 的长，即可求得 Q 的坐标，从而求得 k 的值 【解答】解：点 P（1，t）在反比例函数 y=的图象上， t=2， P（1.2） ， OP=， 过点 P 作直线 l 与 x 轴平行，点 Q 在直线 l 上，满足 QP=OP Q（1+，2）或（1，2） 反比例函数 y=的图象经过点 Q， 2=或 2=，解得 k=2+2或 22 故答案为 2+2或 22 14如图，在ABC 中，AB=6，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 60后得到DBE，点 A 经过的 路径为弧 AD，则图中阴影部分的面积是 6 【考点】扇形面积的计算 【分析】图中阴影部分的面积=扇形 ABD 的面积+三角形 DBE 的面积三角形 ABC 的面 积又由旋转的性质知ABCDBE，所以三角形 DBE 的面积=三角形 ABC 的面积 【解答】解：根据旋转的性质知ABD=60，ABCDBE， SABCSDBE， S阴影=S扇形 ABD+SDBESABC=S扇形 ABD=6 故答案是：6 15实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高） ，底面半径之比为 1：2：1，用两个相同的管子在容器的 5cm 高度处连通（即管子底端离容器底 5cm） 现三 13 个容器中，只有甲中有水，水位高 1cm，如图所示若每分钟同时向乙和丙注入相同量的 水，开始注水 1 分钟，乙的水位上升cm，则开始注入 ， 分钟的水量后，甲与乙的水 位高度之差是 0.5cm 【考点】一元一次方程的应用 【分析】由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高） ，底面半径之比为 1：2：1，注水 1 分钟，乙的水位上升cm，得到注水 1 分钟，丙的水位上升cm，设开始注入 t 分钟的水量后， 甲与乙的水位高度之差是 0.5cm，甲与乙的水位高度之差是 0.5cm 有三种情况：当乙的 水位低于甲的水位时，当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，当甲的水位低 于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可 【解答】解：甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高） ，底面半径之比为 1：2：1， 注水 1 分钟，乙的水位上升cm， 注水 1 分钟，丙的水位上升cm， 设开始注入 t 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是 0.5cm， 甲与乙的水位高度之差是 0.5cm 有三种情况： 当乙的水位低于甲的水位时， 有 1t=0.5， 解得：t=分钟； 当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时， t1=0.5， 解得：t=， =65， 此时丙容器已向乙容器溢水， 5=分钟， =，即经过分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升， ，解得：t=； 当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时， 乙的水位到达管子底部的时间为；分钟， 512（t）=0.5， 解得：t=， 综上所述开始注入，分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是 0.5cm 14 三、解答题（共三、解答题（共 7575 分）分） 16在学习分式计算时有这样一道题：先化简，再选取一个你喜欢且合适的数代入求 值张明同学化简过程如下： 解： =（ 通分、因式分解 ） = （ 分式的除法法则 ） = （ 约分 ） （1）在括号中直接填入每一步的主要依据或知识点； （2）如果你是张明同学，那么在选取你喜欢且合适的数进行求值时，你不能选取的数有 2，2，1 【考点】分式的化简求值 【分析】 （1）根据通分、约分、分式的除法法则解答； （2）根据分式有意义的条件进行解答即可 【解答】解：（1）原式（ 通分、因式分解） = （分式的除法法则） = （约分） 故答案为：通分，分解因式；分式的除法法则；约分； （2）x40，x10， x2，1 故答案为：2，2，1 17唐诗是我国古代文化中的隗宝，某市教育主管部门为了解本市初中生对唐诗的学习情 况，进行了一次唐诗背诵大赛，随机抽取了部分同学的成就（x 为整数，总分 100 分） ，绘 制了如下尚不完整的统计表 组别 成绩分组 （单位：分） 频数频率 A 50x60 40 0.10 15 B 60x70 60 c C 70x80 a 0.20 D 80x90 160 0.40 E 90x100 60 0.15 合计 b 1 根据以上信息解答下列问题： （1）统计表中 a= 80 ，b =400 ，c= 0.15 ； （2）扇形统计图中，m 的值为 20 ， “D”所对应的圆心角的度数是 144 （度） ； （3）若参加本次背诵大赛的同学共有 8000 人，请你估计成绩在 90 分及以上的学生大约有 多少人？ 【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表 【分析】 （1）首先根据 A 组的频数和频率确定 b 值，然后根据频数样本容量=频率求得 a 和 c 的值即可； （2）用整体 1 减去其他小组的百分比即可求得 m 的值；用周角乘以 D 所占的百分比即可求 得其圆心角的度数； （3）用学生总人数乘以 90 分以上的频率即可求得人数 【解答】解：（1）观察频数统计图知：A 组的频数为 40，频率为 0.1， b=400.1=400， a=4000.20=80，c=60400=0.15； 故答案为：80，400，0.15； （2）m%=110%15%40%15%=20%， m=20， D 所在的扇形的圆心角为 36040%=144， 故答案为：20，144； （3）800015%=1200， 所以成绩在 90 分及以上的学生大约有 1200 人 18如图，AB 是O 的直径，割线 DA，DB 分别交O 于点 E，C，且 AD=AB，DAB 是锐角， 连接 EC、OE、OC 16 （1）求证：OBCOEC （2）填空： 若 AB=2，则AOE 的最大面积为 ； 当ABD 的度数为 60 时，四边形 OBCE 是菱形 【考点】圆的综合题 【分析】 （1）利用垂直平分线，判断出BAC=DAC，得出 EC=BC，用 SSS 判断出结论； （2）先判断出三角形 AOE 面积最大，只有点 E 到直径 AB 的距离最大，即是圆的半径即可； （3）由菱形判断出AOC 是等边三角形即可 【解答】解：（1）连接 AC， AB 是O 的直径， ACBD， AD=AB， BAC=DAC， ， BC=EC， 在OBC 和OEC 中， OBCOEC， （2）AB 是O 的直径，且 AB=2， OA=1， 设AOE 的边 OA 上的高为 h， SAOE=OAh=1h=h， 要使 SAOE最大，只有 h 最大， 点 E 在O 上， h 最大是半径， 即 h最大=1 SAOE 最大=， 故答案为：， （3）由（1）知，BC=EC，OC=OB， 17 四边形 OBCE 是菱形 BC=OB=OC， ABD=60， 故答案为 60 19如图，我南海某海域 A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政 搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的 B 处，该渔政船收到 渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调 整方向，先向北偏东 60方向以每小时 30 海里的速度航行半小时到达 C 处，同时捕鱼船 低速航行到 A 点的正北 1.5 海里 D 处，渔政船航行到点 C 处时测得点 D 在南偏东 53方向 上 （1）求 CD 两点的距离； （2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点 E 处相会合，求 ECD 的正弦值 （参考数据：sin53，cos53，tan53） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】 （1）过点 C、D 分别作 CGAB，DFCG，垂足分别为 G，F，根据直角三角形的性 质得出 CG，再根据三角函数的定义即可得出 CD 的长； （2）如图，设渔政船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合，由题意知 CE=30t，DE=1.52t=3t，EDC=53，过点 E 作 EHCD 于点 H，根据三角函数表示出 EH，在 RtEHC 中，根据正弦的定义求值即可 【解答】解：（1）过点 C、D 分别作 CGAB，DFCG，垂足分别为 G，F， 在 RtCGB 中，CBG=9060=30， CG=BC=（30）=7.5， DAG=90， 四边形 ADFG 是矩形， GF=AD=1.5， CF=CGGF=7.51.5=6， 18 在 RtCDF 中，CFD=90， DCF=53， COSDCF=， CD=10（海里） 答：CD 两点的距离是 10； （2）如图，设渔政船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合， 由题意知 CE=30t，DE=1.52t=3t，EDC=53， 过点 E 作 EHCD 于点 H，则EHD=CHE=90， sinEDH=， EH=EDsin53=3t=t， 在 RtEHC 中，sinECD= 答：sinECD= 20已知关于 x 的一元二次方程：x2（m3）xm=0 （1）试判断原方程根的情况； （2）若抛物线 y=x2（m3）xm 与 x 轴交于 A（x1，0） ，B（x2，0）两点，则 A，B 两 点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由 （友情提示：AB=|x2x1|） 【考点】抛物线与 x 轴的交点；根的判别式 【分析】 （1）根据根的判别式，可得答案； （2）根据根与系数的关系，可得 A、B 间的距离，根据二次函数的性质，可得答案 【解答】解：（1）=（m3）24（m）=m22m+9=（m1）2+8， （m1）20， =（m1）2+80， 原方程有两个不等实数根； （2）存在， 由题意知 x1，x2是原方程的两根， x1+x2=m3，x1x2=m AB=|x1x2|， 19 AB2=（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2 =（m3）24（m）=（m1）2+8， 当 m=1 时，AB2有最小值 8， AB 有最小值，即 AB=2 21我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在 “五一”小黄金周期间到该景点游玩两团队游客人数之和为 120 人，乙团队人数不超过 50 人，设甲团队人数为 x 人如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为 W 元 （1）求 W 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若甲团队人数不超过 100 人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约 多少钱； （3） “五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过 50 人时，门 票价格不变；人数超过 50 人但不超过 100 人时，每张门票降价 a 元；人数超过 100 人时， 每张门票降价 2a 元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去 游玩，最多可节约 3400 元，求 a 的值 【考点】一次函数的应用；一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用 【分析】 （1）根据甲团队人数为 x 人，乙团队人数不超过 50 人，得到 x70，分两种情况： 当 70x100 时，W=70x+80=10x+9600，当 100x120 时， W=60x+80=20x+9600，即可解答； （2）根据甲团队人数不超过 100 人，所以 x100，由 W=10x+9600，根据 70x100， 利用一次函数的性质，当 x=70 时，W 最大=8900（元） ，两团联合购票需 12060=7200（元） ，即可解答； （3）根据每张门票降价 a 元，可得 W=（70a）x+80=（a+10）x+9600，利用一次函数 的性质，x=70 时，W 最大=70a+8900（元） ，而两团联合购票需 120（602a） =7200240a（元） ，所以70a+8900=3400，即可解答 【解答】解：（1）甲团队人数为 x 人，乙团队人数不超过 50 人， 120x50， x70， 20 当 70x100 时，W=70x+80=10x+9600， 当 100x120 时，W=60x+80=20x+9600， 综上所述，W= （2）甲团队人数不超过 100 人， x100， W=10x+9600， 70x100， x=70 时，W最大=8900（元） ， 两团联合购票需 12060=7200（元） ， 最多可节约 89007200=1700（元） （3）x100， W=（70a）x+80=（a+10）x+9600， x=70 时，W最大=70a+8900（元） ， 两团联合购票需 120（602a）=7200240a（元） ， 70a+8900=3400， 解得：a=10 22阅读并完成下面的数学探究： （1） 【发现证明】如图（1） ，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，EAF=45，小 颖把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上 述结论 （2） 【类比延伸】如图（2） ，四边形 ABCD 中，BAD90，AB=AD，B+D=180，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，则当EAF 与BAD 满足关系 EAF=BAD 时，仍有 EF=BE+FD （3） 【结论应用】如图（3） ，四边形 ABCD 中，AB=AD=80，B=60，ADC=120， BAD=150，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且 AEAD，DF=40（） ，连 E、F，求 EF 的长 （结果保留根号） 【考点】四边形综合题 【分析】 （1）根据旋转变换的性质和正方形的性质证明EAFGAF，得到 EF=FG，证明 结论； 21 （2）把ABE 绕点 A 逆时针旋转至ADH，使 AB 与 AD 重合，证明EAFHAF，证明即 可； （3）延长 BA 交 CD 的延长线于 P，连接 AF，根据四边形内角和定理求出C 的度数，得到 P=90，求出 PD、PA，证明EAF=BAD，又（2）的结论得到答案 【解答】 （1）证明：由旋转的性质可知，ABEADG， BE=DG，AE=AG，BAE=DAG，ADG=ABE=90， G、D、F 在同一条直线上， 四边形 ABCD 是正方形， BAD=90， EAG=90，又EAF=45， FAG=45， 在EAF 和GAF 中， ， EAFGAF， EF=FG， EF=BE+FD； （2）当EAF=BAD 时，仍有 EF=BE+FD 证明：如图（2） ，把ABE 绕点 A 逆时针旋转至ADH，使 AB 与 AD 重合， 则 BE=DH，BAE=DAH，ADH=B，又B+D=180， ADH+D=180，即 F、D、H 在同一条直线上， 当EAF=BAD 时，EAF=HAF， 由（1）得，EAFHAF， 则 EF=FH，即 EF=BE+FD， 故答案为：EAF=BAD； （3）如图（3） ，延长 BA 交 CD 的延长线于 P，连接 AF， B=60，ADC=120，BAD=150， C=30， P=90，又ADC=120， ADP=60， PD=ADcosADP=40，AP=ADsinADP=40， 22 PF=PD+DF=40， PA=PF， PAF=45，又PAD=30， DAF=15， EAF=