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文档简介

4 高阶导数教学内容：高阶导数的定义与计算。教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。教学重点：高阶导数的定义与计算。教学难点：高阶导数的计算。教学方法：讲授与练习。教学学时：2学时。 引言： 我们已经知道，一个可导函数的导（函）数仍然是一个函数，这个函数我们又可以讨论它的可导性与导（函）数，以此类推，就产生的函数的一系列导数的问题，这些就是本节课我们将要学习的高阶导数的内容。一、引例：先看一个物理问题：已知物体运动位移与时间关系为，求它在某一时刻的加速度。 速度是位移的变化率，即：； 加速度是速度的变化率，即：来源: 可见，加速度就是位移的导数的导数，也就是我们将要介绍的位移的二阶导数。同时也看到，研究高阶导数是有其实际价值的。二、高阶导数的定义：定义 若函数的导函数在点可导，则称函数在点二阶可导，并称在点的导数为在点的二阶导数，记作，即： 一般的，若函数的阶导函数在点可导，则称函数在点阶可导，并称在点的导数为在点的阶导数，记作，即： 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，以前介绍的导数也可称作一阶导数；若函数在区间上每一点都可导，即，有在点的唯一阶导数与其对应，这样建立了一个函数，称为在上的阶导函数，简称为在上的阶导数，记作：。三、高阶导数的计算：函数阶导数的计算一般思路就是按照定义，连续利用一阶导数的求导公式及求导法则次即可。除此之外我们再介绍两个计算函数阶导数的计算公式。 1。 2设，则； ； 依此类推，我们可由数学归纳法证得如下莱布尼茨公式（结果与二项式展开式极为相似）：来源: ， 其中，。四、高阶导数求解举例：来源:例1求幂函数的各阶导数。解：； ；。例2求指数函数的各阶导数。解：。例3求函数（为常数）的各阶导数。解：；例4求三角函数与的各阶导数。解：；一般地，类似可得，例5求函数的5阶导数。解： 由莱布尼茨公式得： 例6求函数的20阶导数。解：设，则，；来源:，则，；由莱布尼茨公式得： 例7研究函数的高阶导数。解：；。注：此题的解法对分段函数是具有一般性的，我们应该熟练掌握。例8试求由摆线参量方程所确定的函数的二阶导数。解： y aa 0 x 由含参量方程求导法则的：；再对参量方程应用含参量方程求导法则有：来源:【作业布置】 P109：1、2、3、4、5、6ww
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